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微专题14 平衡中的临界极值问题
1．三力平衡下的极值问题，常用图解法将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值。
2.多力平衡求极值时一般在正交分解后用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解。
3.若物体受包括弹力、滑动摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、滑动摩擦力两个力合成
一个力，该合力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再
用图解法求解。
1. 如图两个体重相同的人静止坐在秋千上，两秋千绳子能承受的最大张力是一样的。往两
人身上同时慢慢加相同重量的物体，直到绳子断开，则下面的叙述正确的是( )
A．甲中绳子先断
B．甲、乙中绳子同时断
C．乙中绳子先断
D．不确定
答案 C
解析 未加物体时，人的重力和两根绳子拉力的合力等值反向，合力一定，两分力夹角越大，
分力越大，所以夹角越大，绳子拉力越大，则随着人和物体重力增大，乙中绳子容易断，
A、B、D 错误，C 正确。
2．(多选)如图所示，一个重为5 N 的大砝码用细线悬挂在O 点，在力F 作用下处于静止状
态，现不断调整力F 的方向，但砝码始终静止在如图所示的位置处，则下列说法正确的是(
)
A．调整力F 的方向的过程中，力F 最小值为2.5 N
B．力F 在竖直方向时，力F 最小
C．力F 在竖直方向时，细线上的张力最小
D．当力F 处于水平方向和斜向右上与水平方向夹角60°时，力F 大小相等
答案 ACD
解析 对砝码受力分析如图所示，根据平行四边形定则，可知当F 的方向与细线垂直时，
力F 最小，最小值为Fmin＝Gsin 30°＝2.5 N，故A 正确，B 错误；当力F 在竖直方向时，细
线上的张力FT＝0 最小，故C 正确；当力F 处于水平方向时，力F 与细线拉力FT的合力竖
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直向上，大小等于mg，由几何关系得F＝mg tan 30°＝mg，当力F 处于斜向右上与水平方
向夹角为60°时，此时F、细线拉力FT与竖直方向的夹角相等，则两力大小相等，合力竖直
向上，大小等于mg，由几何关系得F＝＝mg，故D 正确。
3. (多选)如图所示，物块的质量m＝6 kg，用与水平方向成α＝37°角的推力F 作用在物块上，
物块与地面间的动摩擦因数为μ＝0.75(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，g 取10
m/s2)，下列判断正确的是( )
A．如果F＝50 N，不能把物块推动
B．如果F＝50 N，可以把物块推动
C．如果α＝60°，只要不断增大F，物块一定会推动
D．如果α＝60°，则无论F 为多大，该物块均无法被推动
答案 AD
解析 物块受力如图所示，如果F＝50 N，由滑动摩擦力公式，Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsin 37°)＝
0.75×N＝67.5 N，力F 在水平方向的分力为F1＝Fcos 37°＝50× N＝40 N，即水平分力小
于最大静摩擦力，不能把物块推动，A 正确，B 错误；最大静摩擦力为Ff＝μ(mg＋Fsin α)＝
μmg＋μFsin α，水平方向的推力为F1＝Fcos α，设k＝＝μtan α＝0.75×tan 60°＝0.75>1，所
以Ff>F1，因此如果α＝60°，则无论F 多大，该物块均无法被推动，C 错误，D 正确。
4. 如图所示，两质量均为M＝10 kg 的物体甲、乙静置于水平地面上，两物体与地面间的动
摩擦因数均为 μ＝0.5，两物体通过一根不可伸长的细绳绕过光滑的动滑轮连接，滑轮质量
m＝1 kg，现用一竖直向上的力F 拉滑轮，当滑轮拉起至细绳伸直，甲、乙两物体刚要开始
滑动时，连接乙的细绳与水平方向的夹角为θ＝53°，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重
力加速度g 取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是( )
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A．力F 的大小为80 N
B．力F 的大小为90 N
C．轻绳对甲物体的拉力大小为60 N
D．轻绳对甲物体的拉力大小为80 N
答案 B
解析 对甲、乙两物体分别受力分析，由平衡条件可知甲、乙两物体刚要滑动时有，μ(Mg
－FTsin 53°)＝FTcos 53°，解得细绳的拉力FT＝50 N，则对滑轮受力分析可知F＝2FTsin 53°
＋mg＝90 N，故选B。
5. 固定斜面上的物体A 用跨过滑轮的细线与小沙桶相连，连接A 的细线与斜面平行，不计
细线与滑轮间的摩擦力，若要使物体A 在斜面上保持静止，沙桶中的沙质量有一定的范围，
已知其最大值和最小值分别为m1和m2(m2＞0)，重力加速度为g，由此可求出( )
A．物体A 的质量
B．斜面的倾角
C．物体A 与斜面间的动摩擦因数
D．物体A 与斜面间的最大静摩擦力
答案 D
解析 设物体A 的质量为M，沙桶的质量为m0，物体与斜面间的最大静摩擦力为Ffm，斜面
倾角为θ，由平衡条件可得物体A 将要上滑时，有m0g＋m1g＝Mgsin θ＋Ffm。物体A 将要下
滑时，有m0g＋m2g＝Mgsin θ－Ffm，可得Ffm＝，即能求解物体A 与斜面间的最大静摩擦力，
不能求出其他的物理量，则A、B、C 错误，D 正确。
6. (多选)(2023·河北张家口市期末)如图所示，光滑斜面倾角为θ，底端固定有一挡板，轻弹
簧两端分别与挡板及物块a 拴接，物块b 叠放在a 上但不粘连。初始时，两物块自由静止在
斜面上，现用平行于斜面的力F 拉动物块b，使a、b 沿斜面缓慢向上运动。已知轻质弹簧
的劲度系数为k，两物块a、b 的质量分别为m1和m2，弹簧始终处于弹性限度内，则( )
A．初始状态弹簧的形变量为
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B．初始状态弹簧的形变量为
C．从初始状态到物块b 与物块a 恰好分离时，物块a 移动的距离为
D．从初始状态到物块b 与物块a 恰好分离时，物块a 移动的距离为
答案 BD
解析 初始状态，对a、b 整体分析有kx1＝(m1＋m2)gsin θ，解得弹簧的压缩量x1＝，A 错误，
B 正确；两物块恰好分离时，a、b 间弹力恰为零，对a 分析有kx2＝m1gsin θ，此时弹簧的压
缩量为x2＝，则物块a 移动的距离Δx＝x1－x2＝，C 错误，D 正确。
7. 筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为
“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”。如图所示，用筷子夹质量为m 的小球，筷
子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为
μ(μ＜tan θ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。为使小球静止，求每根筷子
对小球的压力FN的取值范围。
答案 ≤FN≤
解析 筷子对小球的压力最小时，小球恰好不下滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向上，如
图甲所示。
有2FNsin θ＋2Ffcos θ＝mg，Ff＝μFN，联立解得FN＝，筷子对小球的压力最大时，小球恰
好不上滑，小球所受
最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示。
有2FN′sin θ＝mg＋2Ff′cos θ，Ff′＝μFN′，联立解得FN′＝，综上可得，筷子对小球
的压力的取值范围为≤FN≤。
8. 如图，在粗糙的水平地面放置一重力为50 N 的劈形木块，在劈形木块斜面上有一个重力
为100 N 的光滑小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为30°，斜面
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倾角为30°，整个装置处于静止状态。则：
(1)斜面对小球支持力的大小为多少？
(2)地面与木块间的动摩擦因数至少多大？
(3)若在小球上施加一个外力F，让小球脱离劈形木块，这个外力的最小值为多少？
答案 (1) N (2) (3)50 N
解析 (1)以小球为研究对象，受力分析如图所示
由平衡条件得
FNsin 30°＝FTsin 30°
FNcos 30°＋FTcos 30°＝G
联立解得FN＝FT＝ N
(2)以木块和小球整体为研究对象，由平衡条件得FN′＋FTcos 30°＝G＋G′
μFN′≥FTsin 30°联立解得μ≥
(3)要能够把小球拉离斜面，当所用的拉力方向与轻绳垂直斜向左上方时拉力最小，此时FN
＝0，根据平衡条件可得拉力的最小值为Fmin＝Gsin 30°＝50 N。
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