数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练
考点目录
裂项相消法
错位相减法
倒序相加法
分组与并项求和
1．（24-25 高二下·广东肇庆·期末）记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
S =
，
6
12
S =
，记
nT 为
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项
和，则
8T = （ ）
A．9
5
B．116
45
C．14
5
D．232
5
【答案】B
【详解】设
2
n
S
An
Bn
=
+
，则
4
2
2
36
6
12
A
B
A
B
+
=
ì
í
+
=
î
解得
1
4
1
2
A
B
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
，所以
2
2
4
n
n
n
S
+
=
，
所以
2
1
4
1
1
2
2
2
n
S
n
n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø.
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
5
4
6
7
9
8
10
T
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
1
1
1
116
2 1
2
9
10
45
æ
ö
=
+
-
-
=
ç
÷
è
ø
.
故选：B.
2．（24-25 高二下·四川绵阳·期末）已知数列
na
满足：
1
2
2
1
1,
3,
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
=
=
+
=
+ ，数列
nb
满足
2
1
n
n
a
b
×
= ，则数列
nb
的前50 项的和为（ ）
A．50
51
B．1
50
C．50
101
D．50
【答案】A
【详解】由
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
+ 有
2
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
=
-
+ ，令
1
n
n
n
c
a
a
+
=
-
，则
1
1
n
n
c
c
+ -
= ，
所以数列
nc
是以
1
2
1
3 1
2
c
a
a
=
-
=
- =
为首项，1 为公差的等差数列，故
2
1
1
1
nc
n
n
=
+
-
´ =
+ ，
即
1
1
n
n
a
a
n
+ -
=
+ ，故
1
1
2
3
2
2
1
1
+
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
=
-
+
-
+
+
-
+
-
L
1
1
2
3
2 1
2
n n
n
n
n
+
=
+
-
+
-
+
+ +
+ =
L
，当
1
n = 时，符合题意，即
1
2
n
n n
a
+
=
.
考点一
裂项相消法
又由2
1
n
n
a
b
×
= 有
1
1
1
1
2
1
1
n
n
b
a
n n
n
n
=
=
=
-
+
+ ，
设数列
nb
的前n 项和为
nT ，
50
1
2
50
1
1
1
1
1
1
50
1
1
2
2
3
50
51
51
51
T
b
b
b
=
+
+
+
= -
+
-
+
+
-
= -
=
L
L
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·云南大理·开学考试）在数列
na
中，
1
2
a =
，且
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
+
-
=
-
+
+ ，则数列
2
1
1
na
ì
ü
ï
ï
í
ý
-
ï
ï
î
þ
的前2025 项和为（ ）
A．2025
2026
B．2025
1013
C．2026
2025
D．2025
1012
【答案】B
【详解】由
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
+
-
=
-
+
+ ，可得
2
2
1
1
1
1
n
n
a
a
n
+ -
=
-
+
+ ，
所以
2
2
1
1
1
1
n
n
a
a
n
+
-
-
-
=
+ .
所以
2
2
2
1
1
1
1 1
a
a -
-
-
= + ；
2
2
3
2
1
1
2 1
a
a -
-
-
=
+ ；
2
2
4
3
1
1
3 1
a
a -
-
-
=
+ ；
……
2
2
1
1
1
1
1
n
n
a
a
n
-
-
-
-
-
=
+ .
以上各式相加得：
2
2
1
1
1
2
3
na
a
n
-
-
+
-
=
+×××+
Þ
2
1
1
1
2
3
2
n
n n
a
n
+
-
= +
+ +×××+
=
.
则
2
1
2
1
1
2
1
1
1
n
n n
n
n
a
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø
-
.
设
2
1
1
na
ì
ü
ï
ï
í
ý
-
ï
ï
î
þ
的前n 项和为
n
S ，
则
1
1
1
1
1
2
2 1
2
2
3
1
1
n
n
S
n
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+×××+
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
从而
2025
2025
1013
S
=
.
故选：B
4．（24-25 高二下·四川成都·阶段练习·多选）已知数列
na
满足
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，数列
na
的前n 项和
为
n
S ，则 （ ）
A．
5
6
a =
B．数列
na
是等比数列
C．
4
S ，
8S ，
12
S 构成等差数列
D．数列
1
1
n
n
a
a +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
前200 项和为50
101
【答案】AD
【详解】由
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，
当
2
n ³
时，
2
1
1
2
1
2
2
1 2
n
n
n
a
a
a
n
-
-
-
+
+
+
=
-
×
L
，
两式相减可得
1
1
1
2
2
1 2
1 2
n
n
n
n
na
n
n
n
-
-
-
=
×
-
-
×
=
+
，所以
1
na
n
=
+ ，
当
1
n = ，
1
2
a =
适合上式，所以
1
na
n
=
+ ；
由
1
1
n
n
a
n
a
n
-
+
=
不是常数，所以数列
na
不是等比数列，故B 错误；
对于A，因为
1
na
n
=
+ ，所以当
5
n =
时，可得
5
5 1
6
a =
+ =
，故A 正确；
对于C，由
1
na
n
=
+ 可知，
1
1
1
n
n
a
n
a
n
-
-
=
+ -
= ，
所以
na
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
(
1)
2
2
n
n n
S
n
-
=
+
，所以
2
2 (2
1)
4
2
n
n
n
S
n
-
=
+
，
3
3 (3
1)
6
2
n
n
n
S
n
-
=
+
，
2
3
(
1)
3 (3
1)
2
6
8
5
2
2
2
n
n
n n
n
n
S
S
n
n
n
n
n
-
-
+
=
+
+
+
=
+
-
，
又
2
2
2
8
4
2
n
S
n
n
n
=
+
-
，所以
3
2
2
n
n
n
S
S
S
¹
+
，
所以
n
S ，
2n
S
，
3n
S
不构成等差数列，故C 错误；
对于D，
1
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
a
a
n
n
n
n
+
=
=
-
×
+
+
+
+
，
所以
1
2
2
3
3
4
200
20
20
1
0
1
1
1
1
T
a a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
×
×
×
×
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
100
2
3
3
4
4
5
201
202
2
202
202
50
101
=
-
+
-
+
-
+
+
-
=
-
=
=
L
，故D 正确.
故选：AD.
5．（24-25 高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
4
a =
，
7
42
S =
，则下列说法正确
的是（ ）．
A．
6
7
a =
B．
n
a
n
+
为递增数列
C．
2
1
5
2
2
n
S
n
n
=
+
D．
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前4 项和为5
21
【答案】BC
【详解】对于A，由
7
42
S =
，则
1
7
7
42
2
a
a
+
=
，所以
1
7
12
a
a
+
=
，即
2
6
12
a
a
+
=
，又
2
4
a =
，所以
6
8
a =
，故A
错误；
对于B，设等差数列
na
的公差为d ，由A 知
6
8
a =
，则
6
2
8
4
4
a
a
d
-
=
-
=
，
1
d
\
= ，
2
2
2
na
a
n
d
n
\
=
+
-
=
+
，
所以
2
2
na
n
n
+
=
+
，故数列
n
a
n
+
为递增数列，故B 正确；
对于C，由
2
na
n
=
+
，则
2
3
2
1
5
2
2
2
n
n
n
S
n
n
+
+
=
=
+
，故C 正确；
对于D，因为
1
1
1
1
1
2
3
2
3
n
n
a a
n
n
n
n
+
=
=
-
+
+
+
+
，
所以
1
1
n
n
a a +
ì
ü
í
ý
î
þ
的前4 项和为1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
3
4
4
5
5
6
6
7
3
7
21
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
-
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，故D 错误.
故选：BC.
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
1
cos
sin
2
2
na
n
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
o
o
，则
90
S
=
.
【答案】1
2 /0.5
【详解】由积化和差公式可得
1
1
1
1
1
1
1
1
cos
sin
sin
sin
sin
sin
1
2
2
2
2
2
2
2
2
na
n
n
n
n
n
°
°
°
°
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
é
ù
=
-
=
-
+
-
-
-
=
-
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ë
û
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
o
o
，
则
90
1
2
90
1
1
1
sin1
sin 0
sin 2
sin1
sin90
sin89
2
2
2
S
a
a
a
=
+
+×××+
=
°-
° +
°-
° +×××+
°-
°
1
1
1
sin1
sin 0
sin 2
sin1
sin90
sin89
sin90
sin 0
2
2
2
=
°-
°+
°-
°+×××+
°-
° =
°-
° =
.
故答案为：
1
2 .
7．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知函数
2
3
f x
x
x
=
+
，数列
na
的前n 项和为
f n ，记数列
2
2
n
n
a f
ì
ü
ï
ï
ï
ï
í
ý
æ
ö
ï
ï
ç
÷
ï
ï
¢
è
ø
î
þ
的
前n 项和为
nT ，则使得
11
36
nT >
成立的n 的最小值为
．
【答案】7
【详解】根据题意，显然
1
1
4
a
f
=
=
，
当
2
n ³
时，
2
2
1
3
1
3
1
2
2
n
a
f n
f n
n
n
n
n
n
=
-
-
=
+
-
-
-
-
=
+
，因为
1a 也符合，所以
2
2
na
n
=
+
．
由题易得
2
3
f
x
x
¢
=
+ ，所以
3
2
n
f
n
æ
ö
¢
=
+
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
1
1
1
1
2
2
3
1
3
2
1
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a f
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
+
+
+
+
+
+
æ
ö
è
ç¢
ø
÷
è
ø
，
所以
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 2
4
3
5
4
6
5
7
2
1
3
nT
n
n
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
ç
÷
+
+
+
è
ø
L
1 1
1
1
1
5
1
1
1
2 2
3
2
3
12
2
2
3
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
+
-
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
è
ø，
易得
nT
单调递增，且
6
5
1
1
1
43
44
11
12
2
8
9
144
144
36
T
æ
ö
=
-
´
+
=
<
=
ç
÷
è
ø
，
7
5
1
1
1
14
11
12
2
9
10
45
36
T
æ
ö
=
-
´
+
=
>
ç
÷
è
ø
，所以n 的最小值为7．
故答案为：7.
8．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+×××+
=
×
，且数列
1
1
n
n
a
a +
ì
ü
í
ý
×
î
þ
的前n 项和为
n
S ，
则
20
S
=
.
【答案】5
11
【详解】若
1
n = ，则
1
2
a =
；
若
2
n ³
，则
2
1
1
2
1
2
2
1 2
n
n
n
a
a
a
n
-
-
-
+
+×××+
=
-
×
.
所以，
1
1
1
2
2
1 2
1 2
n
n
n
n
na
n
n
n
-
-
-
=
×
-
-
×
=
+
×
，即
1
na
n
=
+ .
又
1
2
a =
也满足
1
na
n
=
+ ，所以
1
na
n
=
+ .
由于
1
1
1
1
1
1
2
1
2
n
n
a
a
n
n
n
n
+
=
=
-
×
+
+
+
+
，
所以
20
1
1
1
1
1
1
1
1
5
2
3
3
4
21
22
2
22
11
S
=
-
+
-
+×××+
-
=
-
=
.
故答案为：5
11.
9．（25-26 高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列
na
中，
1
1
a = ，且
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a
a +
=
×
，求
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
2
1
n
n
S
n
=
+
【详解】（1）由
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
可得
2
2
1
1
2
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
-
-
=
，
所以
1
1
1
1
1
2
2
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
-
-
+
=
+
-
-
=
，
因为
na
是正项数列，
1
0
n
n
a
a
+ +
>
，所以
1
2
0
n
n
a
a
+ -
-
=
，即
1
2
n
n
a
a
+ -
=
，
所以数列
na
是首项
1
1
a = ，公差
2
=
d
的等差数列，
所以
1
2
1
2
1
na
n
n
= +
-
=
- .
（2）由（1）可得
1
1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
nb
n
n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø ，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
S
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
.
10．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
3
1
,
8, 2
1
n
n
n
S
a
S
n a +
=
=
-
.
(1)证明：
1
n
a
n
+
ì
ü
í
ý
î
þ 是常数列；
(2)设
1
3
1
n
n
b
S
=
- ，求数列
nb
的前n 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3
2
n
n +
【详解】（1）已知数列
na
的前n 项和为
3
1
,
8,2
1
n
n
n
S a
S
n a +
=
=
-
.
当
2
n =
时，
1
2
1
2
2
2
8 1 ,
7
a
a
a
a
+
=
´
-
+
=
.
当
1
n = 时，
1
2
2
1
a
a
=
- ，∴
1
2
2,
5
a
a
=
=
.
当
2
n ³
时，
1
2
1
1
n
n
S
n
a
- =
-
-
，
∴
1
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
a
S
S
n a
n
a
-
+
=
-
=
-
-
-
-
，
即
1
1
1
1
1
1,
1
1
n
n
n
n
a
a
n
a
na
n
n
n
n
+
+
æ
ö
+
=
-
=
-
-
ç
÷
+
+
è
ø，
∴
1
1
1
1
n
n
a
a
n
n
+
+
+
=
+
，
当
1
n = 时也符合上式，∴数列
1
na
n
+
ì
ü
í
ý
î
þ
是常数列.
（2）由（1）知
1
3
na
n
+
=
，∴
3
1
na
n
=
- ，∴
3
1
2
n
n
n
S
+
=
，
2
2
2
2
1
1
9
3
2
3
2
3
1
3 3
1
3
2
nb
n
n
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
+
-
+
-
-
+
è
ø ，
∴
1
2
2 1
1
1
1
1
1
2 1
1
3 2
5
5
8
3
1
3
2
3 2
3
2
3
2
n
n
b
b
b
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
-
+
+
+
è
ø
è
ø
L
L
.
11．（25-26 高三上·吉林延边·开学考试）已知正项数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2
1
n
n
a
a
n
+ -
=
+ .
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
+
ì
ü
-
ï
ï
í
ý
ï
ï
î
þ
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
2
na
n
=
(2)
2
2
=
+
n
n
S
n
【详解】（1）当
2
n ³
时，
1
2
1
1
2
1
n
n
a
a
n
n
-
-
=
-
+ =
- ，
1
2
2
2
1
2
3
n
n
a
a
n
n
-
-
-
=
-
+ =
- ，
…..
2
1
3
a
a
-
=
，
累加可得
1
3
2
3
2
1
na
n
n
- =
+
+
- +
-
L
，即
2
1
2
1
1 3
2
3
2
1
2
n
n
n
a
n
n
n
+
-
= + +
+
-
+
-
=
=
L
，
易得当
1
n = 也符合，所以
2
na
n
=
.
（2）数列
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
+
ì
ü
-
ï
ï
í
ý
ï
ï
î
þ
的通项为
2
1
1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
+
-
+
=
-
+
+
+
+
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
1
2
2
2
2
2
n
n
S
n
n
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
=
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
L
.
12．（25-26 高三上·山东·开学考试）若等比数列
na
的各项均大于1，其前n 项和为
n
S ，且
2
4
a =
，
3
14
S =
，
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
log
n
n
k
k
b
a
=
=å
，求数列
1
nb
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2n
na =
(2)
2
1
n
n
T
n
=
+
【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知可得
1
2
1
1
1
4
14
a q
a
a q
a q
=
ì
í
+
+
=
î
，
解得
1
2
2
a
q
=
ì
í
=
î
或
1
8
1
2
a
q
=
ìïí =
ïî
，
因为等比数列
na
的各项均大于1，所以
1
2,
2
a
q
=
=
，
所以数列
na
的通项公式为
1
1
1
2 2
2
n
n
n
na
a q -
-
=
=
´
=
；
（2）由（1）知
2n
na =
，
所以
2
2
1
1
1
1
log
log 2
1
2
3
2
n
n
n
k
n
k
k
k
k
n n
b
a
k
n
=
=
=
+
=
=
=
=
+
+ +
+
=
å
å
å
L
，
所以
1
2
1
1
2
1
1
nb
n n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø，
所以
1
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
2
2
2
3
3
4
1
nT
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
1
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
3
3
4
1
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
è
ø
L
1
2
2 1
1
1
n
n
n
æ
ö
=
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
.
13．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
1
2
a =
，
2
n
n
n a
S
=
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
n
n
b
a +
=
，且数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
1
2
nT <
．
【答案】(1)
1
(
1)
na
n n
=
+
(2)证明见解析
【详解】（1）由
2
n
n
n a
S
=
，则
2
1
1
(
1)
n
n
n
a
S
-
-
-
=
（n≥2），
两式左右分别相减得
2
2
1
(
)1
n
n
n
n a
n
a
a
-
-
=
-
，即
2
2
1
(
1)
(
1)
n
n
n
a
n
a -
-
=
-
．
得
1
(
1)
(
1)
n
n
n
a
n
a -
+
=
-
，
则
1
1
1
n
n
a
n
a
n
-
-
=
+ ，
1
2
2
n
n
a
n
a
n
-
-
-
=
，…，
3
2
2
4
a
a =
，
2
1
1
3
a
a =
，
将以上
1
n - 个式子相乘得
1
(
2)
(
1)
na
n
n n
=
³
+
．
上式对
1
n = 仍成立，所以
1
(
1)
na
n n
=
+
．
（2）
1
1
1
1
(
1)(
2)
1
2
n
n
b
a
n
n
n
n
+
=
=
=
-
+
+
+
+
，
∴
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
2
3
3
4
1
2
2
2
2
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
<
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
L
nT
n
n
n
．
故命题得证．
14．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）已知等差数列
na
的公差
0
d >
，前n 项和为
n
S ，且
5
1
3
9
15,
,
,
S
a a a
=
成等
比数列.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)证明：
*
1
2
1
1
1
2
n
n
S
S
S
+
+
+
<
ÎN
L
.
【答案】(1)
*
n
a
n n
=
ÎN
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知可得
5
1
2
1
1
1
5
10
15
2
8
S
a
d
a
d
a a
d
=
+
=
ìïí
+
=
+
ïî
；
因为
0
d >
，解得
1
1
1
a
d
=
ì
í
=
î
；
故通项公式为
*
n
a
n n
=
ÎN
；
（2）由（1）可知
1
2
n
n n
S
+
=
，
1
2
1
1
2
1
1
n
S
n n
n
n
æ
ö
\
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
3
1
n
S
S
S
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
+
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
L
1
2 1
1
n
æ
ö
=
-
ç
÷
+
è
ø
2
<
；
即
*
1
2
1
1
1
2
n
n
S
S
S
+
+
+
<
ÎN
L
.
1．（24-25 高二下·江西·阶段练习）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
1
a = ，
1
1
2
3
3
n
n
a
S
n
+
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，则
100
1
i
i
S
=
=
å
（ ）
A．
100
3
203
2
2
3
-
´
B．
99
9
197
4
4
3
-
´
C．
99
9
203
4
4
3
-
´
D．
100
9
203
4
4
3
-
´
【答案】C
【详解】由
1
1
a = ，
1
1
1
2
3
3
n
n
n
n
a
S
S
S
n
+
+
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
，得
1
1
3
n
n
n
S
S
n
+
+
=
，所以
1
1
1
3
n
n
S
S
n
n
+ =
×
+
，
而
1
1
0
1
S = ¹
，所以数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是首项为1、公比为1
3 的等比数列，
所以
1
1
3
n
n
S
n
-
=
，
1
3
n
n
n
S
-
=
，
所以
1
1
1 3
n
n
n
n
i
i
n
S
-
=
=
=
å
å
，
1
1
1
3
3
n
n
n
n
i
i
n
S
=
=
=
å
å
，
两式相减得
2
1
1
1
2
1
1
1
3
1
3
2
3
1
3
3
3
3
3
2
2 3
3
2
2 3
n
n
n
n
n
n
n
i
n
n
n
S
-
-
=
+
= +
+
+
+
-
=
-
-
=
-
×
×
å
L
，
所以
1
1
9
2
3
4
4 3
n
n
n
i
n
S
-
=
+
=
-
×
å
，
所以
100
99
1
9
203
4
4
3
i
i
S
=
=
-
´
å
．
故选：C
2．（24-25 高三下·河北邯郸·开学考试）
2
3
10
1
1
1
1
19
17
15
1
2
2
2
2
´
+
´
+
´
+
+ ´
=
L
（ ）
A．
11
3
18
2
+
B．
11
3
17
2
+
C．
10
3
18
2
+
D．
10
3
17
2
+
【答案】D
【详解】令
2
3
10
1
1
1
1
19
17
15
1
2
2
2
2
S =
´
+
´
+
´
+×××+ ´
，
则
2
3
4
11
1
1
1
1
1
19
17
15
1
2
2
2
2
2
S =
´
+
´
+
´
+×××+ ´
两式相减得
2
3
10
11
11
1
1
1
1
1
1
17
3
19
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
S
æ
ö
=
´
-
+
+×××+
- ´
=
+
ç
÷
è
ø
所以
10
3
17
2
S =
+
，
故选：D.
3．（24-25 高二下·四川达州·期中）在数列{
}
na
中，若
1
2
a =
，且对任意
*
nÎN 有
1
2
2
n
n
a
a
n
+ =
+
，则数列{
}
na
的前30
项和为（ ）
A．
31
30 2
2
´
+
B．
31
31 2
2
´
+
C．
30
29 2
2
´
+
D．
31
29 2
2
´
+
考点二
错位相减法
【答案】D
【详解】因为任意
*
nÎN 有
1
2
2
n
n
a
a
n
+ =
+
1
1
2 1
2 n
n
n
+
æ
ö
=
+
=
×
ç
÷
è
ø
，
所以
1
2
1
n
n
a
n
a
n
-
=
×
- ，
1
2
1
2
2
n
n
a
n
a
n
-
-
-
=
×
-
2
3
2
2
3
n
n
a
n
a
n
-
-
-
=
×
-
，，……，
2
1
2
2 1
a
a =
×
，
上式累乘可得：
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
3
1
n
n
na
n
n
n
n
a
n
n
n
-
-
-
-
=
×
×
×
××
×
=
×
-
-
-
L
，
因为
1
2
a =
，所以
2n
na
n
=
×
，
设数列{
}
na
的前n 项和为
nT ，
1
2
3
1
n
n
n
T
a
a
a
a
a
-
=
+
+
+
+
+
L
，
1
2
3
1
1 2
2 2
3 2
1 2
2
n
n
nT
n
n
-
= ×
+ ×
+ ×
+
+
-
×
+
×
L
，
2
3
4
1
2
1 2
2 2
3 2
1 2
2
n
n
nT
n
n
+
= ×
+ ×
+ ×
+
+
-
×
+
×
L
，
两式相减可得：
1
2
3
4
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
n
n
nT
n
+
-
= ×
+ ×
+ ×
+ ×
+
+ ×
- ×
L
，
所以
1
1
1
1
2 1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
nT
n
n
n
+
+
+
+
-
-
=
- ×
=
-
- ×
=
-
-
-
，
所以
1
1 2
2
n
nT
n
+
=
-
+
，
所以
31
31
30
30 1
2
2
29 2
2
T
=
-
´
+
=
´
+
.
故选：D.
4．（24-25 高二上·湖南株洲·期末）已知数列
na
的通项公式为
2
n
n
n
a =
，则数列
na
的前n 项和
n
S = （ ）
A．2
1
2
n
n
n
-
-
B．
1
2
2
2
n
n
n
+ -
-
C．2
1
2
n
n
n
-
+
D．
1
2
2
2
n
n
n
+ -
+
【答案】B
【详解】由题设
1
2
3
1
2
3
2
2
2
2
n
n
n
S =
+
+
+
+
L
，则
2
3
4
1
1
2
3
1
2
2
2
1
2
2
2
n
n
n
S
n
n
+
-
=
+
+
+
+
+
L
，
两式作差，有
2
3
4
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
S
+
+
=
+
+
+
+
+
-
= -
-
L
，
所以
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
n
n
+ -
-
=
-
-
=
.
故选：B
5．（24-25 高二上·山东烟台·期末·多选）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
*
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
+
=
ÎN
L
，则（ ）
A．
1
1
a =
B．
1
2
n
n
n
a
+
=
C．
na
为递减数列
D．
1
2
4
2
n
n
n
S
-
+
=
-
【答案】AD
【详解】当
1
n = 时，
2
1
1
1
1
2
a
+
=
= ，故A 正确；
当
2
n ³
时，
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
-
-
-
+
-
+
+
+
=
L
，又
2
1
*
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
+
=
ÎN
L
，
两式相减得
2
2
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
n
-
-
+
-
+
=
-
=
，所以
1
2
2
n
n
n
a
n
-
=
³
，
当
1
n = 时，
1
1
a = 适合上式，所以
1
2
n
n
n
a
-
=
，故B 错误；
所以
1
1
2
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a -
-
-
-
-
-
-
-
=
=
，
所以
2
1
a
a
=
，当
3
n ³
时，
1
n
n
a
a -
<
，所以
na
从第二项起是递减数列，故C 错误；
0
1
3
1
2
3
1
2
2
2
2n
n
n
S
-
=
+
+
+
+
L
，
所以
1
2
3
1
1
2
3
2
2
2
2
2
n
n
n
S
+
+
+
=
+L
，
两式相减得
0
1
3
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
S
-
=
+
+
+
+
-
L
所以
1
1
1
2
4
4
2
2
2
2
n
n
n
n
S
n
n
-
-
-
=
-
-
=
+
-
，故D 正确.
故选：AD.
6．（25-26 高三上·四川内江·开学考试·多选）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，
2
1
n
n
S
a
=
+ ，则（ ）
A．
1
1
a = -
B．
1
n
n
a
a +
<
C．数列
1
{
}
na
为等比数列
D．数列{
}
n
n
a
的前n 项和为
nT ，则
4
nT > -
【答案】ACD
【详解】对于A，数列
na
中，
2
1
n
n
S
a
=
+ ，则
1
1
1
2
1
a
S
a
=
=
+ ，解得
1
1
a = - ，A 正确；
当
2
n ³
时，
1
1
2
1
n
n
S
a
-
-
=
+ ，则
1
2
2
n
n
n
a
a
a -
=
-
，即
1
2
n
n
a
a -
=
，
数列
na
是首项为1
- ，公比为2 的等比数列，
1
1
1 2
2
n
n
na
a
-
-
=
×
= -
，
对于B，
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
-
+ = -
< -
=
，B 错误；
对于C，
1
1
1
2n
na
-
= -
，则
1
1
1
1
2
n
n
a
a
+ =
，因此数列
1
{
}
na
为等比数列，C 正确；
对于D，
1
2n
n
n
n
a
-
= -
，
2
1
2
3
1
2
2
2
n
n
n
T
-
= - -
-
-
-
L
，
2
3
1
1
1
2
3
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
-
-
= -
-
-
-
-
-
L
，
两式相减得
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
-
-
+
= - -
-
-
-
+
= -
+
= - +
-
L
，
因此
1
2
4
4
2
n
n
n
T
-
+
= - +
> - ，D 正确.
故选：ACD
7．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若
2
3
99
100
1 2
2 2
3 2
99 2
2
A
B
´ + ´
+ ´
+
+
´
=
´
+
L
，则A
B
+
=
．
【答案】100
【详解】设
2
3
99
1 2
2 2
3 2
99 2
S = ´ + ´
+ ´
+
+
´
L
，
则
2
3
4
99
100
2
1 2
2 2
3 2
98 2
99 2
S =
´
+ ´
+ ´
+
+
´
+
´
L
.
所以
2
S
S
S
=
-
=
2
3
4
99
100
2
2
2
2
2
99 2
- -
-
-
-
-
+
´
L
99
100
2 1 2
99 2
1 2
-
= -
+
´
-
100
98 2
2
=
´
+
100
2
A
B
=
´
+
.
所以
98
A =
，
2
B =
.
所以
100
A
B
+
=
.
故答案为：100
8．（24-25 高二下·湖北孝感·阶段练习）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且点
,
n
n
a S
总在直线
2
1
y
x
=
- 上，则数列
n
n a
×
的前9项和
9T =
.
【答案】4097
【详解】数列
na
的前n 项和为
n
S ，且点
,
n
n
a S
总在直线
2
1
y
x
=
- 上，所以
2
1
n
n
S
a
=
- .
所以，当
2
n ³
时，
1
1
2
1
n
n
S
a
-
-
=
- ，
两式相减得，
1
2
2
n
n
n
a
a
a -
=
-
，即
1
2
n
n
a
a -
=
.
又
1
1
a =
Q
，所以数列
na
是以1为首项，以2 为公比的等比数列.
1
2n
na
-
\
=
，
所以
0
1
2
1
1 2
2 2
3 2
2n
nT
n
-
= ´
+ ´
+ ´
+¼+ ´
…………①，
所以
1
2
3
2
1 2
2 2
3 2
2n
nT
n
= ´
+ ´
+ ´
+¼+ ´
…………②，
①-②，得：
0
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
nT
n
n
n
-
´
-
-
=
+
+
+¼+
- ´
=
- ´
= -
-
´
-
-
.
所以，
1
2
1
n
nT
n
=
-
´
+ ，所以
9
4097
T =
.
故答案为：4097.
9．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）已知数列
1
1
,
16,
4
3 4
2
n
n
n
n
a
a
a
a
n
-
=
=
+ ×
³
，
．令
4
n
n
n
a
b =
，
(1)证明数列
nb
是等差数列，并求出通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)证明见解析，
3
1
nb
n
=
+ ；
(2)
1
4n
n
S
n
+
=
×
【详解】（1）
1
4
3 4
2
n
n
n
a
a
n
-
=
+ ×
³
Q
，
，两端除以4n ，得
1
1
3
4
4
n
n
n
n
a
a -
-
-
=
，即
1
3
n
n
b
b -
-
=
，
由
1
16
a =
，得
1
4
b =
，所以数列
nb
是以4 为首项，3 为公差的等差数列，
4
3
1
3
1
nb
n
n
\
=
+
-
=
+ ．
（2）
3
1
3
1 4
4
n
n
n
n
a
n
a
n
=
+
\
=
+
Q
，
，
1
2
4 4
7
4
3
1 4n
n
S
n
\
=
´
+ ´
+
+
+
L
，①
2
3
1
4
4 4
7
4
3
1 4n
n
S
n
+
=
´
+ ´
+
+
+
L
，②
由①-②，得
1
2
1
3
4 4
3
4
4
3
1 4
n
n
n
S
n
+
-
=
´
+ ´
+
+
-
+
L
，
1
1
1
2
1
1
16 1
4
3
1
4
3
1
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
1
4
n
n
n
n
n
n
n
S
-
+
+
-
+
+
æ
ö
æ
ö
\
=
-
´
-
+
+
=
-
´
-
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
L
1
4n
n
+
=
×
．
10．（25-26 高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知数列
na
满足
1
1
3,
2
1
n
n
n
a
a
a
+
=
=
+
+ ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
2
1
2
n
n
b
n
a
n
n
=
-
-
+
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
*
2
N
n
n
a
n n
=
+
Î
(2)
1
2
3 2
6
n
n
S
n
+
=
-
+
【详解】（1）由条件，当
2
n ³
时，
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1,
2
1,
,
2
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
-
=
+
-
=
+
-
=
+
L
，
所以累加得
1
1
2
1
1
1
2 1
2
2
2
2
1 1
1
1
1
2
n
n
n
n
a
a
n
-
-
-
æ
ö
-
-
=
+
+
+
+
+ +
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
n
L
L
个
2
3,
n
n
=
+
-
又
1
3
a =
，所以
2
2
n
na
n n
=
+
³
，
取
1
1
1,
2
1
3
n
a
=
=
+ =
也成立，所以
*
2
N
n
na
n n
=
+
Î
．
（2）由
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1 2
n
n
n
n
b
n
a
n
n
n
n
n
n
n
=
-
-
+
=
-
+
-
+
=
-
，
1
2
3
1 2
3 2
5 2
2
1 2 ,
n
n
S
n
= ´
+ ´
+ ´
+
+
-
L
2
3
1
2
1 2
3 2
2
3 2
2
1 2
,
n
n
n
S
n
n
+
= ´
+ ´
+
+
-
+
-
L
相减，得
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
1 2
n
n
n
n
S
S
n
+
-
=
+ ´
+
+
+
-
-
L
，
1
1
1
8
1
2
2
2
1 2
3
2
2
6,
1
2
n
n
n
n
S
n
n
-
+
+
´
-
-
=
+
-
-
=
-
-
-
所以
1
2
3 2
6
n
n
S
n
+
=
-
+
．
11．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知数列
na
为等差数列，且
4
7
7,
13
a
a
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
2
3
2
1
C
C
2
C
2
C
2
,
N
n
n
n
n
n
n
n
b
n
-
*
´
´
´
=
+
+
+
Î
+
L
，且
2
1
n
n
n
c
a
b
=
+
，求数列
nc
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
*
2
1,
N
na
n
n
=
-
Î
(2)
1
*
1 3
3,
N
n
n
S
n
n
+
=
-
×
+
Î
【详解】（1）解：设等差数列
na
的公差为d ，
因为
4
7
7,
13
a
a
=
=
，则
4
1
7
1
3
7
6
13
a
a
d
a
a
d
=
+
=
ì
í
=
+
=
î
，解得
1
1,
2
a
d
=
=
，
所以
*
1
2
1
2
1,
N
na
n
n
n
= +
-
=
-
Î
．
（2）解：由
1
2
2
2
C 2
C 2
C 2
1
2
1
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
b =
+
+
+
=
+
- =
-
L
，
则
3
1
2
n
n
b
-
=
，所以
2
1
2
1 3n
n
n
n
c
a
b
n
=
+
=
-
×
，
所以
1
2
3
1 3
3 3
5 3
2
1 3n
n
S
n
= ×
+ ×
+ ×
+
+
-
×
L
，
则
2
3
1
3
1 3
3 3
2
3 3
2
1 3
n
n
n
S
n
n
+
= ×
+ ×
+
+
-
×
+
-
×
L
，
两式相减，得
2
3
1
2
3
2 3
3
3
2
1 3
n
n
n
S
n
+
-
=
+
+
+
+
-
-
×
L
2
1
1
1
3 1 3
3
2
2
1 3
6
2
2
3
1 3
n
n
n
n
n
-
+
+
-
=
+ ×
-
-
- -
-
×
=
×
-
，
所以
1
*
1 3
3,
N
n
n
S
n
n
+
=
-
×
+
Î
．
12．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知
na
是公差不为零的等差数列，满足
1
1
a = ，且
1
2
7
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
3
2n
n
n
b
a
-
=
+
×
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
4
3
na
n
=
-
(2)
2
1 2
4
n
nT
n
+
=
-
×
+
【详解】（1）设
na
的公差为d ，因为
1
2
7
,
,
a a a 成等比数列，
所以
2
2
1
7
a
a a
=
，即
2
1
1
1
6
a
d
a a
d
+
=
+
，
2
1
1 6
d
d
+
= +
，化简得
2
4
d
d
=
，
由于
0
d ¹
，所以
4
d =
，
1
1
4
4
3
na
n
n
= +
-
´
=
- ，
所以
na
的通项公式为
4
3
na
n
=
- .
（2）
1
1
1
3
2
4
2
2
n
n
n
n
n
b
a
n
n
-
-
+
=
+
×
=
×
=
×
，
2
3
1
1 2
2 2
2n
nT
n
+
\
= ×
+
×
+×××+
×
①，
3
4
2
2
1 2
2 2
2n
nT
n
+
= ×
+
×
+×××+
×
②，
①- ②得
2
3
1
2
2
2
4 1
2
1 2
2
2
2
2
2
1
2
4
1
2
n
n
n
n
n
n
nT
n
n
n
+
+
+
+
-
-
= ×
+
+×××+
+
- ×
= - ×
+
=
-
×
-
-
，
所以
2
1 2
4
n
nT
n
+
=
-
×
+
.
13．（25-26 高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知
na
与
nb
均为等差数列，且
1
2
2,
3
n
n
a
b
a
b
-
=
=
=
．
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)求数列
1
2
1
2
2
n
b
na
-
ì
ü
-
æ
ö×
í
ý
ç
÷
è
ø
î
þ
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
2
1
na
n
=
+ ，
2
1
nb
n
=
-
(2)
1 2
1
n
n
S
n
=
-
×
+
【详解】（1）设等差数列
na
公差为
1d ，等差数列
nb
公差为
2
d ，
因为
1
2
2,
3
n
n
a
b
a
b
-
=
=
=
，
所以
1
1
2
2
1
2
2
a
n
d
b
n
d
é
ù
+
-
-
+
-
=
ë
û
，
即
1
1
2
2
2
1
2
2
a
nd
d
nd
d
b +
-
-
-
=
+
，即
1
2
2
1
2
2
n d
d
d
d
-
+
-
=
，
所以
1
2
2
1
0
2
2
d
d
d
d
-
=
ì
í
-
=
î
，解得
1
2
2
d
d
=
=
，
所以
1
1
1
3
1
2
2
1
na
a
n
d
n
n
=
+
-
=
+
-
´
=
+ ，
2
2
2
3
2
2
2
1
nb
b
n
d
n
n
=
+
-
=
+
-
´
=
- .
（2）
1
2
1 1
1
2
2
1
2
1 1
2
2
2
2
2
n
b
n
n
na
n
n
-
- -
-
-
+ -
æ
ö
æ
ö
×
=
×
=
×
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
,
所以
0
1
2
1
1 2
2 2
3 2
2n
n
S
n
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+
×
L
①
1
2
3
2
1 2
2 2
3 2
2n
n
S
n
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ×
L
②
-
①
②得
1
0
1
2
3
1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1 2
n
n
n
n
n
n
S
n
n
n
-
-
-
×
-
=
+
+
+
+
+
- ×
=
- ×
=
-
×
-
-
L
，
所以
1 2
1
n
n
S
n
=
-
×
+
14．（25-26 高三上·陕西咸阳·阶段练习）在等比数列
na
中，
1
1
a = ，
1
2
a
a
¹
，且
2
3
4
3
,2
,
a
a a 成等差数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
n
n
n
b
a
=
，求
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
1
3n
na
-
=
(2)
1
9
2
3
4
4 3
n
n
n
S
-
+
=
-
´
【详解】（1）设
na
的公比为q ，由
1
2
a
a
¹
，得
1
q ¹ ，
因为
2
3
4
3
,2
,
a
a a 成等差数列，
所以
3
2
4
4
3
a
a
a
=
+
，所以
2
2
2
2
4
3
a q
a
a q
=
+
，
所以
2
4
3
0
q
q
-
+
=
，解得
1
q = （舍），或
3
q =
，
又
1
1
a = ，所以
1
3n
na
-
=
.
（2）由
1
3
n
n
n
n
n
b
a
-
=
=
，得
0
1
2
2
1
2
3
1
1
3
3
3
3
3
n
n
n
S
n
n
-
-
+
-
+
+
+
=
+
L
两边同乘以1
3 ，得
1
2
3
1
1
1
2
3
1
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
S
-
-
=
+
+
+
+
+
L
两式相减，得
1
2
1
1
1
2
1
1
1
3
2
3
3
1
1
3
3
3
3
3
3
2
2 3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
-
-
+
= +
+
+
+
-
=
-
=
-
´
-
L
，
所以
1
9
2
3
4
4 3
n
n
n
S
-
+
=
-
´
．
15．（25-26 高三上·广东广州·开学考试）设数列
na
满足
1
1
1
3,
1
1
n
n
na
a
a
n
n
+
=
=
+
+
+
(1)证明：
n
na
为等差数列并求
na ；
(2)设
2
1
2
m
m
f x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
，求
f
x
¢
．
(3)求
3
f ¢ -
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
2
1
2
3
,
0
1
1
1
1
3
0
5 ,
1
2
m
m
x
x
m
x
x
x
x
x
x
f
x
x
m m
x
-
ì
-
+
ï
+
-
¹
¹
-
-
ï
-
ï
=
=
í
ï
+
ï
=
¢
ï
î
且
，
(3)
9
4
9
3
16
m
m
-
+
-
【详解】（1）由题意证明如下，
*
N
nÎ
，
在数列
na
中，
1
3
a =
，
1
1
1
1
n
n
na
a
n
n
+ =
+
+
+ ，
所以
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
=
+ ，即
1
1
1
n
n
n
a
na
+
+
-
= ，
所以数列
n
na
是以
1
1
3
a
´
=
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，
*
N
nÎ
，
在数列
n
na
中，首项为3，公差为1，所以
3 1
1
n
na
n
=
+ ´
-
，即
2
1
na
n
= +
，
在
2
1
2
m
m
f
x
a x
a x
a x
=
+
+
+
L
中，
2
2
3
2
1
m
f x
x
x
x
m
æ
ö
=
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
L
，
所以
1
3
4
2
m
f
x
x
m
x
-
¢
=
+
+
+
+
L
，所以
2
3
4
2
m
xf
x
x
x
m
x
+
¢
=
+
+
+
L
，
当
1
x ¹ 且
0
x ¹
时，两式相减得
1
2
1
1
1
3
2
3
2
1
m
m
m
m
x
x
x f
x
x
x
x
m
x
m
x
x
-
-
-
-
=
+
+
+
+
-
+
-
-
¢
=
+
+
L
，
所以
1
2
1
2
3
1
1
1
m
m
x
x
m
x
f
x
x
x
x
-
-
+
¢
=
+
-
-
-
-
；
当
1
x = 时，
5
1
3
4
2
2
m m
f
m
+
=
+
+
+
+
=
¢
L
；
当
0
x =
时，
0
3
f ¢
=
；
综上，
1
2
1
2
3
,
0
1
1
1
1
3
0
5 ,
1
2
m
m
x
x
m
x
x
x
x
x
x
f
x
x
m m
x
-
ì
-
+
ï
+
-
¹
¹
-
-
ï
-
ï
=
=
í
ï
+
ï
=
¢
ï
î
且
，
；
（3）当
3
x = - 时，
1
2
3
1
3
2
3
3
3
1 3
1 3
1 3
m
m
m
f
-
é
ù
-
- -
+
-
ë
û
-
=
+
-
+
¢
+
+
3
2
3
9
4
9
3
3
3
4
16
16
4
16
m
m
m
m
m
-
+
-
-
+
-
=
-
-
-
=
.
16．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知数列
na
满足
1
2
1
3
a
a
=
=
，
，且对任意正整数
3
n ³
有
1
2
3
2
n
n
n
a
a
a
-
-
=
-
，
数列
nb
满足
1
1
1
2
n
n
n
b
b
a
a
n
-
=
=
-
³
，
(1)证明：数列
nb
是等比数列；
(2)设
2
1
n
n
n
c
b
-
=
，数列
nc
的前n 项和
n
S ；
①求
n
S ；
②若不等式
2
1
2
n
n
n
n
S
l
-
-
<
+
对任意的正整数n 恒成立，求实数l 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
1
2
3
6
2
n
n
n
S
-
+
=
-
；②
9
3 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
【详解】（1）证明：因为
1
2
1
3
2
3
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
n
b
a
a
n
-
-
-
=
-
³
=
-
³
，
，
所以
1
1
2
1
1
1
2
1
2
3
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
a
n
b
a
a
a
a
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
³
-
-
．
因为
1
2
1
3
a
a
=
=
，
，所以
2
2
1
2
b
a
a
=
-
=
．
又
1
1
b = ，所以
2
1
2
b
b =
，即证得
nb
是首项为1，公比为2 的等比数列．
（2）①由（1）可得
1
2n
nb
-
=
，则
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
c
b
-
-
-
=
=
，
0
1
2
3
2
1
1
3
5
7
2
3
2
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
-
-
-
-
=
+
+
+
+
+
+
L
，
1
2
3
1
1
3
5
2
3
2
1
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
S
n
n
-
-
-
=
+
+
+
+
+
L
，
两式相减得：
0
1
2
3
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
-
-
-
=
+
+
+
+
+
+
-
L
，
即
1
2
3
2
1
1
1
1
1
2
1
1 1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
-
-
-
= + +
+
+
+
+
-
L
，
所以
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
n
n
n
n
S
-
æ
ö
´
-
ç
÷
-
è
ø
= +
-
-
，则
1
2
3
6
2
n
n
n
S
-
+
=
-
．
②因为不等式
2
1
2
n
n
n
n
S
l
-
-
<
+
对任意的正整数n 恒成立，
即
1
3
1
6
2
n
n
l
-
-
<
-
对任意的正整数n 恒成立，
当n 为偶数时，因为
1
3
6
2n
f n
-
=
-
在[1, ¥
+ ）为增函数，
所以
9
2
2
f
l <
=
；
当n 为奇数时，
1
3
6
2n
l
-
-
<
-
对任意的正整数n 恒成立，
所以
1
3
f
l
-
<
=
，解得
3
l > - ．
综上，实数l 的取值范围为
9
3, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
1．（24-25 高二上·广东广州·阶段练习）已知函数
3
9
3
x
f x =
+
．
(1)求证：函数
f x 的图象关于点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称；
(2)求
2022
2021
0
2022
2023
S
f
f
f
f
f
=
-
+
-
+
+
+
+
+
L
L
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2023
S =
【详解】（1）因为
3
9
3
x
f x =
+
，所以
1
3
3 9
9
1
9
3
9
3 9
9
3
x
x
x
x
x
f
x
-
×
-
=
=
=
+
+ ×
+
，
所以
1
1
f
x
f
x
+
-
= ，即函数
f x 的图象关于点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为
2022
2021
S
f
f
=
-
+
-
+L
0
(1)
2022
2023
f
f
f
f
+
+
+
+
+
L
，
所以
2023
2022
(0
2021
1
)
S
f
f
f
f
f
=
+
+
+
+
+
+
-
+
L
L
2022
f -
（倒序），
又由（1）得
1
1
f
x
f
x
+
-
= ，
所以2
4046
S =
，所以
2023
S =
.
2．（24-25 高二上·上海·阶段练习）已知函数
1
1
f x
x
=
+ ，数列
na
是正项等比数列，且
10
1
a
= ，
(1)计算
1
f x
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 的值；
(2)用书本上推导等差数列前n 项和的方法，求
1
2
3
18
19
f a
f a
f a
f a
f a
+
+
+×××+
+
的值.
【答案】(1)1；
(2) 19
2 .
【详解】（1）因为函数
1
( )
1
f x
x
=
+ ，
所以
1
1
1
1
( )
( )
1
1
1
1
1
1
x
f x
f x
x
x
x
x
+
=
+
=
+
=
+
+
+
+
（2）因数列
na
是正项等比数列，且
10
1
a
= ，则
2
1 19
2
18
3
17
10
1
a a
a a
a a
a
=
=
=
=
=
L
，
所以
1
19
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
f a
f a
f a
f a
+
=
+
= ，
同理
2
18
3
17
10
10
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
f a
f a
f a
f a
f a
f a
+
=
+
=
=
+
=
L
，
考点三
倒序相加法
令
1
2
3
18
19
S
f a
f a
f a
f a
f a
=
+
+
+
+
+
L
，
又
19
18
17
2
1
S
f a
f a
f a
f a
f a
=
+
+
+
+
+
L
，
则有2
19
S =
，故
19
2
S =
，
所以
1
2
3
18
19
19
2
f a
f a
f a
f a
f a
+
+
+×××+
+
=
.
3．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知：
1
1
a = ，
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
S
a
S a
a
a
+
+
+
-
=
（
*
nÎN ）．
(1)求证：数列
n
n
S
a
ì
ü
í
ý
î
þ
是等差数列，并求数列
na
的通项公式；
(2)求和：
0
1
2
1
2
3
1
C
C
C
Cn
n
n
n
n
n
a
a
a
a +
+
+
+×××+
．
【答案】(1)证明见解析，
na
n
=
(2)
1
2 2n
n
-
+
【详解】（1）由
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
S
a
S a
a
a
+
+
+
-
=
，
有
1
1
1
2
n
n
n
n
S
S
a
a
+
+
-
=
，又
1
1
a = ，故
1
1
1
S
a = ，
所以数列
n
n
S
a
ì
ü
í
ý
î
þ
是以1为首项，
1
2 为公差的等差数列，
所以
1
2
n
n
S
n
a
+
=
，即
1
2
n
n
n
S
a
+
=
，
故
1
1
2
2
n
n
n
S
a
+
+
+
=
，两式相减得
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
+
+
+
+
=
-
，
即
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
+
+
=
，所以
1
1
1
1
1
n
n
a
a
a
n
n
+ =
= ××× =
=
+
，
因此
na
的通项公式为
na
n
=
．
（2）设
0
1
2
1
2
3
1
C
C
C
Cn
n
n
n
n
n
S
a
a
a
a +
=
+
+
+×××+
，
则由（1）知
0
1
2
C
2C
3C
1 Cn
n
n
n
n
S
n
=
+
+
+×××+
+
，
又
1
2
1
0
1 C
C
3C
2C
C
n
n
n
n
n
n
n
S
n
n
-
=
+
+
+×××+
+
+
，
两式相加得：
0
1
1
2
2
0
2
C
1 C
2C
C
3C
1 C
1 C
C
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
n
n
n
n
-
-
é
ù
é
ù
é
ù
=
+
+
+
+
+
+
-
+×××+
+
+
ë
û
ë
û
ë
û ，
因为C
C
m
n m
n
n
-
=
，
0,1,
,
m
n
=
×××
，
0
1
2
2
2 C
2 C
2 C
2 Cn
n
n
n
n
S
n
n
n
n
=
+
+
+
+
+
+×××+
+
0
1
2
2
C
C
C
C
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
=
+
+
+
+×××+
=
+
，
所以
1
2 2n
S
n
-
=
+
.
4．（24-25 高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列
na
满足
*
1
2
2
2
2
2
n
n
a
a
a
n n
+
+
+
=
ÎN
L
，数列
nb
满足
50
1
2
n
n
b
a
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S ；
(3)求数列
nb
的前99 项的和
99
T 的值．
【答案】(1)
2n
na =
；
(2)
2
2
2
n
n
n
S
+
=
-
；
(3)
99
51
99
2
T
=
.
【详解】（1）由
*
1
2
2
N
2
2
2
n
n
a
a
a
n n
+
+
+
=
Î
L
①
得
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
n
n
a
a
a
n
n
-
-
+
+
+
=
-
³
L
②
①－②得：
1
2
n
n
a = ，
2
2
n
na
n
=
³
在①式中令
1
n = 得
1
1
2
a = ，
1
2
a =
合适上式，所以对任意的正整数n 都有：
2n
na =
（2）
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
-
-
=
+
+
+
+
L
，
2
3
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
+
-
=
+
+
+
+
L
两式相减得：
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
+
+
+
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
=
+
+
+
-
=
-
= -
-
-
L
整理得：
2
2
2
n
n
n
S
+
=
-
（3）
50
1
2
2
n
n
b =
+
，
所以
100
100
50
100
50
50
50
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
b
-
-
=
=
=
+
+
×
+
所以
100
50
1
2
n
n
b
b
-
+
=
，为定值，则
99
1
2
98
99
T
b
b
b
b
=
+
+
+
+
L
且
99
99
98
2
1
T
b
b
b
b
=
+
+
+
+
L
，两式相加得
99
50
99
2
2
T
=
，因此
99
51
99
2
T
=
1．（24-25 高二下·四川眉山·期末）已知数列{
}
na
的通项公式为
2
1,
2 ,
n
n
n
n
a
n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，则数列{
}
na
的前n 项和
10
S
=
（ ）
A．107
B．1409
C．1414
D．112
【答案】B
【详解】因为
2
1,
2 ,
n
n
n
n
a
n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，
则
5
10
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
5(1 17)
4(1 4 )
(
)
(
)
1409
2
1 4
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
-
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
-
．
故选：B．
2．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知数列{
}
na
满足
2,
1
2
1,
2
n
n
a
n
n
=
ì
= í
-
³
î
，则
10
1
k
k
a
=
=
å
（ ）
A．100
B．101
C．102
D．103
【答案】B
【详解】因为
2,
1
2
1
2
n
n
a
n
n
=
ì
= í
-
³
î
，则
10
1
k
k
a
=
=
å
9(3 19)
2
3
5
19
2
101
2
+
+ + +
+
=
+
=
L
．
故选：B
3．（24-25 高二下·湖北·期末）已知数列
na
的前n 项和是
n
S ，且满足
1
2
2
1
2
1
2
1
3,
8
,
,
N
2
k
k
k
k
a
a
a
a
a
k
*
-
+
=
=
=
Î
，则
2025
S
= （ ）
A．
2025
4
1
-
B．
2025
3 2
3
´
-
C．
1013
3 4
9
´
-
D．
1012
5 4
2
´
-
【答案】C
【详解】因为
2
2
1
2
1
2
1
8
,
2
k
k
k
k
a
a
a
a
-
+
=
=
，所以
2
1
2
1
4
k
k
a
a
+
-
=
，
又
1
3
a =
，所以数列
2
1
k
a
-
是首项为3，公比为4 的等比数列.
因为
2
1
8
24
a
a
=
=
，
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
4
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
×
=
，
所以数列
2k
a
是首项为24，公比为4 的等比数列.
考点四
分组与并项求和
所以
1013
1012
1013
2025
1
3
2025
2
4
2024
3 1 4
24 1 4
3 4
9
1
4
1 4
S
a
a
a
a
a
a
-
-
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
= ´
-
-
-
L
L
，
故选：C.
4．（24-25 高二下·广西崇左·期末）若数列
na
满足
1
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
-
+
+
+
=
+
，
1
5
2
a =
，
na
的前n 项和为
n
S ，则
100
S
的整数部分为（ ）
A．
101
2
1
-
B．
101
2
C．
101
2
1
+
D．
100
2
1
+
【答案】A
【详解】
1
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
-
+
+
+
=
+
Q
，
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
æ
ö
\
-
=
-
ç
÷
è
ø ，
又
1
1
2
2
a -
=
，所以数列
2
n
n
n
a
ì
ü
-
í
ý
î
þ 是首项为2，公比为2 的等比数列，
则
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
=
=
+
-
Þ
，
设数列2n
n
ì
ü
í
ý
î
þ的前n 项和为
nT ，
则
2
3
1
2
3
2
2
2
2
n
n
n
T =
+
+
+
+
L
，
2
3
4
1
1
1
2
3
2
2
2
2
2
n
n
n
T
+
=
+
+
+
+
L
，
两式相减得：
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
+
+
+
æ
ö
´
-
ç
÷
+
è
ø
=
+
+
+
+
+
-
=
-
= -
-
L
，
解得
2
2
2
n
n
n
T
+
=
-
，
所以
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
T
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
-
+
-
=
-
L
，
所以
101
101
101
100
99
51
2
2
1,2
2
S
=
-
Î
-
，故
100
S
的整数部分为
101
2
1
- .
故选：A.
5．（24-25 高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列
na
满足，
1
0
a =
，
1
1
3
,
3
,
n
n
n
n
a
a
a n
+
+
ì
+
ï
= í
ïî
为偶数
，设
2
n
n
b
a
=
，记数列
na
的前2n 项和为
2n
S
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，则下列结论正确的是（ ）
A．
3
9
a =
B．
3n
nb
n
=
×
C．
1
1 3
6
2
n
n
n
T
+
-
×
+
=
D．
1
2
1
3
3
n
n
S
n
+
=
-
×
+
【答案】ABD
【详解】对于A，由
1
0
a =
，因
1
1
3
,
3
,
n
n
n
n
a
n
a
a n
+
+
ì
+
ï
= í
ïî
为奇数
为偶数
，
可得
2
1
3
3
a
a
=
+
=
，
3
2
3
9
a
a
=
=
，故A 正确；
对于B，当
2
n ³
，nÎN 时，
2
2
2
1
2
1 1
3
n
n
n
n
a
a
a
-
- +
=
=
+
2
1
2
2
2
2 1
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
a
a
a
-
-
- +
=
+
=
+
=
+
（*），
因
2
n
n
b
a
=
，则
1
2
1
n
n
b
a
-
-
=
，
故由（*）可得
1
3
3n
n
n
b
b -
=
+
，则
1
1
1
3
3
n
n
n
n
b
b -
-
=
+ ，
即数列3
n
n
b
ì
ü
í
ý
î
þ 为公差为1 的等差数列，
则有
2
1
1
1
1
3
3
3
n
n
b
a
b
n
n
n
=
+
- =
+
- =
，可得
3n
nb
n
=
×
，故B 正确；
对于C，由
2
3
1 3
2 3
3 3
3n
nT
n
= ´ + ´
+ ´
+×××+
×
，
可得
2
3
4
1
3
1 3
2 3
3 3
3n
nT
n
+
= ´
+ ´
+ ´
+×××+
×
，
上面两式相减可得
2
3
1
1
3 1 3
2
3
3
3
3
3
3
1 3
n
n
n
n
nT
n
n
+
+
-
-
=
+
+
+×××+
- ×
=
- ×
-
，
可得
1
2
1 3
3
4
+
-
×
+
=
n
n
n
T
，故C 错误；
对于D，由
2
3n
n
a
n
=
×
，
2
2
1
3n
n
n
a
a
-
=
+
，可得：
2
1
2
3n
n
n
a
a
- =
-
，
则
2
1
3
5
2
1
2
4
6
2
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
+
+×××+
+
+
+
+×××+
2
2
4
2
2
3 3
3n
n
a
a
a
=
+
+×××+
-
+
+×××+
1
3 1 3
2
1 3
3
1 3
n
n
nT
n
+
-
=
-
=
-
×
+
-
，故D 正确.
故选：ABD.
6．（24-25 高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列
1
1
,
2
1,
N
2
1
1
,
2 ,
N
2
n
n
n
k
k
n
a
n
k k
*
-
*
ì
=
-
Î
ï
-
ï
= íæ
ö
ï -
=
Î
ç
÷
ïè
ø
î
则下列说法错误的是（ ）
A．数列
2
1
n
a
-
为等差数列
B．
na
是单调递减数列
C．数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
的前20 项和为-698860
D．若
1
2
m
m
m
a a
a
+
+
=
，则
2
m =
【答案】ABD
【详解】对于选项A：
1
3
5
1
1
1,
,
5
9
a
a
a
=
=
=
，易得
2
1
n
a
-
不是等差数列，A 错误；
对于选项B：
1
2
3
1
1
1,
,
,
,
2
5
n
a
a
a
a
=
= -
=
\
L
并非单调递减数列，B 错误；
对于选项C：令
1
2
1,
2
1,
N
1
( 2)
,
2 ,
N
n
n
n
n
n
k
k
b
a
n
k k
*
-
*
ì
-
=
-
Î
=
= í -
=
Î
î
，
1
3
5
,
,
,
b b b
Q
L是以1 为首项，4 为公差的等差数列，
1
19
1
3
19
10
10 1 37
190
2
2
b
b
b
b
b
+
+
\
+
+
+
=
=
=
L
，
2
4
6
,
,
,
b b b
Q
L是以-2 为首项，4 为公比的等比数列，
10
21
2
4
20
2 1
4
2
2
1
4
3
3
b
b
b
-
-
\
+
+
+
=
=
-
-
L
，
21
21
1
2
20
2
2
572
2
190
698860
3
3
3
b
b
b
-
\
+
+
+
=
+
-
=
= -
L
，C 正确；
对于选项D：①若m 为奇数，
则
1
2
1
1
1
,
,
2
1
2
2
1
m
m
m
m
a
a
a
m
m
+
+
æ
ö
=
= -
=
ç
÷
-
+
è
ø
，
1
2
1
2
0,
0,
;
m
m
m
m
m
m
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
×
<
>
\
×
¹
Q
②若m 为偶数，则
1
1
1
2
1
1
1
,
,
2
2
1
2
m
m
m
m
m
a
a
a
m
-
+
+
+
æ
ö
æ
ö
= -
=
= -
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
，
1
2
m
m
m
a
a
a
+
+
×
=
Q
，∴
1
1
1
1
1
2
2
1
2
m
m
m
-
+
æ
ö
æ
ö
-
×
= -
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
，
故
1
1
2
1
4
m
=
+
，2
1
4
m + =
，
3
2
m
\
=
，D 错误.
故选：ABD
7．（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，
2
2
a = ，
2
2,
2
1,
2
,
2 ,
n
n
n
a
n
k
k
a
a n
k k
*
+
*
ì
+
=
-
Î
= í
=
Î
î
N
N
，则满足2025
3000
m
S
£
£
的正整数m 的所有取值集合为
.
【答案】
20,21
【详解】当n 为奇数时，
2
2
n
n
a
a
+ =
+
，即数列
na
中的奇数项构成以
1
1
a = 为首项，公差为2 的等差数列；
当n 为偶数时，
2
2
n
n
a
a
+ =
，即数列
na
中的偶数项构成以
2
2
a = 为首项，公比为2 的等比数列，
显然数列
na
中的每一项均为正整数，则数列
n
S
为递增数列，
当n 为奇数时，设
2
1(
)
n
k
k
*
=
-
ÎN
，则
1
2
2
1
2
(
1)
2(1 2
)
2
2
2
1 2
k
k
k
k
k
S
k
k
-
-
×
-
-
=
+
+
=
+
-
-
，
当n 为偶数时，设
2 (
)
n
k k
*
=
ÎN
，则
2
1
2
2
(
1)
2(1 2 )
2
2
2
1 2
k
k
k
k
k
S
k
k
+
×
-
-
=
+
+
=
+
-
-
，
而
2
10
19
10
2
2
100 1024
2
1122
S
=
+
-
=
+
-
=
，
2
11
20
10
2
2
100
2048
2
2146
S
=
+
-
=
+
-
=
，
2
11
21
11
2
2
121
2048
2
2167
S
=
+
-
=
+
-
=
，
2
12
22
11
2
2
4215
S
=
+
-
=
，
所以满足2025
3000
m
S
£
£
的正整数m 的所有取值集合为
20,21 .
故答案为：
20,21
8．（24-25 高三上·天津·期中）已知数列
na
满足
1
2
,
2,
n
n
n
a n
a
a
n
+
ì
= í
+
î
为奇数
为偶数，
1
0
a =
，则
8a =
；设数列
na
的前
n 项和为
n
S ，则
2024
S
=
．（第二个空结果用指数幂表示）
【答案】
28
1013
3
2
2026
´
-
【详解】由
1
0
a =
得
2
0
a =
，
当n 为偶数时，
1
n + 为奇数，则
2
1
2
2
2
2
4
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
=
=
+
=
+
，
所以
2
4
2
4
n
n
a
a
+ +
=
+
，故
1
2
4
4 2
n
na
-
+
=
´
，即
1
2
2
4
n
na
+
=
-
，n 为偶数；
当n 为奇数时，
1
n + 为偶数，则
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
+
+
=
=
-
；
所以
5
8
2
4
28
a =
-
=
；
利用分组求和法，
2024
1
3
2023
2
4
2024
S
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
L
L
2
1012
2
3
1013
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
4
=
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
+
-
L
L
1012
1012
1013
2
1 2
4
1 2
2 1012
4 1012
3
2
2026
1 2
1 2
´
-
´
-
=
- ´
+
- ´
= ´
-
-
-
.
故答案为：①28；②
1013
3
2
2026
´
-
.
9．（24-25 高二下·江西上饶·期中）已知
na
是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，且
3
3
S
a
+
，
5
5
S
a
+
，
4
4
S
a
+
成等差数列.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
,
2
1
3
5
,
,
2
1
1
n
n
n
a n
k
n
a
b
n
n
k
n
n
*
=
-
ì
ï
+
=
Î
í
=
ï
-
+
î
N ，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T .
【答案】(1)
1
1
2
n
n
a
-
=
(2)
10
8
10
3
3 2
1 4
n
n
n
T
n
+
=
-
+
×
【详解】（1）设正项等比数列
na
的公比为
0
q q >
，因为
3
3
S
a
+
，
5
5
S
a
+
，
4
4
S
a
+
成等差数列，
则
5
5
3
3
4
4
2 S
a
S
a
S
a
+
=
+
+
+
，即有
5
3
5
4
5
3
4
2
S
S
S
S
a
a
a
-
+
-
+
=
+
，
即
5
4
5
5
3
4
2
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
，因此
5
3
4a
a
=
，
2
5
3
1
4
a
q
a
=
=
，而
0
q >
，解得
1
2
q =
，又
1
1
a = ，
所以数列
na
的通项公式是
1
1
2
n
n
a
-
=
.
（2）由（1）知，
1
1
2
n
n
a
-
=
，当
*
2
1,
n
k
k
=
-
ÎN 时，
2
1
2
1
2
2
1
2
n
k
k
k
b
b
a
-
-
-
=
=
=
，
当
2 ,
n
k k
*
=
ÎN 时，
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
6
5
6
5
2
6
5
2
1
2
1
2
1
2
1 2
2
1 2
2
1 2
k
k
n
k
k
k
k
k
a
k
k
b
b
k
k
k
k
k
k
+
-
-
+
+
+
×
+
=
=
=
=
-
+
-
+
×
é
ù
-
×
×
+
×
ë
û
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
2
1 2
2
1 2
1
1
4
2
1 2
2
1 2
2
1 2
2
1 2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
-
-
+
-
+
é
ù
+
×
-
-
×
é
ù
ë
û
=
=
-
ê
ú
-
×
+
×
é
ù
-
×
×
+
×
ê
ú
ë
û
ë
û
，
2
1
2
3
4
2
1
2
1
3
2
1
2
4
2
n
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
-
-
=
+
+
+
+×××+
+
=
+
+×××+
+
+
+×××+
2
4
2
2
3
3
5
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
2
2
2
1 2
3 2
3 2
5 2
2
1 2
2
1 2
n
n
n
n
n
-
-
+
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+×××+
+
-
+
-
+×××+
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
´
´
´
´
-
×
+
×
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
è
ø
ë
û
2
1
1
1
1
1
4
4
2
10
8
10
4
4
2
1
2
2
1 2
3
3 4
2
1
4
3
3 2
1
4
1
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
-
é
ù
+
=
+
-
=
-
+
-
=
-
ê
ú
+
×
´
+
´
+
´
ê
ú
ë
û
-
，
所以数列
nb
的前2n 项和
2
10
8
10
3
3 2
1 4
n
n
n
T
n
+
=
-
+
×
.
10．（24-25 高二下·辽宁丹东·期末）记
n
S 是数列
na
的前n 项和，
1
1
a = ，
3
6
S =
，且数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是等差数列．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设若
2
,
,
1
n
n
n
n
a
n
b
n
a a +
ì
ï
= í
ïî
为奇数
为偶数，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T
【答案】(1)
na
n
=
(2)
2
2
4
1
n
n
T
n
n
=
+
+
【详解】（1）因为
1
1
1
a
S
=
= ，
3
6
S =
，设等差数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 的公差为d ，则
3
1
2
2
3
S
d
= +
=
，解得
1
2
d =
，
所以
1
1
1
1
2
2
n
S
n
n
n
+
= +
-
=
，即
2
2
n
n
n
S
+
=
，
当
2
n ³
时，
1
n
n
n
a
S
S
n
-
=
-
=
，当
1
n = 时，
1
1
a = 成立，故
na
n
=
．
（2）由题意可得
2
1
2
3
2
n
n
T
b
b
b
b
=
+
+
+
+
L
1
3
2
1
2
4
2
...
...
n
n
b
b
b
b
b
b
-
=
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1 3 ...
2
1
...
2 4
4 6
2
2
1
n
n
n
é
ù
é
ù
=
+ +
+
-
+
+
+
+
ê
ú
ë
û
´
´
´
+
ê
ú
ë
û
1
1
2
1
1
2
4
1
1
...
1 2
2 3
1
n
n
n
n
+
-
é
ù
é
ù
ë
û
=
ú
+
+
+
´
´
+
+
ê
ë
û
´
2
1
1
1
1
1
1
1
...
4
2
2
3
1
n
n
n
æ
ö
=
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
è
ø
2
4
1
n
n
n
=
+
+
.
11．（25-26 高三上·福建福州·开学考试）已知等差数列
na
的前n 项和为
1
6
5
,
2,
7
n
S
a
S
S
=
=
+
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
2 n
a
nb =
，求数列
n
n
a
b
+
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
na
n
=
+
(2)
2
2
1
3
2
4.
2
2
n
nT
n
n
+
=
+
+
-
【详解】（1）因为
6
5
7
S
S
=
+
，
所以
6
6
5
7
a
S
S
=
-
=
，
故
na
的公差
6
1
7
2
1
6 1
6 1
a
a
d
-
-
=
=
=
-
-
，
所以
na
的通项公式为
2
1
1
1
na
n
n
=
+
-
´ =
+ .
（2）由（1）及题设得
1
2
2
n
a
n
nb
+
=
=
，
所以
2
2
1
1
1
2
2
4,
2
2
n
n
n
n
b
b
b
+
+
+
=
=
=
=
，
所以
nb
是首项为4，公比为2 的等比数列.
1
1
2
2
n
n
n
T
a
b
a
b
a
b
=
+
+
+
+
+
+
L
1
2
1
2
n
n
a
a
a
b
b
b
=
+
+
+
+
+
+
+
L
L
4 1 2
2
1
2
1 2
n
n
n
-
+
+
=
+
-
2
2
1
3
2
4.
2
2
n
n
n
+
=
+
+
-
12．（25-26 高三上·浙江·开学考试）记
n
S 为正项数列
na
的前n 项和，已知
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
2
1
,
1,
n
n
n
n
n
a a
b
a
n
+
ì
ï
= í
ï
+
î
为奇数
为偶数
，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T .
【答案】(1)
na
n
=
(2)
2
2
2
1 +
+
+
n
n
n
n
【详解】（1）
2
2
(
0)
n
n
n
n
S
a
a a
=
+
>
，当
1
n = 时，
1
1
a = ,
当
2
n ³
时
2
1
1
1
2
n
n
n
S
a
a
-
-
-
=
+
，
两式相减得
2
2
1
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
-
-
=
-
+
-
，得
2
2
1
1
1
1
0
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
=
-
-
-
=
+
-
-
，
因为
0
na >
，所以
1
0
n
n
a
a -
+
>
，
1
1
2
n
n
a
a
n
-
\
-
=
³
，
na
\
为等差数列，
1
1
na
n
n
= +
-
=
；
（2）
2
1
1
,
2
1
1,
n
n
n
n
n
a a
n n
b
a
n
n
+
ì
=
ï
+
= í
ï
+ =
+
î
为奇数
为偶数
2
1
1
1
3
5
2
1
1 3
3 5
2
1
2
1
n
T
n
n
n
=
+ +
+ +
+
+
+
´
´
-
+
L
1
1
1
3
5
2
1
1 3
3 5
2
1
2
1
n
n
n
æ
ö
=
+
+
+
+
+ +
+
+
ç
÷
ç
÷
´
´
-
+
è
ø
L
L
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
n
n
n
n
æ
ö
+
+
=
-
+
-
+
+
-
+
ç
÷
ç
÷
-
+
è
ø
L
2
2
2
1
n
n
n
n
=
+
+
+
13．（25-26 高三上·河北·开学考试）已知数列
na
的首项
1
1
a = ，
1
4 3n
n
n
a
a +
+
=
´
.
(1)求证：
3n
na -
是等比数列；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(3)令
3
2
1
n
n
n
n
b
a
=
- ´ -
，求数列
nb
的最大项.
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
3
5
1
2
2
n
n
n
S
+
=
-
+ -
(3)
3
1
b =
【详解】（1）因为
1
4 3n
n
n
a
a +
+
=
´
，所以
1
1
3
3
n
n
n
n
a
a
+
+ -
= -
-
，
又
1
1
a = ，所以
1
3
2
a -
= - ，
所以
3n
na -
是以2
- 为首项，1
- 为公比的等比数列.
（2）由（1）可得
3
2
1
n
n
na -
=
´ -
，所以
3
1
2
n
n
na =
+ -
´ ，
所以
1
2
1
2
3
3
3
2
1
1
1
n
n
n
S
é
ù
=
+
+
+
+ ´
-
+ -
+
+ -
ë
û
L
L
1
3 1 3
1
1
3
5
2
1
1 3
2
2
2
n
n
n
n
+
-
-
-
=
+ ´
=
-
+ -
-
.
（3）由（2）可得
3
3
3
2
1
n
n
n
n
n
n
b
a
=
=
- ´ -
，
则
3
2
3
1
1
1
2
3
3
1
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
+
+
+
-
-
-
+
+
-
=
-
=
，
令
2
2
3
3
1
0
n
n
n
-
-
-
+ >
，得1
2
n
≤
≤，
所以当1
2
n
≤
≤时，
1
0
n
n
b
b
+ -
>
，
令
2
2
3
3
1
0
n
n
n
-
-
-
+ <
，得
3
n ³
，所以当
3
n ³
时，
1
0
n
n
b
b
+ -
<
，
即
1
2
3
4
5
b
b
b
b
b
<
<
>
>
>L，
所以数列
nb
的最大项为
3
1
b = .
14．（24-25 高三下·福建厦门·阶段练习）已知等差数列
na
前n 项和为
n
S ，满足
4
3
8,
12
a
S
=
=
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若等比数列
nb
前n 项和为
nT ，且
1 2 3
8
b b b =
，
2
2
T
S
=
，设
n
n
n
c
a
b
=
+
，求数列
nc
的前n 项和
n
M ．
【答案】(1)
2
na
n
=
(2)
2
8
8
2n
n
n
+
+ -
【详解】（1）设等差数列
na
的首项和公差分别为
1,
a d ，
因为
4
3
8
12
a
S
=
ì
í
=
î
，可得
1
1
3
8
3
3
12
a
d
a
d
+
=
ì
í
+
=
î
，解得
1
2
a
d
=
=
，
所以
1
1
2
na
a
n
d
n
=
+
-
=
.
（2）设等比数列
nb
的首项和公比分别为
1,
b q ，
因为
3
1 2 3
2
8
b b b
b
=
=
，可得
2
2
b =
；
又因为
2
2
T
S
=
，即
1
2
1
2
6
a
a
b
b
=
+
=
+
，可得
1
4
b =
，
2
1
1
2
b
q
b
=
=
，
则
3
1
1
4
2
2
n
n
n
b
-
-
=
´
=
，可得
3
2
2
n
n
n
n
c
a
b
n
-
=
+
=
+
，
所以
2
1
1
2
2
8
2
4
8
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n n
M
S
T
n
n
æ
ö
-ç
÷
+
è
ø
=
+
=
+ ´
=
+
+ -
-
.
15．（25-26 高三上·山东日照·开学考试）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
a = ，且
6
S ，
8S ，
7
S 成等差数列.
(1)求
na ；
(2)设
,
,
n
n
n n
b
a n
ì
= í
î
为偶数
为奇数，
nT 是数列
nb
的前n 项和，求
2n
T ；
(3)设
2 2n
n
n
c
n
a
=
×
×
，
n
Q 是
nc
的前n 项的积，求证：
2
2
e
n
n
n
n
Q
+
<
×
.
【答案】(1)
1
1
2
n
na
-
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
(2)
2
2
4
1
1
3
4
n
n
n
n
T
é
ù
æ
ö
=
+
+
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得
8
6
7
2S
S
S
=
+
，即
8
6
7
8
S
S
S
S
-
=
-
，即得
7
8
8
a
a
a
+
= -
，
则
8
7
2a
a
= -
，则等比数列
na
的公比
1
2
q = -
，
又
1
1
a = ，故
1
1
2
n
na
-
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
；
（2）由（1）得
1
,
1
,
2
n
n
n n
b
n
-
ì
ï
= íæ
ö
-
ïç
÷
è
ø
î
为偶数
为奇数，
则
0
2
4
2
2
2
1
1
1
1
2
4
2
2
2
2
2
n
n
T
n
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+¼+
+
-
+ -
+ -
+¼+ -
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
2
1
1
2
2
4
1
4
1
1
2
3
4
1
4
n
n
n
n
n
n
æ
ö
-ç
÷
é
ù
+
æ
ö
è
ø
=
+
=
+
+
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
-
；
（3）由题意知
1
2
2
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
c
n
a
n
n
-
æ
ö
=
×
×
=
×
×
=
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
1 2
n
n
Q
n
=
× LL
，故
ln
ln 2
2ln 1 2
ln 2
2 ln1 ln 2
ln
n
Q
n
n
n
n
=
+
×
=
+
+
+
+
L
L
，
欲证
2
2
e
n
n
n
n
Q
+
<
×
，即证
2
ln
ln 2
n
Q
n
n
n
<
+
+
,
即证
2
2 ln1 ln 2
ln n
n
n
+
+
+
<
+
L
，
设
ln
,
0
f x
x
x x
=
-
>
，则
1
1
1
x
f
x
x
x
-
=
- =
¢
，
当0
1
x
<
< 时，
0
f
x
¢
>
，则
f x 在
0,1 上单调递增，
当
1
x > 时，
0
f
x
¢
<
，则
f x 在
1, ¥
+
上单调递减，
故
1
1
0
f x
f
£
= - <
，故ln
,
0
x
x x
<
>
，
故
1
2 ln1 ln 2
ln
2 1
2
2
1
2
n n
n
n
n n
+
+
+
+
<
+
+
+
=
´
=
+
L
L
，
即
2
2 ln1 ln 2
ln n
n
n
+
+
+
<
+
L
，故
2
2
e
n
n
n
n
Q
+
<
×
.
16．（25-26 高三上·吉林延边·开学考试）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，
nT 为数列
n
nS
的前n 项和，已知
2
3n
n
n
S
a
+
=
.
(1)证明：
4
3n
na -
为等比数列；
(2)求
n
S ；
(3)求
nT .
【答案】(1)详见解析；
(2)
1
1
3
3
8
n
n
+
-
-
；
(3)
2
1
2
1 3
2
3 3
32
n
n
n
n
+
-
-
+
+
.
【详解】（1）由2
3n
n
n
S
a
+
=
可得，当
1
1
1
2
2
3n
n
n
n
S
a
-
-
-
³
+
=
时
，两式相减，可得
1
1
1
2
3
3
n
n
n
n
n
n
S
S
a
a
-
-
-
-
+
-
=
-
，
又
1
,
n
n
n
S
S
a
-
-
=
则
1
1
1
1
2
3
3
,
3
2 3
,
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
-
-
-
-
+
-
=
-
-
=
´
整理可得
1
1
1
2
3
.
3
3
n
n
n
a
a
-
-
=
+
´
当
2
n ³
时，
1
1
1
1
2
4
8
4
1
1
4
3
4
3
3
3
3 3
3
4
3
3
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
+
æ
ö
=
+
´
-
=
+
´
- ´
=
-
´
=
-
ç
÷
è
ø
－
当
1
n = 时，
1
1
2
3
S
a
+
= ，
1
1
1
1
2
3
S
a
a
a
=
+
=
，
，解得
1
1
1
,
1.4
3
1
a
a
=
-
= ，
所以，数列
4
3n
na -
是以1 为首项，1
3 为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，
1
1
4
3
1
3
n
n
na
-
æ
ö
-
= ´ç
÷
è
ø
,则
1
3
1
4
4 3
n
n
n
a
-
=
+
´
，
因为2
3n
n
n
S
a
+
=
，则2
3n
n
n
S
a
= -
+
=－
1
3
1
4
4 3
n
n-
-
´
+3n ，化简整理，
1
1
1
3
1
3
3
3
8
8 3
8
n
n
n
n
n
S
+
-
-
-
=
´
-
=
´
.
（3）由（2）可知，
1
1
3
3
8
n
n
n
ns
n
+
-
-
=
，则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
1
1
3
3
3
3
.
8
8
8
k
k
n
n
n
n
n
k
k
k
k
n
k
k
k
k
k
k
T
kS
k
k
k
k
+
-
+
-
+
-
=
=
=
=
=
é
ù
-
=
=
×
=
-
=
×
-
×
ê
ú
ë
û
å
å
å
å
å
设
1
2
3
4
1
1
3
3
2 3
3 3
3
n
k
n
k
A
k
n
+
+
=
=
×
=
+ ×
+ ×
+
+
×
å
L
则
3
4
5
2
3
3
2 3
3 3
3n
A
n
+
=
+
×
+ ×
+
+
×
L
则
2
3
4
1
3
3
3
3
3n
A
A
+
-
=
+
+
+
+
L
－
2
3n
n
+ ，
整理可得：
2
3
1
2
9
3
3 1
n
n
A
n
+
-
-
= ´
- ×
-
=
2
3
1
9
3
2
n
n
n
+
-
´
- ×
，则
2
9 3
1
3
2
4
n
n
n
A
+
-
=
-
；
设
1
0
1
2
1
1
3
3
2 3
3 3
3
n
k
n
k
B
k
n
-
-
-
-
=
=
×
=
+ ×
+ ×
+
+
×
å
L
则
1
1
2
3
3
3
2 3
3 3
3 n
B
n
-
-
-
-
-
=
+ ×
+ ×
+
+
×
L
，
则
1
1
2
1
3
1 3
3
3
3
n
n
B
B
n
-
-
-
-
-
-
= +
+
+
+
-
L
，
整理可得：
1
1
2
3
3
2
3
3
n
n
B
n
-
æ
ö
-ç
÷
è
ø
=
- ´
= 3
3
3
2
2
n
n
-
æ
ö
-
+
´
ç
÷
è
ø
，则
9
9
3
3
4
4
2
n
B
n
-
æ
ö
=
-
+
´
ç
÷
è
ø
；
2
1
2
1 3
2
3 3
32
n
n
n
n
n
T
+
-
-
+
+
=
.
