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§4.9 解三角形中的最值与范围问题
分值：70分
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
π
1.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，A= ，则b的取值范围是( )
6
A.(0，6) B.(0，2√3)
C.(√3，2√3) D.(3√3，6)
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=c-1，b=c+1，若△ABC为钝角三角形，则
c的取值范围为( )
A.(2，4) B.(1，3)
C.(0，3) D.(3，4)
π
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2=3(b+c)，A= ，则△ABC周长的最大值为(
3
)
A.6 B.12 C.18 D.24
b
4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=60°，B>90°，则 的取值
a
范围为( )
(1 )
A. ，+∞ B.(√3，+∞)
2
C.(2，+∞) D.(3，+∞)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
π
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B= ，b=4√3，则下列说法正确的是( )
3
π
A.若A= ，则a=4√2
4
7+3√5
B.若a=1，则c=
2
C.△ABC周长的最大值为12√3
D.△ABC面积的最大值12√3
6.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcos C+3ccos B=a2，则下列说法
正确的是( )
A.若B+C=2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
π
B.若A= ，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3√2]
4C.若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(3√2，3√3)
3√3-3
D.若A=2C，且sin B=2sin C，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
4
三、填空题(每小题5分，共10分)
sin2C
7.(2024·辽阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+4b2=6c2，则 的最小
sin AsinB
值为 .
π π
8.(2024·绵阳模拟)如图所示，在△ABC中，已知A= ，C= ，AC=4，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，
3 2
且△DEF为等边三角形.则△DEF的面积的最小值是 .四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·铜川模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B+tan Atan
C=3tan Btan C.
(1)证明：3b2+3c2=5a2；(6分)
(2)若a=√15，当A取最大值时，求△ABC的面积.(7分)
C
10.(15分)(2025·郑州模拟)已知在△ABC中，√3sin(A+B)=1+2sin2 .
2
(1)求角C的大小；(6分)
(2)如图，若∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值.(9分)
答案精析
1.D 2.A
π
3.C [因为A= ，且a2=3(b+c)，
3
3
由余弦定理可得，a2=3(b+c)=b2+c2-bc，所以(b+c)2-3(b+c)=3bc≤ (b+c)2，
4
当且仅当b=c时，等号成立，
所以b+c≤12，所以a=√3(b+c)≤6，即△ABC周长的最大值为12+6=18.]
4.C [因为C=60°，B>90°，
√3
所以0°<A<30°，0<tan A< ，
3
1
即得 >√3，
tan A
b sinB
由正弦定理可得， =
a sin A1 √3
sin(A+C) sin A+ cosA
= =2 2
sin A
sin A
1 √3 1
= + × >2.]
2 2 tanA
b a
5.ACD [由正弦定理， = ，代入数据解得a=4√2，故A正确；
sinB sin A
1+3√21 1-3√21
由余弦定理，b2=a2+c2-2accos B=c2-c+1=48，解得c= 或c= (舍去)，故B错误；
2 2
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=48，因为a2+c2-ac=(a+c)2-3ac
(a+c) 2 (a+c) 2
≥(a+c)2-3 = ，
2 4
当且仅当a=c=4√3时，等号成立，所以a+c≤8√3，故△ABC周长的最大值为12√3，故C正确；
1
由C选项分析可知a2+c2-ac=48，因为a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，所以ac≤48，所以△ABC的面积S = acsin
△ABC 2
√3 √3
B= ac≤ ×48=12√3，
4 4
当且仅当a=c=4√3时等号成立，故D正确.]
6.ACD [因为3bcos C+3ccos B=a2，
所以由正弦定理，得3sin Bcos C+3sin Ccos B=asin A，
即3sin(B+C)=asin A，
因为A+B+C=π，
所以sin(B+C)=sin A，
且sin A≠0，所以a=3.
π
选项A，若B+C=2A，则A= ，
3
a
所以△ABC的外接圆的直径2R= =2√3，
sinA
所以R=√3，
所以△ABC的外接圆的面积为π×(√3)2=3π，A正确；
选项B，因为△ABC有两解，
π
则bsin A<a<b，则bsin <3<b，
4
解得3<b<3√2，B错误；
a c
选项C，由正弦定理 = ，
sinA sinCa c
得 = ，
sin A sin2A
即c=2acos A=6cos A，
因为△ABC为锐角三角形，
π
{ 0<A< ，
2
π π π
所以 0<π-3A< ，所以 <A< ，
2 6 4
π
0<2A< ，
2
所以c=6cos A∈(3√2，3√3)，C正确；
选项D，因为a=3，sin B=2sin C，A=2C，
可得B=π-3C，由正弦定理可得b=2c，
由sin(π-3C)=2sin C，
可得sin Ccos 2C+cos Csin 2C=2sin C，
由sin C≠0，可得4cos2C-1=2，
3
解得cos2C= ，
4
( π)
又B=π-3C∈(0，π)，则C∈ 0， ，
3
√3 1
故cos C= ，sin C= ，
2 2
可得sin A=2sin Ccos C
1 √3 √3
=2× × = ，
2 2 2
a c
由正弦定理 = ，a=3可得c=√3，b=2√3，则a+b+c=3+3√3，
sinA sinC
1 1 √3 3√3
S = bcsin A= ×2√3×√3× = ，
△ABC 2 2 2 2
设△ABC的内切圆半径为r，
2S 3√3 3-√3
则r= △ABC= = ，
a+b+c 3+3√3 2
1 1 3-√3 3√3-3
S = cr= ×√3× = ，D正确.]
△AOB 2 2 2 4
2
7.
3
解析 因为a2+4b2=6c2≥2√a2·4b2=4ab，当且仅当a=2b时，等号成立，
c2 2
即 ≥ .
ab 3
sin2C c2 2
由正弦定理可得 = ≥ ，当且仅当a=2b时，等号成立，
sinAsinB ab 3
sin2C 2
所以 的最小值为 .
sinAsinB 3
12√3
8.
7
解析 不妨设△DEF的边长为a，∠CDE=θ.
在Rt△CDE中，CD=acos θ.
π 2π
因为∠ADF=π-θ- = -θ，
3 3
所以在△AFD中，
π
可得∠AFD=π- -∠ADF=θ，
3
AD DF
根据正弦定理可得 = ，
sinθ sin A
2a
所以AD= sin θ，
√3
所以AC=CD+AD
( 2 ) √7 √3
=a cosθ+ sinθ = asin(θ+φ)=4，其中tan φ= ，
√3 √3 2
4√3 4√21
当sin(θ+φ)=1时，a取得最小值 = ，
√7 7
故△DEF面积的最小值为
2
√3 √3 (4√21) 12√3
S= a2= × = .
4 4 7 7
9.(1)证明 ∵tan Atan B+tan Atan C=3tan Btan C，
sin A (sinB sinC )
∴ +
cosA cosB cosC
sinBsinC
=3× ，
cosBcosC
∴sin A(sin Bcos C+cos Bsin C)
=3sin Bsin Ccos A，
∴sin(B+C)sin A=3sin Bsin Ccos A，
又sin(B+C)=sin A，∴sin2A=3sin Bsin Ccos A，
由正弦定理可得a2=3bccos A，
由余弦定理可得a2=3bccos A
3
= (b2+c2-a2)，
2
整理得3b2+3c2=5a2.
(2)解 由(1)得3b2+3c2=5a2，
3
即a2= (b2+c2)，
5
b2+c2-a2
则cos A=
2bc
3
b2+c2- (b2+c2
)
= 5
2bc
1(c b) 2
= + ≥ ，
5 b c 5
c b
当且仅当 = ，即b=c时，等号成立，A取最大值，
b c
此时3b2+3c2=6b2=5a2=75，
25
则b2= ，
2
2 ( π)
∵cos A= >0，则A∈ 0， ，
5 2
√ (2) 2 √21
可得sin A= 1- = ，
5 5
1 1 √21 1 25 √21 5√21
故S = bcsin A= b2× = × × = .
△ABC 2 2 5 2 2 5 4
C
10.解 (1)∵√3sin(A+B)=1+2sin2 ，且A+B+C=π，
2
∴√3sin C=1+1-cos C=2-cos C，
即√3sin C+cos C=2，
( π)
∴2sin C+ =2.
6
π (π 7π)
∵C∈(0，π)，∴C+ ∈ ， ，
6 6 6
π π π
∴C+ = ，即C= .
6 2 3(2)∵△ABC的外接圆半径为2，
AB
AB
∴由正弦定理知， = π =2×2=4，
sin∠ACB sin
3
∴AB=2√3，
π 2π
∵∠ACB= ，∴∠ABC+∠BAC= ，
3 3
∵∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，
π 2π
∴∠ABI+∠BAI= ，∴∠AIB= ，
3 3
设∠ABI=θ，
π π
则∠BAI= -θ，且0<θ< ，
3 3
在△ABI中，由正弦定理得，
BI
AI AB
(π )= =
sin -θ sinθ sin∠AIB
3
2√3
= 2π =4，
sin
3
(π )
∴BI=4sin -θ ，AI=4sin θ，
3
(π ) (√3 1 )
∴△ABI的周长为2√3+4sin -θ +4sin θ=2√3+4 cosθ- sinθ +4sin θ=2√3+2√3cos θ+2sin θ
3 2 2
( π)
=4sin θ+ +2√3，
3
π π π 2π
∵0<θ< ，∴ <θ+ < ，
3 3 3 3
π π π
∴当θ+ = ，即θ= 时，△ABI的周长取得最大值，为4+2√3，
3 2 6
故△ABI周长的最大值为4+2√3.
