专题十七 “几何圆模型”在磁场中的应用
基础巩固
1.如图所示,在直角坐标系xOy 中,x 轴上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直
于纸面向外.许多质量为m、电荷量为+q 的粒子以相同的速率v 从原点O 沿纸面由从x 轴负
方向到y 轴正方向之间的各个方向射入磁场区域.不计重力及粒子间的相互作用.图中阴影部
分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域,其中R=mv
qB
,则正确的是
( )
2.[2025·北京西城区模拟] 如图所示,正方形区域abcd 内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向
里.一带电粒子从ad 边的中点M 处以速度v 垂直于ad 边射入磁场,并恰好从ab 边的中点N
处射出磁场.不计粒子的重力,下列说法正确的是
( )
A.粒子带负电
B.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子将从a 点射出
C.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子将从b 点射出
D.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子在磁场中的运动时间将变短
3.(多选)[2025·四川成都模拟] 如图所示,直角三角形OAC 区域内有垂直于纸面向外、磁感应
强度大小未知的匀强磁场,∠A=30°,∠C=90°,OC 边长为L,在C 点有放射源S,可以向磁场内各
个方向发射速率为v0的同种带正电的粒子,粒子的比荷为K.若S 发射的粒子有三分之二可以
穿过OA 边界,OA 边界处有磁场,不计重力及粒子之间的相互影响,则
( )
A.磁感应强度大小为v0
2 KL
B.磁感应强度大小为v0
KL
C.OA 上粒子出射区域长度为L
D.OA 上粒子出射区域长度为L
2
4.(多选)[2025·河北衡水模拟] 如图所示,扇形区域AOB 内存在有垂直平面向里的匀强磁
场,OA 和OB 互相垂直,是扇形的两条半径,一个带电粒子从A 点沿AO 方向进入磁场,从B 点
离开,若该粒子以同样的速度从C 点平行于AO 方向进入磁场,则( )
A.粒子带正电
B.C 点越靠近B 点,粒子偏转角度越大
C.C 点越远离B 点,粒子运动时间越短
D.只要C 点在A、B 之间,粒子仍然从B 点离开磁场
综合提升
5.(多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示,在矩形的区域内存在一个垂直于纸面向外的匀强磁
场,已知磁感应强度大小为B,Oa 与ab 长度之比为❑√3∶1.一个质量为m、电荷量为q 的带正
电粒子(重力忽略不计)从O 点沿着Ob 方向射入磁场,下列关于带电粒子在磁场中运动的说
法正确的是
( )
A.带电粒子在磁场中运动的最长时间为πm
3qB
B.带电粒子的入射速度越大,则在磁场中运动的位移越大
C.带电粒子的入射速度越大,则在磁场中运动的时间越长
D.带电粒子可以从bc 边界离开磁场
6.(多选) [2025·山东青岛模拟] 如图所示为一圆形区域,O 为圆心,半径为R,P 为边界上的一
点,区域内有垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度大小为B.电荷量为q、质量为
m 的相同带电粒子a、b(不计重力)从P 点先后以相同的速率v=qBR
m
射入磁场,粒子a 正对圆
心射入,粒子b 射入磁场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向成θ 角,已知粒子a 与粒子
b 在磁场中运动的时间之比为3∶4,下列说法正确的是
( )
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=R
B.θ=60°
C.θ=30°
D.粒子a、b 离开磁场时的速度方向也成θ 角
7.(多选)[2025·河南开封模拟] 如图所示,在等腰直角三角形BAC 内充满着磁感应强度大小为
B、方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出).一群质量为m、电荷量为+q、速度为v 的带
正电粒子垂直AB 边射入磁场,已知从AC 边射出且在磁场中运动时间最长的粒子,离开磁场
时速度垂直于AC 边.不计粒子重力和粒子间的相互作用.下列判断中正确的是
( )
A.等腰三角形BAC 中AB 边的长度为
❑√2mv
qB
B.粒子在磁场中运动的最长时间为πm
2qB
C.从AB 中点射入的粒子离开磁场时的位置与A 点的距离为mv
qB
D.若仅将磁场反向,则粒子在磁场中运动的最长时间不变
8.[2025·浙江温州模拟] 如图所示,竖直平面内有一xOy 平面直角坐标系,第一、四象限中存
在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小记为B(B 未知).坐标原点O 处有一放射源,放
射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q 的正离子.
在y 轴上固定一能吸收离子的收集板MN,M 点坐标为(0,a),N 点坐标为(0,2a),当辐射的离子速
率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N 点,最近到M 点.不计离子的重力及离子间的相
互作用的影响,求:
(1)恰好打到M 点的离子在磁场中运动的时间;
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例.
拓展挑战
9.[2025·江西九江模拟] 如图所示,半径为R 的圆形区域的圆心位于直角坐标系的坐标原点
O,该圆形区域内有垂直于坐标平面的匀强磁场(未画出),在y<-R 区域存在沿x 轴负方向的匀
强电场,场强大小为E,磁场区域外右侧有宽度为❑√3R 的粒子源,M、N 为粒子源两端点,M、N
连线垂直于x 轴,粒子源中点P 位于x 轴上,且均匀持续向x 轴负方向发射质量为m、电荷量
为+q(q>0)、速率为v 的粒子,已知从粒子源中点P 发出的粒子,经过磁场后,恰能从圆与y 轴
负半轴的交点Q 处沿y 轴负方向射出磁场.不计粒子重力及粒子间的相互作用,求:
(1)匀强磁场的磁感应强度大小及方向;
(2)从进入磁场开始计时,至第3 次经过y 轴,粒子经历的最长时间;
(3)粒子离开Q 点进入电场后,再次经过y 轴时离O 点的最大距离.
答案解析
1.D [解析] 如图所示,从O 点沿x 轴负方向射入的粒子运动轨迹为圆,与x 轴相切于O 点,在
x 轴上方,半径为R;沿y 轴正方向射入的粒子运动轨迹为半圆,在y 轴右侧,与x 轴的交点距O
点为2R;沿其余方向射入的带电粒子运动轨迹的最远点均在以O 为圆心、半径为2R 的圆周
上;由以上分析结合定圆旋转法,可知D 正确.
2.D [解析] 根据左手定则可知粒子带正电,A 错误;设正方形边长为L,粒子以速度v 和速度
2v 进入磁场,有L
2
=mv
qB
,L=m·2v
qB
,轨迹如图所示,可知若粒子射入磁场的速度增大为2v,射
出的位置在N、b 之间,B、C 错误;若粒子射入磁场的速度增大为2v,则在磁场中运动的轨迹
所对应的圆心角将变小,由t= θ
2π
T=θm
Bq
可知粒子在磁场中的运动时间将变短,故D 正确.
3.BC [解析] 如图所示,S 发射的粒子有三分之二可以穿过OA 边界,根据左手定则可知,入射
方向与OC 夹角为30°的粒子刚好从O 点射出,根据几何关系可知,粒子做圆周运动的轨迹半
径为R=L,根据洛伦兹力提供向心力,有qv0B=mv0
2
R
,又知q
m
=K,解得B= v0
KL
,故A 错误,B 正确;
沿CA 方向入射的粒子穿过OA 边界时距O 点最远,根据几何知识可知,最远距离为OD=L,则
OA 上粒子出射区域长度为L,故C 正确,D 错误.
4.AD [解析] 由题意,粒子从A 点进入磁场从B 点离开,由左手定则可以确定粒子带正电,故
A 正确;由题意知当粒子从A 点入射时,从B 点离开磁场,则粒子做圆周运动的半径等于磁场
圆弧区域的半径,根据磁会聚的原理(一束平行的带电粒子射向半径与粒子做圆周运动的半
径相同的圆形磁场区域时,这些粒子将从同一点射出圆形磁场),当入射方向平行时,这些粒子
将从同一点射出,如图所示,从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场,则这些粒子从同一点
B 射出,从图中看出,C 点越靠近B 点,偏转角越小,时间越短,离B 点越远,偏转角越大,时间越
长,故D 正确,B、C 错误.
5.AB [解析] 由几何关系可知,Ob 与Oa 的夹角θ=30°,粒子运动的轨迹如图所示,由几何关
系可知,粒子运动轨迹对应的最大圆心角α=2θ=60°,粒子在磁场中做圆周运动的周期T=
2π m
qB
,则粒子在磁场中运动的最长时间tm=
α
360°
T= π m
3qB
,故A 正确;带电粒子的入射速度越
大,则在磁场中运动的弧所对的弦长越长,故在磁场中运动的位移越大,但是粒子在磁场中运
动的圆弧所对的圆心角可能不变或者减小,故运动时间可能不变或者减小,故B 正确,C 错误;
带电粒子沿着Ob 方向垂直射入磁场,受到的洛伦兹力斜向下,故粒子不可能从bc 边界离开磁
场,故D 错误.
6.AC [解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=mv
2
r
,而速度v=
qBR
m
,解得运动半径r=R,故A 正确;因粒子a 正对圆心射入,又r=R,故粒子a 在磁场中的运动
时间为1
4
T,运动圆弧对应的圆心角为90°,两粒子在磁场中运动的周期相等,为T=2π m
qB
,运动
时间之比为3∶4,故粒子b 在磁场中的运动时间为1
3
T,即运动圆弧对应的圆心角为120°,由几
何关系可知,运动圆弧对应的圆心与O、P 三点的连线构成等边三角形,所以θ=30°,故B 错
误,C 正确;作图可知粒子a、b 离开磁场时速度平行,是“磁发散”模型,故D 错误.
7.AB [解析] 依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时,轨迹圆的圆心在A 点.且其轨迹
与BC 边相切.根据几何关系可知ABsin 45°=r,粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,有
qvB=mv
2
r
,联立可得AB=
❑√2mv
qB
,故A 正确;粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=2π r
v
,
根据A 选项分析,粒子最长轨迹所对应的圆心角为90°,则有t= 90°
360°
T= π m
2qB
,故B 正确;从AB
中点射入的粒子,其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移r-
❑√2
2
r,得到此轨迹圆的圆心在A
点的正下方,如图所示,由几何关系可知,离开磁场时的位置与A 点的距离必然小于轨迹半径
r=mv
qB
,故C 错误;若仅将磁场反向,则粒子在磁场中将向上偏转,不会出现圆心角为90°的轨
迹,故最长时间将变小,故D 错误.
8.(1) π a
3 v0
或5 π a
3 v0
(2)2
3
[解析] (1)由题意可知,沿x 轴正方向出射的离子,经半圆到达N 点
由此可得r=a
可知通过M 点的离子有两个出射方向
如图甲所示,一个轨迹转过的圆心角为60°,即t1=1
6
T
另一个轨迹转过的圆心角为300°,即t2=5
6
T,离子做匀速圆周运动
周期T=2π r
v0
即T=2π a
v0
解得t1= π a
3 v0
,t2=5 π a
3 v0
(2)如图乙所示,由动态圆分析结果可知,能打到收集板上的离子分布在速度方向与x 轴正方向
成60°角的范围内,因为放射源均匀打出离子,因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例
为120°
180°
=2
3
9.(1)mv
qR ,方向垂直纸面向里 (2)5 π R
6 v +
❑√3mv
qE
(3)R+mv
2
qE
[解析] (1)由题意可知,从粒子源中点P 发射的粒子在磁场中运动轨迹为四分之一圆周,设轨
迹半径为r,由几何关系易知r=R
由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv
2
r
联立得B=mv
qR
,方向垂直纸面向里
(2)由于所有粒子的轨迹半径均为r=R,故粒子全部经由Q 点离开磁场,其中进入第三象限的
粒子受电场力向左偏,不再经过y 轴,进入第四象限的粒子受电场力在水平方向上先匀减速再
反向匀加速,共3 次经过y 轴.
设粒子进入磁场时与O 点连线和x 轴正方向夹角为θ,由几何关系易知,粒子进入第四象限时
速度方向与y 轴负方向夹角亦为θ.
在磁场中运动周期T=2π m
Bq
则粒子在磁场及电场中运动的时间t=(90°+θ)
360°
×2π m
Bq +2v sinθ
ax
又qE=max
结合粒子源长度为❑√3R,可知0≤θ≤60°
则θ=60°时,tmax=5 π R
6 v +
❑√3mv
qE
(3)粒子离开Q 点到再次经过y 轴,距离O 点的距离y=R+vcos θtE
其中tE=2v sinθ
ax
代入得y=R+mv
2·sin2θ
qE
θ=45°时,y 取极大值,故ymax=R+mv
2
qE
