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2.7 函数模型及其应用
思维导图
知识点总结
知识点一 一次函数模型
形如y ＝
kx
＋
b 的函数为一次函数模型，其中k ≠
0 .
知识点二 二次函数模型
1．一般式：y ＝
ax
2 ＋
bx
＋
c ( a ≠
0)
．
2．顶点式：y ＝
a ( x －
h ) 2 ＋
k ( a ≠
0)
．
3．两点式：y ＝
a ( x －
m )( x －
n )( a ≠
0)
．
知识点三 幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0)．
1
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2．单调性：其增长情况由xα中的α 的取值而定．
知识点四 几类已知函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
知识点五 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立
相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
典型例题分析
考向一 一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24 元，卖出的价格是每份0.40 元，卖不掉
的报纸可以以每份0.08 元的价格退回报社．在一个月(以30 天计算)里，有20 天每天可卖
出400 份，其余10 天每天只能卖出250 份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问
报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
解 设每天从报社买进x 份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是y 元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y 是一个单调增函数，再由250≤x≤400 知，
当x＝400 时，y 取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以买进400 份所获利润最大，获利1 440 元．
2
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反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
考向二 二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最
大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y 只和实际蓄养量x 只与空闲率
的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．
解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为m 只，实际蓄养量为x 只，
则蓄养率为，故空闲率为1－，
由此可得y＝kx(0<x<m)．
(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)
＝－2＋.
即当x＝时，y 取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，
即0<x＋y<m.
因为当x＝时，ymax＝，
所以0<＋<m，
解得－2<k<2.
又因为k>0，所以0<k<2.
反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函
数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
考向三 幂函数与分段函数模型
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存
在的关系为y＝xα(α 为常数)，其中x 不超过5 万元，已知去年投入广告费用为3 万元时，药
品利润为27 万元，若今年广告费用投入5 万元，预计今年药品利润为________万元．
3
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答案 125
解析 由已知投入广告费用为3 万元时，药品利润为27 万元，代入y＝xα中，即3α＝27，
解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5 时，y＝125.
(2)手机上网每月使用量在500 分钟以下(包括500 分钟)、60 分钟以上(不包括60 分钟)按30
元计费，超过500 分钟的部分按0.15 元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1 分钟以
下不计费，在1 分钟以上(包括1 分钟)按0.5 元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
①12 月份小王手机上网使用量20 小时，要付多少钱？
②小舟10 月份付了90 元的手机上网费，那么他上网时间是多少？
③电脑上网费包月60 元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
解 设上网时间为x 分钟，由已知条件知所付费用y 关于x 的函数解析式为y＝
①当x＝20×60＝1 200，即x>500 时，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
②90 元已超过30 元，所以上网时间超过500 分钟，由30＋0.15(x－500)＝90 可得，上网时
间为900 分钟．
③令60＝30＋0.15(x－500)，
解得x＝700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700 分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个
月使用量不超过700 分钟)时选择手机上网．
反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题．
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
④转化成具体问题，给出解答．
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
考向四 指数型函数模型
例4 目前某县有100 万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下
列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y 关于x 的函数解析式；
(2)计算10 年后该县的人口总数(精确到0.1 万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120 万(精确到1 年)．
解 (1)当x＝1 时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
4
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当x＝2 时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3 时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；….
故y 关于x 的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10 时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10 年后该县约有112.7 万人．
(3)设x 年后该县的人口总数为120 万，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝log1.012≈16.
故大约16 年后该县的人口总数将达到120 万．
反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指
数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)
的形式．
考向五 对数型函数模型
例5 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁
燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O 表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80 个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5log2，解得O
＝10 个单位．
(2)将耗氧量O＝80 代入题中公式，得v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
反思感悟 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函
数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回
答其实际意义．
考向六 建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某纪念章从2019 年1 月6 日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场
价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x 天
4
10
36
市场价y 元
90
51
90
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y
与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
解 (1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b 和y＝alogbx
5
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显然都是单调函数，不满足题意，
∴用函数y＝ax2＋bx＋c 描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系．
(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c 中，
得解得
∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26.
∴当x＝20 时，y 有最小值26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20 天，最低的价格为26 元．
反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、
较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出
正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功
能，能回到具体问题中解决问题．
基础题型训练
一、单选题
1．函数
的零点是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，计算得到答案.
【详解】令
，得
.所以函数
的零点为
.
故选：
【点睛】本题考查了函数的零点，属于简单题.
2．函数
的一个零点为
，则它的另一个零点是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
6
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【解析】将零点转化为方程的解，根据韦达定理计算
，得到答案.
【详解】设方程
的两根分别为
，
，由根与系数的关系得
，所
以方程的另一个根为1.
故选：
【点睛】本题考查了函数的零点，转化为方程的解是解题的关键.
3．函数
在下列区间内一定有零点的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用零点存在性定理检验即可得到答案.
【详解】函数
是单调递增的函数，
且f(-1)=
f(0)=1>0,
由零点存在性定理可知函数在区间（-1,0）上定存在零点，
故选A.
【点睛】本题考查零点存在性定理的简单应用，属于基础题.
4．方程
的实数解的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】将方程的解转化为函数的交点个数，画出函数图像得到答案.
【详解】
的实数解的个数即函数
的图像和直线
的交点个数.
数形结合求得
的图像和直
的交点个数为1
故选：
7
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【点睛】本题考查了方程的解的个数问题，转化为函数的交点是解题的关键.
5．函数
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
得
，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】由
得
，
分别画出函数
与
的图象，如图所示：
由图可知两个函数图像的交点个数为2，即函数
的零点个数为2
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，转化为函数图像的交点是解题的关键.
6．如果关于x 的方程
有实数根，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】D
【解析】变换得到
，根据
得到答案.
【详解】方程
可变形为
，因为
，所以
.
故选：
【点睛】本题考查了方程解的问题，利用参数分离可以快速得到答案，是解题的关键.
7．用二分法找函数
在区间
上的零点近似值，取区间中点
，则下一
个存在零点的区间为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
；
；
又已知
；所以
；
所以零点在区间
．
故选B
8．在用二分法求方程3x+3x
8=0
﹣
在（1，2）内近似根的过程中，已经得到
，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25）
B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）
D．不能确定
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.
【详解】∵f（1）<0，f（1.5）>0，
∴在区间（1，1.5）内函数
=3x+3x
8
﹣存在一个零点
又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，
∴在区间（1.25，1.5）内函数
=3x+3x
8
﹣存在一个零点，
由此可得方程
的根落在区间（1.25，1.5）内，
故选：B
9．设
是函数
的零点，若
，则
的值满足（ ）
9
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A．
B．
C．
D．以上都有可能
【答案】B
【解析】由题可判断
在
上单调递增,且
,利用单调性即可得到
与0 的关
系
【详解】由题,
在
上单调递增,
在
上单调递减,则
在
上
单调递增,因为
时
零点,且
,则
故选：B
【点睛】本题考查函数单调性的应用,考查零点的定义
10．据统计，第x 年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足
.观测发现第1 年有越冬白鹤3000 只，估计第7 年有越冬白鹤（ ）
A．4000 只
B．5000 只
C．6000 只
D．7000 只
【答案】C
【分析】将
代入表达式得
，再将
代入计算即可.
【详解】解：由题意，得
，得
，
所以当
时，
.
故选：C.
11．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而
图书出厂价格为每本10 元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200 本
B．400 本
C．600 本
D．800 本
【答案】C
【分析】该厂为了不亏本，日印图书至少为x 本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）
≥0，由此能求出结果．
【详解】该厂为了不亏本，日印图书至少为x 本，
则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
10
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∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600 本．
故选C．
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，是基础题．
12．某商场出售一种商品，每天可卖1 000 件，每件可获利4 元．据经验，若这种商品每
件每降价0.1 元，则比降价前每天可多卖出100 件，为获得最好的经济效益，每件售价应
降低的价格为( )
A．2 元
B．2.5 元
C．1 元
D．1.5 元
【答案】D
【分析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，
即可求得所求每件单价．
【详解】设每件降价0.1x 元，则每件获利（4-0.1x）元，每天卖出商品件数为
（1000+100x）．
经济效益：y=（4-0.1x）（1000+100x）=-10x2+300x+4 000=-10（x2-30x+225-225）+4000
=-10（x-15）
2+6 250．
x=15
∴
时，ymax=6 250．
即每件单价降低1.5 元，可获得最好的经济效益．
【点睛】本题利用数学知识解决实际问题，解题的关键是寻找等量关系，构建函数关系式，
利用配方法解决二次函数最值问题．
二、解答题
13．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园
，
已知院墙
长为25 米，篱笆长50 米（篱笆全部用完），设篱笆的一面
的长为
米．
(1)当
的长为多少米时，矩形花园的面积为300 平方米？
(2)若围成的矩形
的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15 米；
11
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(2)当 x 为12.5 米时， S 有最大值，最大值是312.5 平方米.
【分析】（1）设篱笆的一面
的长为 x 米，则
，根据“矩形花园的面
积为300 平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，可得
，根据二次函数最值的求法求解即可．
【详解】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则
，
由题意得，
，
解得
，
，
，
，
所以，
的长为15 米时，矩形花园的面积为300 平方米；
（2）由题意得，
时， S 取得最大值，此时，
，
所以，当 x 为12.5 米时， S 有最大值，最大值是312.5 平方米．
14．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°
（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积
（
）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m 时，求横断面中水的面积.
【答案】(1)
(2)3.84
12
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【分析】（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.
（1）
依题意，横断面中的水面是下底为2m，上底为
m，高为h m 的等腰梯形，
所以
.
（2）
由（1）知，
，
，
所以当水深为1.2m 时，横断面水中的面积为3.84
.
15．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要
3 万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用
万元，产量不同其
费用也不同，且
已知每件产品的售价为8 元且生产的该产品可
以全部卖出.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？
【答案】(1)
(2)当该产品年产量为8 万件时，年利润最大，最大利润为29 万元
【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；
（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案.
13
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【详解】（1）当
时，
.
当
时，
.
故
（2）当
时，
，
所以当
时，
取得最大值，且最大值为29；
当
时，
，此时
单调递减，
所以当
时，
取得最大值，且最大值为27.
综上，当该产品年产量为8 万件时，年利润最大，最大利润为29 万元.
16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022 年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手
办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200 万
元．每生产
万盒，需投入成本
万元，当产量小于或等于50 万盒时
；
当产量大于50 万盒时
，若每盒玩具手办售价200 元，通过市场分析，
该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投
入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润
（万元）关于产量
（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【答案】(1)
(2)70 万盒
【分析】（1）根据题意分
和
两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
14
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【详解】（1）当产量小于或等于50 万盒时，
，
当产量大于50 万盒时，
，
故销售利润
（万元）关于产量
（万盒）的函数关系式为
（2）当
时，
；
当
时，
，
当
时，
取到最大值，为1200．
因为
，所以当产量为70 万盒时，该企业所获利润最大．
17．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”
养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养
殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当
时，v 的值为2；当
时，v 是关于
x 的一次函数.当x＝20 时，因缺氧等原因，v 的值为0.
(1)当
时，求函数
的表达式；
(2)当x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）
可以达到最大？并
求出最大值.
【答案】(1)
(2)x＝10，最大值为12.5 千克/立方米
【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；
（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.
【详解】（1）依题意，当
时，
；
当
时，
是关于x 的一次函数，假设
，
15
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则
，解得
，
所以
.
（2）当
时，
；
当
时，
，
当
时，
取得最大值
.
因为
，所以当x＝10 时，鱼的年生长量
可以达到最大，最大值为12.5
.
18．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单
位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用
的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600 吨，月处理成本
(元)与
月处理量
(吨)之间的函数关系可近似的表示为
，且处理每吨二氧
化碳得到可利用的化工产品价值为100 元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多
少元才能使单位不亏损？
【答案】(1)400 吨；
(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000 元才能不亏损.
【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为
，应用基本不等式求其最小值，
注意等号成立条件.
（2）根据获利
，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补
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贴额度.
【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为
；
当且仅当
，即
时等号成立，
故该当每月处理量为400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200 元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则
，
因为
，则
，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000 元才能不亏损.
19．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4
米，底面为24 平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，
无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400 元，左右两侧报
价为每平方米300 元，屋顶和地面报价共计9600 元，设应急室的左右两侧的长度均为x 米
（
），公司甲的整体报价为y 元．
(1)试求y 关于x 的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为
元，若
采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)公司乙，理由见解析.
【分析】（1）根据给定条件，用x 表示出应急室正面墙的长度，再列式作答.
（2）由（1）的结论，利用均值不等式、函数单调性分别求出甲公司报价最小值、乙公司
报价最大最小值，再比较作答.
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【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x 米，则应急室正面的长度为
米，
于是得
，
，
所以y 关于x 的函数解析式是
.
（2）由（1）知，对于公司甲，
，当且
仅当
，即
时取“=”，
则当左右两侧墙的长度为4 米时，公司甲的最低报价为28800 元，
对于乙，函数
在
上单调递增，
，即乙公司最
高报价为22900 元，
因
，因此，无论x 取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，
所以公司乙能竞标成功.
20．2016 年4 月16 日00 时25 分日本九州发生7.3 级地震．地震发生后，停水断电，交通
受阻．已知A 地到B 地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km
长的线路，每隔50 m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
【答案】答案见解析.
【解析】先画出线路图,从中点开始排查,可排除一半,利用二分法的思想,再找这一半的中点,
以此类推,即可快速排查故障所在
【详解】可以参照二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间．
如图，可首先从中点C 开始检查，若AC 段正常，则故障在BC 段；
再到BC 段中点D 检查，若CD 段正常，则故障在BD 段；
再到BD 段中点E 检查，
如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短半，经过7 次查找，即可将故障范围
缩小50～100 m 之间，即可迅速找到故障所在．
【点睛】本题考查二分法在实际中的应用，属于基础题.
21．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法
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证明方程f(x)＝0 在区间[0,1]内有两个实根．
【答案】见解析
【详解】试题分析：根据函数解析式代入f（0）＞0、f（1）＞0，得c＞0 且3a+2b+c＞0，
结合a+b+c=0 化简即可得到a＞0；利用a+b+c=0 化简得f(
)＝-
,结合a>0，可得f(
)<0，由f(
)与f(0)，f(1)都异号，利用零点存在性定理得f(x)＝0 在区间
和
上各
有一个零点，由此可得f(x)＝0 在区间[0,1]内有两个实根.
试题解析：
∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点，
则f
＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间
和
上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0 在[0,1]内有两个实根．
22．已知函数
在区间
上有个零点.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）若
，用二分法求方程
在区间
上的根.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）分别讨论
与
的情况,利用零点存在性定理求解即可；
（2）当
时,
,由
可得函数
的零点在区间
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上,进而求得
,即可求得方程的根
【详解】（1）若
,则
,与题意不符,∴
,
若
,则由题意可知,
,则
在
上是单调函数,故
,
解得
,
故
的取值范围为
（2）若
,
则
,
,
,
,
∴函数
的零点在区间
上,又
,
∴方程
在区间
上的根为
【点睛】考查已知零点所在区间求参数范围,考查利用二分法求方程的根,考查运算能力
23．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产
量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为
，已知此生产线年产量最
大为210 吨，若每吨产品平均出厂价为40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大
利润？最大利润是多少？
【答案】年产量为210 吨时，可获得最大利润，最大利润是1660 万元.
【分析】利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，因开口向
下，对称轴处取得最大值.
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【详解】解:设可获得的总利润为
万元，则
∵
在
上是增函数，
∴当
时，
.
∴年产量为210 吨时，可获得最大利润，最大利润是1660 万元.
【点睛】本题考查二次函数的最值，可配方求最值，注意自变量的取值范围.
24．某厂推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000 元，每生产一
件“玉兔”需要增加投入100 元，根据统计数据，总收益P（单位：元）与月产量x（单位：
件）满足
（注：总收益=总成本+利润）
（1）请将利润y（单位：元）表示成关于月产量x（单位：件）的函数；
（2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
；（2）月产量为300 件时，最
大利润为25000 元
【解析】（1）由题意可知总成本是
，根据利润=总收益-总成本，列分段函数；
（2）由（1）的分段函数，分别求每段函数的最大值，比较最大值就是最大利润.
【详解】（1）依题意，总成本是
元，
所以
，即
（2）由（1）知，当
时，
，
21
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所以当
时，
；当
时，
.
故当月产量为300 件时，利润最大，最大利润为25000 元.
综上可知当月产量为300 件时，利润最大，最大利润为25000 元.
【点睛】本题考查分段函数的应用问题，意在考查抽象和概括能力，属于基础题型.
25．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大
畜养量，必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y（只）和实际畜养量x（只）与空闲
率的乘积成正比，比例系数为
.
（1）写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值.
【答案】（1）
；（2）最大值
【解析】（1）由题意可知空闲率是
，由题意列式
；
（2）由（1）可知
，求二次函数的最大值.
【详解】（1）根据题意，最大备养量为m 只实际畜养量为x 只，则畜养率为
，故空闲
率为
，
由此可得
.
（2）由（1）得
.
所以当
时，y 取得最大值
.故羊群年增长量的最大值为
【点睛】本题考查函数的实际应用，意在考查分析问题，抽象和概括的能力，属于基础题
型.
26．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30 人或30 人以下，飞机票
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价格为900 元；若旅行团人数多于30 人，则给予优惠：每多1 人，飞机票价格就减少10
元，直到达到规定人数75 人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000 元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)当旅行团人数为60 人时，旅行社获得最大利润21000 元.
【分析】（1）根据题意直接可得；
（2）根据分段函数分别求各段的最值，然后可得.
【详解】（1）记旅行团人数为x，飞机票价格为y，
则由题意可知，
，
即
（2）记旅行社所获利润为M，
则
当
时，
（元），
当
时，
，
故当
时，
（元）
综上，当旅行团人数为60 人时，旅行社获得最大利润21000 元.
27．下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就
，
，
三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为
120km/h 时的刹车距离．
车
10
15
30
40
50
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速/（km/h）
刹车距离/m
4
7
12
18
25
车
速/（
（km/h）
60
70
80
90
100
刹车距离/m
34
43
54
66
80
【答案】以
为模拟函数，当车速为120km/h 时，停车距离为114m．
【分析】先求出
，
，
解析式，再分别计算车速为90km/h，
100km/h 时的停车距离，确定函数模型，即可求得结论．
【详解】解：若以
为模拟函数，将
，
代入函数关系式，得
，解得
，
，以此函数关系式计算车速为
90km/h，100km/h 时，停车距离分别为220.8m，364.5m，与实际数据相比，误差较大．
若以
为模拟函数，将
，
代入函数关系式，得
，解得
，
，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h 时，停车
距离分别为43.39m，48.65m，与实际情况误差也较大．
若以
为模拟函数，将
，
，
代入函数关系式，得
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，解得
，
，
以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h 时，停车距离分别为68m，82m，与前两个
函数相比，此函数更符合实际情况．
当
时，
，即当车速为120km/h 时，停车距离为114m．
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问
题，属于中档题．
提升题型训练
一、单选题
1．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出
厂价格为每套12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000 套
B．3 000 套
C．4 000 套
D．5 000 套
【答案】D
【解析】列出利润的表达式再求解
的解即可.
【详解】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0 解得x≥5 000,故至少日生产
文具盒5 000 套.
故选：D
【点睛】本题主要考查了实际应用中的利润问题,属于基础题.
2．函数
的单调递减区间是
A．
B．
25
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C．
D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性写出单调区间即可．
【详解】由
，得
或
，
定义域为
，
的单调递减区间为
．
故选A
【点睛】本题考查函数的单调区间，函数的单调区间是函数定义域的子集，所以求解函数
的单调区间时，必须先求出函数的定义域．
3．某商场以每件30 元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量
（件）与每件的售价
（元）满足一次函数：
．若要每天获得最大的销售利润，
每件商品的售价应定为
A．30 元
B．42 元
C．54 元
D．越高越好
【答案】B
【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出
取得最大值时的销售定价
．
【详解】设每天的销售利润为
元，则
，
，将上式配方后
得
，当
时，
取得最大值.故每件商品的售价定为42 元时，每天
才能获得最大的销售利润.
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每
天的销售利润=（销售价—进价）每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次
函数求最值方法，属于基础题．
4．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：
）与小球运动时间（单位：
）之间的关系式为
，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数关系式，令
，解出，即可得到答案．
【详解】由于小球的高度（单位：
）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为
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所以令
，得
（舍）或
.
故小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
故答案选A
【点睛】本题考查运动函数方程，是二次函数的实际应用，属于基础题．
5．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量
与大气压强
成正比例函数关系．当
时，
，则
与
的函数关
系式为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，将
代人解析式中，计算出
值，即可得到答案．
【详解】由题意设
，将
代人解析式可得
，故
，考虑到含氧
量不可能为负，可知
.
【点睛】本题考查正比例函数的解析式
，属于基础题．
6．某地固定电话市话收费规定：前三分钟
元（不满三分钟按三分钟计算），以后每
加一分钟增收
元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550 秒，应支付
电话费
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】B
【分析】设所用时间为
分钟，应支付电话费为
元，根据题意求出当
时，
与
的
函数关系式，代值计算即可得答案．
【详解】设所用时间为
分钟，应支付电话费为
元，
则
（
是不小于
的最小整数，
），令
，故
，
27
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则
.
故答案选B
【点睛】本题考查实际问题中求函数的解析式以及函数值，属于基础题．
7．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014 年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015 年；
④虽然2016 年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的
改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】认真观察图形就可以判断.
【详解】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正
确；
“生活费收入指数”在2014～2015 年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016 年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
故选：C.
8．若函数
经过点
，则函数
的零点是（ ）
A．0，2
B．0，
C．0，
D．2，
【答案】C
【分析】转化条件为
，解方程即可得解.
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【详解】
函数
经过点
，
，∴
，
∴
，
令
，则
所以函数
的零点是0 和
．
故选：C.
9．当x 越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的特点即可判断出增长速度.
【详解】因为指数函数
是几何级数增长，当x 越来越大时，增长速度最快.
故选：B．
10．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数
中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A．y=2x
B．y=log2x
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C．y=
(x2-1)
D．y=2.61x
【答案】B
【分析】结合表中数据，根据函数的性质判断.
【详解】对于A，函数
是指数函数，增长速度很快，且在
时
，
时
，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数
，是对数函数，增长速度缓慢，且在
时
，
时
，基
本符合要求；
对于C，函数
是二次函数，且当
时
，
时
，代入值偏差较
大，不符合要求；
对于D，函数
，当
时
，不符合要求，
故选：B.
11．函数
在下列区间内一定有零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】直接利用零点存在定理判断.
【详解】因为函数
连续，
且
，
所以在区间
内一定有零点，
故选：C
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12．已知函数
，若函数
恰有两个零点，则实
数m 不可能是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】依题意画出函数图象，函数
的零点，转化为函数
与函数
的交点，数形结合即可求出参数
的取值范围；
【详解】解：因为
，画出函数图象如下所示，
函数
的有两个零点，即方程
有两个实数根，即
，即
函数
与函数
有两个交点，由函数图象可得
或
，
故选：D
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜
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0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横
坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、填空题
13．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方
法如表所示，若某户居民某月交纳水费60 元，则该月用水量_______m3．
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3 元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6 元/m3
超过18m3的部分
9 元/m3
【答案】16
【解析】由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可
【详解】设用数量为
，交纳水费为
，由题可知
，当
时，解得
，
故答案为：16
【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属于基础题
14．若
成立，则
的取值范围是___________．
【答案】
【详解】如图所示，分别画出函数
与
的图象，由于两函数的图象都过点（1，
1），
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由图象可知不等式
的解集为
.
15．图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费
（元）与通话时间
之
间的函数关系的图像，根据图像判断：通话
，需付电话费______元；通话
，需
付电话费______元；如果
，电话费
（元）与通话时间
之间的函数关系式是
_______．
【答案】
6
【分析】（1）根据图像可知通话3 分钟以内收费为3.6 元，（2）根据
时的函数值解
答，（3）设
与
的关系式为
，利用待定系数法求出一次函数解析式．
【详解】由题图知，通话3 分钟以内收费为3.6 元，所以通话
，需付电话费
元，
根据图像可知，
分钟，
元，所以通话
，需付电话费6 元.
当
时，设
与
的关系式为设
，
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由于图像过点
，
，则有
解得
.
故答案为3.6，6，
【点睛】本题考查一次函数的应用，主要利用待定系数法求一次函数的解析式，准确识图
确定函数图像经过的点的坐标，并理解射线的意义是解题的关键．
16．把长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小
的面积之和是________．
【答案】2
cm2．
【详解】试题分析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4
x
﹣）cm，
则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．
解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4
x
﹣）cm，两个三角形的面
积和为
S=
x2+
（4
x
﹣）
2=
x2
2
﹣
x+4
．
令S′=
x
2
﹣
=0，则x=2，所以Smin=2
．
故答案为2
cm2．
点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．
17．若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围为_______．
【答案】
或
【分析】根据函数两个不同的零点，由方程
有两个不同的实数根求解.
【详解】因为函数
有两个不同的零点，
所以方程
有两个不同的实数根.
所以
，
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解得
或
.
故答案为：
或
.
18．函数
在区间
和
内各有一个零点，则实数
的取值范围是
___________.
【答案】
【分析】由二次函数的特点和零点存在定理可构造不等式组求得结果.
【详解】
为开口方向向上，对称轴为
的二次函数，
，即
，解得：
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
19．函数
零点的个数为___________.
【答案】2
【解析】根据函数的解析式，令
，结合一元二次方程和对数的运算性质，即可求
解.
【详解】当
时，令
，即
，解得
或
（舍去）；
当
时，令
，即
，解得
，
所以函数
有两个零点.
故答案为：2.
20．已知函数f(x)＝
有3 个零点，则实数a 的取值范围是_________．
【答案】（
，1）
【解析】通过函数图像可以判断出a＞0 且y＝ax2+2x+1 在（﹣2，0）上有2 个零点，从而
解出答案.
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【详解】∵函数f(x)＝
有3 个零点，
当a=0 时，函数只有1 个零点，当a<0 时,函数最多只有1 个零点，
∴a＞0 且y＝ax2+2x+1 在（﹣2，0）上有2 个零点，
∴
，
解得
＜a＜1.
故答案为：（
，1）．
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