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专题三 空间几何（解答题10 种考向）
1
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2
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考向一 平行
【例1-1】（2025·贵州六盘水·一模）在四棱台
中，底面
为平行四边形，侧面
为
等腰梯形，且侧面
底面
，
与BC 的距离为
，点
分别在
棱
，
上，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求四棱台
的高；
3
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(3)求异面直线
与
所成的角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)2(3)
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
则
是梯形
的中位线，
所以
且
，
又因为
且
，所以
且
，
所以四边形AEFG 是平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）分别取
的中点
，如图所示：
因为侧面
为等腰梯形，所以
，
因为侧面
底面
，侧面
底面
，所以
底面
，
因为
，所以
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，即
，
且
，所以
为
与BC 的距离，
4
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所以
，解得
．
所以四棱台
的高为2．
（3）以OA，OB，
所在直线分别为
轴如图建立空间直角坐标系，
则
；
所以
所以
；
所以异面直线
与
所成的角的余弦值为
.
【例1-2】（24-25 新疆乌鲁木齐）如图，已知在四棱柱
中，底面
为梯形，
，
底面
，
，其中
，
，
是
的中点，
是
的中点．
(1)求证：
平面
．
(2)求点
到平面
的距离．
5
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【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由
底面
，
，
则以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
可得
,
；
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，可得
，即
，
因为
，可得
，且
平面
，
所以
平面
（2）因为
，
平面
的一个法向量为
，
所以点
到平面
的距离
.
【例1-3】（2025·四川·模拟预测）如图，在三棱台
中，
，
，点
，
6
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分别为
，
的中点，
平面
，
．
(1)若平面
平面
，求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为
为棱台，所以
，
因为
分别为
的中点，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
，
因为平面
平面
，
平面
，所以
.
（2）
如图，以
为原点，分别以
为
轴，过点
垂直平面
向上的方向为
轴建系，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
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设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
，
所以
，
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【例1-4】（24-25 高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥
中，
，
，
平面
ABC，H 为垂足，D 为AC 的中点.
(1)证明：
平面
(2)若
，
，求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】线面角的向量求法、线面平行的性质
【分析】（1）根据棱台的性质得到
，然后利用线面平行的判定定理和性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求线面角.
【详解】（1）证明：连接
，因为
，D 为
的中点，所以
；
又因为
平面
，
平面
，所以
；
又因为
，
平面
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以
；
8
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因为
，且
，
均在平面
内，所以
；
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）如图，过点H 作
于点Q，连接
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
，
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以
，所以
为二面角
的平面角，
因为
，
，所以
，
，
所以
，所以
，
所以二面角
的正弦值为
【例1-5】（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，点
在棱
上，且
．
(1)证明：
平面
；
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(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
．
【解析】（1）连接
交
于
，连接
，∵
，∴
．
又∵
，∴
，∵
平面
，
平面
，∴
平面
．
（2）取
中点
，连接
，∵
，∴
，
，
又∵
，
，∴四边形
为矩形，
．
∵
，∴
．
∵
，且
平面
，
平面
，
∴
平面
，以
为原点建系如上图，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
设
为平面
的法向量，
令
，则
，
，∴
，
∴
，
∴
与平面
所成角的正弦值为
．
10
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【例1-6】（24-25 高三下·湖北武汉·开学考试）在五面体
中，
平面
，
平面
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，
，求二面角
的大小．
【答案】(1)证明见详解；
(2)二面角
的大小为
.
【解析】（1）证明：
平面
，
平面ADE，
，
又
平面
，
平面
，
平面
，
又
平面
，平面
平面
，
，又
，
.
（2）因为
平面
，所以
，
又
，所以
，
如图，以
为坐标原点，
、
、
分别为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系，设
，则
，
，
，
，
又
，所以
，
又
，
，所以
，
解得
.
11
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所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，则
，
同理，设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，则
，
设二面角
为
，根据几何体，可判断
为钝角，
则
，
所以二面角
的大小为
.
【例1-7】（24-25 高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四面体
中，
平面
，
是
的
中点，
是
的中点，点
在线段
上，且
．
(1)求证：
平面
．
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】（1）方法一：如图，取
中点
，因
是
中点，
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且
，
取
的四等分点
，使
，
又
，则
，且
，
四边形
为平行四边形，
,又
平面
，且
平面
，
平面
.
方法二：
如图，连接
并延长交
于
，连接
，
在
中，过点
作
，交
于点
，
因为
是
的中点，则
，
又
是
的中点，则
，得
在
中，因
，故
，
又
平面
平面
，
平面
.
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（2）
由
，知
.
以
为坐标原点，过点
与
平行的直线为
轴，
分别以
所在直线为
轴和
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
又
，得
，
，
则
，
，
，.
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，
所以
为平面
的一个法向量，
因为
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
考向二 垂直
【例2-1】（24-25 河南漯河·期末）如图，在三棱锥
中，
，
，
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，
为
中点，点Q 满足
．
(1)证明：
面
；
(2)求二面角
的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)45°
【解析】（1）连接
，因为
，
，
所以
是正三角形，故
，
同理可得
，所以
，
因为
为
的中点，所以
，
由三线合一性质得
，
因为
，所以
，
因为
，所以由直角三角形中线性质得
，
结合
，由勾股定理得
，
所以
，
故
，因为
，
面
，
所以
面
．
（2）由（1）得
，
，
，
以
为原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
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设
，则
，
，
，
，
设
，故
，
，
因为
，所以
，
，
，
解得
，
，
，故
，
而
是平面
的一个法向量，
设
是平面
的一个法向量，
则
，即
，取
，解得
，
，
故
，设二面角
为
，
故
，
由题意得二面角为锐角，则
，
故二面角
的大小为
．
【例2-2】（24-25 高三上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，平面
平面
，
，四棱锥
的体积为4.
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
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【解析】（1）设
，在平面
内过点
作
，垂足为
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
.
（2）在
中，由
，
，可得
，
，
由（1）知
，则
，
解得
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
以
为
轴建立如图所示空间直角坐标系，
所以
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
17
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设平面
的一个法向量为
，
又
，
则
，取
，
所以
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
【例2-3】（24-25 高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥
中，平面
平面
，
为棱
上一点.
(1)证明：
；
(2)若
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）取
中点
，连接
平面
平面
，平面
平面
平面
平面
平面
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，即
又
平面
平面
平面
（2）连接
，设
，连接
平面
平面
，平面
平面
，易知
取
中点
，连接
，则
两两互相垂直.
分别以
为
轴，
轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系
则
，
，
设平面
的一个法向量
则
即
令
，则
设直线
与平面
所成角为
，则
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即直线
与平面
所成角的.正弦值为
【例2-4 】（2025·广东惠州·三模）如图，正三棱柱
的所有棱长都为
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）取
中点
，连结
，
为正三角形，则
，
正三棱柱
中，平面
平面
，
平面
，平面
平面
，
平面
，
以
为原点，
的方向为
轴的建立空间直角坐标系，
则
，
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，且
都在面
内，
平面
（2）设平面
的法向量为
，且
，令
，得
，
由（1）知
面
，则
为平面
的法向量，
设面
与面
所成角所为
，
.
【例2-5】（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥
中，底面四边形
是正方形，
平面
，二面角
与二面角
的大小相等．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
又正方形
中，
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
21
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（2）由（1）
平面
，
平面
，所以
，
，
从而
为二面角
的平面角，
因为
，所以
平面
，
同理可得
为二面角
的平面角，
依题意
，即
，
以点D 为原点，分别以直线
、
为x、y 轴，过点D 作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设
，则
，所以
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，得
，
又
为平面
的一个法向量，
所以
，
故平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
考向三 空间距离
【例3-1】（24-25 高三下·天津·开学考试）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
，
，
是
的中点，点
在棱
上且
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(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）连接
交
于
，连接
，
由底面
为矩形，则
为
的中点，
又
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
;
（2）根据题意，以点
为坐标原点，分别以
为
轴，建立空间直角坐标系，
由
，
则
，
则
，
，
，
故平面
的一个法向量为
，
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设
为平面
的法向量，则
，即
，
令
，则
，故
，
所以
，
根据题意，可得平面
与平面
夹角为锐角，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
；
（3）由（2）可知
为平面
的法向量，
，
所以
，
所以点
到平面
的距离为
.
【例3-2】（24-25 高三上·天津·期末）如图，四棱锥
中，平面
平面ABCD
是以
为斜
边的等腰直角三角形，底面
为直角梯形
其中
是
的中
点，
是
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
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(3)
【解析】（1）证明：由于
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
O 是AD 的中点，故
由于平面
平面ABCD，平面
平面
平面PAD，
故
平面ABCD；
（2）连结OB，由于O 是AD 的中点，且
故
由于
故四边形OBCD 为矩形，
所以
故有OB、OD、OP 两两垂直，
以O 为坐标原点，OB、OD、OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直坐标系Oxyz，
则
,
设平面PAB 的法向量为
则
令
则
故平面PAB 的一个法向量为
设平面PBC 的法向量为
则
令
则
故平面PBC 的一个法向量为
设平面PAB 与平面PBC 的夹角为
25
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故平面PAB 与平面PBC 的夹角余弦值为
；
（3）
由（2）知，平面PAB 的一个法向量为
所以点E 到平面PAB 的距离为
【例3-3】（24-25 高三下·天津·阶段练习）在如图所示的几何体中，
平面
，
，F 是
的中
点，
，
，
.
(1)求证:
平面
;
(2)求平面
与平
所成夹角的余弦值；
(3)求点 A 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）取
的中点
，连接
，由
是
的中点，得
，而
，则
．
又
，于是四边形
是平行四边形，
，
在
中，
，
，有
，由
平面
，
平面
，得
，而
平面
，因此
平面
，
所以
平面
.
26
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（2）由（1）知
平面
，而
，则直线
两两垂直，
以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
于是
，
，
，
，
，
，
，
设
是平面
的一个法向量，则
，令
，得
，
显然平面
的一个法向量为
，设平面
与平面
的夹角为
，
因此
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值是
.
（3）由（2）知道平面
的一个法向量为
，且
，
则点 A 到平面EBD 的距离
.
考向四 动点问题
【例4-1】（24-25 广东茂名·期末）如图所示，在五面体
中，已知平面
平面
，底面
是平行四边形，
是正三角形，
.
(1)证明：
平面
；
27
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(2)证明：四边形
为矩形；
(3)若点
是棱
上的动点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】（1）
底面
是平行四边形，
，又
平面
平面
，
平面
，又
平面
，且平面
平面
，
，又
平面
平面
，
平面
；
（2）如图，取
中点
，连接
，又
是正三角形，
，又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，又
平面
，
，又
，且
，
平面
，
平面
，又
平面
，
，又四边形
为平行四边形，
四边形
为矩形；
（3）根据题意（2）可以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴，以过
且平行
的直线为
轴，建系
如图：
则
，设
设平面
的法向量为
，
则
，取
，
直线
与平面
所成角的正弦值为：
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解得
，
【例4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2 和4 的
正方形，平面
平面ABCD，
，点M 是线段
的中点，N 为线段CD 上一点．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)在线段CD 上是否存在点N，使平面
与平面MNB 夹角的余弦值为
？若存在，指出点N 的位置；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点N 为CD 的中点
【解析】（1）取线段
的中点P，连接PM，PD，
因为MP 为梯形
的中位线，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，
，且
，所以
，
，
所以四边形MNDP 为平行四边形，
所以
，又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）在平面
中，作
于O，
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因为平面
平面ABCD，且平面
平面
，
所以
平面ABCD，
在正方形ABCD 中，过O 作AD 的平行线交CD 于点Q，则
，
分别以
，
，
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为四边形
为等腰梯形，
，
，所以
，
又因为
，所以
，
则
，
，
，
，
，设
，
，所以
，
设平面
的法向量为
，
所以
，则
，
令
，所以
，
又因为M 为
的中点，
所以
，所以
，
，
设平面BMN 的法向量为
，
所以
，则
，
30
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令
，所以
，
又因为平面
与平面MNB 夹角的余弦值为
，
所以
，整理得
，
所以
，解得
或
，
又因为
，所以
，
所以存在，点N 为CD 的中点．
【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）如图1 所示，在平行四边形EBCD 中，
，垂足为
，
，将
沿
折到
的位置，使得二面角
的大小为
，如图2 所示，点
为棱
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)证明：
；
(3)若点
在棱
上，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）由题意可知，图2 中
，
，
，
平面
，
所以
平面
.
又
面
，所以平面
平面
.
（2）解法一：由平面几何知识可知
，在图2 中取AD 中点O，连接MO，PO，
31
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因为M 为AB 中点，所以
，
，
因为
，
，所以
为二面角
的平面角，
所以
，则
为等边三角形，所以
.
又平面
平面ABCD，交线为AD，所以
平面ABCD，所以
.
又
，且
平面PMO，所以
平面PMO.
又
平面PMO，所以
.
解法二：因为
，
，所以
为二面角
的平面角，所以
，
以A 为原点，AB，AD 所在直线为x，y 轴，平行于PO 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
所以
，
所以
.
（3）以A 为原点，AB，AD 所在直线为x，y 轴，平行于PO 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
设
，面AMN 的法向量为
，
，
，
则
，取
，则
.
又
，所以
32
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因为直线PC 与平面AMN 所成角的正弦值为
，所以
解得
，
，
，
当
时，直线PC 与平面AMN 所成角的正弦值为
.
考向五 折叠问题
【例5-1】（2025·新疆·模拟预测）如图，在等腰梯形
中，
，点
为
中点，点
分别为
的中点，将
沿
折起到
的位置，使得平面
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)侧棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求平面
与平面
夹角的余弦值，若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）
，且
，
故四边形
是平行四边形，
，
又四边形
为等腰梯形，
，
，可得
是等边三角形，
故四边形
为菱形，
是等边三角形，
为
中点，
，同理
，
33
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又
平面
，
平面
.
（2）存在点
，使得
平面
;
设平面
与平面
夹角为
.
平面
平面
，平面
平面
平面
，
平面
，又
，建立以
为原点，
所在的直线为
轴的空间直角坐标系
，如图所示，
，
则
，
设
，则
，
设平面
的一个法向量
，则
，即
，
34
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令
，则
，
要使
平面
，则
，
即
，解得
，故在侧棱
上存在点
，使得
平面
，
此时，
，
设平面
的一个法向量
，则
，即
，
令
，则
，即
，
易得平面
的一个法向量
，
故平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
【例5-2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图1，在△ABC 中，
将
沿EF 折起，使点A 到达点
位置，连接
，得到四棱锥.
如图2.
(1)若平面
平面
，在线段
上是否存在一点P，使得
，如果存在，指出点P 的位置；如
果不存在，说明理由；
(2)如图3，若平面
平面
，且点N 为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)存在，点
是线段
上靠近点
的三等分点；
35
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(2)
.
【难度】0.65
【解析】（1）在线段
上存在一点P，使得
，
在线段
上取点P，使
，在线段
上取点Q，使
，连接
，
则
，
，且
，而
，
于是
，四边形
是平行四边形，
，
而
平面
，
平面
，则
平面
，又
平面
，平面
平面
，
所以
，此时点
是线段
上靠近点
的三等分点.
（2）取
的中点
，连接
，依题意，
，则
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
则
平面
，在平面
内过
作
，则直线
两两垂直，
以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
36
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显然
垂直平分线段
，而
，直线
与
的距离为
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，令
，得
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【例5-3】（24-25 高三下·江西·开学考试）如图，在直角梯形
中，
.以
为折痕将
折起，使
到达
的位置且
.
(1)试在线段
上确定一点
，使
平面
，并说明理由；
(2)求二面角
的正切值.
【答案】(1)
是线段
的中点时，
平面
，理由见解析
(2)
【解析】（1）当
是线段
的中点时，
平面
，理由如下：
取
为线段
的中点，连接
，
所以
，
，又
，所以
，
又
，所以
，
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
37
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（2）在直角梯形中，取
的中点
，易得
是矩形，且
，
所以
，所以
是等边三角形，
取
中点
，连接
，
可得
，所以
是等边三角形.又
为等边三角形.
所以
，又易得
，又
，
所以
，所以
，
以
为坐标原点，
所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
，
38
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设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
，
设二面角
的大小为
，又显然二面角为锐二面角，
所以
，
所以
，所以
.
所以二面角
的正切值为
.
【例5-4】（2025·海南·模拟预测）如图（1），正方形
的边长为
，
是
的中点，点
在边
上且
.将
沿
折起到图（2）中
的位置，使得平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)如图（2），点
在线段
上，过点
、
的平面
截四棱锥
所得的截面是一个直角三角形，在
图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)作图见解析
【解析】（1）因为
，平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
39
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又因为
，即
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
.
（2）取
的中点
，连接
，过点
在平面
内作
，垂足为
，
因为平面平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
，
所以，
平面
，
因为
，即
，且
，
所以，四边形
为平行四边形，所以，
，
因为
，则
，
以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
、
、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
.
在
中，
，
，所以
，
因为
，由勾股定理可得
，
所以，
，
，则
，所以
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
.
40
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由（1）知
平面
，故平面
的一个法向量为
.
因为
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
（3）所得的截面为直角三角形
，如图所示：
作法：在平面
内作
，交
或
于点
，连接
，
因为
平面
，
，则
平面
，
因为
平面
，所以，
.
考向六 最值问题
【例6-1】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体
的棱长为1，点M，N 分别在线段
，
上，且
，
.
(1)若
，证明：
；
(2)若
，点P，Q 分别在直线
，
上，且
，
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
41
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(2)
【解析】（1）连接
，
，当
，则
是
的中点，
是
的中点，
所以
，
因为
面
，
面
，所以
，
所以
.
（2）以
点为原点，
，
，
方向为
，
，
轴正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，所以
，
，
所以
，
，所以
，
又
，设直线
的方向向量为
，
则由
得
，
取
，又
，
42
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所以
由
得
，
易知
在
单调递减，
单调递增
所以
，所以
.
【例6-2】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱
中，
，
，
，
，E，F 分别为AD，AB 的中点.
(1)求证：
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)若
，P 是线段
上的动点，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
.
【解析】（1）
，
，所以
43
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又
，
，
又
，
，
，
.
（2）在直四棱柱
中，
平面
，又
平面
，所以
，
，
，
，
两两垂直，以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
.
，
，
，
设
为平面
的一个法向量，
令
，得
，
.
设平面
的一个法向量
，则
，取
.
，又平面
与平面
不重合，
平面
平面
.
（3）当
时，
为平面
的一个法向量，
，
44
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则
，
设
，
，
，
设直线
与平面
所成角为
，
，
当且仅当
时，等号成立，
所以直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
.
【例6-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，点
为
的中点，且
，
.
(1)求证：
；
(2)若二面角
的平面角的余弦值为
，求三棱锥
的体积；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
45
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(3)
【解析】（1）
如图，取
的中点F，延长
交
于G 点，
是边长为2 的等边三角形，则
.
在
中，已知
，且满足
.
根据勾股定理的逆定理，
. 则G 为
中点.
又
为
的中点，则
.
，则
.
又
平面
，
，则
平面
，
平面
，所以
.
（2）由（1）可知
⊥平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
.
以
为坐标原点建立空间直角坐标系
，
为
的中点，且
，可设点
，
已知
，
.
设平面
的法向量为
，由
，不妨令
，
则平面
的一个法向量为
，
又平面
的一个法向量为
.
根据向量夹角公式
，
又因为
，则
，解得
.
46
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因为
为
的中点，所以点
到平面
的距离为
.
在
中
，满足
，
所以
的面积为
.
根据三棱锥体积公式，三棱锥
的体积
.
（3）因
，则直线
与平面
所成角即为直线
与平面
所成角.
设该角为
.
已知
，则
.
根据线面角的正弦值公式
.
.
因为
，故
，
根据均值不等式则
（当且仅当
时，等号成立），所以
的最大值为
，
即直线
与平面
所成角正弦值的最大值为
.
【例6-4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形
中，
，
47
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，将
沿AC 翻折至
，其中P 为动点.
(1)设
，三棱锥
的各个顶点都在球O 的球面上．
（i）证明：平面
平面
；
（ii）求球O 的半径
(2)求二面角
的余弦值的最小值.
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）球O 的半径为
；
(2)
.
【解析】（1）在
中，由
，
得
，
所以
，且
，即
，
（i）证明：因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
；
（ii）以A 为原点，
分别为x 轴和y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系
，
则
，设球心
，半径
，
则
，
所以
，
解得
，所以球O 的半径为
；
（2）在平面
中，过P 作
于G，在平面
中，过G 作
，
48
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因
平面
,则
平面
.
则由（1）
，
设
，以G 为原点，
分别为x 轴和y 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
，则点
在平面
内，
则
，
所以
，
设平面
一个法向量分别为
，则
，
即
，取
，则得
；
平面
的一个法向量为
，则
，
即
，取
，则得
，
所以
，
49
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令
，则由
得
，则
，
于是
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以二面角
的余弦值的最小值为
.
考向七 外接球
【例7-1】（24-25 高三上·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱
中，
.
(1)证明：三棱柱
是正三棱柱；
(2)证明：
；
(3)设
平面
平面
，若直线
与平面
的距离为
，求三棱柱
外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）
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在直三棱柱
中，
又因为
，
所以
，
所以
，
所以三棱柱
为正三棱柱.
（2）取
的中点
，连结
，
则
.
因为
平面
，
所以
平面
.
以
为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设
，则
，
，
所以
.
因为
，所以
，
51
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所以
，所以
.
所以
，
所以
，即
.
（3）因为
平面
平面
，
又因为
，
所以不妨取平面
的法向量
.
因为直线
与平面
的距离为
，
所以点
到平面
的距离为
.
因为
，
所以点
到平面
的距离
，
所以
.
所以正三角形
的外接圆半径
，
所以正三棱柱
的外接球的半径
，
所以三棱柱
外接球的表面积为
.
【例7-2】（2024 湖北）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
.
52
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（1）求证：
平面
；
（2）若直线
与底面
所成的角的余弦值为
，求三棱锥
的外接球表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】（1）在四边形
中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，即
，
平面
平面
，
，平面
平面
，
平面
，又
平面
，
，
，
平面
，
平面
.
（2）
平面
，
平面
，
，
，
又
，
，
，即
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
即
，
均为直角三角形，且公共斜边为
，
中点到三棱锥
四个顶点的距离相等，
三棱锥
的外接球半径
；
平面
，
为直线
与底面
所成的角，
，又
，
，
三棱锥
的外接球表面积
.
【例7-3】（2023·全国·模拟预测）如图，球O 是正三棱锥
和
的外接球，M 为
的外心，
53
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直线AM 与线段BC 交于点D，D 为BC 的中点，两三棱锥的高之比为
，E 为PA 上一点，且
．
(1)证明：
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）过M 作
，交AB 于
，易证MA，MP，
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐
标系
．
设
，球O 的半径为R，
则在
中，有
，解得
．
则
，
，
，
54
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∵
，
∴
，
，所以
∴
，
∴
．
（2）因为
，
平面
，
所以
平面PAD，又
平面PAD，
∴
．
由（1）得
，又
，
平面
，
∴
平面
，
所以平面
的一个法向量为
．
又∵
，
，
，
∴
，
．
设平面
的法向量为
，
则
令
，则
，
，
∴
为平面
的一个法向量．
设二面角
的平面角为
，
55
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∴
，又
，
∴
．
故二面角
的正弦值为
．
【例7-4】（2024 云南昆明·期末）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点，
（1）求证：
，
，
，
四点在同一球面上，并说明球心及半径；
（2）画出平面
与平面
的交线（不需要写画法）．
（3）设平面
与平面
的交线为，直线与平面
所成角的正切值为
，求平面
与平面
所成的锐二面角的大小．
【答案】（1）
，
，
，
四点在以
为圆心，
为半径的圆上；（2）答案见解析（3）
【解析】（1）连接
，因为
，
为
的中点，所以
，
因为平面
平面
且平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
在
中，
为
的中点，
所以
，
连接
，因为
，
且
，
56
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所以四边形
为矩形，所以
，
因为
，
，所以
面
，
面
，
所以
，在
中，
为
的中点，
所以
，所以
，
所以
，
，
，
四点在以
为圆心，
为半径的球面上；
（2）如图所示，
即为平面
与平面
的交线，
延长
、
交于点
，连接
，
即在平面
上也在平面
上，
为两平面的一个公共点，所以
即为两平面的交线；
（3）连接
，因为
，
为
的中点，
所以
为
的中位线，所以
，
，因为
平面
，
所以直线与平面
所成角即为
，
所以
，所以
，
如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
57
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则
，即
，
令
，则
，
，所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
，所以
，
设平面
与平面
所成的锐二面角为
，则
，
所以
，
即平面
与平面
所成的锐二面角为
.
考向八 轨迹（长度）
【例8-1】（24-25 上海·期中）如图，在三棱柱
中，
，
，
，点
在底
面
的射影为
的中点
，点
为
的中点.
58
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(1)求证：
平面
；
(2)求异面直线
和
夹角的大小；
(3)设点
为底面
内（包括边界）的动点，且
平面
，若点
的轨迹长度为
，求三棱柱
的侧面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）在三棱柱
中，连接
，
由
，O 为
的中点，得
，
又
平面
，且
平面
，则
，
，
由
，
平面
，得
平面
，
在
中，
分别为
的中点，则
，
，
59
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而
，
，则
，
，
即四边形
为平行四边形，则
，
所以
平面
.
（2）在三棱柱
中，
，
由（1）知，
，则
，
所以异面直线
和
夹角的大小为
.
（3）连接
，
由（1）可知：
，且
平面
，
平面
，则
平面
，
在平行四边形
中，
分别为
的中点，则
，
，
四边形
为平行四边形，
，且
平面
，
平面
，
于是
平面
，且
，
平面
，所以平面
平面
，
且平面
平面
，则点P 的轨迹为线段
，即
，
由
，
，
为
的中点，得
，
，且
为矩形，则
，
在
中，
，则
边上的高
，
60
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可得
，
所以三棱柱
的侧面积
.
【例8-2】（23-24 高三上·广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥
内，
平面
，四边形
为正方形，
，
．过
的直线交平面
于正方形
内的点
，且满足平面
平
面
．
(1)求点
的轨迹长度；
(2)当点
到面
的距离为
时，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)π
(2)
【解析】（1）如图所示，过点
作
，且
，
平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
平面
，又
平面
，
，
平面
，
平面
，
，又
，且
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
由点
在正方形
内，
所以点
在以
为直径的半圆上，
，
61
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所以点
的轨迹长度为
.
（2）过点
作
于点
，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
故
的长度即为点
到面
的距离，故
，
∵由（1）可知点
在以
为直径的半圆上运动，
如图所示建立空间直角坐标系，
∴
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，则
，
，
又平面
的一个法向量为
，记二面角
为
，
，
由图可知二面角
为锐角，
所以二面角
的余弦值为
.
【例8-3】（2024·全国·模拟预测）如图，四边形
为圆台
的轴截面，
，圆台的母线与底面
62
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所成的角为45°，母线长为
，
是
的中点．
(1)已知圆
内存在点
，使得
平面
，作出点
的轨迹（写出解题过程）；
(2)点
是圆
上的一点（不同于
，
），
，求平面
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）
是
的中点，
．
要满足
平面
，需满足
，
又
平面
，
平面
平面
如图，过
作下底面的垂线交下底面于点
，
过
作
的平行线，交圆
于
，
，则线段
即点
的轨迹．
（2）易知可以
为坐标原点，
，
所在直线分别为
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
母线长为
，母线与底面所成角为45°，
，
，
，
，
取
的位置如图所示，连接
，
，
，即
，
63
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则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
．
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
，
．
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
，
．
设平面
与平面
所成的角为
，则
，
．
【例8-4】（2024·安徽芜湖·二模）在三棱锥
中，
平面
，
，点
在平面
内，且满足平面
平面
垂直于
．
(1)当
时，求点
的轨迹长度；
(2)当二面角
的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．
64
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【答案】(1)
(2)
【解析】（1）作
交
于
，
因为平面
平面
，且平面
平面
，
面
，
所以
平面
，又因为
平面
，所以
，
因为
平面
，且
平面
，所以
，
因为
，
，
、
平面
，
，
所以
平面
，又因为
平面
，所以
．
分别以直线
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，
设
，因为
，所以
，
又
，
，
所以
，即
，
设
中点为
，则
，如图：
又
，所以
，
65
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因此，
的轨迹为圆弧
，其长度为
；
（2）由（1）知，可设
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，令
得
．
为平面
的一个法向量，令二面角
为角
，
，又
，
解得
，
（舍去）或
，
，
则
或
，
从而可得三棱锥
的体积
．
【例8-5】（24-25 上海·阶段练习）已知面积为
的菱形
如图①所示，其中
，
是线段
的中
点．现将
沿
折起，使得点
到达点的位置.
(1)证明：
；
(2)若二面角
的平面角大小为
，求点到平面
的距离；
(3)若二面角
的平面角
，点
在四面体的表面运动，且始终保持
，求点
的轨
迹长度的取值范围
【答案】(1)证明见解析
(2)
66
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(3)
【解析】（1）取
中点
，连结
、
，
由四边形
为菱形可知，
，
，
又
平面
，
平面
，又因为
平面
，
；
（2）因为菱形
的面积为
，
得
，
，
，
又因为二面角
的平面角为
，且大小为
，
所以
，
故点到平面
的距离为
；
（3）取
边上靠近点
的四等分点
，取
的中点为
，连接
，
，
，同理
，
∵
，
平面
，所以
平面
，
故点
的轨迹长度即为
的周长.
由于
，
，
，
且二面角
的大小平面角
，
∵
，∴
，
，
则
，
，所以点
的轨迹长度的取值范围为
.
67
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【例8-6】（24-25 高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥
中，
面
，
，且
，
，
，
，
，E、F 分别为
，
的中点.
(1)求直线
到平面
的距离；
(2)在线段
上是否存在一点M，使得直线
与平面
所成角的正弦值是
？若存在，求出
的值，若
不存在，说明理由；
(3)在平面
内是否存在点H，满足
，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹
图形形状.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，点H 的轨迹是半径为
的圆
【解析】（1）
取
的中点
，连接
，
68
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又E 为
的中点，∴
，
而
平面
，
平面
，∴
平面
，
∵G 为
中点，F 为
的中点，
，∴
，
而
平面
，
平面
，∴
平面
，
又∵
平面
，
∴平面
平面
，而
平面
，
∴
平面
，
∴直线
到平面
的距离等于点
到平面
的距离．
∵
面
，
面
，∴
，
又
，
，
面
，
∴
面
，即
面
，
∴
为点
到平面
的距离，而
，
∴直线
到平面
的距离为
．
（2）
设
(
)，如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，
∴
，
∴
，
∴
，
设平面
的法向量
，
则有
，令
，得
，则
，
69
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由题意
，
整理得
，解得
或
(舍去)，
所以当
时，直线
与平面
所成角的正弦值是
．
（3）由（2）知，平面
的一个法向量
，
点
，
中点
，则
，
则
中点
到平面
的距离为
，
由
，即
，
故H 在以
中点
为球心，半径为
的球面上，
而
，故H 在平面
上的轨迹是半径为
的圆，
故存在符合题意的H，此时点H 的轨迹是半径为
的圆．
【例8-7】（24-25 福建福州·期中）如图，四边形
与
均为菱形，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)
为线段
上的动点，求
与平面
所成角正弦值的最大值；
(3)设
中点为
，
为四边形
内的动点（含边界）且
，求动点
的轨迹长度.
【答案】(1)证明见解析
70
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(2)
(3)
【解析】（1）因为四边形
为菱形，则
，
设
，连接
，则
为
的中点，
因为
，则
，
因为
，
、
平面
，故
平面
.
（2）连接
，因为四边形
为菱形，则
，
又因为
，则
为等边三角形，
因为
为
的中点，则
，
又因为
平面
，以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为
，四边形
为菱形，且
，则
是边长为
的等边三角形，
所以，
，
，
，
同理可得
，
所以，
、
、
、
、
、
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，
71
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则
，取
，可得
，
因为
为
上的动点，设
，其中
，
且
，
，
所以，
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
当
时，
取最大值，且最大值为
，
因此，
与平面
所成角正弦值的最大值为
.
（3）因为
为
的中点，则
，
设点
，则
，
，
因为
，即
，即
，
化简可得
，
故动点
的轨迹是以点
为圆心，半径为
的圆在四边形
内的部分，
即圆心角为
的圆弧，故所求轨迹的长度为
.
考向九 四点共面
【例9-1】（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在多面体
中，
的中点为
.
72
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(1)求证：
四点共面；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）连接
，由
为
中点，得
，
由
，得
，而
平面
，
则
平面
，同理
平面
，又平面
与平面
有公共直线
，
所以
四点共面.
（2）由（1）知，
是二面角
的平面角，设
，
由
，得
，
则
，
，直线
两两垂直，
以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系
，如图，
则
，
，
73
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设平面
的法向量为
，则
，取
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，
依题意，
，即
，
平方化简整理得
，而
则
，即
，又
，则
，
，
所以所求二面角
的余弦值为
.
【例9-2】（24-25 广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
.
为
的中点，点
在
上，且
.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)点
在
上，且
.判断
，
，
，
四点是否共面，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
74
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(2)
(3)共面，理由见解析
【解析】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，
所以
.
（2）过
作
的垂线交
于点
，因为
平面
，所以
，
如图建立空间直角坐标系
，
则
,
，
因为
为
的中点，所以
，
所以
,
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
即
，
令
,则
，于是
，
又因为平面
的法向量为
，
75
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所以
，设二面角
为
，
则
，
所以二面角
的正弦值为
.
（3）
，
，
，
四点共面，理由如下：
因为点
在
上，且
，
，
所以
，
由（2）知平面
的法向量
，
所以
，
又因为点
平面
，所以直线
在平面
内，
所以
，
，
，
四点共面.
【例9-3】（2024 河北邯郸·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为直角梯形，
分别为棱
的中点，
.
(1)证明：
四点共面；
(2)求平面
与平面
的夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
76
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【解析】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
又底面
为直角梯形，
，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
.
.
设
，即
，解得
所以
.故
四点共面.
（2）设
是平面
的法向量，
则
，
令
，得
.
取
的中点
，则
，连接
，又因为
，所以
，
又由（1）
，
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，即平面
的一个法向量为
.
77
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所以
.
故平面
与平面
的夹角的大小为
.
【例9-4】（2025 山东威海）如图，在四棱锥
中，
面
，
．E 为
的中点，点F 在
上，且
．
(1)求证：
面
；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)设点G 在
上，且
．判断是否存在这样的
，使得A，E，F，G 四点共面，若存在，求出
的值；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)存在，
.
【解析】（1）由
面
面
，则
，
又
且
，可得：
面
.
（2）以A 为原点，面
内与
垂直的直线为x 轴，
方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系
，
78
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易知：
，
由
可得：
，由
可得：
，
设平面
的法向量为：
，则
，
∴面
的一个法向量为
，而
是面
的一个法向量，
∴
，故二面角
的余弦值为
，则正弦值为
．
（3）存在这样的
.
由
可得：
，则
，
若A，E，F，G 四点共面，则
在面
内，又面
的一个法向量为
，
∴
，即
，可得
.
∴存在这样的
，使得四点共面.
【例9-5】（2023·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥
中，
面ABCD，
，
，
，
．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
．
79
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(1)求证：
面PAD；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)设点G 在PB 上，且
．判断是否存在这样的
，使得A，E，F，G 四点共面．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在
【解析】（1）∵
平面ABCD，
平面ABCD，
∴
，
∵
，
，
平面PAD，
平面PAD，
∴
平面PAD．
（2）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，
AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
平面AEP 的一个法向量为
，
80
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设平面AEF 的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
．
故
，
设二面角
的平面角为
，由图可知
为锐角，
则
．
∴二面角
的余弦值为
．
故二面角
的正弦值为
．
（3）存在这样的
.
由
可得：
，则
，
若A，E，F，G 四点共面，则
在面
内，
又面
的一个法向量为
，
∴
，即
，可得
.
∴存在这样的
，使得四点共面.
考向十 新定义
【例10-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心率
为
，经过点
且倾斜角为
的直线与椭圆交于
、
两点（其中点
在
轴上方），且
面积的最大值为2．将平面
沿
轴向上折叠，使二面角
为直二面角，如图1，2 所示．
81
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(1)求椭圆
的标准方程；
(2)当
时，求折叠后，平面
与平面
所成锐二面角的余弦值；
(3)求折叠后
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）已知椭圆离心率
，可得
，即
，
把
代入
，得到
，所以
.
当点
为椭圆的上顶点时，
的面积最大，其面积
，
又因为
，所以
，解得
.
由
，可得
，则
.
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）折叠前，
，当
时，直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为
.
82
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联立直线与椭圆方程
，得到
，解得
，
.
当
时，
；当
时，
.
所以
，
.
折叠后，建立空间直角坐标系
，
得到
，
，
，
则
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，即
，化简得
，
令
，可得
，
，所以
.
易知平面
的法向量为
.
设平面
与平面
所成的锐角为
，根据向量的夹角公式
，
其中
，
，
，所以
.
83
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（3）设折叠前
，
，
，联立
，
将
代入
，得到
，
展开可得
，
，
，
折叠后，如前问的图，建立空间直角坐标系得到
，
，
，
，
.
可得
，
，
.
因为
，所以
.
根据三角形面积公式
.
令
，则
.
对
求导得
.
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减.
因此，
在
处取得最大值，
.
因为
，所以
.
【例10-2】（2024 高三·全国·专题练习）空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标
系”．类比空间直角坐标系，
分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（
轴、
轴、
轴）正方向的单位向
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量，若向量
，则
与有序实数组
相对应，称向量
的斜坐标为
，记作
．
如图，在平行六面体
中，
，
，
，
．以
为基底建立“空间斜坐标系”．
(1)若点
在平面
内，且
平面
，求
的斜坐标；
(2)若
的斜坐标为
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）由题可知
，
，则
（提示：斜坐标的本质是将空间中的向
量用基底表示后的系数），
由题可知
，
，
．
平面
，
即
则
，
，
则
的斜坐标为
．
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（2）由题可得
，
，
设平面
的法向量为
（提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值求得法
向量），
由
得
即
取
，可得
，
，
即
．
则
．
由（1）可知
平面
，
且
，
则
，
，
则
，
即平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
【例10-3】（2025·山东日照·一模）已知在四面体
中，
分别为所在棱的中点，如图所
示．
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(1)证明：
平面
；
(2)若
两两垂直，则称四面体
为“斜垂四面体”．
①在斜垂四面体
中，若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
②在空间直角坐标系
中，
平面内有椭圆
，直线
与
交于
两点．
为空间
中一点，若
为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②最小值为
，直线方程为
【解析】（1）如图，连接
，由
分别是棱
的中点，得
，
又
平面
平面
，所以
平面
.
（2）①由（1）知，
平行且等于
平行且等于
，得
与
平行且相等，
则四边形
为平行四边形，又
，则四边形
为菱形，
，而
，则
，同理
，
如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系
，
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由
，得
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
②由①知将
补成长方体，设长宽高分别设为
，
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：
，
，
，则
，
在
平面内设
，由
，得
，
显然
，
则
，
，
，
于是
，
，
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在
中，
，则
为锐角，
因此
，即
，则
，解得
，
又
，
则当
最大时，
最小，
不妨令
，则
，
由函数
在
上单调递增，则当
时，
有最大值
，此时
，
所以的最小值为
，此时直线方程为
.
【例10-4】（24-25 高三下·江西九江·阶段练习）已知在空间直角坐标系
中，球
的半径为1．对于一个
三维空间，如果一个平面与一个球只有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面，唯一的公共点叫切点，
球心和切点的连线垂直于切平面，类似于二元一次方程表示平面内的直线，三元一次方程可以表示空间的平面．
例如：方程
表示经过
三点的平面．方程
表示坐标平面
．
(1)求球
在点
处的切平面方程，并求该平面与坐标平面
的交线在
平面内的直线方程；
(2)过球面上任意一点
作切平面
，若平面
分别与x，y，z
的正半轴相交于
三点，求
面积的最小值；
(3)过球外一个定点
作球
的切平面有无数个，全体切点所确定的平面记为面
．设
是球外两个定点，
证明：若
面
，则
面
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
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【解析】（1）在球的切平面上任取一点
，则
，
即
，
即
，即
，
又坐标平面
的方程为
，
联立方程组得交线方程为
.
（2）设
为球面上一点，则
，
在平面
上任取一点
，则
，
即
，
即
，
即
，
因为平面
与分别与
的正半轴相交，则
，
平面
分别交
轴于点
，
因为三棱锥
体积
，所以
，
又因为
，所以
，
因此
，当且仅当
时等号成立.
（3）设
，
过
作球
的切平面，其切点为
，
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由（2）知，
处的切平面方程为
，
又因为
都在这些切平面上，所以
，
即所有切点
均符合方程
，
即面
的方程为
①，
同理，面
的方程为
②，
若
面
，即
，
于是
，即
点坐标符合②，所以
面
.
91
