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专题 02 复数、不等式及其性质
复数的运算
1．（2024·吉林延边·统考一模）已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 （ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算求出复数 ，再利用模长公式计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选:C.
2．（2024·安徽淮北·统考一模）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数除法运算即可化简，由共轭的定义即可求解.
【详解】由 得 ，
故 ，故选：A
3．（2024·吉林白山·统考一模）复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据虚数单位 的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部.
【详解】由 可得： ，故 的虚部为 .
故选:D．
4．（2024·重庆·统考一模）若复数 满足 ，其中i为虚数单位，则 等于（ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出 ，再结合共轭复数的意义求解即得.
【详解】依题意， ，则 ，
所以 .
故选：C
5．（2024·广东深圳·校考一模）设 ， 为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 与 中至少有一个是0
C．若 ，则
D．
【答案】ABD
【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】设 ， ，
则 ，A选项正确.若 ，
则 ，则 或 ，所以 与 中至少有一个是0，B选项正确.
若 ，则可能 ，C选项错误.
，
，D选项正确.
故选：ABD
6．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）设 为复数， ，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 互为共轭复数，则 为实数 D．若 为虚数单位，n为正整数，则
【答案】BC
【分析】根据复数的模、复数乘法、共轭复数、复数的乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确
答案.
【详解】对于A项，取 ，满足 ，但是 不成立，故A项错误；
对于B项，当 时，有 ，又 ，所以 ，故B项正确；
对于C项， 互为共轭复数，则 ，
即 为实数，故C项正确；
对于D项， ，故D项错误．
故选：BC7．（2024·辽宁沈阳·统考一模）设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法解出 ，由模长公式计算 .
【详解】由 解得 ，所以 .
故选：C.
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】借助复数运算法则计算后结合纯虚数定义即可得.
【详解】 ，
若 为纯虚数，则 ，即 .
故选：B.
9．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合 的值，利用复数的除法求复数 ，可以得到它的共轭复数.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
故选：A
10．（2024·浙江嘉兴·嘉兴一中校考一模）已知复数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．【答案】A
【分析】化简复数 ，继而求模即可.
【详解】
则 ，
故选：A.
11．（2024·山西临汾·统考一模）已知 ，其中 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数除法运算法则计算得到 和 ，然后求 即可.
【详解】 ，则 ，
所以 ， ， .
故选：A.
12．（2024·浙江·校联考一模）若 （ 为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由共轭复数的定义、复数的模长公式、复数的运算对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A， ，则 ，所以 ，故A正确；对于，对于B，
，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
13．（2024·河南郑州·统考一模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算求出 ，进而得到 .
【详解】 ，
，
故选：C.
14．（2024·湖南邵阳·统考一模）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用复数代数形式的乘法和除法运算对选项一一化简即可得出答案.【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：D.
复数的几何意义
15．（2024·浙江温州·统考一模）设复数 对应的点在第四象限，则复数 对应的点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由 的周期性化简 ，计算后判断所求复数对应点的象限.
【详解】由复数 对应的点在第四象限，
则设 ，
由
得 ，
由 ，
得复数 对应的点在第二象限.
故选：B.
16．（2024·云南曲靖·统考一模）在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，其中
是坐标原点，则向量 对应的复数为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据复数与向量坐标关系及向量减法求 对应点，即可得对应复数.
【详解】由题设 ，则 ，
所以向量 对应的复数为 .
故选：D
17．（2024·江西抚州·临川一中校考一模）已知复平面上一个动点Z对应复数z，若 ，其
中i是虚数单位，则向量 扫过的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数 表示以 为圆心，以 为半径的圆 的
圆面，过原点 作圆 的切线，切点为 ，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.
【详解】因为 ，
根据复数的几何意义，可得复数 表示以 为圆心，以 为半径的圆 的圆面，
如图所示，过原点 作圆 的切线，切点为 ，
在直角 中，可得 ，所以 ，且 ，
所以 ，
所以复数向量 扫过的面积为 .
故答案为： .18．（2024·湖南长沙·统考一模）复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由复数四则运算以及几何意义即可得解.
【详解】由题意 ，所以复数 在复平面内对应的点 位于第
二象限.
故选：B.
19．（2024·山西晋城·统考一模）设 在复平面内对应的点为 ，则 在复平面内对应的点
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用复数运算法则化简 即可求解.
【详解】依题意得 ，
所以 ，
则 在复平面内对应的点为 ．
故选：C
20．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）已知复数 ，则z在复平面内对
应的点所在的象限为 象限.
【答案】第二
【分析】根据题意，分别判断复数实部和虚部的正负号，即可求解.
【详解】由 ，可知 ， ，
故z在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.故答案为：第二.
21．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知复数 满足 ，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意确定复数z对应的点的轨迹，再结合椭圆的性质以及 的几何意义，即可求得答
案.
【详解】复数 满足 ，
则复数z对应的点的轨迹为以 为焦点，长轴长 的椭圆，
则椭圆短半轴长为 ，椭圆方程为 ，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时， 取值大值2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时， 取值小值 ；
故 的取值范围为 ，
故选：D
不等式的性质
22．（2024·安徽淮北·统考一模）已知 ， ， ，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【分析】利用举反例和不等式得性质进行判断.
【详解】当 为负数时A可能不成立，例如 但 是错误的.因为 根据不等式性质可得 正确.
因为 ，所以 所以 即 所以 故C错误.
因为 ，所以 ，
所以 正确.
故选：BD
23．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）设x，y是正实数，记S为x， ， 中的最小
值，则S的最大值为 .
【答案】
【分析】设 ，通过 的分类讨论，结合不等式的缩放和基
本不等式可求解.
【详解】方法一：设 ， 当 时，
不妨设 ，
①当 时，
②当 时， ，
若 ，则 ；
若 ，则 ；
③当 时， ， ，
；
④当 时， ， ，同理，当 时，可以证明
综上所述：S的最大值为 .
方法二：由题意知 ， ，则 ，
所以 ，解得 ，故S的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的性质，分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题.
基本不等式
24．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）设 ， ，且 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为2
C． 的最小值为 D． 恒成立.
【答案】BC
【分析】根据已知等式，应用基本不等式“1”的代换求各选项的最小值，注意等号是否能成立，进
而判断各项的正误.
【详解】由 得： ，
A： ，当且仅当 时等号成立，
错误；
B： ，当且仅当 时等号成立，正确；C： ，当且仅当 时等号成立，正确；
D： ，又 ，则
，
当且仅当 时等号成立，而 ，显然不能恒成立，错误.
故选：BC.
25．（2024·吉林延边·统考一模）已知函数 ，若对任意的正数a、b，满足
，则 的最小值为： ．
【答案】4
【分析】分析函数 的单调性和奇偶性，可得出 ，将代数式 与 相乘，
展开后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】对任意的 ， ，所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，即函数 为奇函数，
又因为 ，且函数 在 上为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
对任意的正数 ，满足 ，则 ，
所以， ，即 ，所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为4.
故答案为：4.
26．（2024·重庆·统考一模）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可
判断D.
【详解】由题意得 ， ，
， ，则 ，则 ，
对A，根据对数函数 在 上单调递增，则 ，故A正确；
对B，因为 ，即 ，则 ，故B正确；
对C，因为 ，根据指数函数 在 上单调递减，则 ，故C错误；
对D，因为 ， ，
，
当且仅当 时等号成立，而显然 ，则 ，故D正确；
故选：ABD.27．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）已知x，y为正实数，且 ，则 的
最小值为（ ）
A．24 B．25 C． D．
【答案】B
【分析】把 变为 ，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为x，y为正实数，且 ，所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为25.
故选：B
28．（2024·山西晋城·统考一模）定义 表示 ， ， 中的最小值．已知实数 ， ，
满足 ， ，则（ ）
A． 的最大值是 B． 的最大值是
C． 的最小值是 D． 的最小值是
【答案】B
【分析】由题先分析出实数 ， ， 一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即
可.
【详解】因为 ，所以在 ， ， 中，负数的个数为1或3，
又 ，所以在 ， ， 中，1个为负数，2个为正数，不妨设 ，则 ．因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，则 ，
故 的最大值是 ，无最小值．
故选：B.
