必刷小题 3 基本初等函数
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
1.log 3·log 4－10lg 3等于( )
2 3
A.2 B.1 C.－1 D.0
答案 C
lg3 lg4 2lg2
解析 log 3·log 4－10lg 3＝ · －3＝ －3＝2－3＝－1.
2 3 lg2 lg3 lg2
2.若指数函数f(x)经过点(2,4),则它的反函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝log x B.g(x)＝log x
2 0.5
C.g(x)＝2x D.g(x)＝x2
答案 A
解析 设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1),点(2,4)在f(x)的图象上,
所以4＝a2,解得a＝2.
所以f(x)＝2x,故反函数g(x)＝log x.
2
3.当a>1时,f(x)＝a|x－2|＋5的图象恒过点( )
A.(2,5) B.(3,5) C.(2,6) D.(3,6)
答案 C
解析 对于函数f(x)＝a|x－2|＋5,
令|x－2|＝0,解得x＝2,
则f(2)＝a0＋5＝6,
所以f(x)＝a|x－2|＋5的图象恒过点(2,6).
4.已知函数f(x)＝log (x2－ax＋6)在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围为( )
2
A.[4,5] B.[4,5)
C.(－∞,4) D.(－∞,4]∪[5,＋∞)
答案 A
解析 令t＝x2－ax＋6,则f(x)＝log (x2－ax＋6),
2
即由y＝log t和t＝x2－ax＋6复合而成,
2
而y＝log t为增函数,
2
故要使得函数f(x)＝log (x2－ax＋6)在(1,2)上单调递减,
2
需满足t＝x2－ax＋6>0在(1,2)上恒成立,
且t＝x2－ax＋6在(1,2)上单调递减,{ a
≥2,
即 2 解得4≤a≤5,
4-2a＋6≥0,
即a的取值范围为[4,5].
5.已知a＝e0.1,b＝1－2lg 2,c＝2－log 10,则a,b,c的大小关系是( )
3
A.b>c>a B.a>b>c
C.a>c>b D.b>a>c
答案 B
解析 由题意可得a＝e0.1>e0＝1,b＝1－2lg 2＝1－lg 4,且0＝lg 1<lg 4<lg 10＝1,则0<b<1,因为log 10>log 9＝
3 3
2,则c＝2－log 10<0,故a>b>c.
3
6.设√3 9的小数部分为x,则x3＋6x2＋12x等于( )
3 2
A.1 B. C.2 D.
2 3
答案 A
解析
由3>√3 9>√38＝2,
得√3 9的整数部分为2,则√3 9＝x＋2,
所以(x＋2)3＝9,即x3＋6x2＋12x＋8＝9,
所以x3＋6x2＋12x＝1.
7.研究发现,X射线放射仪在使用时,其发射器发出的射线强度I 、接收器探测的射线强度I与射线穿透的介
0
质厚度d(单位：毫米)满足关系式I＝I e－kd,其中正实数k为该种介质的吸收常数.工作人员在测试某X射线
0
放射仪时,向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板,发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前
下降了90%.若接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降99%,则发射器与接收器之间插入的金属板的
厚度为( )
A.5.5毫米 B.9毫米
C.7.5毫米 D.10毫米
答案 D
ln10
解析 由题意得0.1I ＝I e－5k,有k＝ ,
0 0 5
ln10
当接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降99%时,0.01I 0 ＝I 0e - 5 d ,
dln10 d
即100＝
e 5 ＝105,
解得d＝10.
则发射器与接收器之间插入的金属板的厚度为10毫米.
8.已知定义在R上的函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞,1]上单调递减,且对任意的x ,x ∈[0,t＋1],总有|f(x )－f(x )|
1 2 1 2
≤2,则实数t的取值范围是( )
A.[1,√2] B.[－1,1]C.[0,1] D.[1,3]
答案 A
解析 二次函数f(x)＝x2－2tx＋1＝(x－t)2－t2＋1的对称轴为直线x＝t,
所以f(x)在(－∞,t]上单调递减,在(t,＋∞)上单调递增,
又已知f(x)在(－∞,1]上单调递减,
所以(－∞,1] (－∞,t],可得t≥1.
因为函数f(x)⊆在[0,t]上单调递减,在(t,t＋1]上单调递增,
又t－0≥1,t＋1－t＝1,
由对称性可知f(0)≥f(t＋1),
所以当x＝0时,f(x)取得最大值,即最大值为f(0)＝1,
当x＝t时f(x)取得最小值,即最小值为f(t)＝－t2＋1,
要使对任意的x ,x ∈[0,t＋1],都有|f(x )－f(x )|≤2,
1 2 1 2
只要f(x) －f(x) ≤2成立即可,
max min
所以f(x) －f(x) ＝1－(－t2＋1)≤2,
max min
解得－√2≤t≤√2,
又t≥1,所以1≤t≤√2,
即t的取值范围为[1,√2].
二、多项选择题(每小题6分,共18分)
9.下列计算正确的是( )
A.log 5·log 3＝1
3 5
1
B. (16x8y4 )4 ＝2x2y(x<0,y<0)
C.log 5＝log 25
√3 3
1
D. 273 ＋log 3 2·log 2 9＝5
答案 ACD
1
解析 对于A,log 5·log 3＝log 5· ＝1,故A正确；
3 5 3 log 5
3
1
对于B,由于x<0,y<0,故 (16x8y4 )4＝2x2(－y)＝－2x2y,故B错误；
对于C,log 5＝lo g 15＝2log 5＝log 25,故C正确；
√3 32 3 3
1 ln2 ln9 2ln3
对于D ,273 ＋log 3 2·log 2 9＝3＋ ln3 · ln2 ＝3＋ ln3 ＝5,故D正确.
10.若log b<0,则函数f(x)＝ax＋b与g(x)＝log (a－x)在同一坐标系内的大致图象可能是( )
a b答案 BC
解析 因为log b<0＝log 1,
a a
所以当0<a<1时,得b>1,
所以y＝ax在定义域内单调递减,且f(x)＝ax＋b>b,
当x趋近于正无穷时,f(x)趋近于b>1,
函数g(x)＝log (a－x)的定义域为(－∞,a),
b
且由函数μ(x)＝a－x,g(μ)＝log μ复合而成,
b
由复合函数的单调性可知g(x)＝log (a－x)在定义域内单调递减,
b
且当x趋近于a时,g(x)趋近于负无穷,故B正确,D错误；
当a>1时,得0<b<1,
所以y＝ax在定义域内单调递增,且f(x)＝ax＋b>b,
当x趋近于负无穷时,f(x)趋近于b<1,
此时g(x)＝log (a－x)在(－∞,a)上单调递增,且当x趋近于a时,g(x)趋近于正无穷,故C正确,A错误.
b
a b
11.已知a>1,b>1, ＝2a, ＝log b,则以下结论正确的是( )
a-1 b-1 2
A.a＋2a＝b＋log b
2
1 1
B. ＋ ＝1
2a log b
2
1 1
C.a－ <
b 2
D.a＋b>4
答案 ABD
x
解析 A项,a,b分别是函数f(x)＝ (x>1)与y＝2x和y＝log x图象交点的横坐标,由图可知,
x-1 2
C(a,2a),D(b,log b),
2x
又因为函数f(x)＝ (x>1)的图象关于直线y＝x对称,函数y＝2x和y＝log x的图象关于直线y＝x对称,所以
x-1 2
C,D两点关于直线y＝x对称,
所以a＝log b,b＝2a,所以A项正确；
2
a a
B项,因为 ＝2a,且b＝2a,所以 ＝b,
a-1 a-1
a-1 1 1 1
取倒数有, ＝ ,即 ＋ ＝1,
a b a b
由A项可知,a＝log b,b＝2a,
2
1 1
所以 ＋ ＝1,所以B项正确；
2a log b
2
1 1 1 1 √ 1
C项,由 ＋ ＝1得a－ ＝a＋ －1≥2 a· －1＝1,由图象可知,a∈(1,2),
a b b a a
1
所以a－ >1,所以C项错误；
b
1 1
D项,因为 ＋ ＝1,
a b
(1 1) b a
所以a＋b＝(a＋b) ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2√1＝4,当且仅当a＝b＝2时取等号,
a b a b
又因为a∈(1,2),所以等号不能取到,所以a＋b>4,所以D项正确.
三、填空题(每小题5分,共15分)
12.已知幂函数y＝(m2－m＋1)xm＋1的图象关于y轴对称,则m＝ .
答案 1
解析 由于函数是幂函数,所以m2－m＋1＝1,解得m＝0或m＝1.
当m＝0时,y＝x,是奇函数,图象不关于y轴对称；
当m＝1时,y＝x2,是偶函数,图象关于y轴对称,符合题意,所以m的值为1.
13.依据正整数的十进制数码定义它的位数,比如,25是一个2位数,100是一个3位数,实数a∈(0,＋∞),k∈N,
若10k≤a<10k＋1,则k≤lg a<k＋1,a为k＋1位数,据此,8999是一个 位数.(参考数据：lg 89≈1.949)
答案 193
解析 因为lg 89≈1.949,
所以lg 8999＝99lg 89≈99×1.949＝192.951,
则192<lg 8999<193,所以8999是193位数.
(x＋1) 2 ＋2x-2-x
14.函数f(x)＝ 在区间[－2 026,2 026]上的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝ .
x2 ＋1
答案 2
x2 ＋1＋2x＋2x-2-x 2x＋2x-2-x
解析 函数f(x)＝ ＝1＋ ,
x2 ＋1 x2 ＋1
2x＋2x-2-x
令g(x)＝f(x)－1＝ ,
x2 ＋1
-2x＋2-x-2x 2x＋2x-2-x
当x∈[－2 026,2 026]时,g(－x)＝ ＝－ ＝－g(x),
(-x) 2 ＋1 x2 ＋1
则函数g(x)是奇函数,
显然M＝f(x) ＝g(x) ＋1,
max max
m＝f(x) ＝g(x) ＋1,
min min
而g(x) ＋g(x) ＝0,
max min
所以M＋m＝2.
