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高三数学押题预测仿真卷 01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知样本数据为 、 、 、 、 、 、 ，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据
相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【解析】样本数据为 、 、 、 、 、 、 ，
去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，
假设从小到大就是从 到 ，极差可能变化，故A错；
平均数为 ，可能变，故B错；
中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；
方差为 ，有可能变，故D错.故选：C
2．已知 ， ，若 ，则λ＝（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，则 ，
故 ，解得 （正值舍去）.故选：D．
3．已知等差数列 的前 项和为 .若 ，则 （ ）
A．1012 B．1013 C．2024 D．2025
【答案】A
【解析】由等差数列的通项公式可得： ，且 ，
所以 .故选：A.
4．设 ， 为不同的平面， ， ， 为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ， ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 与 异面
D．若 ， ， ，则 与 相交
【答案】A
【解析】对于A，根据面面垂直的性质定理可得A正确；
对于B，若 ， ， ，则 ，或 与 异面，故B错误；
对于C，若 ， ，则 ，或 与 异面，故C错误；
对于D，若 ， ， ，则 ，或 与 异面，或 与 相交，故D错误．故选：A.5．一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离
的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上实数3的点处，则小蜜蜂不
同的飞行方式有（ ）
A．22 B．28 C．26 D．24
【答案】D
【解析】经过4次飞行，停在位于数轴上实数3的点处，
设向右飞行1个单位为事件 ，向右飞行2个单位为事件 ，
情况一， 满足要求，此时只需安排好 ，故不同的飞行方式为 种，
情况二， 满足要求，此时只需安排好 ，故不同的飞行方式为 种，
综上，小蜜蜂不同的飞行方式有 种.故选：D
6．在 ABC中，已知 ， ， ，D为垂足， ，则 （ ）
△
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，可得 ， ，
由正弦定理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为
，
所以 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，则 ，即 ，
因为 为锐角， ，
所以 ，在直角 中， ，所以 .故选：B.
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
得到 ，又 ，所以 ，
所以 ，故选：B.
8．已知点 在双曲线 上，过点P作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若
， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，直线 的方程为： ，
由 ，解得 ， ；
直线 的方程为： ， ，
解得 ， ，
， ，故 ，解得： .故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于点 对称 D． 在 上单调递增
【答案】ACD
【解析】设 的最小正周期为 ，由图象可得到 ，故 ，
因为 ，所以 ，解得 ，故A正确；
将 代入 ，得 ，
则 ，解得 ，
因为 ，所以当 时， ，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 的图象关于点 对称，故C正确；当 时， ，因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，故D正确.故选：ACD
10．已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 在复平面内对应的点在第二象限
C．若 ，则
D．若 ，复数 在复平面内对应的点为 ，则直线 （ 为原点）斜率的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，设 ，则 ，若 ，则 ，
则 ，所以 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，所以 在复平面内对应的点
在第四象限，故B错误；
对于C，设 ，由 ，可得 ，
则 ，即 ，则 ，故C正确；
对于D，设 ，则 ，若 ，
则 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
设过原点与圆相切的直线为 ，即 ，则圆心到切线的距离 ，解得 ，
所以直线 （ 为原点）斜率的取值范围为 ，故D正确.故选：ACD
11．已知定义在 上的函数 ，其导函数分别为
，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 中心对称 B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得 ，两式相减可得 ①，
所以 的图象关于点 中心对称，A错误；
由 ②，②式两边对 求导可得 ，可知 是偶函数，
以 替换①中的 可得 ，
可得 ，所以 是周期为4的周期函数，B正确；
因为 ，可知 也是周期为4的周期函数，即 ，
两边求导可得 ，所以 ，C正确；
因为 ，令 ，则 ，即 ，
又因为 是偶函数，所以 ，
又因为 是周期为4的周期函数，则 ，由 可得 ，所以 ，D正确.故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 ， ，那么 ．
【答案】
【解析】要使得 有意义，则 ，解得 ，即集合 ，
若 有意义，则 ， 且 ，
而 且 ，所以 且 ，
所以 或 ，从而 ， .
13． 展开式中的常数项为 .
【答案】
【解析】 表示 个 相乘，
则常数项，应为 个 ， 个 ， 个 ， 个 相乘，
所以 展开式中的常数项为 .
14．已知点 在抛物线 上运动，过点 的两直线 与圆 相切，切点分别为
，当 取最小值时，直线 的方程为 .
【答案】【解析】如图，设 ，设 与 交于 ，
由题意知 ， ，
中， ，
而 ，则 ，
当 最小时， 取最小值.
而 ，
当且仅当 时， 取得最小值，此时 ， ， ，
则以 为圆心， 为半径的圆的方程为： ，
与圆 的方程相减，可得 的直线方程为： ，即 ，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 ， ．
（1）若函数 在 上单调递减，求a的取值范围：
（2）若直线 与 的图象相切，求a的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）记 在 上单调递减，
对 恒成立，
，而 ，当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值为 .
，所以a的取值范围为
（2）设直线 与 的图象相切于 ，
，
由题意可知 ，
代入 ，
，左边式子关于 单调递减且 时，左边
16．（15分）
如图，已知 为等腰梯形，点 为以 为直径的半圆弧上一点，平面 平面 ， 为
的中点， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，则 且 ，
又 且 ， 且 ．
为平行四边形， ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）取 中点为 ，连接 ，因为 为等腰梯形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
过点 作直线 的垂线交 于点 ，
分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
为直径， ， ， ， ．
在等腰梯形 中， ， ，所以 ，
， ， ， ， ，
， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ， ，
令 则 ， ． ，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面 与平面 所成的角为 ，
则 ，
平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
17．（15分）
在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机
因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为
， ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 ．假设每次信号的传输
相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 ，求 的
最小值；
（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 ，记其中连续出现
相同数字的次数的最大值为随机变量 （ 中任意相邻的数字均不相同时，令 ），若 ，
求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为
【解析】（1）由题可知 ，
因为 ，所以当 时， 的最小值为 ．（2）由题设知， 的可能取值为1，2，3，4．
①当 时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此， ，
②当 时，相应四次接收到的信号数字依次为
0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此， ，
③当 时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此， ，
④当 时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此， ．
所以 的分布列为
1 2 3 4
因此， 的数学期望 ．
18．（17分）
已知椭圆 的离心率为 ，直线 过 的上顶点与右顶点且与圆 相切．
（1）求 的方程．
（2）过 上一点 作圆 的两条切线 ， （均不与坐标轴垂直）， ， 与 的另一个交点分别
为 ， ．证明：
①直线 ， 的斜率之积为定值；② ．
【答案】（1） ；（2）① 证明见解析；②证明见解析
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ．依题意，离心率 ，则 ， ①．
直线 ，即 ，由题可知 ②．
联立①②，解得 ， ，故 的方程为 ．
（2）（i）设过点 且与圆 相切的直线的方程为 ，
则 ，整理得 ，
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则 ，为定值．
（ii）由（i）的过程可知直线 ，
联立方程得
则有 ，故 ．
直线 ，同理可得 ．
故，
则 ．
19．（17分）
已知数列 满足 ， ．
（1）已知 ，
①若 ，求 ；
②若关于m的不等式 的解集为M，集合M中的最小元素为8，求 的取值范围；
（2）若 ，是否存在正整数 ，使得 ，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）① 或2或3或4 ；② ；（2）存在；
【解析】（1）① ，∴ 或2，
而 ．若 ，∴ 或2．
若 ，∴ 或4，经检验均符合．∴ 或2或3或4．
②由条件知 ，∴ ，∴ ，
或 ， 或 或 或
或 ， ， ，…， ，
…
或 ，…， ， 或 ，…或
∴ ．
（2） 或 ， ，…， ， ，
令 ， ， ，∴ ，
当 时， 不是自然数，
所以当 时， ， ，
