文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题15 韦达化和非对称韦达的处理
目录（Ctrl 并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 韦达化处理................................................................................................................................................... 1
题型02 非对称韦达................................................................................................................................................... 4
题型01 韦达化处理
【解题规律·提分快招】
一、常见韦达化处理
倘若定点
，在椭圆上的动点
，那么：
（1）
，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可
直接代入韦达定理求解.
（2）
,这里对交叉项
的处理可进一步代入直线
方程：
，化简可得：
（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重
要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.
（3）
.
（4）面积计算
①一般方法：
S=1
2|AB|d
（其中|AB|为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离）
=
1
2 √1+k2√( x1+x2)2−4 x1 x1
|kx 0−y0+m|
√1+k2
（直线为斜截式y=kx+m）
=
1
2 √( x1+x2)2−4 x1 x1|kx 0−y0+m|
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着
轴或者
轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一
般在
轴或者
轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.
注：注意直线代换中直线反设法的应用，即设
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·江西上饶·一模）已知双曲线
的焦点
与抛物线
的焦点重合，
且双曲线
的离心率为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若过点
的直线与双曲线
交于
两点，
的面积为
，求直线的方程.
2．（2024·河北石家庄·二模）已知
为平面上一个动点，
到定直线
的距离与到定点
距离的
比等于
，记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
的直线与曲线
交于
，
两点，在
轴上是否存在点
，使得
为定值？若存在，求出
该定值；若不存在，请说明理由．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线
的实轴长为2，设
为
的右焦点，
为
的左顶点，过
的直线交
于A，B 两点，当直线AB 斜率不存在时，
的面积为9．
(1)求
的方程；
(2)当直线AB 斜率存在且不为0 时，连接TA，TB 分别交直线
于P，Q 两点，设
为线段PQ 的中点，
记直线AB，FM 的斜率分别为
，证明：
为定值．
4．（2025·河北邯郸·二模）已知
为圆
上一点，F2(1,0)，线段
的垂直平分
线交半径
于点
，记动点
的轨迹为曲线
，双曲线
的一条渐近线被圆
所截得的弦长
为
.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求曲线
的标准方程；
(2)过
上一点
作斜率为
的直线，交双曲线
于
、
两点，且
恰好为线段
的中点，求出点
的坐标；
(3)若直线
与曲线
交于
、
两点，求
面积的取值范围.
5．（2025·江西新余·一模）平面直角坐标系中，点
与定点
的距离和它到定直线
的距离
之比是常数
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)若不过点
的直线交曲线
于P，Q 两点；
①若以P，Q 为直径的圆过点
，证明：直线过定点；
②在①条件下，作
为垂足.是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求点
的坐标；若不
存在，说明理由.
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点
在双曲线
上，渐近
线方程为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
作直线与双曲线
交于
两点，在
轴上是否存在一定点
，使得直线
与
的斜
率之和为定值？若存在，请求出点
的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
7．（2024·吉林长春·一模）已知
为抛物线
的焦点，
为坐标原点，过焦点
作一条
直线
交
于A，B 两点，点
在
的准线上，且直线MF 的斜率为
的面积为1.
(1)求抛物线
的方程；
(2)试问在上是否存在定点
，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)过焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线
交于P，Q 两点，求证：直线AP 与BQ 的交点在一条定直线
上.
8．（2025·广东惠州·模拟预测）已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)已知椭圆
上点
处的切线方程是
.在直线
上任取一点
引
椭圆
的两条切线，切点分别是
、
.
①求证：直线
恒过定点
；
②是否存在实数
，使得
，若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.
题型02 非对称韦达
【解题规律·提分快招】
1、在一元二次方程
中，若
，设它的两个根分别为
，则有根与系数关系：
，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理
之类的结构。
2、但在有些问题时，我们会遇到涉及
的不同系数的代数式的应算，比如求
或
之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立
直线和圆锥曲线方程，消去
或
，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种
形如
或
之类中
的系数不对等的情况，这些式子是非对称结
构，称为“非对称韦达”．
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·浙江绍兴·三模）设双曲线C：
（
，
）的一条渐近线为
，焦点到
渐近线的距离为1．
，
分别为双曲线
的左、右顶点，直线过点
交双曲线于点
，
，记直
线
，
的斜率为
，
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)求证
为定值．
2．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆
的方程是
.
(1)若直线
与椭圆
交于
两点，
为椭圆
上任意一点，直线
、
斜率分别为
、
，求
；
(2)过椭圆
的右焦点
作直线交椭圆于
，
两点.直线
，作
于点
证明直线
过定点
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，并求出
点坐标.
3．（2024·河南新乡·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，且
．
(1)求
的渐近线方程．
(2)点
为
的左支上一点，且
．
分别为
的左、右顶点，过点
的直线交
的右支
于
两点，其中点
在
轴上方，直线
与
交于点
．
①求直线
的方程；
②证明：点
到直线
的距离为定值．
4．（24-25 高三上·湖北·期末）已知椭圆
的左，右焦点为
，点
是椭圆上任意一点，
的最小值是
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为椭圆的上，下顶点，
为椭圆上异于
的两点，记直线
的斜率分别为
，且
．
（ⅰ）证明：直线
过定点；
（ⅱ）设直线
与直线
交于点
，直线
的斜率为
，试探究
满足的关系式．
一、解答题
1．（24-25 高三上·广东潮州·期末）设
为抛物线
：
的焦点，
为
的准线与
轴的交点，且直
线过点
．
(1)若与
有且仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)若与
交于
，
两点，且
，求
的面积．
2．（24-25 高三上·辽宁·期末）已知直线
经过椭圆
的右顶点
和上顶
点
．
(1)求椭圆
的标准方程及离心率；
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)与直线
平行的直线交
于
两点（
均不与
的顶点重合），设直线
，
的斜率分别
为
，证明：
为定值．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
过点
，且
到直线
的距离为
．
(1)求双曲线
的标准方程．
(2)
的左、右焦点分别为
，若过
的直线与
交于
两点，直线
与交于点
．
（ⅰ）证明：直线
过定点；
（ⅱ）当
两点均在
的左支上时，直线
与交于点
，直线
与直线
交于点
，求
的
面积的最小值．
4．（24-25 高三上·上海浦东新·期中）已知
和
为椭圆
上两点．
(1)求
的离心率；
(2)若过P 的直线交
于另一点
，且
的面积为9，求的方程；
(3)过OA 中点
的动直线与椭圆
有两个交点
，
，试判断在y 轴上是否存在点T 使得
，若
存在，求出
点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用．
5．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）已知双曲线
的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
，过
点
的直线交
于
，
两点.
(1)求
的方程；
(2)设
的左、右顶点分别为
，
，直线
与直线
交于点
，证明：
，
，
三点共线.
6．（24-25 高三上·湖北武汉·期末）已知椭圆C：
的长轴长是短轴长的2 倍，焦距为
，点A，B 分别为C 的左、右顶点，点P，Q 为C 上的两个动点，且分别位于x 轴上、下两侧，
和
的面积分别为
，
，记
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
，求证直线PQ 过定点，并求出该点的坐标；
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(3)若
，设直线AP 和直线BQ 的斜率分别为
，
，求
的取值范围．
7．（24-25 高三上·河北沧州·期末）平面直角坐标系中，动点
到点
的距离比它到
轴的距离多
1．
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)若点C 为
，过
的直线l 与点
的轨迹交于A，B 两点（A，B 与C 不重合），直线
，
与直线
交于点
，
．证明：以
为直径的圆在
上截得的弦长为定值．
8．（24-25 高三上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知定点
，动点
满足
，记
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)过
作
轴的垂线与曲线
在第一象限的交点为
，过点
的直线与曲线
相切，且与
轴交于点
.
（i）点
是曲线
上异于
的一点，且
，求直线
的方程；
（ii）过点
且斜率不为0 的直线交曲线
于
两点（
在
的左侧），若
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，求证：
轴.
9．（24-25 高三上·安徽铜陵·期末）设椭圆
.已知点
，
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若过点
的直线与椭圆
交于
两点（
在
右侧），且与线段
交于点
.
（i）证明：
；
（ii）当
为
中点时，求直线
的方程.
10．（24-25 高三上·甘肃武威·期末）已知
，
分别是椭圆
的左、右顶
点，P（异于点A，B）是C 上的一个动点，
面积的最大值为2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)记直线PA，PB 的斜率分别为
，
，求
的值；
(3)直线l 交椭圆C 于M，N 两点（异于A，B 两点），直线AM，AN 的斜率分别为
，
，且
，证明：直线MN 过定点．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
11．（24-25 高三上·江苏·期末）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，焦距
为4，渐近线方程为
(1)求C 的方程；
(2)过
的直线l 分别交C 的左、右两支于A，B 两点，直线
交C 于另一点P，
①若
，求点P 的坐标；
②是否存在常数
，使得
若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由.
12．（24-25 高三上·广西河池·期末）设抛物线
的焦点为
，点
，直线
交
于
，
两点，且
．
(1)求
的标准方程；
(2)已知
，
是抛物线上的任意两点，过点
，
分别作
在点
，
处的切线交于点
，
①证明：
，
，
成等比数列；
②证明：
．
8
