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第36 讲 子弹打木块模型和“滑块—木板”模型
1．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L 的木块，
质量为m 的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f 与射
入初速度大小
成正比，即
（k 为已知常数）。改变子弹的初速度大小
，若木块获
得的速度最大，则（ ）
A．子弹的初速度大小为
B．子弹在木块中运动的时间为
C．木块和子弹损失的总动能为
D．木块在加速过程中运动的距离为
【答案】AD
【详解】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度
的速度分别为
，则有
子弹和木块相互作用过程中合力都为
，因此子弹和物块的加速度分别为
由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为
联立上式可得
真题演练
1
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因此木块的速度最大即
取极值即可，该函数在
到无
穷单调递减，因此当
木块的速度最大，A 正确；
B．则子弹穿过木块时木块的速度为
由运动学公式
可得
故B 错误；
C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即
故C 错误；
D．木块加速过程运动的距离为
故D 正确。
故选AD。
2．（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1= 1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直
墙面固定一劲度系数k = 20N/m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg 的小物块以水
平向右的速度
滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物
块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度
2
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内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x 的关系为
。取重力加速度g = 10m/s2，结果可
用根式表示。
（1）求木板刚接触弹簧时速度
的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1；
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速
度v2的大小；
（3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0 所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物
块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。
【答案】（1）1m/s；0.125m；（2）0.25m；
；（3）
【详解】（1）由于地面光滑，则m1、m2组成的系统动量守恒，则有
m2v0= (m1＋m2)v1
代入数据有
v1= 1m/s
对m1受力分析有
则木板运动前右端距弹簧左端的距离有
v1
2= 2a1x1
代入数据解得
x1= 0.125m
（2）木板与弹簧接触以后，对m1、m2组成的系统有
kx = (m1＋m2)a 共
对m2有
a2= μg = 1m/s2
当a 共 = a2时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量
x2= 0.25m
对m1、m2组成的系统列动能定理有
3
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代入数据有
（3）木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板即m1的加速度
大于木块m2的加速度，则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时，则说明此时m1
的速度大小为v2，共用时2t0，且m2一直受滑动摩擦力作用，则对m2有
－μm2g∙2t0= m2v3－m2v2
解得
则对于m1、m2组成的系统有
U = Wf
联立有
3．（2021·海南·高考真题）如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v0向右做匀速直线运动，
将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m 和2m，它们之间的
动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小；
（2）某时刻木板速度是滑块的2 倍，求此时滑块到木板最右端的距离；
（3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直
线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。
【答案】（1）v 共 =
；（2）x =
；（3）t =
，W = mv0
2
【详解】（1）由于地面光滑，则木板与滑块组成的系统动量守恒，有
2mv0 = 3mv 共
4
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解得
v 共 =
（2）由于木板速度是滑块的2 倍，则有
v 木 = 2v 滑
再根据动量守恒定律有
2mv0 = 2mv 木 + mv 滑
联立化简得
v 滑 =
v0，v 木 =
v0
再根据功能关系有
- μmgx =
× 2mv 木
2 +
mv 滑
2 -
× 2mv0
2
经过计算得
x =
（3）由于木板保持匀速直线运动，则有
F = μmg
对滑块进行受力分析，并根据牛顿第二定律有
a 滑 = μg
滑块相对木板静止时有
v0 = a 滑t
解得
t =
则整个过程中木板滑动的距离为
x′ = v0t =
则拉力所做的功为
W = Fx′ = mv0
2
4．（2025·湖北·高考真题）如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n
（n 是大于1 的正整数）个质量均为m 的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n，
5
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木板的质量为nm。相邻滑块间的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为
，滑块与木
板间的动摩擦因数为
。初始时木板和所有滑块均处于静止状态。现给第1 个滑块一个水平
向右的初速度，大小为
（
为足够大常数，g 为重力加速度大小）。滑块间的每次碰
撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求第1 个滑块与第2 个滑块碰撞前瞬间，第1 个滑块的速度大小
(2)记木板滑动前第j 个滑块开始滑动时的速度为
，第
个滑块开始滑动时的速度为
。
用已知量和
表示
。
(3)若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求
的值。（参考公式：
）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块1 运动时，对木板的摩擦力为
地面对木板的摩擦力为
所以此过程中木板保持不动；每个滑块之间距离为L，所以对滑块1 根据动能定理有
解得
（2）滑块间碰撞时间极短，碰后滑块粘在一起运动，若长木板不动，第j 个滑块开始运动时
加速度为
根据运动学公式，第j 个滑块开始滑动到和第
个滑块碰撞时，有
6
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第j 个滑块和第j+1 个滑块碰撞过程中动量守恒有
联立可得
（3）当第k 个木块开始滑动时，木板恰好要滑动，此时有
解得
（n 为整数）
则第
个（即
）木块开始滑动时，木板开始滑动，要刚好不发生下一次碰撞，假设
木板和剩下的木块不发生相对滑动，则
则
木板和剩下的木块不发生相对滑动。
对前面
个（即
）木块，有
木板开始滑动时，刚好不发生下一次碰撞，则对前面
个木块和
个木块共速，且相
对位移恰好为
，则
则
又
则
则
j=1 时，第一个滑块开始运动的速度
，则
j=2 时，根据动量守恒定律可得
可得第2 个滑块开始运动的速度
，
则
7
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由第二问可得，
，则对第3 个滑块到第
个滑块有
……
将从j=2 到j=k+1 相关方程累积求和可得
联立
，
可得
5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A 和B，滑块
C（可视为质点）置于B 的右端，三者质量均为
。A 以
的速度向右运动，B 和C 一
起以
的速度向左运动，A 和B 发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A 和B 的长度均为
0.75m，C 与A、B 间动摩擦因数均为0.5，则（ ）
A．碰撞瞬间C 相对地面静止
B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s
C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为
D．碰撞后到三者相对静止，C 相对长板滑动的距离为0.6m
【答案】D
【详解】A．碰撞瞬间C 相对地面向左运动，选项A 错误；
B．向右为正方向，则AB 碰撞过程由动量守恒
解得
v1=1m/s
8
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方向向右；当三者共速时
可知
v=0
即最终三者一起静止，可知经历的时间
选项B 错误；
C．碰撞到三者相对静止摩擦产生的热量
选项C 错误；
D．碰撞到三者相对静止由能量关系可知
可得
选项D 正确。
故选D。
6．（2025·广东茂名·模拟预测）如图甲所示，一右端固定有竖直挡板的质量
的木板
静置于光滑的水平面上，另一质量
的物块以
的水平初速度从木板的最左
端冲上木板，最终物块与木板保持相对静止，物块和木板的运动速度随时间变化的关系图像
如图乙所示，物块可视为质点，则下列判断正确的是（ ）
A．图乙中
的数值为4
B．物块与木板的碰撞为弹性碰撞
C．整个过程物块与木板之间因摩擦产生的热量为12J
模拟冲关
9
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D．最终物块距木板左端的距离为3m
【答案】BCD
【详解】A．根据题意可知，题图乙中图线a 表示碰撞前物块的减速运动过程，图线b 表示碰
撞前木板的加速过程，图线c 表示碰撞后木板的减速过程，图线d 表示碰撞后物块的加速过
程，物块与挡板碰撞前瞬间，物块的速度大小为v1，设此时木板速度大小为v 木，则v 木
=1m/s，从物块滑上木板到物块与木板碰撞前瞬间的过程，根据系统动量守恒有
解得v1=4m/s
物块与挡板碰撞后瞬间，物块的速度为0，木板速度大小为v2，从物块滑上木板到物块与木
板碰撞后瞬间的过程，根据系统动量守恒有
解得v2=3m/s
故A 错误；
B．2s 末物块与木板共同运动的速度大小为v3，从物块滑上木板到最终共同匀速运动的过程，
根据系统动量守恒有
解得v3=2m/s
物块与木板碰撞前瞬间，系统的动能为
物块与木板碰撞后瞬间，系统的动能
故碰撞过程系统没有机械能损失，故B 正确；
C．物块滑上木板时系统的动能为
最终相对静止时系统的动能为
所以系统产生的热量为
故C 正确；
D．由题图乙得木板长为
碰撞后物块与木板相对位移为
故最终物块距木板左端的距离为
3m，故D 正确。
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故选BCD。
7．（2025·天津·二模）如图所示， 质量为m=3kg 的小球A （视为质点），在两根等长的轻
质细绳 O'P 和OP 作用下处于平衡状态，O'P、OP 与竖直方向的夹角均为60°。质量为
m=3kg 的足够长的木板 B 静止在光滑水平面上，质量为m=3kg 的物块 C （视为质点）静止
在木板 B 的左端，物块 C 与木板B 之间的动摩擦因数为μ=0.1。剪断细绳O'P，小球A 开始
运动，重力加速度g 取
(1)求小球 A 静止时对细绳 OP 的拉力 F 的大小；
(2)小球A 运动到最低点时速度为2m/s，且恰好与物块C 发生弹性正碰（碰撞时间极短），
求碰后物块C 的速度 vC的大小；
(3)求小球A 与物块C 碰后，物块C 相对木板B 滑行的距离s。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据平衡条件得
解得
根据牛顿第三定律得
（2）由弹性碰撞可知
，
解得
（3）根据动量守恒得：
根据能量守恒得
解得
8．（2025·山东济南·二模）如图，固定斜面倾角为θ，质量m1=0.2kg 的木板A 与斜面间的动
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摩擦因数
，质量
的木板B 与斜面间的动摩擦因数
，质量
的小物块C 与木板A 之间无摩擦，与木板B 之间的摩擦因数大于tanθ。初始时刻
小物块位于木板A 最上端，小物块可视为质点。某时刻小物块与木板A 以相同的初速度
沿斜面向下运动，木板B 以初速度
沿斜面向上运动，速度减到0 时刚
好和A 发生第一次弹性碰撞，此时物块C 刚好运动到木板A 的最左端；物块C 与木板B 第一
次共速时两木板刚好相距最远。已知斜面与木板B 足够长，sinθ=0.4，重力加速度g 取
，求：
(1)碰撞前木板B 的加速度大小；
(2)两木板间最初的距离；
(3)小物块C 与木板B 第一次共速时的速度大小；
(4)木板A、B 第一次碰后的最远距离。
【答案】(1)8m/s2
(2)3.15m
(3)1.5m/s
(4)0.36m
【详解】（1）题意易得
对B 由牛顿第二定律得
解得
（2）木板B 减速上滑的距离
木板B 减速上滑的时间
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对A 由牛顿第二定律得
解得a1=0
说明木板A 匀速下滑，木板A 匀速下滑的距离
两木板间最初的距离
（3）A、B 碰撞时，C 刚好到达A 的下端，规定
方向为正方向，A、B 碰撞为弹性碰撞，
则有
可求得A、B 碰后的速度分别为
对物块C，加速度
物块C 滑上B 时的速度为
由受力分析可知，B、C 组成的系统动量守恒有
可求得B、C 共速v=1.5m/s
（4）碰后A 向上减速的加速度
A 减速至0 过程，
A 向下加速的加速度
两木板刚好相距最远即速度相等，A 由碰后最高点下滑至与B 速度相等，经历的时间
下滑的位移
B 由碰后至B、C 共速，位移
A、B 间最远距离
9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，凹形槽
放置在光滑水平地面上，完全相同的两
物块
、
（可视为质点）分别置于槽的左侧和中点，a、b、c 的质量相等，槽内底部长为
。
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现给
一水平向右的初速度
，此后
和
、
和
各发生一次碰撞，且
和
恰好未发生碰
撞。所有的碰撞均视为弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞前后速度交换，重力加速度大小为
。求
(1)a、b、c 的最终速度；
(2)
和
碰撞前瞬间
的速度大小；
(3)从
开始运动至
、
、
三者刚好共速时，
的位移。
【答案】(1)均为
(2)
(3)
【详解】（1）由题意
、
碰撞前
、
相对静止，a、b 碰撞后a、c 相对静止，
、
碰撞
后
、
相对静止。则最终
、
、
三者共速，设速度为
，对全过程，由动量守恒定律
解得
（2）对全过程，由功能关系有
、
碰撞前瞬间，由动量守恒定律
从开始到
、
碰撞前瞬间，由功能关系有
解得
，
（3）经分析
、
、
的位移大小相等。设
碰撞前
的位移为
，由动能定理有
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设
、
碰撞后到a、
、
共速前，
的位移为
，由动能定理有
又
解得
10．（2025·河南开封·模拟预测）质量
的L 形木板
静置于水平粗糙地面上，其上
表面
（包括
处）与挡板
之间光滑，
与左端点
之间粗糙。质量
均为
的滑块
、
（均视为质点）分别静置于
上
点、
点。
、
与
粗糙表面间的动摩擦因数均为
与地面间的动摩擦因数
。
间距
间距
。
时，给
一个大小为
、方向水平向左的瞬时初速度，同时对
施加一个大小
为
、方向水平向左的恒定拉力
与
第一次共速前未发生碰撞。最大静摩擦力近似
等于滑动摩擦力，碰撞均为时间极短的弹性正碰，取
。求：
(1)
与
第一次共速时的速度大小
；
(2)从
到
第一次与
相撞过程，所用的时间
；
(3)从
到
第一次返回到
点过程，
的位移大小
。（结果可用分数表示）
【答案】(1)2m/s
(2)
(3)
【详解】（1）地面对
的滑动摩擦力大小为
由此可知
所以系统所受的合外力为零，根据动量守恒定律有
解得
（2）设从
到
与
第一次共速过程中，
的位移大小为
，所用的时间为
，根据动
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能定理得
解得
根据运动学公式有
解得
与
第一次共速后一起相对静止地向左做匀速运动，设
与
共速时到
第一次与
相撞
所用的时间为
，则
解得
则
解得从
到
第一次与
相撞过程所用的时间
（3）设
第一次与
发生弹性正碰后瞬间
、
的速度分别为
、
，根据动量守恒定律，
有
由机械能守恒定律，有
解得
设
与
第二次共速时的速度大小为
，根据动量守恒，有
解得
设
与
碰后经时间
与
第二次共速，根据动量定理，有
解得
此过程中
在
上滑过的距离
解得
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设再过时间
第一次返回到
点，则
解得
从
到
第一次返回到
点过程中，
的位移大小为
解得
11．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，质量为
的物块A 和质量为
的长木板B 静置
于光滑水平地面上，A 与B 的左端之间的距离为
，质量为
的物块C 放在长木板B 的
右端，物块C 与木板B 之间的动摩擦因数为0.1，水平面上B 的右端相距
处有一挡板
P，初始时A、B、C 均静止。某时刻，给A 施加一个水平向右的恒力，大小为
，A 与B 发
生第一次碰撞后瞬间给B 也施加一个水平向右的恒力，大小为
，当B 的右端运动到挡板
时，C 恰好从B 上滑落，已知所有碰撞均为弹性碰撞，A、C 可视为质点，重力加速度
，求：
(1)A 与B 发生第一次碰撞后瞬间各自的速度；
(2)B 的右端运动到挡板P 时B 的速度大小；
(3)B 的长度。
【答案】(1)A 的速度向左
，B 的速度向右
(2)
(3)
【详解】（1）A 从开始运动到与B 碰撞，由动能定理可得
取向右为正方向，碰撞过程由动量守恒得
根据机械能守恒得
解得
，
即第一次碰撞后A 的速度向左
，B 的速度向右
。
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（2）碰撞后A 先向左减速再向右加速，由
解得
B 开始向右运动，B、C 间产生滑动摩擦力，由
可知B 匀速运动，C 开始匀加速运动，由
解得
假设在C 与B 共速前，A 追上B，设时间为
，则有
解得
此时C 的速度
即C 恰好与B 共速；此时A 的速度
第二次碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
，
解得
，
碰撞后A 向右加速，B 向右匀速运动，C 继续向右匀加速运动，设经过时间
，A 追上B，
有
解得
此时C 的速度
即C 恰好与B 共速；此时A 的速度
由以上分析可知，A 与B 每隔
碰撞一次，C 一直做匀加速直线运动，B 与C 在AB 每次碰
前恰好共速；
第
次碰撞前A 的速度为
B、C 的速度为
第
次碰撞后A 的速度为
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B 的速度为
B 的位移为
当B 的右端运动到
点，有
解得
可知B 在第5 次碰撞后运动一段时间
到达
，则有
第5 次碰撞后还需运动的位移
，
此时
（3）第
次碰撞后到第
次碰撞前C 的位移
B、C 的相对位移
第5 次碰撞后B、C 的相对位移
故木板B 的长度
解得
12．（2025·全国·模拟预测）如图所示，质量为
的木板A 静止在倾角为
的足够
长的斜面上，A 上表面光滑，下表面与斜面之间的动摩擦因数为
，A 下端固定有与板
面垂直的挡板。在木板A 上将质量为
的物块B 从距离挡板
处由静止释放，
若物块B 与挡板的碰撞均为弹性正碰，运动过程中B 始终没有滑离A，取重力加速
，求：
(1)第一次碰后瞬间A、B 的速度大小；
(2)从释放物块B 到B 与A 发生第
次碰撞的过程中，A、B 系统损失的机械能。
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【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）因A 与斜面之间的动摩擦因数
，可知物块B 与A 碰前，物
块A 处于静止状态；对B，有
解得碰撞前数据B 的速度为
B 与A 发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
，
解得
，
可知一次碰后瞬间A、B 的速度大小分别为
，
。
（2）第一次碰撞之后，对A 有
解得
对B 有
解得
设第一次碰后经时间A、B 发生第二次碰撞，可得
解得
此时A、B 的速度分别为
，
可见此后A、B 的运动情况重复前面的过程；第一次碰撞到第二次碰撞的过程中，物块A 运
动的位移为
从释放B 到第
次碰撞的过程中，A、B 系统损失的机械能为
解得
13．（2025·广东珠海·模拟预测）如图所示，光滑水平面上，质量为M=2kg 的木板以
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的速度向左运动。某时刻，质量为m=1kg 的小物块（可视为质点）以向右的速度
从木板左端滑上木板。经过t=0.5s 后，小物块恰好相对木板静止于木板右端。重力
加速度
。关于这一过程，下列说法正确的是（ ）
A．两者最终停在水平面上
B．小物块与木板间动摩擦因数为0.4
C．木板的长度为1.5m
D．系统机械能损失6J
【答案】C
【详解】AB．木板与物块组成的系统满足动量守恒，两者最终以共同速度做匀速运动，以向
左为正方向，根据动量守恒守恒可得
解得最终速度为
方向向左；对木板，由动量定理得
解得小物块与木板间动摩擦因数为
，故AB 错误；
CD．根据能量守恒可得系统机械能损失
又
可得木板的长度为
，故C 正确，D 错误。
故选C。
14．（2025·甘肃·模拟预测）如图甲所示，足够长的质量为
的木板静置在光滑的水平面上，
在木板上放置一质量为
的物块，
时物块以速度
从木板的左端开始向右端滑
动，运动过程中物块的动能
随时间变化的图像如图乙所示，
后物块动能不变，重
力加速度
取
，则下列说法正确的是（ ）
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A．
时物块和木板达到共同速度
B．
C．物块与木板之间的动摩擦因数为0.1 D．木板的最短长度为
【答案】ACD
【详解】A．由图像可知，
时物块和木板达到共同速度，选项A 正确；
B．根据
可知物块的初速度
，共同速度v=1m/s，根据动量守恒
解得
，选项B 错误；
C．由动量定理，对木板
解得物块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.1，选项C 正确；
D．由能量关系
解得x=6m
即木板的最短长度为
，选项D 正确。
故选ACD。
15．（2025·河北·模拟预测）如图是一项在长江边举办的大型户外水上游乐活动的简化图。
活动场地设在一个高h=1.8m 的倾斜山坡上，一质量m=50kg、长L=1.8m 的浮板靠在平滑山坡
底部。质量m=50kg 的游客从山坡顶端静止滑下，经过山坡底端后，浮板沿上表面从左端水
平滑上浮板，若游客恰好不会脱离浮板，安全到达目的地。不计游客与山坡间的摩擦力、空
气阻力以及水对浮板的阻力，不考虑游客通过山坡和浮板连接处的动能损失，游客可视为质
点，重力加速度大小取g=10m/s²。则游客与浮板之间的动摩擦因数为（ ）
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A．0.8
B．0.75
C．0.5
D．0.4
【答案】C
【详解】对游客，从山坡滑下的过程有
解得
游客恰好不会脱离浮板，根据动量守恒有
能量守恒因有
解得
故选C。
16．（2025·山东日照·二模）如图所示，质量M=1kg、足够长的木板Q 静止在光滑水平地面
上，质量m=2kg 的滑块P（可视为质点）静止在木板Q 的左端，滑块P 与木板Q 间的动摩擦
因数μ=0.1。距木板Q 的右端
处有一固定挡板。长度l=1m 的细绳一端固定在O 点，
另一端连接质量m0=3kg 的小球A。将细绳拉直且与水平方向成30°角时，无初速度释放小球
A，当小球A 运动到最低点时恰好与滑块P 发生弹性碰撞，碰后滑块P 沿木板运动，重力加
速度g=10m/s2。
(1)求细绳绷紧后瞬间小球A 的速度大小以及小球A 运动到最低点时的速度大小；
(2)若木板Q 与挡板发生弹性碰撞，求木板Q 从开始运动到与挡板发生第2 次碰撞的时间；
(3)若木板Q 与挡板发生非弹性碰撞，当木板Q 与挡板发生第n（n=1，2，3，……）次碰撞
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时，碰后瞬间的速度大小
与第一次碰撞前瞬间的速度大小v1满足关系式
，
在木板Q 停止运动前，滑块P 都不会和木板Q 共速。木板Q 从开始运动到与挡板发生第n 次
碰撞时，求：
①滑块P 运动的位移；
②滑块P 和木板Q 因摩擦产生的热量。
【答案】(1)
，
(2)
(3)①
，②
【详解】（1）对小球自由落体
绳子张紧瞬间
由机械能守恒定律
（2）小球A 与滑块P 发生弹性碰撞
解得
对木板Q，
解得
设能达到共同速度
，所以没有达到共同速度
对木板Q，
，
24
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解得
木板Q 一直加速的时间
碰撞后木板Q 匀减速到零再反向加速，对物块P，
木板Q 速度减到零时物块P 的速度
设经时间t2后共速
，
木板加速运动位移
匀速的位移
匀速时间
所以总时间
（3）.①木板第一次碰撞后的速度
木板第二次碰撞前的速度
所以从第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔
木板从开始运动到第二次碰撞的时间
第二次碰撞后的速度
第三次碰撞之前的速度
所以从第二次碰撞到第三次碰撞的时间间隔
木板从开始运动到第三次碰撞的时间
25
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同理可知，木板从开始运动到第n 次碰撞的时间
滑块P 一直匀减速直线运动的
解析得
②物块在木板开始运动到第一次碰撞的时间内运动的位移
，相对位移
从每一次碰撞后到下一次碰撞，木板位移为零，相对位移即物块在这段时间的位移，所以从
第一次碰撞到第n 此碰撞相对位移即物块的位移
所以热量
17．（2025·辽宁·三模）如图所示，两个完全相同的木块
、
厚度均为
，质量均为
。
第一次把
、
粘在一起静置在光滑水平面上，质量为
的子弹以速度
水平射向木块
，
恰好将木块
击穿，但未穿入木块
。第二次只放置木块
，子弹以同样的速度水平射向
。
设子弹在木块中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。则第二次子弹（
）
A．能击穿木块
，子弹穿出木块的速度为
B．能击穿木块
，子弹穿出木块的速度为
C．不能击穿木块
，子弹进入木块的深度为
D．不能击穿木块
，子弹进入木块的深度为
【答案】C
【详解】一次击A、B 粘在一起静置在光滑水平面上，质量为m 的子弹以速度v0水平射向木
26
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块A，恰好将木块A 击穿，但未穿入木块B，由动量守恒定律得
解得
由能量守恒定律得
解得
第二次只放置木块B，子弹以同样的速度水平射向B，由动量守恒定律得
解得
由能量守恒定律得
解得
联立可得
所以子弹不能击穿木块B，子弹进入木块的深度为
。
故选C。
18．（2025·安徽芜湖·二模）如图甲所示，质量为M 的木块静止在光滑水平面上，质量为m
的子弹以某一速度沿水平方向射入木块，一段时间后恰好在木块中与木块相对静止，若该过
程中木块的速度
与子弹的速度
之间的关系可以用图乙表示，子弹在木块中相对运动时所
受的阻力为恒力，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．该过程中子弹相对木块的位移比木块相对地面的位移小
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C．木块所能达到的最大速度为
D．木块所能达到的最大速度为
【答案】AC
【详解】ACD．由乙图可知，木块与子弹的速度关系满足
设子弹与木块相对静止时的速度为
，则有
解得二者共同的速度
即木块所能达到的最大速度为
子弹射入木块，系统动量守恒则有
代入数据解得
AC 正确，D 错误；
B．设子弹相对于木块的位移为L，木块相对于地面的位移为x，根据能量守恒定律则有
根据动能定理则有
系统动量守恒，则有
联立解得
，
显然
，即子弹相对木块的位移比木块相对地面的位移大，B 错误。
故选AC。
19．（2025·甘肃白银·三模）如图所示，竖直平面内有一固定光滑的
圆轨道ab，轨道半径
为L；质量均为m，长度和高度均相等的长木板A 和C 静置于光滑水平面上，A 紧靠b 且其
上表面与b 等高，C 的左侧面在坐标原点O 处，x 轴正方向水平向右。一质量为2m 的小滑块
（视为质点）从a 端由静止释放后沿轨道下滑，通过b 后恰好能运动到A 的最右端，然后A
与C 碰撞且粘连在一起，碰撞时间极短。已知滑块与A 间的动摩擦因数
，重力加速
度大小为g。
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(1)求滑块刚到达b 时圆轨道对滑块的支持力大小N；
(2)求A 的长度
以及滑块在A 上时滑块与A 组成的系统因摩擦产生的热量Q；
(3)若滑块在长木板C 上表面发生相对滑动时与C 间的动摩擦因数满足关系式
（
为滑块相对C 滑动的距离），请通过计算判断滑块是否会从C 上掉下。
【答案】(1)
(2)
(3)不会
【详解】（1）滑块从a 运动到b 的过程中，根据机械能守恒定律有
滑块刚到达b 端时，根据牛顿第二定律有
解得
（2）滑块从a 运动到b 的过程中，根据机械能守恒定律有
解得
滑块恰好运动到A 的最右端时与A 达到共同速度，设共速时的速度大小为
，根据动量守恒
定律有
解得
根据能量守恒定律有
根据能量守恒，有
解得A 的长度为
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滑块在A 上时滑块与A 组成的系统因摩擦产生的热量为
（3）A 与C 碰撞过程，根据动量守恒定律有
解得
假设滑块不会从C 上掉下，滑块相对C 运动的路程为
，最终滑块与A、C 的速度大小均为
u，则根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
解得
由于
，假设成立，即滑块不会从C 上掉下。
20．（2025·山东·二模）如图所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角
，有一下端
有挡板、上表面光滑的长木板正沿斜面匀速下滑，长木板质量为
、速度大小
，
现将另一质量为
的小物块轻轻地放在长木板的某一位置，当小物块即将运动到挡板位置时
（与挡板碰撞前的瞬间），长木板的速度刚好减为零，随后小物块与挡板发生第1 次碰撞，
以后每隔一段时间，小物块与挡板碰撞一次，小物块始终没有脱离长木板，长木板始终在斜
面上运动，已知小物块与挡板的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，重力加速度
，
，
，求：
(1)小物块在长木板上下滑过程中，长木板的加速度大小；
(2)小物块放在木板上的瞬间，其与挡板间的距离；
(3)小物块与挡板第5 次碰撞后到第6 次碰前，挡板的位移大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
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【详解】（1）长木板开始匀速下滑，由平衡条件得
解得
把小物块放上长木板后，对长木板，由牛顿第二定律得
解得
（2）长木板上表面光滑，碰撞前小物块做匀加速直线运动，小物块加速运动时间
设小物块与挡板第一次碰撞前小物块的速度为
，则
小物块的位移为
木板的位移为
小物块放在木板上的瞬间，其与挡板的距离为
（3）物块与挡板碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得
，
碰撞后长木板速度再次减为零的时间
此时小物块的速度为
解得
长木板平均速度为
小物块平均速度为
长木板与小物块位移相等，接下来再次碰撞
以此类推可得，小物块与挡板第5 次碰撞后的瞬间，挡板的速度大小为
31
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小物块与挡板第5 次碰撞后到第6 次碰前，挡板的位移大小
21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，一足够长的固定斜面与水平方向夹角为
，
质量
的物块B 在斜面上恰好不下滑，质量为
的光滑物块A 沿斜面下滑，以
速度
与B 碰撞。A 与B 视为质点，碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，重力加速度为
，不计空气阻力。求：
(1)第一次碰撞后A 和B 的瞬时速度的大小；
(2)第一次碰撞结束后，经过多长时间发生第二次碰撞及第二次碰撞前瞬间A 速度的大小。
【答案】(1)2.4m/s，6.4m/s
(2)10.4m/s
【详解】（1）根据动量守恒定律得
，根据机械能守恒定律得
，解得
，方向沿斜面向下，
，方向沿斜面
向下
（2）碰撞后物块A 匀加速下滑，根据牛顿第二定律得
，解得
；
物块B 做匀速运动，根据运动学公式得
，解得
；
第二次碰撞前瞬间A 速度为
，方向沿斜面向下。
22．（2025·天津和平·二模）如图所示，长为
、质量为
的木板静止在光滑的
水平地面上，A、B 是木板的两个端点，点C 是AB 中点，AC 段光滑，CB 段粗糙，木板的A
端放有一个质量为
的物块（可视为质点），现给木板施加一个水平向右，大小为
的恒力，当物块相对木板滑至C 点时撤去这个力，最终物块恰好滑到木板的B 端与
木板一起运动，求：
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(1)物块到达木板C 点时木板的速度
；
(2)木板的摩擦力对物块做的功
；
(3)木块和木板CB 段间的动摩擦因数
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，由于
段光滑，可知，开始木板滑动，物块不动，对木板由动能
定理有
解得
（2）撤去外力后，木板与物块组成的系统动量守恒，由动量守恒定律有
解得
对物块由动能定理有
解得
（3）由能量守恒定律有
解得
23．（2025·河南新乡·三模）如图所示，水平地面上有一木板M，其左端固定一电磁铁装置
P，右端固定一挡板Q，在P 的右端有一质量为m 的铁质物块N，M、P、Q 的总质量为2m。
装置P 初始时不通电，其右端在受到碰撞瞬间会接通电源产生较强的磁性，能吸紧铁质物块
且不再分开。已知P 的右端到Q 之间的距离为L，N 与M 接触面光滑，M 与地面之间的动摩
擦因数为μ，N 可视为质点，重力加速度为g。现整个装置在水平外力的作用下，以恒定速度
向右做直线运动，某时刻撤去外力，则
(1)撤去外力瞬间，M 的加速度大小；
(2)若在M 的速度第一次为零之前，N 未和Q 发生碰撞，求恒定速度v 的取值范围；
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(3)若
，N 和Q 碰撞时没有能量损失，求撤去外力后的整个过程M 与地面摩擦产
生的热量。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）整个装置在外力的作用置处于平衡状态，即
摩擦力
撤去外力后，物块N 不受任何影响，仍保持原速前进；对木板，由牛顿第二定律得
联立解得
（2）假设M 第一次停下来的时间是t，N 运动的位移是
，M 运动的位移是
，则
，
，v＝at
若在M 的速度第一次为零之前，N 并未和Q 发生碰撞，需满足
联立得
（3）经分析得，N、Q 碰撞前，木板已经停止运动，此时N 的速度是v。设碰后N 的速度是
，木板的速度是
，由动量守恒定律和能量守恒定律可得
，
联立解得
，
同样，N、P 碰撞前，木板已经停下来了，此时N 的速度是
，设碰后N 和M 的共同速度是
，列动量守恒公式
解得
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N、P 碰撞的机械能损失是
由能量守恒定律，木板M 与地面摩擦产生的热量为
联立解得
24．（2025·江西新余·二模）北京成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办冬季奥运
会的城市。如图（a）为某滑雪跳台的一种场地简化模型，右侧是一固定的四分之一光滑圆弧
轨道
，半径为
，左侧是一固定的光滑曲面轨道
，两轨道末端
与
等高，
两轨道间有质量
的薄木板静止在光滑水平地面上，右端紧靠圆弧轨道
的
端。
薄木板上表面与圆弧面相切于
点。一质量
的小滑块
（视为质点）从圆弧轨道
最高点由静止滑下，经
点后滑上薄木板，重力加速度大小为
，滑块与薄木板
之间的动摩擦因数为
。
(1)求小滑块
滑到
点时对轨道的压力大小；
(2)若木板只与
端发生1 次碰撞，薄木板与轨道碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，运动过程
滑块所受摩擦力不变，滑块未与木板分离，求薄木板的运动时间和滑块发生的位移
？
(3)如图（b）撤去木板，将两轨道C 端和B 端平滑对接后固定。忽略轨道上
、
距地的高
度，
点与地面高度差
，小滑块
仍从圆弧轨道
最高点由静止滑下，滑块从
点飞出时速率为多少？从
点飞出时速度与水平方向夹角
可调，要使得滑块从
点飞出后
落到地面水平射程最大，求最大水平射程
及对应的夹角
。
【答案】(1)60N
(2)1.2s，3.6m
(3)
；
，
【详解】（1）根据题意可知，小滑块由
到
的过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律
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有
在
点，由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律可知，小滑块
滑到
点时对轨道的压力
。
（2）设木板与挡板第一次碰撞时，滑块速度为
，木板速度为
，在滑块滑上木板到木板
第一次与挡板碰撞的过程中，由动量守恒定律有
由于只发生一次碰撞，则有
解得
，
整个过程木板所受摩擦力不变，滑块滑上木板后，小滑块做匀减速直线运动，由牛顿第二定
律有
解得
设从滑上木板到第一次碰撞的运动时间为
，则有
解得
由于无能量损失，则木板原速率返回，做匀减速运动，由对称性可知，木板运动到
端时，
速度恰好为零，小滑块的速度为零，运动时间
则薄木板的运动时间为
由于小滑块一直做匀减速运动，则有
（3）根据题意可知，图（b）中，小滑块由
点到
点的过程中机械能守恒，由机械能守恒
定律有
解得
设从
点飞出时速度方向与水平方向夹角为
，小滑块落地的速度大小为
，落地速度方向
与水平方向夹角为
，从
点飞出到落到所用时间为，根据动能定理有
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解得
画出速度矢量关系图，如图所示
由几何关系可知，图像的面积为
又有
，
则
可知，面积最大时，水平位移最大，由上述分析可知，
、
固定不变，则当
水平位移最大，又有
可得
解得
即从
点飞出时速度与水平方向夹角为
时，水平射程最大，则有
解得
25．（2025·山东菏泽·二模）质量
的物块A 在图示位置以某一竖直向下的初速度为
进入半径
的四分之一光滑固定圆轨道，在圆弧底端与停放在木板C 左
端的质量
的物块B 碰撞，木板C 的上表面与圆弧底端相切，物块D 开始时距离木
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板C 右端
，木板C 和物块D 的质量
，B 与C 间的动摩擦因数
，C、D 与地面间的动摩擦因数均为
，运动过程中B 始终不会从C 上滑下，
不考虑A 在圆弧底端右侧的运动，所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度
。求：
(1) A、B 碰后各自的速度大小；
(2)C 发生的总位移；
(3)定性画出A，B 相碰后A 在圆弧轨道上的动能变化量大小与时间的关系图像（不写说明）。
【答案】(1)
，
(2)
(3)见解析
【详解】（1）设物块A 到达圆弧底端的速度为vA0，由机械能守恒定律得
解得
A、B 相碰由动量守恒能量守恒得
，
解得，
，
（2）物块B 在木板C 上滑动时，对B，
解得
对C，
解得
设木板C 运动到物体D 位置时所用时间t1，此时B、C 速度分别为vB2、vC1，
，
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，
解得
，
，
由于C、D 质量相同，C、D 发生第一次弹性碰撞后二者交换速度，即碰后C 的速度
，B 接着减速，C 从零加速，D 减速，对D，
解得
D 第一次减速的位移
解得
C 从零加速到
时，速度大小
，所用时间
，B 减速
解得
由于C、D 质量相同，C、D 发生第二次弹性碰撞后二者仍交换速度，即碰后C 的速度变为零，
，B 接着减速，C 从零加速，D 减速。D 第二次减速的位移
，设又经过
t3，B、C 达到共同速度v，C 第三次加速的距离为xC3，
，
，
解得
，
，
B、C 达到共同速度v 后一起作匀减速运动，加速度大小为μ2g，假设与D 不相碰，B、C 一起
停下来的位移为
解得
由于
，假设成立，C 发生的总位移
代入上述数据
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（3）（提示：图像的斜率代表重力做功的瞬时功率）
26．（2025·陕西安康·模拟预测）如图所示，足够长的光滑水平平台的右端与长度L=15m、
以速度v=15m/s 沿逆时针方向匀速传动的水平传送带平滑无缝连接。在平台上相隔一定距离
静置着四分之一光滑圆弧槽b 和小物块c（右侧粘有质量不计的胶水），圆弧槽b 的质量
mb=0.5kg，底端与平台水平相切。现将质量为ma=0.2kg 的小物块a 从槽b 上的某一位置由静
止释放，物块a 滑离槽b 时，a 的速度大小为10m/s。当物块a 第一次滑离传送带时，槽b 和
物块c 恰好发生碰撞，碰后二者结合在一起，b 和c 碰撞过程中二者损失的机械能为2J。已知
物块a 与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块a、c 均可视为质点，重力加速度g 取10m/s2。求：
(1)小物块a 释放位置距平台的高度h；
(2)物块c 的质量mc；
(3)整个过程中，小物块a 和传送带之间因摩擦产生的总热量Q。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设小物块a 离开槽b 时，槽b 的速度大小为
，由动量守恒定律得
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根据能量守恒有
联立解得
（方向向左），
（2）槽b 与小物块c 发生完全非弹性碰撞，设碰后二者共同速度为
，由动量守恒定律有
碰撞过程中系统损失的机械能
联立解得
（方向向左），
（3）小物块a 冲上传送带时的加速度大小为
小物块a 第一次在传送带上向右运动的时间
小物块a 第一次在传送带上向右运动的距离
该时间内传送带的位移
然后小物块a 由从传送带上返回，返回速度大小为
（方向向左）
之后小物块a 追上b、c 整体，滑上槽b 后又滑离槽b。以水平向左为正方向，由动量守恒定
律有
由能量守恒定律有
联立解得
，
因
，所以小物块a 不会第二次追上b、c 整体。
小物块a 第二次在传送带上向右运动的距离
小物块a 第二次在传送带上向右运动的时间
41
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该时间内传送带的位移
整个过程中小物块a 和传送带之间因摩擦产生的总热量为
27．（2025·浙江·模拟预测）如图所示为某游戏装置的结构示意图，该装置由光滑水平轨道
AB，长度为
的传送带
，长度为
的水平轨道CD 和半径
的光
滑半圆轨道DE 构成。质量为
的小物块在弹簧弹力作用下从A 点弹出，沿水平轨道
从
点进入传送带，此后经过CDE，无碰撞地进入质量为
的小车上表面。小车右
端恰好位于
点正下方，小车左端与固定在水平面上的挡板
相距
，当小车碰到挡
板时即停止运动。已知小物块与传送带之间，与
间，与小车的上表面的动摩擦系数均为
，传动带沿顺时针方向以速度
转动，若小物块能恰好从
点飞出，则
(1)求小物块经过
点时对轨道的压力；
(2)求弹簧弹性势能的取值范围；
(3)若物块在运动过程中始终不会和挡板
发生碰撞，求小车长度
的最小值。
【答案】(1)
，方向竖直向下
(2)
(3)
【详解】（1）小物块经过E 点时，根据牛顿第二定律有
解得
小物块由D 点到E 点，根据动能定理有
解得
小物块经过D 点时，根据牛顿第二定律有
42
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解得
由牛顿第三定律可知，小物块对轨道的压力为
，方向竖直向下
（2）小物块从C 点到E 点，根据动能定理有
解得
若小物块进入传送带后全程减速，根据动能定理有
根据能量守恒有
联立解得
若小物块进入传送带后全程加速，根据动能定理有
根据能量守恒有
联立解得
故弹簧弹性势能的取值范围为
（3）小物块进入小车后，假设小物块和小车达到共速，根据动量守恒有
解得
令这段时间内小车向前运动的距离为
，根据动能定理有
解得
故物块和小车达到共速后，小车再撞上挡板的
此过程中滑块在小车上滑行的相对位移为
，根据能量守恒有
解得
小车撞上挡板后，小物块在木板上表面做匀减速直线运动至停止，根据能量守恒有
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解得
则小车的长度至少为
28．（2025·四川乐山·三模）如图所示，质量为
的B 物体放在光滑平台上，质量为
、
长度未知的长木板放置在光滑水平面上，距离固定在水平面上半径为
的四分之一圆弧形曲
面足够远，长木板上端和曲面最低点在同一水平高度。固定在弹簧上质量为
的A 物体将弹
簧压缩后释放，弹簧恢复原长时A、B 发生弹性碰撞。碰后B 滑上长木板，B 与长木板之间
的动摩擦因数
，当B 滑至长木板上某处时恰好与木板相对静止，该位置与长木板右端
的距离为
。随后木板撞上圆弧曲面并立即静止，物体B 恰好滑到圆弧曲面的最高点。已知
重力加速度为
，A、B 均可视为质点，求：
(1)物体B 在圆弧曲面最低点对曲面的压力；
(2)长木板的长度；
(3)最初A 压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能。
【答案】(1)
，方向竖直向下
(2)
(3)
【详解】（1）设物体B 在曲面最低点的速度为
，则从曲面最低点滑动最高点的过程中，
根据机械能守恒定律可得
在曲面最低点时，根据牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知，物体B 在曲面最低点时，对曲面的压力大小为
，方向竖直向下；
（2）设物体B 与长木板的共同速度为
，长木板与曲面碰撞后，物块B 做匀减速运动，设其
加速度为a，根据牛顿第二定律则有
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解得
结合运动学规律可得
代入数据解得
设B 滑上长木板时的速度为
，二者相对静止时，物体B 相对于长木板的位移为
，物体
B 滑上长木板到二者共速，系统动量守恒，则有
解得
根据能量守恒则有
解得
故长木板的长度
（3）设A 物体与B 物体碰撞前后的速度分别为
和
，由于A、B 为弹性碰撞，根据动量
守恒则有
根据能量守恒则有
联立解得
故最初A 压缩弹簧时弹簧所具有的弹性势能
29．（2025·山东临沂·二模）如图所示，光滑水平面上有一质量为
的木板，木板上
表面
段为圆心角
的光滑圆弧，
段为长
的粗糙水平部分，厚度
，两段平滑连接，A 点离地高度为
。一质量为
的小球通过长为
的细绳悬挂于O 点，小球静止时刚好与地面接触，细绳左侧P 点固定一个钉子，
长为
且与竖直方向夹角为
。某时刻木板获得水平向右的初速度开始向右运动，
一段时间后木板与静止的小球发生弹性碰撞，碰后小球绕O 点做圆周运动，恰好能通过圆弧
最高点，当细绳碰到钉子时小球将绕P 点做圆周运动，小球运动到P 点正下方时细绳突然断
裂，小球继续运动并恰好无碰撞的从A 点落入木板。为确保小球恰好从A 点落入木板，碰后
对木板施加一个水平方向的力F，直至小球落入木板时撤掉力F。已知小球与木板间粗糙部
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分的动摩擦因数为
，取重力加速度
，小球可视为质点。求：
(1)木板与小球碰后瞬间小球速度
的大小；
(2)力F 对木板的冲量大小I；
(3)判断小球能否滑离木板，若能滑离木板，求出小球滑离木板时的速度；若不能滑离木板，
求出小球相对木板静止时的位置与木板右端的距离x。
【答案】(1)
(2)
(3)0.225m
【详解】（1）小球恰好过最高点，则
动能定理有
代入题中数据，解得
（2）设碰前碰后木板的速度分别为
和
，木板与小球相碰满足动量守恒和机械能守恒，
有
解得
设绳断瞬间小球的速度分别为
，小球从圆周最高点至绳断瞬间，由动能定理可得
解得
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小球从绳断瞬间到平抛至A 点，小球下落的高度设为
，几何关系可知
解得
小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，则有
联立解得
小球恰好无碰撞的A 点落入木板，设此时木板速度为
，由几何关系可得
解得
对木板，由动量定理可得
联立解得，力F 对木板的冲量大小
（3）假设小球未滑离木板，由水平方向动量守恒和系统能量守恒可得
解得
假设成立，小球相对木板静止时的位置与木板右端的距离
30．（2025·北京东城·二模）如图所示，将质量为
的沙箱用长为的不可伸长的轻绳悬挂
起来，一颗质量为
的子弹水平射入沙箱（未穿出），沙箱摆动的最大摆角为
。
摆动过程中，沙箱可视为质点，重力加速度为
，则子弹将要射入沙箱时的速度大小等于（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设子弹射入沙箱时整体速度为v，由机械能守恒有
设子弹将要射入沙箱时的速度大小为
，规定向右为正方向，子弹射入沙箱过程，由动量守
恒有
联立解得
故选B。
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