2027 年高考一轮复习检测卷（全国一卷 03）
数学·参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A A A D B A D D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BC AC ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． −1
3π π
13． （答案不唯一）， （答案不唯一）
4 4
27
14．
8
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】（1）由正弦定理得(b+c)(b−c)=(a−c)a，
即a2+c2−b2=ac，（2分）
a2+c2−b2 ac 1
由余弦定理可得cosB= = = ，（5分）
2ac 2ac 2
因为B∈(0,π)，
π
所以B=
.（6分）
3
1 3❑√3
（2）由已知S = acsinB= ，所以ac=3. （7分）
△ABC 2 4
2
因为⃗AD=2⃗DC，所以⃗AD= ⃗AC，
32 2 2 1 2
可得⃗BD=⃗BA+⃗AD=⃗BA+ ⃗AC=⃗BA+ ⃗AB+ ⃗BC= ⃗BA+ ⃗BC，（8分）
3 3 3 3 3
所以(⃗BD) 2 = 1 (⃗BA) 2 + 4 (⃗BC) 2 +2⋅ 2 (⃗BA⋅⃗BC)
9 9 9
1 4 4 1 4 2
= c2+ a2+ accosB= c2+ a2+ ，（10分）
9 9 9 9 9 3
1 4 2 1 2 2
又 c2+ a2+ ≥2⋅ c⋅ a+ =2，
9 9 3 3 3 3
❑√6
当且仅当a= ，c=❑√6时取等号，
2
所以BD的最小值为❑√2.（13分）
16．（15分）
【解析】（1）连接BD交AC于点O，连接EO．
因为底面ABCD为菱形，所以O为BD的中点．
又因为PB//平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE=EO，
所以PB//EO，
所以E为PD的中点. （6分）
（2）取BC中点F，连接AF．
在菱形ABCD中，∠BAD=120°，所以∠ABC=60°，则△ABC为正三角形，
所以AF⊥BC，又AD//BC，所以AF⊥AD．（8分）
又因为PA⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系A−xyz．
( t )
设AP=t(t>0)， 则C(❑√3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,t)，E 0,1, ，
2
则⃗AC=(❑√3,1,0)，⃗AP=(0,0,t)，⃗AE= ( 0,1, t ) ，（10分）
2
则平面AED的一个法向量为⃗m=(1,0,0)．（11分）
设平面ACE的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
{⃗n⋅⃗AC=❑√3x+ y=0)
( 6)
则 t ，取⃗n= −❑√3,3,− ，
⃗n⋅⃗AE= y+ z=0 t
2
1
因为二面角C−AE−D的余弦值为 ， （13分）
4
|⃗m⋅⃗n) ❑√3 1
|cos⟨⃗m,⃗n))= = =
所以 |⃗m)⋅|⃗n) ❑ √ (−❑√3) 2+32+ ( − 6) 2 4 ，解得t=1（负值已舍去），
t
所以PA=1． （15分）17．（15分）
【解析】（1）曲线C:y=ax2过点(2,8)，代入得8=a⋅22，解得a=2.
1
则曲线C的方程为x2= y，属于标准抛物线x2=2py型.
2
1 1 ( 1)
对比得2p= ，即p= ，焦点坐标为F 0, . （5分）
2 4 8
（2）设点P(x ,y )，满足y =2x2， 由题可知切线l斜率一定存在.
0 0 0 0
所以设切线l的方程为y−y =k(x−x )，即y=kx−kx + y .
0 0 0 0
联立抛物线与切线方程¿， 消去y得2x2−kx+kx −y =0.
0 0
因为直线与抛物线相切，所以判别式Δ=0， 即Δ=(−k) 2−4⋅2⋅(kx −y )=0，
0 0
整理得k2−8kx +8 y =0
0 0
将y =2x2 代入得k2−8kx +16x2=0，即(k−4x ) 2=0，解得k=4x .
0 0 0 0 0 0
因此切线l方程为y−2x2=4x (x−x )， 整理得4x x−y−2x2=0. （8分）
0 0 0 0 0
( 1) 1
由F 0, 向切线l作垂线，垂足为M， 因为切线斜率为4x ，所以垂线斜率为− ，
8 0 4x
0
1 1
垂线方程为y− =− x，联立切线与垂线方程求交点M: ¿
8 4x
0
(x )
代入解得M 0,0 .（10分）
2
三点坐标：P(x ,2x2 )，M (x 0,0 ) ，F ( 0, 1) .
0 0 2 8因为FM⊥l，所以△PMF是直角三角形，∠FMP=90∘.
1
所以面积S= ⋅|FM|⋅|PM|
.
2
|FM|=❑ √ (x 0−0 ) 2 + ( 0− 1) 2 = 1 ❑√16x2+1.
2 8 8 0
|PM|=❑ √ ( x − x 0 ) 2 +(2x2−0) 2=❑ √ (x 0 ) 2 +(2x2) 2 =❑ √x2 0+4x4
0 2 0 2 0 4 0
❑√16x4+x2 |x |❑√16x2+1
= 0 0= 0 0 （12分）
2 2
1
(2x2+ )|x |
所以面积 1 1 1 |x |❑√16x2+1 0 8 0
S= ⋅|FM|⋅|PM|= ⋅ ❑√16x2+1⋅ 0 0 =
2 2 8 0 2 4
1
65 (2x2+ )|x | 1 65
由S= ，得 0 8 0 65， 即(2x2+ )|x |= .
16 = 0 8 0 4
4 16
1 65
不妨先设x >0，则|x |=x ， (2x2+ )x = .
0 0 0 0 8 0 4
两边同乘8可得(16x2+1)x =130， 即16x3+x −130=0.（13分）
0 0 0 0
可知x =2时，16×8+2−130=128+2−130=0.
0
所以(x −2)(16x2+32x +65)=0，
0 0 0
二次方程16x2+32x +65=0的判别式Δ′=322−4×16×65<0，方程无实根，
0 0
故x =2，y =2×22=8.（14分）
0 0
同理可得x <0，x =−2.如图所示:
0 0
综上，点P的坐标为(2,8)或(−2,8).（15分）
18．（17分）
【解析】（1）列联表如下：
选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计用户年龄段19—24岁 40 10 50
用户年龄段25—34岁 20 30 50
合计 60 40 100
零假设H ：用户选择哪家直播间购物与用户的年龄无关
0
100×(40×30−20×10) 2 50
χ2= = ≈16.67>10.828= χ ，
60×40×50×50 3 0.001
根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设H 不成立，即用户选择哪家直播间购物与用户的年龄
0
又关，该推断犯错概率不超过0.001.（4分）
（2）由题设，小李第二天去乙直播间的基本事件：{第一天去甲直播间，第二天去乙直播间}；{第一
天去乙直播间，第二天去乙直播间}，两种情况，
所以小李第二天去乙直播间购物的概率P=0.5×(1−0.7)+0.5×(1−0.8)=0.25. （8分）
（3）由题设，设五人中下单成功的人数为X，则X∼(5,p)，（9分）
所以f(p)=C2 (1−p) 3p2=10(1−p) 3p2 ，令g(p)=(1−p) 3p2=p2−3p3+3p4−p5，（11分）
5
所以g′ (p)=p(2−9p+12p2−5p3 )，令h(p)=2−9p+12p2−5p3，
4 2 3
所以h′ (p)=−9+24 p−15p2=−15(p− ) + ，
5 5
4 4 3
h′ (p)开口向下，且在(0, )上递增，( ,1)上递减，又h′ ( )=h′ (1)=0，
5 5 5
3 3
故(0, )上h′ (p)<0，h(p)递减；( ,1)上h′ (p)>0，h(p)递增；
5 5
2 2 2
由h( )=0，h(1)=0，故(0, )上h(p)>0，即g′ (p)>0，( ,1)上h(p)<0，即g′ (p)<0，
5 5 5
2 2 2 2
所以g(p)在(0, )上递增，( ,1)上递减，即f(p)在(0, )上递增，( ,1)上递减，
5 5 5 5
2 2
所以f(p) =f( )，即p = . （17分）
max 5 0 5
19．（17分）
a+bx
【解析】（1）设f(x)=ln(1+x)在x=0处的[1,1)阶帕德逼近R(x)= ，（1分）
1+cx
所以，f(0)=0=R(0)=a,a=0．
又f′ (x)= 1 ,R′ (x)= ( bx ) ′ = b ，
1+x 1+cx (1+cx) 2
所以，f′ (0)=1=R′ (0)=b,b=1．（2分）′
又f″ (x)= −1 ,R″ (x)= [ 1 ) = −2c
，
(1+x) 2 (1+cx) 2 (1+cx) 3
1
f″ (0)=−1=R″ (0)=−2c,c= .
2
x 2x
R(x)= =
所以， 1 2+x. （4分）
1+ x
2
（2）f(x)>R(x)，证明如下：
2x
当x>0时，令g(x)=f(x)−R(x)=ln(1+x)− ，（5分）
2+x
( 1 ) 2
1+ x −(1+x)
1 1 2 x2
则g′ (x)=f′ (x)−R′ (x)= − = = >0，
1+x ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 (1+x)(2+x) 2
1+ x (1+x) 1+ x
2 2
所以，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增．（7分）
所以，g(x)>g(0)=0．故当x>0时，f(x)>R(x)．（8分）
2(a −1)
（3）因为a =2，则lna = 1 >0，所以a >1．
1 2 a +1 2
1
2(a −1)
若a >1，则lna = n >0，即a >1．（9分）
n n+1 a +1 n+1
n
2x
由（2）知，当x>0时，ln(x+1)> ，
2+x
2(x−1) 2(x−1)
当x>1时，则lnx> = ．
2+x−1 x+1
2(a −1) 2(a −1)
因为a >1，则lna > n ，又lna = n ，（11分）
n n a +1 n+1 a +1
n n
所以lna <lna ，即a <a ，
n+1 n n+1 n
故数列{a )是递减数列，所以a ≤a =2．（12分）
n n 1
首先证明不等式lnx<x−1，x>1，
1 1−x
设φ(x)=lnx−x+1,x>1，则φ′(x)= −1= <0在(1,+∞)上恒成立，
x x
则φ(x)在(1,+∞)上单调递减，则φ(x)<φ(1)=0，
则lnx<x−1，x>1，
2(a −1)
所以0< n =lna <a −1，（13分）
a +1 n+1 n+1
n
1 a +1 a −1+2 1 1
< n = n = +
所以 ，
a −1 2(a −1) 2(a −1) a −1 2
n+1 n n n1 1 1 1 1 1 1 1 1
故当n≥2时， − < , − < ,⋯, − < ，（14分）
a −1 a −1 2 a −1 a −1 2 a −1 a −1 2
n n−1 n−1 n−2 2 1
1 1 n−1
累加得 − < ，
a −1 a −1 2
n 1
1 1 n−1 1 n−1 n−1 n+1
所以
< + = + =1+ =
，（15分）
a −1 a −1 2 2−1 2 2 2
n 1
2 2 n+3
故a −1> ,a >1+ = ．（16分）
n n+1 n n+1 n+1
1+3
又当n=1时，a =2= ．
1 1+1
n+3
综上， ≤a ≤2． （17分）
n+1 n
