文档文本内容
专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解任意角的概念和弧度制
(2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性
(3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
任意角和弧
度制
北京卷：第13 题，5
分
三角函数的
概念
北京卷：第12 题，5
分
天津卷：第2 题，5 分
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
命题规律
分析
1、任意角和弧度制、三角函数的概念
任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的常
考内容之一。从近几年的高考情况来看，高考对本节内容的考查较为稳定，
考查内容、频率、题型、难度均变化不大，主要考察终边相同的角、三角函
数的定义等内容，一般以选择题、填空题的形式考查，试题比较简单。
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
知识点1
任意角和弧度制的基本概念
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β.
一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几
象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称
这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
象限角
角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
第四象限角
4．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1 度的角等于周角的
.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
(2)弧度制的相关概念
①1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad 表示，读作弧度.
4．弧长公式、扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α
.
(1)弧长公式
由公式
，可得
.
(2)扇形面积公式
.
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
角度制
弧度制
弧长公式
l=αR
扇形面积公式
注意事项
R 是扇形的半径，n
是圆心角的角度数.
R 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数.
知识点2
任意角和弧度制的解题策略
1．终边相同的角的集合
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，
然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2．确定
，
(k∈N*)的终边位置的方法
先写出
或
的范围，然后根据k 的可能取值确定
或
的终边所在的位置.
3．应用弧度制解决问题的几大要点
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
知识点3
三角函数的概念
1．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作
，即y=
；
②把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作
，即x=
；
③把点P 的纵坐标与横坐标的比值
叫做α的正切，记作
，即
=
(x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O 重合)的坐标为(x,y)，点P 与原点的距离为r.
则
，
，
.
知识点4
三角函数的定义及应用的解题策略
1．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三
角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2．判定三角函数值的符号的解题策略
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限
的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【题型1
终边相同的角】
【例1】（25-26 高一上·河北石家庄·期末）与−2048°角终边相同的角是（
）
A．48°
B．112°
C．148°
D．248°
【变式1-1】（25-26 高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列与45∘终边相同角的集合中正确的是（
）
A．��=
π
4 + �π, �∈Z
B．��=
7π
4 + 2�π, �∈Z
C．��=−
7π
4 + �π, �∈Z
D．��=
π
4 + 2�π, �∈Z
【变式1-2】（25-26 高一下·河南·期中）与角−230∘终边相同的最小正角是__________.（用弧度表示）
【变式1-3】（2026 高一上·湖北武汉·专题练习）在与1227°角终边相同的角中，最大的负角为___________.
【题型2
象限角及其判定】
【例2】（25-26 高一上·湖北武汉·期末）2026°是第（
）象限角
A．一
B．二
C．三
D．四
【变式2-1】（25-26 高一上·上海杨浦·期末）已知�为第一象限的角，则
�
2所在象限为（
）
A．第一象限
B．第一、二象限
C．第一、三象限
D．第一、四象限
【变式2-2】（25-26 高一上·陕西渭南·期末）−
17π
4 的终边在第________象限.
【变式2-3】（25-26 高一下·上海金山·期中）已知�是第一象限角，那么
�
2是第________象限角.
【题型3
弧度制】
【例3】（25-26 高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150 分钟，在本场考试中，钟表的时针转
过的弧度数为（
）
A．
5
12 π
B．−
π
3
C．
π
6
D．−
5
12 π
【变式3-1】（25-26 高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮有20 齿，当大
轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（
）
A．
12π
5
B．
24π
5
C．
36π
5
D．
48π
5
【变式3-2】（25-26 高一下·上海徐汇·期中）1 小时内秒针转过了__________．（用弧度制表示）
【变式3-3】（25-26 高一下·上海·阶段检测）亲爱的考生，本场考试需要1.5 小时，则在本场考试中，钟表
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
的时针转过的弧度数为____________.
【题型4
扇形的弧长与面积的计算】
【例4】（2026·陕西·模拟预测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环����的外圆
弧��的长为
16π
3 ，圆心为�，点�, �分别为��, ��的中点，扇环����的面积为16π，则��=（
）
A．
4
3
B．2
C．
8
3
D．4
【变式4-1】（2026·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（
）
A．1
B．
3
2
C．3
D．6
【变式4-2】（25-26 高三上·重庆渝中·阶段检测）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮
有25 个齿，小轮有15 个齿，大轮每分钟转3 圈，若小轮的半径为2cm，则小轮每秒转过的弧长是（
）cm．
A．10π
B．5π
C．
π
3
D．
π
6
【变式4-3】（2026·陕西·二模）如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3 厘米，两圆的圆心分别
为�和�, �为圆�上一点，且三角形���为直角三角形，则阴影部分的面积为（
）
A．2.5π
B．2.25π
C．3π
D．3.25π
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【题型5
任意角的三角函数的定义及应用】
【例5】（2026·河南开封·二模）已知�的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点�
2
2 ,
1
2 ，
则sin�=（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
3
D．
6
3
【变式5-1】（2026·吉林松原·模拟预测）已知角�的顶点为原点�，始边为�轴的非负半轴，终边经过点(1, −2)，
则
sin2�
cos2�=（
）
A．4
B．−4
C．2
D．−2
【变式5-2】（2026·福建漳州·模拟预测）已知角�的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过
点3, −6 ，则sin�+ cos�=__________.
【变式5-3】（2026·四川成都·模拟预测）已知角�的顶点为坐标原点，始边与�轴的非负半轴重合，终边过点
3, −6 ，若角�与角�关于�轴对称，则cos�=__________.
【题型6
三角函数值符号的判定】
【例6】（2026·湖南·模拟预测）“sin�> 0”是“�为第二象限角”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2026·黑龙江·模拟预测）若sin�=−
2
2 且tan�= 1 同时成立，则�是（
）
A．第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一象限角
【变式6-2】（2026·山东·一模）“�为第三象限角或第四象限角”是“sin�< 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-3】（25-26 高一上·江苏连云港·阶段检测）若sin�cos�< 0，且sin�−cos�> 0，则�是（
）
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
一、单选题
1．（25-26 高一上·黑龙江·期末）下列各角中，与283∘角终边相同的角是（
）
A．−77∘
B．77∘
C．−13∘
D．13∘
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
2．（2026 高三上·江苏·学业考试）将时钟拨慢15 分钟，分针转过的弧度数为（
）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2
3．（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（25-26 高一上·天津河西·阶段检测）已知�为第三象限角，那么
�
3不可能是（
）
A．第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一象限角
5．（2026·广西·模拟预测）角�的终边与单位圆的交点坐标为
1
2 ,
3
2 ，则cos �−
π
3 =（
）．
A．
1
2
B．
3
2
C．1
D．0
6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知点�
3
5 , −
4
5 是角�终边上的一点，则sin�+ 2cos�=（
）
A．−1
B．1
C．−
2
5
D．
2
5
7．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知角�的顶点与坐标原点重合，始边与�轴的非负半轴重合，终边经过点
�2, �，且tan�=−
2
5，则实数�的值为（
）
A．5
B．
4
5
C．−
4
5
D．−5
8．（25-26 高三上·湖南·阶段检测）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50 个齿，
小轮有15 个齿，小轮每分钟转10 圈，若大轮的半径为2cm，则大轮每秒转过的弧长是（
）
A．12πcm
B．6πcm
C．
π
10 cm
D．
π
5 cm
二、多选题
9．（25-26 高一上·广东深圳·阶段检测）与−835°终边相同的角有（
）
A．−245°
B．245°
C．−115°
D．−475°
10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知角�的终边经过点�−3,4 ，则（
）
A．cos�=−
3
5
B．tan�=−
3
4
C．cos �+ π =
4
5
D．sin �−
π
2 =
3
5
11．（25-26 高一上·江苏苏州·阶段检测）下列结论正确的是（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．第四象限角不一定是负角
B．−
4π
3 是第三象限角
C．若角�为锐角，则角2�为钝角
D．若圆心角为
π
6的扇形的弧长为
π
2，则该扇形面积为
3π
4
三、填空题
12．（25-26 高一上·上海徐汇·期末）在与2026°角终边相同的角中，最大的负角为__________．
13．
（2026·重庆南岸·模拟预测）已知角�的终边与单位圆交于第二象限的点�(cos�,
1
3 )，则tan�=__________.
14．（2026·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱
翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形���，再在该扇形内剪下一个同心
小扇形���（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面����．当扇子扇形的圆心角为
2π
3 rad 时，扇面看上去
形状较为美观．已知��= 20cm，弧��的长为
20π
3 cm，则此扇面的面积为__________cm2．
四、解答题
15．（25-26 高一上·河南洛阳·阶段检测）把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象
限：
(1)330°；
(2)
6π
5 ；
(3)−190°.
16．（25-26 高一下·贵州遵义·阶段检测）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(1)终边落在射线��上；
(2)终边落在直线��上；
(3)终边落在阴影区域内（含边界）．
17．（25-26 高一上·四川达州·阶段检测）角�顶点为原点，始边在�轴非负半轴，终边上的一点��, �，�> 0，
�= 2�.
(1)求sin�，cos�的值；
(2)角�逆时针旋转
5π
2 得到角�，
sin�+2cos�
2sin�−cos�= �，求�的值.
18．（25-26 高一下·上海闵行·阶段检测）已知扇形的圆心角是�，半径为R，弧长为l．
(1)若�= 60°, �= 10cm，求扇形的弧长l；
(2)若�=
π
3 , �= 2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积；
(3)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角�为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
19．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，扇形���中有一个小扇形���，已知∠���= 150°，��= 2，��
Ⴃ=
5π
2 ．
(1)求��
Ⴃ的长；
(2)若∠���= ∠���= 15°，求△���和扇形���的面积之比．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
