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高三数学押题预测仿真卷 03
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式 得 ，解不等式 得 ，所以 .故选：
.
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以由 ，得 .故选：B.
3．已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，即 ，即 ，又 ，所以 .故选：D．
4．已知 是等比数列， ，且 ， 是方程 两根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 是等比数列，所以 ， ，又 ，所以 ，
又 ， 是方程 两根，所以 .故选：C
5．已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有
（ ）
A．336 种 B．284种 C．264 种 D．186种
【答案】A
【解析】当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，共有 种排法；
当有1名女生排在一端，另一端排男生时，
共有 种排法；
当男生排在两端时，共有 种排法；
故不同的排法共有 （种），故选：A
6． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， 的面积为 ，则
（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】C
【解析】 ，由 ，故 ，又 ，故 ， ，
由余弦定理可得： ，即 .故选：C.
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件等式可知， ，整理为 ，则 ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 .故选：D
8．在平面直角坐标系 中，已知 为圆 上两点，点 ，且 ，则线段 的
长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】以 为邻边作平行四边形 ，
由 可得四边形 为矩形，如下图所示：
，
可得 ，解得 ，即 ，
即 点轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
易知 ， ，
所以线段 的长的取值范围是 .故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数 比较两个模型的拟合效果时，若 越大，则相应模型的拟合效果越好D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则c，k的值分别是 和2
【答案】BCD
【解析】对A：若样本数据 的方差为2，
则数据 的方差为 ，故A错误；
对B： ，则其第80百分位数是 ，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知 越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，
则 ，由题线性回归方程为 ，则 ，
故 的值分别是 和2，故D正确.故选：BCD.
10．已知正方体 的棱长为3，点 是线段 上靠近 点的三等分点， 是 中点，则
（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线 与 所成角的余弦值为
C．平面 截正方体所得截面为等腰梯形
D．点 到平面 的距离为
【答案】ABD
【解析】对A：棱长为3的正方体的体对角线长为： ，
所以所求正方体的外接球表面积为： ，故A正确；
对B：如图
连接 ，∵ ，所以 即为异面直线 与 所成的角，设为 .
在 中， ， ， ，所以 ，所以 ，故B正确；
对C：如图：
取 中点 ，连接 ，过 点作 ，交 于点 ，则 ，
所以平面 截正方体所得截面为梯形 .
由 ，所以 .
所以 ， ，所以 ，
所以梯形 不是等腰梯形，故C错误；
对D：如图：
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
而 ， ，
所以： ，故D正确.故选：ABD
11．已知定义在R上的函数 ，满足对任意的实数x，y，均有 ，且当 时，
，则（ ）
A． B．C．函数 为减函数 D．函数 的图象关于点 对称
【答案】ACD
【解析】对A：令 ，则有 ，故 ，故A正确；
对B：令 ， ，则有 ，故 ，故B错误；
对C：令 ，则有 ，其中 ， ，
令 ， ，即有对 、 ，当 时， 恒成立，
即函数 为减函数，故C正确；
对D：令 ，则有 ，又 ，
故 ，故函数 的图象关于点 对称，故D正确.故选：ACD.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 的展开式中x的系数为 .
【答案】
【解析】 ， 的展开式为 ，
所以可得x的系数为 .
13．若函数 在 上佮有5个零点，且在 上单调递增，则正实数 的
取值范围为 .
【答案】
【解析】依题意，函数 ，由 ，得 ，
则 或 ，
由 ，得 ，由 在 上恰有5个零点，
得 ，解得 ，
由 ，得 ，即函数 在 上单调递增，因此 ，即 ，且 ，解得 ，
所以正实数 的取值范围为 .
14．已知直线与抛物线 交于 ， 两点，抛物线的焦点为 ， 为原点，且 ，
于点 ，点 的坐标为 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 于点 ，点 的坐标为 ，所以 ，即 ，
所以直线 方程为 ，即 ，
设 ，
由 得 ，
则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）各项均不为0的数列 对任意正整数 满足： ．
（1）若 为等差数列，求 ；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
因为 为等差数列，在式子： 中令 ，得 ，所以 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，但这与 矛盾，舍去，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
而当 时， ，所以此时 ，
所以此时 ，
而 也满足上式，
综上所述， 的前 项和 .
16．（15分）某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有
3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱
子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记 分，
得分在5分以上（含5分）则获奖．
（1）求在1次游戏中，获奖的概率；
（2）求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【解析】（1）设“在1次游戏中摸出 个红球”为事件 ，
设“在1次游戏中获奖”为事件 ，则 ，且 互斥，
， ，
所以在1次游戏中，获奖的概率 .
（2）依题意， 所有可能取值为 ，由（1）知，
， ，
，
， ，所以 的分布列为：
2 5 8
数学期望 .
17．（15分）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面
⊥平面ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上．
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若二面角 的正弦值为 ，求BQ的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【解析】（1）证明：取 的中点M，连接MP，MB．
在四棱台 中，四边形 是梯形， ， ，
又点M，P分别是棱 ， 的中点，所以 ，且 ．
在正方形ABCD中， ， ，又 ，所以 ．
从而 且 ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）在平面 中，作 于O．因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
所以 平面 ．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则 ．
以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ．
因为四边形 是等腰梯形， ， ，所以 ，
又 ，所以 ．
易得 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
法1：设 ，所以 ．
设平面PDQ的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，
另取平面DCQ的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为θ，由题意得 ．
又 ，所以 ，解得 （舍负），
因此 ， ．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
法2：设 ，所以 ．设平面PDQ的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，
另取平面DCQ的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为θ，由题意得 ．
又 ，
所以 ，解得 或6（舍），因此 ．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
法3：在平面 中，作 ，垂足为H．
因为平面 平面 ,平面 平面 , , 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
在平面ABCD中，作 ，垂足为G，连接PG．
因为 ， ， ，PH， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
因为 ， ，所以 是二面角 的平面角．
在四棱台 中，四边形 是梯形，
， ， ，点P是棱 的中点，所以 ， ．
设 ，则 ， ，
在 中， ，从而 ．
因为二面角 的平面角与二面角 的平面角互补，且二面角 的正弦值为 ，所以 ，从而 ．
所以在 中， ，解得 或 （舍）．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
18．（17分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，且在第一象限内，满足
.
（1）求 的平分线所在的直线 的方程；
（2）在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
（3）已知双曲线 与椭圆 有共同的焦点，且双曲线 与椭圆 相交于 ，若四边形 的
面积最大时，求双曲线 的标准方程.
【答案】（1） ；（2）不存在满足题设条件相异的两点，理由见解析；（3）
【解析】（1）设 的平分线与 轴交于点 ，
由 ，则 ，由 ，有 ，故 ，
故 ，则 ，解得 ，故 ，
由角平分线的性质可得 ，所以 ，解得 ，
故 ，则有 ，即直线 的方程为 ；
（2）假设存在两点 关于直线 对称，则 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，则 ，
即 ，
所以 的中点坐标为 ，因为 的中点在直线 ，
所以 ，所以 ，所以 的中点坐标为 ，
与点 重合，矛盾，所以不存在满足题设条件相异的两点；
（3）由题意知， ，
设与椭圆 共焦点的双曲线 的标准方程为 ，
设它们的一个交点坐标为 ，它们的交点为顶点的四边形面积记 ，
所以 ，
当且仅当 取得等号，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
19．（17分）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数
， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
（2）计算： ；
（3）证明： ， .
【答案】（1） 不是区间 上的2阶无穷递降函数；（2） ；（3）证明见解
析
【解析】（1）设 ，
由于 ，所以 不成立，
故 不是区间 上的2阶无穷递降函数.
（2）设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 ，得 .
（3）令 ，则原不等式等价于 ，即证 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即有对任意 ，均有 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
