文档文本内容
专题 02 复数
命题解读 考向 考查统计
2022·新高考Ⅰ卷，2
共轭复数、复数的除法运算 2023·新高考Ⅰ卷，2
高考对复数的考查，重点是复数的运
2024新高考Ⅰ卷，2
算、概念、复数的模、复数的几何意
复数的乘法运算 2022·新高考Ⅱ卷，2
义等，难度较低.
复数的几何意义 2023新高考Ⅱ卷，1
复数的模 2024·新高考Ⅱ卷，1
命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量。Ⅱ卷考查复数的
模的计算，属于基础考查。复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的
含义．（2）复数的四则运算。预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示
法及其几何意义、复数的模。
试题精讲
1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若 ，则 .故选：C.
1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求 ，从而可求 .
【详解】由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D
2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
3．（2022新高考Ⅱ卷·2） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求 .
【详解】 ，
故选：D.
4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.一、复数的概念
（1） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ．
（2）形如 的数叫复数，记作 ．
①复数 与复平面上的点 一一对应， 叫z的实部，b叫z的虚部； Z
点组成实轴； 叫虚数； 且 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实
部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，也就是向量 的模，即有向线段 的长度，其计算公式为
，显然， ．
二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数 分别对应的向量 为邻边作平行四边形 ，对角线 表示的向量 就是复数
所对应的向量． 对应的向量是 ．
2、复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离．
三、实系数一元二次方程
1、实系数一元二次方程 中的 为根的判别式，那么
（1） 方程有两个不相等的实根 ；
（2） 方程有两个相等的实根 ；
（3） 方程有两个共轭虚根 ，
求解复数集上的方程的方法：
①设 化归为实数方程来解决．
②把 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当 时，方程的两个实根满足韦达定理
， 。
（2）当 时，方程的两个共轭虚数根 、 ，则
，
。
综上所述，无论方程的判别式 的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程 （ 、 、 且 ）的两个根与系数满足关系
，
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数 满足 ，且 是复数 的共轭复数，则 的值是（ ）
A． B．3 C．5 D．9
【答案】C【分析】先化简复数 ，再求出 ，最后得解.
【详解】 ，
，
.
故选：C
2．（2024·北京·三模）已知复数 ，则 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到 ，即可求出结果.
【详解】由 ，得到 ，
所以 ，其对应点为 ，
故选：C.
3．（2024·河南·三模）已知关于 的方程 的一个根为 ，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】解复数范围内方程可得 及 的值即可得解.
【详解】由 可得 ，
故 ， ，即 .
故选：C.
4．（2024·河南·三模）已知 为虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
【详解】 .
故选：D5．（2024·山东德州·三模）已知复数 满足： ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 ，计算即可.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，
故选：B.
6．（2024·重庆·三模）已知 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用复数相等求出 ，再由共轭复数概念即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，故 ，
所以复数 的共轭复数为 ，
故选：A.
7．（2024·河南郑州·三模）复数 （ 且 ），若 为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，根据 为纯虚数即可求解.
【详解】 ，
因为 为纯虚数，所以 ，
所以 .
故选：A.
8．（2024·四川遂宁·三模）若复数 （其中 ，i为虚数单位）为纯虚数，则复数 在复平面
内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法求出 ，结合已知求出 值即可得解.
【详解】依题意， ，由 为纯虚数，得 ，解得 ，复数 ，
所以复数 在复平面内对应的点 位于第二象限．
故选：B
9．（2024·江苏南通·三模）已知 为复数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】正向可得 ，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得 或 ，则必要性不成立.
【详解】若 ，则 ，则 ，故充分性成立；
若 ，设 ，则 ， ，
则 ， 或 与 不一定相等，则必要性不成立，
则“ ”是“ ”的充分非必要条件，
故选：A
10．（2024·山东潍坊·三模）设复数 是纯虚数，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ，将四个选项代入检验，得到答案.
【详解】由题意得 ，
A选项，当 时， ，不合题意，A错误；
B选项，当 时， ，不合要求，B错误；
C选项，当 时， ，故C正确；
D选项，当 时， ，D错误.
故选：C
11．（2024·黑龙江·三模）若 ，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C．3 D．【答案】A
【分析】先利用乘法运算法则化简复数 ，然后化简 得 ，即可求出其虚部.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 的虚部为 .
故选：A
12．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出 ，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
即 ，
故 .
故选：B.
二、多选题
13．（2024·湖北荆州·三模）已知复数 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则
B．若 为实数，则
C．若 在复平面内对应的点在直线 上，则
D． 在复平面内对应的点不可能在第三象限
【答案】BD
【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几
何意义判断C、D.
【详解】复数 的实部为 ，虚部为 ，
复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，
对于A：若 为纯虚数，则 ，解得 ，故A错误；
对于B：若 为实数，则 ，解得 ，则 ，故B正确；
对于C：若 在复平面内对应的点在直线 上，
所以 ，解得 或 ，故C错误；对于D：令 ，即 ，不等式组无解，
所以 在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
故选：BD.
14．（2024·河北衡水·三模）复数 ，其中 ，设 在复平面内的对应点为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．对任意 ，点 均在第一象限 D．存在 ，使得点 在第二象限
【答案】AC
【分析】当 时，代入计算可判断A、B；由 判断 的实部和虚部范围可判断C、D.
【详解】当 时， ，故 ，故 选项正确；
，B选项错误；
当 时， ， ，
故对任意 ，点 均在第一象限，故C选项正确；
不存在 ，使得点 在第二象限，D选项错误．
故选：AC．
15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.
【详解】对于A，由 ，得 ，则A错误.
对于B，因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），则B正确.
对于C，设 （ ，且 ），
则 ，所以 ，则C正确.对于D，由 ，得 .
设 （ ，且 ），则 ，
，从而 ，则D正确.
故选：BCD
16．（2024·福建福州·三模）已知复数 满足： ， ，则（ ）
A． 的最小值是1 B． 的最大值是2
C． 的最大值是3 D． 的最大值是4
【答案】ABC
【分析】对于A，设 ，依题意可得 ，可知复数 的对应点 在以
为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B，根据题意可得
，表示复数 的对应点 在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上，
根据图形和 可判断B；对于C，根据复数除法运算和复数模公式证明 ，结合图形求得
，然后可判断C；对于D，根据复数减法的几何意义可知 ，结合图形转化
为求 的最值，根据点 在椭圆 上，利用二次函数性质求解可得.
【详解】设 ，
对于A，因为 ，所以 ，
所以，复数 的对应点 在以 为圆心，1为半径的圆上，
由图可知，点 到原点的最小距离为1，即 的最小值是1，A正确；
对于B，因为 ，
所以，复数 的对应点 在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上，
由椭圆几何性质可知，点 到原点的最大距离为2，即 的最大值为2，
又 ，所以 的最大值是2，B正确；
对于C，因为 ，所以
，
由图可知， ，所以当 时， 取得最大值3，C正确；
对于D，因为 表示 的距离，
所以 的最大值为 ，设 ，则 ，即 ，
所以 ，
由二次函数性质可知，当 时， 取得最大值 ，D错误.
故选：ABC
三、填空题
17．（2024·山西临汾·三模）已知复数 满足： ，则 ．
【答案】 /
【分析】利用复数的乘法运算直接求得 ，进而求得 即可.【详解】由 ，得 ，所以 .
故答案为： .
18．（2024·北京·三模）若 是纯虚数，则实数a的值为 .
【答案】
【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.
【详解】 ，
因为 是纯虚数，
所以 ，得 .
故答案为：
19．（2024·河南南阳·三模）若 ，则
【答案】 /
【分析】由复数的乘除法运算法则及模长计算公式求解即可.
【详解】 ，
所以 ，
故答案为： .
20．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数 满足 ，若 在复平面内对应的点不在第一象限，
则 ．
【答案】
【分析】设 ，结合复数的运算以及共轭复数求 ，并结合复数的几何意义取舍.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，则 ，
解得 或 ，又因为 在复平面内对应的点不在第一象限，可知 ，可知 ，
所以 .
故答案为： .
