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第68 课时 专题强化：电磁感应中的电路及图像问题
目标要求 1.掌握电磁感应中电路问题的求解方法。2.会计算电磁感应问题中电压、电流、电荷量、热量
等物理量。3.能够通过电磁感应图像，读取相关信息，应用物理规律求解问题。
考点一 电磁感应中的电路问题分析
分析电磁感应中电路问题的基本思路
“相当于电源”的导体两端的电势差就是电源的电动势吗？
答案 导体两端的电势差与电源的电动势是两个不同的概念，导体两端的电势差不是电源的电动势。当电
路是断开状态时，等效电源两端的电势差等于电源的电动势；当电路是闭合状态时，等效电源两端的电势
差为路端电压，与电动势不相等。
例1 (来自教材改编)如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框abcd，宽ad＝
L，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R 的导
体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc 以速度v 匀速滑动，滑动过程中PQ 始终与ab 垂直，且与线框接
触良好，不计摩擦。在PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的过程中，求：
(1)PQ 切割磁感线产生的电动势；
(2)PQ 滑到中间位置时PQ 两端的电压；
(3)线框消耗的最大电功率。
答案 (1)BLv (2)3
7BLv (3)12B
2 L
2v
2
49 R
解析 (1)PQ 切割磁感线产生的电动势E＝BLv
1
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(2)PQ 滑到中间位置时外电阻R 外＝1.5 R×1.5 R
3 R
＝0.75R
根据闭合电路的欧姆定律I＝
E
R外＋R ＝BLv
1.75 R ＝4 BLv
7 R
PQ 两端的电压U＝IR 外＝3
7 BLv
(3)因当外电阻等于电源内阻时电源输出功率最大，而当PQ 在中间位置时外电阻最大，最大值为0.75R，
与电源内阻最接近，可知此时线框消耗的电功率最大，最大电功率为P＝U
2
R外
＝
( 3
7 BLv)
2
0.75 R ＝12B
2 L
2v
2
49 R
。
例2 如图所示，abcd 为水平固定放置的U 形导体框，其中bc 长为x，bc 部分阻值为r，其余部分电
阻不计。长为2x、阻值为2r 的均匀导体棒MN，始终与导体框接触良好。整个装置处于垂直纸面向外
的匀强磁场中。现使导体棒以速度v 水平向左匀速运动，则导体棒两端的电势差是( )
A.0.5Bxv
B.Bxv
C.1.5Bxv
D.2Bxv
答案 C
解析 导体棒以速度v 水平向左匀速运动，等效电路如图所示，UMN＝UMP＋UPQ＋UQN，UPQ＝Bxv
r ＋r ·r＝
0.5Bxv，闭合回路之外的电势差为UMP＋UQN＝Bxv，所以导体棒两端的电势差UMN＝UMP＋UPQ＋UQN＝
1.5Bxv，故选C。
例3 如图，导体轨道OPQS 固定，其中PQS 是半圆弧，Q 为半圆弧的中点，O 为圆心。轨道的电阻
忽略不计。OM 是有一定电阻、可绕O 转动的金属杆，M 端位于PQS 上，OM 与轨道接触良好。空间
存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM 从OQ 位置以恒定的角速度逆
时针转到OS 位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B 增加到B'(过程Ⅱ)。在
过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM 的电荷量相等，则B
'
B 等于( )
2
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A.5
4
B.3
2
C.7
4
D.2
答案 B
解析 在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，
有E1＝ΔΦ1
Δt1
＝
B( 1
2 π r
2−1
4 π r
2)
Δt1
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝E1
R 且q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有E2＝ΔΦ2
Δt2
＝
(B
'−B) 1
2 π r
2
Δt2
I2＝E2
R ，q2＝I2Δt2，又q1＝q2，
即B( 1
2 π r
2−1
4 π r
2)
R
＝
(B
'−B) 1
2 π r
2
R
所以B
'
B ＝3
2，故选B。
利用计算电荷量的导出公式q＝n ΔΦ
R总
可以快速求解选择题：
设在时间Δt 内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式I ＝q
Δt 及法拉第电磁感应定律有E＝n
ΔΦ
Δt ，得q＝IΔt＝E
R总
Δt＝n ΔΦ
R总Δt Δt＝n ΔΦ
R总
，即q＝n ΔΦ
R总
。
注意：E表示电动势的平均值，I表示电流的平均值。电流变化时计算通过导体横截面的电荷量时要用电流
的平均值。
考点二 电磁感应中的图像问题分析
1.解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t 图像还是Φ－t 图像，或者E－t 图像、i－t 图像、F－t 图像等；对切割磁感
线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x 图像和i－x 图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像。
3
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2.常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
例4 如图所示，两个宽度均为L 的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等，方向相反，
高为L、上底和下底长度分别为L 和2L 的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，
速度垂直梯形底边，从图示位置开始x＝0，以逆时针方向为电流的正方向。
(1)画出下列三图所示时刻感应电流的方向。
(2)下列四幅图中能够反映线框中电流I 随金属框向右移动距离x 关系的是 。
答案 (1)①逆时针方向 ②顺时针方向 ③逆时针方向 (2)C
解析 (2)x 在0~L 内，由楞次定律判断知感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均
匀增大，由公式E＝Blv 知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大；x 在L~2L 内，线框的左
右两边都切割磁感线，均产生感应电动势，两个感应电动势串联，且均匀增大，感应电流方向沿顺时针方
向，为负；x 在2L~3L 内，由楞次定律知，感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在
均匀增大，由公式E＝Blv 知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，而且感应电流变化情况
与线框进入磁场的过程相同，故C 正确，A、B、D 错误。
例5 (多选)如图甲所示，一个矩形金属框ABCD 通过细杆悬挂在竖直平面内，悬点P 为AB 边中点。
金属框边AB 水平，平行AB 边的虚线EF 下方存在磁感应强度随时间变化的匀强磁场，磁场范围足够
大、方向垂直纸面(竖直平面)。若金属框的重量忽略不计，规定金属框所受安培力向上为正方向，t＝0
时起，金属框所受安培力F 随时间t 的变化图像如图乙所示。取垂直纸面向外为磁感应强度的正方向，
则t＝0 时刻起磁感应强度B 随时间t 的变化图像可能正确的是( )
4
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答案 BD
解析 在一个周期内，安培力F 先向上线性增大，再向下线性减小，且增大时的变化率比减小时的变化率
大；根据左手定则可知，金属框内的磁场垂直纸面向外时，感应电流先沿顺时针方向，再沿逆时针方向，
由楞次定律可知，磁通量先增大后减小，则磁感应强度先增大后减小；由F＝BIL，I＝E
R ＝Δ BS
ΔtR ，可知磁
感应强度增大时的变化率大于减小时的变化率，故A 错误，B 正确；根据左手定则可知，金属框内的磁场
垂直纸面向里时，感应电流先沿逆时针方向，再沿顺时针方向，由楞次定律可知，磁通量先增大后减小，
则磁感应强度先增大后减小；同理可知，磁感应强度增大时的变化率大于减小时的变化率，故C 错误，D
正确。
例6 (多选)(2022·河北卷·8)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x 轴
上，另一根由ab、bc、cd 三段直导轨组成，其中bc 段与x 轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一
金属棒MN 沿x 轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0 时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x 轴垂直。设
运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为
P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是
( )
5
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答案 AC
解析 当金属棒从O 点向右运动L 时，即在0~ L
v0
时间内，在某时刻金属棒切割磁感线的长度L 割＝l0＋
v0ttan θ(θ 为ab 与ad 的夹角)，
则根据E＝BL 割v0，
可得i＝B L割v0
R
＝B v0
R (l0＋v0ttan θ)，
可知回路电流均匀增加；
安培力F＝B
2 L割
2v0
R
＝B
2v0
R
(l0＋v0ttan θ)2，
则F－t 关系为二次函数关系，但是不过原点；
安培力做功的功率
P＝Fv0＝B
2 L割
2v0
2
R
＝B
2v0
2
R
(l0＋v0ttan θ)2，
则P－t 关系为二次函数关系，但是不过原点；
电阻两端的电压等于金属棒产生的感应电动势，即U＝E＝BL 割v0＝Bv0(l0＋v0ttan θ)
即U－t 图像是不过原点的直线；根据以上分析，可排除B、D 选项；
在L
v0
~2 L
v0
时间内，金属棒切割磁感线的长度不变，感应电动势E 不变，感应电流i 不变，安培力F 大小不
变，安培力的功率P 不变，电阻两端电压U 保持不变；同理可判断，在2 L
v0
~3 L
v0
时间内，金属棒切割磁感
线长度逐渐减小，金属棒切割磁感线的感应电动势E 均匀减小，感应电流i 均匀减小，安培力F 大小按照
二次函数关系减小，但是不能减小到零，与0~ L
v0
内是对称的关系，安培力的功率P 按照二次函数关系减
小，但是不能减小到零，与0~ L
v0
内是对称的关系，电阻两端电压U 按线性均匀减小，综上所述选项A、C
可能正确，B、D 错误。
课时精练
(分值：60 分)
1~6 题每小题4 分，共24 分
6
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1.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，连接处电阻不计，
匀强磁场垂直穿过大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为
E，则a、b 两点间的电压为( )
A.1
2E
B.1
3E
C.2
3E
D.E
答案 B
解析 a、b 间的电压等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的1
3，故a、b 间电压为U＝1
3E，选项B 正
确。
2.如图所示，在一磁感应强度B＝0.5 T 的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距L＝0.1 m 的平
行光滑金属导轨MN 和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q 之间连接一阻值R＝0.3 Ω 的电
阻。导轨上垂直放置着金属棒ab，其接入电路的电阻r＝0.2 Ω。当金属棒在水平拉力作用下以速度v＝4.0
m/s 向左做匀速运动时( )
A.ab 棒所受安培力大小为0.02 N
B.N、Q 间电压为0.2 V
C.a 端电势比b 端电势低
D.回路中感应电流大小为1 A
答案 A
解析 ab 棒产生的感应电动势E＝BLv＝0.2 V，感应电流I＝
E
R＋r ＝0.4 A，ab 棒受到的安培力大小F＝
ILB＝0.02 N，A 正确，D 错误；N、Q 间的电压U＝
R
R＋r E＝0.12 V，B 错误；由右手定则得a 端电势比b
端电势高，C 错误。
3.如图所示，边长为L 的正方形单匝导线框abcd 放在纸面内，在ad 边左侧有范围足够大的匀强磁场，磁
感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导线框的总电阻为R。现使导线框绕a 点在纸面内沿顺时针方向
匀速转动，经时间Δt 第一次转到图中虚线位置。则在Δt 内通过导线框横截面的电荷量为( )
7
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A.B L
2
4 R
B.B L
2
2 R
C.B L
2
R
D.2B L
2
R
答案 B
解析 Δt 时间内穿过导线框的磁通量变化量为ΔΦ＝BL2－1
2BL2＝1
2BL2，由法拉第电磁感应定律得E＝
ΔΦ
Δt ＝B L
2
2 Δt ，平均感应电流I ＝E
R ＝B L
2
2 R Δt ，通过导线框横截面的电荷量q＝I·Δt＝B L
2
2 R ，故选B。
4.(多选)如图甲所示，一长为L 的导体棒，绕水平圆轨道的圆心O 顺时针匀速转动，角速度为ω，电阻为
r，在圆轨道空间存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。半径小于L
2 的区域内磁场竖直向上，半径大于
L
2 的区域磁场竖直向下，俯视如图乙所示，导线一端Q 与圆心O 相连，另一端P 与圆轨道连接给电阻R 供
电，其余电阻不计，则( )
A.电阻R 两端的电压为B L
2ω
4
B.电阻R 中的电流方向向下
C.电阻R 中的电流大小为B L
2ω
4( R＋r )
D.导体棒所受的安培力做功的功率为B
2 L
4ω
2
8( R＋r )
答案 BC
解析 导体棒转动产生的感应电动势为E＝B L
2 ω L＋0.5 L
2
－B L
2 ω0.5 L
2
＝1
4 BωL2，电阻R 的电流大小为I
＝
E
R＋r ＝
B L
2ω
4( R＋r )，电阻R 两端的电压为U＝IR＝B L
2ωR
4( R＋r )，选项A 错误，C 正确；根据右手定则可
知圆心为负极，圆轨道为正极，电阻R 中的电流方向向下，故B 正确；导体棒所受的安培力做功的功率等
于电功率，则为P＝
E
2
R＋r ＝B
2 L
4ω
2
16( R＋r )，选项D 错误。
5.(多选)(2024·山东菏泽市检测)如图甲所示，正方形线圈abcd 内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数
n＝10，边长ab＝1 m，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示。设图甲所示
8
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的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的感应电流i，焦耳热Q 以及a、b 两点间电压大小
u，ab 边的安培力F(取向下为正方向)随时间t 的变化图像正确的是( )
答案 ACD
解析 0~1 s 内产生的感应电动势为e1＝nS· Δ B
Δt
＝2 V，由楞次定律可知，感应电流为逆时针(为负)，大小
为i1＝e1
r ＝2 A，同理可得，1~5 s 内产生的感应电动势为e2＝nS Δ B
'
Δt
' ＝1 V，由楞次定律可知，感应电流为
顺时针(为正)，大小为i2＝e2
r ＝1 A，A 正确；a、b 两点间的电压，0~1 s 内大小为u1＝i1· r
4 ＝0.5 V，1~5 s
内大小为u2＝i2· r
4 ＝0.25 V，B 错误；ab 边的安培力，0~1 s 内大小为0≤F1＝nB1i1 L≤4 N，随时间逐渐增
大，由左手定则，方向为向下为正；同理1~3 s 内大小为0≤F2＝nB2i2 L≤2 N，随时间逐渐减小，由左手
定则，方向为向上为负；同理3~5 s 内大小为0≤F3＝nB3i2 L≤2 N，随时间逐渐增大，由左手定则，方向
为向下为正，C 正确；0~1 s 内焦耳热0≤Q1＝i1
2rt≤4 J，随时间逐渐增加，1~5 s 内焦耳热4 J≤Q2＝Q1m＋
i2
2rt'≤8 J，随时间逐渐增加，D 正确。
6.半径分别为r 和2r 的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r、电阻为R 的均匀直导体棒AB 置于圆
导轨上面，BA 的延长线通过圆轨道中心O。装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场内，磁感应
强度大小为B，方向竖直向下，在两导轨之间接阻值为R 的定值电阻和电容为C 的电容器。直导体棒在水
平外力作用下以角速度ω 绕O 逆时针匀速转动。在转动过程中始终与导轨保持良好接触，导轨电阻不计。
下列说法正确的是( )
9
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A.导体棒中电流由A 流向B
B.电容器所带电荷量为3
4 CBωr2
C.电容器的M 板带负电
D.导体棒两端电压为3
4 Bω2r
答案 B
解析 根据右手定则，导体棒中电流方向由B 流向A，A 项错误；在t 时间内，导体棒扫过的面积S＝1
2
ωt[(2r)2－r2]，根据法拉第电磁感应定律E＝B· Δ S
Δt ，导体棒两端电压U＝
R
R＋R E，解得U＝3
4 Bωr2，电容
器所带电荷量为Q＝CU＝3
4 CBωr2，B 项正确，D 项错误；A 点电势高于B 点电势，故M 板带正电，C 项
错误。
7、8 题每小题6 分，9 题16 分，共28 分
7.(2024·山东菏泽市一模)如图所示，边长为2L 的正三角形abc 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一边长
为L 的菱形单匝金属线框ABCD 的底边与bc 在同一直线上，菱形线框的∠ABC＝60°。使线框水平向右匀
速穿过磁场区域，BC 边与磁场边界bc 始终共线，以B 点刚进入磁场为计时起点，规定导线框中感应电流
逆时针方向为正，则下列图像正确的是( )
10
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答案 A
解析 设线框匀速运动速度大小为v，整个线框的电阻为R；以B 点刚进入磁场为计时起点，在0~ L
v 内，
AB 边逐渐进入磁场切割磁感线，产生的电动势为E1＝Bv·xsin 60°＝√3 B v
2t
2
，线框中的电流大小为I1＝
E1
R ＝√3 B v
2t
2 R
∝t，根据楞次定律可知，线框中的电流方向为逆时针方向，即电流为正；在L
v ~2 L
v 内，整
条AB 边在磁场中切割磁感线，DC 边逐渐进入磁场切割磁感线，线框产生的电动势为E2＝EAB－EDC＝
√3 BLv
2
－Bv·(vt－L)sin 60°＝√3BLv－√3 B v
2t
2
，线框中的电流大小为I2＝E2
R ＝√3 BLv
R
－√3 B v
2t
2 R
，根据
楞次定律可知，线框中的电流方向为逆时针方向，即电流为正；在2 L
v ~3 L
v 内，整条AB 边离开磁场区域，
整条DC 边在磁场中切割磁感线，产生的电动势恒为E3＝√3 BLv
2
，线框中的电流大小恒为I3＝
E3
R ＝√3 BLv
2 R
，根据楞次定律可知，线框中的电流方向为顺时针方向，即电流为负；之后整个线框离开磁
场区域，没有感应电流，故选A。
8.(2024·山东潍坊市检测)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。
一边长为a、电阻为4R 的正方形均匀导线框ABCD 从图示位置沿水平向右方向以速度v 匀速穿过磁场区域，
下列图中导线框中A、B 两端电压UAB与导线框移动距离x 的关系图像正确的是( )
答案 D
解析 由楞次定律判断可知，在导线框穿过磁场的过程中，A 点的电势始终高于B 点的电势，则UAB始终
为正值。AB、DC 两边切割磁感线时产生的感应电动势均为E＝Bav，导线框移动距离在0~a 内时，AB 切
割磁感线，A、B 两端的电压是路端电压，则UAB＝3
4 E＝3
4 Bav；导线框移动距离在a~2a 内时，导线框完全
11
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在磁场中运动，穿过导线框的磁通量没有变化，不产生感应电流，则UAB＝E＝Bav；导线框移动距离在
2a~3a 内时，A、B 两端的电压等于路端电压的1
3，则UAB＝1
4 E＝1
4 Bav，故D 正确。
9.(16 分)如图所示，光滑水平面上有一个由均匀电阻丝做成的正方形线框。线框的边长为L，质量为m，总
电阻为R。线框以垂直磁场边界的初速度v 进入磁感应强度大小为B、方向如图所示的匀强磁场区域。线
框能完全进入磁场，且线框ab、cd 两边始终与磁场边界平行。求：
(1)(5 分)cd 边刚进入磁场时，线框中感应电流I 的大小及c、d 两点的电势差U；
(2)(5 分)若ab 边进入磁场时的速度为v'，则线框在进入磁场的过程中最大的加速度a 及产生的焦耳热Q；
(3)(6 分)线框进入磁场的过程中，通过线框导线横截面的电荷量q。
答案 (1)BLv
R 3
4 BLv (2)B
2 L
2v
mR
1
2m(v2－v'2) (3)B L
2
R
解析 (1)cd 边刚进入磁场时，线框产生的感应电动势为E＝BLv
根据闭合电路欧姆定律，线框感应电流的大小I＝BLv
R
c、d 两点的电势差U＝3
4 BLv
(2)线框刚进入磁场时的加速度最大，此时线框受到的安培力
F＝BIL ＝B
2 L
2v
R
根据牛顿第二定律有a＝F
m ＝B
2 L
2v
mR
根据能量守恒定律有Q＝1
2m(v2－v'2)
(3)根据法拉第电磁感应定律，此过程线框的平均感应电动势
E＝N ΔΦ
Δt ＝B L
2
Δt
根据闭合电路欧姆定律，线框的平均电流I ＝E
R ＝B L
2
R Δt
通过线框导线横截面的电荷量
q＝I·Δt＝B L
2
R 。
(8 分)
12
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10.如图所示，左端有微小狭缝(距离可忽略)的“∠”形光滑导轨abc 水平放置在竖直向上的匀强磁场中，
一电容器C 与导轨左端相连，导轨上的金属棒MN 与ab 垂直且与导轨接触良好，在外力F 作用下从b 点开
始以速度v 向右匀速运动，忽略所有电阻。下列关于回路中的电流i、电容器极板上的电荷量q、外力F 及
其功率P 随时间t 变化的图像中，正确的是( )
答案 D
解析 根据题意，设光滑导轨的夹角为θ，金属棒的运动时间为t，金属棒运动距离为x＝vt，由几何关系
可知，切割磁感线的有效长度为L＝vttan θ，感应电动势为E＝BLv＝Bv2ttan θ，由题意可知，电容器两端
的电压等于感应电动势，则电容器极板上的电荷量为q＝CE＝CBv2ttan θ，故B 错误；由B 分析可知，0~t
时间内电容器极板上电荷量的变化量为Δq＝CBv2Δttan θ，回路中的电流为i＝Δq
Δt ＝CBv2tan θ，故A 错误；
根据题意，由公式F 安＝BIL 可知，外力为F＝F 安＝BiL＝CB2v3ttan2θ，故C 错误；根据公式P＝Fv 可得，
外力的功率为P＝CB2v4ttan2θ，故D 正确。
13
