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§4.9 解三角形中的最值与范围问题
重点解读 解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围
问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形
面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
a √3b
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ＝ .
cosA sinB
(1)求角A；
(2)若a＝2，求：
①△ABC面积的最大值；
②△ABC周长的取值范围.
思维升华 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到
“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
1
(1)求面积最值时，S＝ bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的
2
最值.
(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本
(b＋c) 2
不等式bc≤ ，即可求得b＋c的最值.
2
跟踪训练1 (2024·茂名模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B－bcos A
－a＋c＝0.
(1)求B的值；
(2)若M为AC的中点，且a＋c＝4，求BM的最小值.题型二 转化为三角函数求最值(范围)
例2 已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsin A＝√3(c－acos B).
(1)求A的大小；
(2)若a＝6，求b＋c的取值范围.
思维升华 利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、
单调性，再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、
三角形内角和为π等.
跟踪训练2 (2024·菏泽模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin2B＋csin2C
＝(b＋c)sin2A.
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，c＝2，求边长b的取值范围.答案精析
a √3b
例1 解 (1)由 ＝ ，
cosA sinB
a b
结合正弦定理 ＝ ，
sin A sinB
sin A √3sinB
得 ＝ ＝√3，
cosA sinB
∴tan A＝√3，
π
又∵A∈(0，π)，∴A＝ .
3
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc.
①4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
1 1 √3
∴S ＝ bcsin A≤ ×4× ＝√3，
△ABC 2 2 2
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为√3.
②∵4＝b2＋c2－bc，
∴4＝(b＋c)2－3bc，
(b＋c) 2
∴(b＋c)2－4＝3bc≤3· ，
2
即(b＋c)2≤16，
∴b＋c≤4，
当且仅当b＝c＝2时等号成立，
又b＋c>a＝2，
∴2<b＋c≤4，
∴4<a＋b＋c≤6，
∴△ABC周长的取值范围是(4，6].
跟踪训练1 解 (1)由正弦定理及acos B－bcos A－a＋c＝0，
得sin Acos B－sin Bcos A－sin A＋sin C＝0，
又sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴2sin Acos B－sin A＝0，又A∈(0，π)，∴sin A≠0，
1
∴2cos B－1＝0，即cos B＝ ，
2
π
又B∈(0，π)，∴B＝ .
3
(2)由M为AC的中点，
1 1
得
⃗BM＝ ⃗BA＋ ⃗BC，
2 2
而a＋c＝4，
∴⃗BM2 ＝ (1 ⃗BA＋ 1 ⃗BC ) 2
2 2
1 1 1
＝ ⃗BA2 ＋ ⃗BC2 ＋ ⃗BA·⃗BC
4 4 2
1 1 1
＝ c2＋ a2＋ accos∠ABC
4 4 2
1
＝ [(a＋c)2－ac]
4
1 1
＝ (16－ac)＝4－ ac
4 4
1(a＋c) 2
≥4－ ＝3，
4 2
{ a＝c,
当且仅当 即a＝c＝2时等号成立，
a＋c＝4,
∴BM的最小值为√3.
例2 解 (1)方法一 ∵bsin A
＝√3(c－acos B)，
a2 ＋c2-b2
∴由余弦定理，得bsin A＝√3c－√3a· ，
2ac
∴2bcsin A＝√3(b2＋c2－a2)
＝√3×2bccos A，
又bc≠0，∴tan A＝√3，
π
∵0<A<π，∴A＝ .
3
方法二 ∵bsin A＝√3(c－acos B)，
∴由正弦定理得sin Bsin A
＝√3sin C－√3sin Acos B，
又C＝π－(A＋B)，∴sin Bsin A
＝√3sin(A＋B)－√3sin Acos B
＝√3sin Acos B＋√3cos Asin B－√3sin Acos B＝√3cos Asin B，
又sin B≠0，∴tan A＝√3，
π
∵0<A<π，∴A＝ .
3
a c b 6
＝ ＝ ＝
(2)因为sin A sinC sinB √3＝4√3，
2
所以b＝4√3sin B，c＝4√3sin C，
2π
又A＋B＋C＝π，所以C＝ －B，
3
所以b＋c＝4√3sin B＋4√3sin C
[ (2π )]
＝4√3 sinB＋sin -B ＝
3
( 2π 2π)
4√3 sinB＋cosBsin -sinBcos
3 3
(3 √3 )
＝4√3 sinB＋ cosB
2 2
( π)
＝12sin B＋ ，
6
π 2π
因为△ABC为锐角三角形，且A＝ ，C＝ －B，
3 3
π
{ 0<B< ,
2
所以
2π π
0< -B< ,
3 2
π π
解得 <B< ，
6 2
π π 2π
则 <B＋ < ，
3 6 3
√3 ( π)
所以 <sin B＋ ≤1，
2 6
π
当且仅当B＝ 时，等号成立，
3
可得b＋c的取值范围是(6√3，12].
跟踪训练2 解 (1)因为bsin2B＋csin2C＝(b＋c)sin2A，由正弦定理可得b3＋c3＝(b＋c)·a2，
即(b2＋c2－bc)(b＋c)＝(b＋c)·a2，
因为b＋c>0，所以b2＋c2－bc＝a2，
b2 ＋c2-a2 1
所以cos A＝ ＝ ，
2bc 2
π
因为A∈(0，π)，所以A＝ ，
3
π
(2)因为△ABC为锐角三角形，且A＝ ，
3
2π
所以B＋C＝ ，
3
π
{ 0<C< ,
2
所以
2π π
0< -C< ,
3 2
π π
解得 <C< ，
6 2
b c
又c＝2，由正弦定理 ＝ ，
sinB sinC
(2π )
2sin -C
所以b＝2sinB 3
＝
sinC sinC
( 2π 2π )
2 sin cosC-cos sinC
＝ 3 3
sinC
sinC＋√3cosC √3
＝ ＝1＋ ，
sinC tanC
π π
因为 <C< ，
6 2
√3
所以tan C> ，
3
1
所以0< <√3，
tanC
√3
所以1<1＋ <4，
tanC
即边长b的取值范围为(1，4).
