数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练
考点目录
裂项相消法
错位相减法
倒序相加法
分组与并项求和
1．（24-25 高二下·广东肇庆·期末）记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
S =
，
6
12
S =
，记
nT 为
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项
和，则
8T = （ ）
A．9
5
B．116
45
C．14
5
D．232
5
2．（24-25 高二下·四川绵阳·期末）已知数列
na
满足：
1
2
2
1
1,
3,
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
=
=
+
=
+ ，数列
nb
满足
2
1
n
n
a
b
×
= ，则数列
nb
的前50 项的和为（ ）
A．50
51
B．1
50
C．50
101
D．50
3．（24-25 高三上·云南大理·开学考试）在数列
na
中，
1
2
a =
，且
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
+
-
=
-
+
+ ，则数列
2
1
1
na
ì
ü
ï
ï
í
ý
-
ï
ï
î
þ
的前2025 项和为（ ）
A．2025
2026
B．2025
1013
C．2026
2025
D．2025
1012
4．（24-25 高二下·四川成都·阶段练习·多选）已知数列
na
满足
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，数列
na
的前n 项和
为
n
S ，则 （ ）
A．
5
6
a =
B．数列
na
是等比数列
C．
4
S ，
8S ，
12
S 构成等差数列
D．数列
1
1
n
n
a
a +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
前200 项和为50
101
考点一
裂项相消法
5．（24-25 高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
4
a =
，
7
42
S =
，则下列说法正确
的是（ ）．
A．
6
7
a =
B．
n
a
n
+
为递增数列
C．
2
1
5
2
2
n
S
n
n
=
+
D．
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前4 项和为5
21
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
1
cos
sin
2
2
na
n
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
o
o
，则
90
S
=
.
7．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知函数
2
3
f x
x
x
=
+
，数列
na
的前n 项和为
f n ，记数列
2
2
n
n
a f
ì
ü
ï
ï
ï
ï
í
ý
æ
ö
ï
ï
ç
÷
ï
ï
¢
è
ø
î
þ
的
前n 项和为
nT ，则使得
11
36
nT >
成立的n 的最小值为
．
8．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+×××+
=
×
，且数列
1
1
n
n
a
a +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
的前n 项和为
n
S ，
则
20
S
=
.
9．（25-26 高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列
na
中，
1
1
a = ，且
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a
a +
=
×
，求
nb
的前n 项和
n
S .
10．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
3
1
,
8, 2
1
n
n
n
S
a
S
n a +
=
=
-
.
(1)证明：
1
n
a
n
+
ì
ü
í
ý
î
þ 是常数列；
(2)设
1
3
1
n
n
b
S
=
- ，求数列
nb
的前n 项和.
11．（25-26 高三上·吉林延边·开学考试）已知正项数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2
1
n
n
a
a
n
+ -
=
+ .
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
+
ì
ü
-
ï
ï
í
ý
ï
ï
î
þ
的前n 项和
n
S .
12．（25-26 高三上·山东·开学考试）若等比数列
na
的各项均大于1，其前n 项和为
n
S ，且
2
4
a =
，
3
14
S =
，
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
log
n
n
k
k
b
a
=
=å
，求数列
1
nb
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
nT .
13．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
1
2
a =
，
2
n
n
n a
S
=
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
n
n
b
a +
=
，且数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
1
2
nT <
．
14．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）已知等差数列
na
的公差
0
d >
，前n 项和为
n
S ，且
5
1
3
9
15,
,
,
S
a a a
=
成等
比数列.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)证明：
*
1
2
1
1
1
2
n
n
S
S
S
+
+
+
<
ÎN
L
.
1．（24-25 高二下·江西·阶段练习）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
1
a = ，
1
1
2
3
3
n
n
a
S
n
+
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，则
100
1
i
i
S
=
=
å
（ ）
A．
100
3
203
2
2
3
-
´
B．
99
9
197
4
4
3
-
´
C．
99
9
203
4
4
3
-
´
D．
100
9
203
4
4
3
-
´
2．（24-25 高三下·河北邯郸·开学考试）
2
3
10
1
1
1
1
19
17
15
1
2
2
2
2
´
+
´
+
´
+
+ ´
=
L
（ ）
A．
11
3
18
2
+
B．
11
3
17
2
+
C．
10
3
18
2
+
D．
10
3
17
2
+
3．（24-25 高二下·四川达州·期中）在数列{
}
na
中，若
1
2
a =
，且对任意
*
nÎN 有
1
2
2
n
n
a
a
n
+ =
+
，则数列{
}
na
的前30
项和为（ ）
A．
31
30 2
2
´
+
B．
31
31 2
2
´
+
C．
30
29 2
2
´
+
D．
31
29 2
2
´
+
4．（24-25 高二上·湖南株洲·期末）已知数列
na
的通项公式为
2
n
n
n
a =
，则数列
na
的前n 项和
n
S = （ ）
A．2
1
2
n
n
n
-
-
B．
1
2
2
2
n
n
n
+ -
-
C．2
1
2
n
n
n
-
+
D．
1
2
2
2
n
n
n
+ -
+
5．（24-25 高二上·山东烟台·期末·多选）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
*
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
+
=
ÎN
L
，则（ ）
A．
1
1
a =
B．
1
2
n
n
n
a
+
=
C．
na
为递减数列
D．
1
2
4
2
n
n
n
S
-
+
=
-
考点二
错位相减法
6．（25-26 高三上·四川内江·开学考试·多选）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，
2
1
n
n
S
a
=
+ ，则（ ）
A．
1
1
a = -
B．
1
n
n
a
a +
<
C．数列
1
{
}
na
为等比数列
D．数列{
}
n
n
a
的前n 项和为
nT ，则
4
nT > -
7．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若
2
3
99
100
1 2
2 2
3 2
99 2
2
A
B
´ + ´
+ ´
+
+
´
=
´
+
L
，则A
B
+
=
．
8．（24-25 高二下·湖北孝感·阶段练习）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且点
,
n
n
a S
总在直线
2
1
y
x
=
- 上，则数列
n
n a
×
的前9项和
9T =
.
9．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）已知数列
1
1
,
16,
4
3 4
2
n
n
n
n
a
a
a
a
n
-
=
=
+ ×
³
，
．令
4
n
n
n
a
b =
，
(1)证明数列
nb
是等差数列，并求出通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
10．（25-26 高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知数列
na
满足
1
1
3,
2
1
n
n
n
a
a
a
+
=
=
+
+ ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
2
1
2
n
n
b
n
a
n
n
=
-
-
+
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
11．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知数列
na
为等差数列，且
4
7
7,
13
a
a
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
2
3
2
1
C
C
2
C
2
C
2
,
N
n
n
n
n
n
n
n
b
n
-
*
´
´
´
=
+
+
+
Î
+
L
，且
2
1
n
n
n
c
a
b
=
+
，求数列
nc
的前n 项和
n
S ．
12．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知
na
是公差不为零的等差数列，满足
1
1
a = ，且
1
2
7
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
3
2n
n
n
b
a
-
=
+
×
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
13．（25-26 高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知
na
与
nb
均为等差数列，且
1
2
2,
3
n
n
a
b
a
b
-
=
=
=
．
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)求数列
1
2
1
2
2
n
b
na
-
ì
ü
-
æ
ö×
í
ý
ç
÷
è
ø
î
þ
的前n 项和
n
S ．
14．（25-26 高三上·陕西咸阳·阶段练习）在等比数列
na
中，
1
1
a = ，
1
2
a
a
¹
，且
2
3
4
3
,2
,
a
a a 成等差数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
n
n
n
b
a
=
，求
nb
的前n 项和
n
S ．
15．（25-26 高三上·广东广州·开学考试）设数列
na
满足
1
1
1
3,
1
1
n
n
na
a
a
n
n
+
=
=
+
+
+
(1)证明：
n
na
为等差数列并求
na ；
(2)设
2
1
2
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
，求
f
x
¢
．
(3)求
3
f ¢ -
16．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知数列
na
满足
1
2
1
3
a
a
=
=
，
，且对任意正整数
3
n ³
有
1
2
3
2
n
n
n
a
a
a
-
-
=
-
，
数列
nb
满足
1
1
1
2
n
n
n
b
b
a
a
n
-
=
=
-
³
，
(1)证明：数列
nb
是等比数列；
(2)设
2
1
n
n
n
c
b
-
=
，数列
nc
的前n 项和
n
S ；
①求
n
S ；
②若不等式
2
1
2
n
n
n
n
S
l
-
-
<
+
对任意的正整数n 恒成立，求实数l 的取值范围．
1．（24-25 高二上·广东广州·阶段练习）已知函数
3
9
3
x
f x =
+
．
(1)求证：函数
f x 的图象关于点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称；
(2)求
2022
2021
0
2022
2023
S
f
f
f
f
f
=
-
+
-
+
+
+
+
+
L
L
的值．
2．（24-25 高二上·上海·阶段练习）已知函数
1
1
f x
x
=
+ ，数列
na
是正项等比数列，且
10
1
a
= ，
(1)计算
1
f x
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 的值；
(2)用书本上推导等差数列前n 项和的方法，求
1
2
3
18
19
f a
f a
f a
f a
f a
+
+
+×××+
+
的值.
考点三
倒序相加法
3．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知：
1
1
a = ，
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
S
a
S a
a
a
+
+
+
-
=
（
*
nÎN ）．
(1)求证：数列
n
n
S
a
ì
ü
í
ý
î
þ
是等差数列，并求数列
na
的通项公式；
(2)求和：
0
1
2
1
2
3
1
C
C
C
Cn
n
n
n
n
n
a
a
a
a +
+
+
+×××+
．
4．（24-25 高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列
na
满足
*
1
2
2
2
2
2
n
n
a
a
a
n n
+
+
+
=
ÎN
L
，数列
nb
满足
50
1
2
n
n
b
a
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S ；
(3)求数列
nb
的前99 项的和
99
T 的值．
1．（24-25 高二下·四川眉山·期末）已知数列{
}
na
的通项公式为
2
1,
2 ,
n
n
n
n
a
n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，则数列{
}
na
的前n 项和
10
S
=
（ ）
A．107
B．1409
C．1414
D．112
2．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知数列{
}
na
满足
2,
1
2
1,
2
n
n
a
n
n
=
ì
= í
-
³
î
，则
10
1
k
k
a
=
=
å
（ ）
A．100
B．101
C．102
D．103
3．（24-25 高二下·湖北·期末）已知数列
na
的前n 项和是
n
S ，且满足
1
2
2
1
2
1
2
1
3,
8
,
,
N
2
k
k
k
k
a
a
a
a
a
k
*
-
+
=
=
=
Î
，则
2025
S
= （ ）
A．
2025
4
1
-
B．
2025
3 2
3
´
-
C．
1013
3 4
9
´
-
D．
1012
5 4
2
´
-
4．（24-25 高二下·广西崇左·期末）若数列
na
满足
1
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
-
+
+
+
=
+
，
1
5
2
a =
，
na
的前n 项和为
n
S ，则
100
S
的整数部分为（ ）
A．
101
2
1
-
B．
101
2
C．
101
2
1
+
D．
100
2
1
+
5．（24-25 高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列
na
满足，
1
0
a =
，
1
1
3
,
3
,
n
n
n
n
a
a
a n
+
+
ì
+
ï
= í
ïî
为偶数
，设
2
n
n
b
a
=
，记数列
na
的前2n 项和为
2n
S
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，则下列结论正确的是（ ）
A．
3
9
a =
B．
3n
nb
n
=
×
C．
1
1 3
6
2
n
n
n
T
+
-
×
+
=
D．
1
2
1
3
3
n
n
S
n
+
=
-
×
+
考点四
分组与并项求和
6．（24-25 高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列
1
1
,
2
1,
N
2
1
1
,
2 ,
N
2
n
n
n
k
k
n
a
n
k k
*
-
*
ì
=
-
Î
ï
-
ï
= íæ
ö
ï -
=
Î
ç
÷
ïè
ø
î
则下列说法错误的是（ ）
A．数列
2
1
n
a
-
为等差数列
B．
na
是单调递减数列
C．数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
的前20 项和为-698860
D．若
1
2
m
m
m
a a
a
+
+
=
，则
2
m =
7．（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，
2
2
a = ，
2
2,
2
1,
2
,
2 ,
n
n
n
a
n
k
k
a
a n
k k
*
+
*
ì
+
=
-
Î
= í
=
Î
î
N
N
，则满足2025
3000
m
S
£
£
的正整数m 的所有取值集合为
.
8．（24-25 高三上·天津·期中）已知数列
na
满足
1
2
,
2,
n
n
n
a n
a
a
n
+
ì
= í
+
î
为奇数
为偶数，
1
0
a =
，则
8a =
；设数列
na
的前
n 项和为
n
S ，则
2024
S
=
．（第二个空结果用指数幂表示）
9．（24-25 高二下·江西上饶·期中）已知
na
是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，且
3
3
S
a
+
，
5
5
S
a
+
，
4
4
S
a
+
成等差数列.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
,
2
1
3
5
,
,
2
1
1
n
n
n
a n
k
n
a
b
n
n
k
n
n
*
=
-
ì
ï
+
=
Î
í
=
ï
-
+
î
N ，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T .
10．（24-25 高二下·辽宁丹东·期末）记
n
S 是数列
na
的前n 项和，
1
1
a = ，
3
6
S =
，且数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是等差数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设若
2
,
,
1
n
n
n
n
a
n
b
n
a a +
ì
ï
= í
ïî
为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T
11．（25-26 高三上·福建福州·开学考试）已知等差数列
na
的前n 项和为
1
6
5
,
2,
7
n
S
a
S
S
=
=
+
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
2 n
a
nb =
，求数列
n
n
a
b
+
的前n 项和
nT .
12．（25-26 高三上·浙江·开学考试）记
n
S 为正项数列
na
的前n 项和，已知
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
2
1
,
1,
n
n
n
n
n
a a
b
a
n
+
ì
ï
= í
ï
+
î
为奇数
为偶数
，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T .
13．（25-26 高三上·河北·开学考试）已知数列
na
的首项
1
1
a = ，
1
4 3n
n
n
a
a +
+
=
´
.
(1)求证：
3n
na -
是等比数列；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(3)令
3
2
1
n
n
n
n
b
a
=
- ´ -
，求数列
nb
的最大项.
14．（24-25 高三下·福建厦门·阶段练习）已知等差数列
na
前n 项和为
n
S ，满足
4
3
8,
12
a
S
=
=
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若等比数列
nb
前n 项和为
nT ，且
1 2 3
8
b b b =
，
2
2
T
S
=
，设
n
n
n
c
a
b
=
+
，求数列
nc
的前n 项和
n
M ．
15．（25-26 高三上·山东日照·开学考试）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，且
6
S ，
8S ，
7
S 成等差数列.
(1)求
na ；
(2)设
,
,
n
n
n n
b
a n
ì
= í
î
为偶数
为奇数，
nT 是数列
nb
的前n 项和，求
2n
T ；
(3)设
2 2n
n
n
c
n
a
=
×
×
，
n
Q 是
nc
的前n 项的积，求证：
2
2
e
n
n
n
n
Q
+
<
×
.
16．（25-26 高三上·吉林延边·开学考试）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，
nT 为数列
n
nS
的前n 项和，已知
2
3n
n
n
S
a
+
=
.
(1)证明：
4
3n
na -
为等比数列；
(2)求
n
S ；
(3)求
nT .
