专题十八 带电粒子在组合场中的运动（提高篇）
基础巩固
1.(多选)[2025·湖南衡阳模拟] 某一空间中存在着磁感应强度B 大小不变、方向
随时间t 做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示),规定垂直纸面向里的磁场方向为
正.为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→b→e→f 的顺序做
“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹),下列办法可行的是(粒子只受磁场力的
作用,其他力不计)
( )
A.若粒子的初始位置在a 处,在t=3
8T 时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速
度
B.若粒子的初始位置在f 处,在t=T
2 时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C.若粒子的初始位置在e 处,在t=11
8 T 时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速
度
D.若粒子的初始位置在b 处,在t=T
2 时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
2.(多选)[2025·辽宁大连模拟] 在x>0 的空间中存在垂直于 xOy 平面的磁场,x=a
两侧的匀强磁场方向相反,x>a 区域的磁感应强度大小为0<x<a 区域的2 倍.某带
电粒子以速率v0由原点沿 xOy 平面射入该磁场,在磁场中运动的轨迹如图所示.
关于粒子在磁场中的运动,下列说法正确的是
( )
A.粒子在左右两磁场中运动的时间之比为4∶3
B.粒子在原点的速度方向与x 轴成45°角
C.粒子离x 轴的最远距离为
❑√2+2
2
a
D.粒子离y 轴的最远距离为
❑√2+ 4
4
a
3.(多选)如图所示,在x 轴的上方有沿y 轴负方向的匀强电场,电场强度大小为E,
在x 轴的下方等腰三角形CDM 区域内有垂直于xOy 平面由内向外的匀强磁场,
磁感应强度大小为B,其中C、D 在x 轴上,它们到原点O 的距离均为a,θ=45°.现
将一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从y 轴上的P 点由静止释放,设P 点到
O 点的距离为h,不计重力作用与空气阻力的影响.下列说法正确的是( )
A.若h=B
2a
2q
2mE ,则粒子垂直于CM 射出磁场
B.若h=B
2a
2q
2mE ,则粒子平行于x 轴射出磁场
C.若h=B
2a
2q
8mE ,则粒子垂直于CM 射出磁场
D.若h=B
2a
2q
8mE ,则粒子平行于x 轴射出磁场
4.[2025·江苏常熟模拟] 如图所示,水平虚线MN 上方一半径为R 的半圆区域内
(包括边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场,半圆形磁场的圆心O 在MN 上,虚线下
方有平行纸面向上的范围足够大的匀强电场.一个质量为m、电荷量为q 的带正
电的粒子从O 点以大小为v0的初速度垂直MN 平行纸面射入磁场,恰好从半圆边
界的最左端穿出磁场,不计粒子的重力.
(1)求磁感应强度的大小;
(2)若粒子射入磁场的速度v0与ON 的夹角θ=60°,粒子在磁场中运动后进入电场,
一段时间后又从P 点进入磁场,且OP=
❑√3
2 R,求电场强度大小;
(3)在(2)中,粒子在电场和磁场中运动的总时间为多少?
综合提升
5.[2024·辽宁卷] 现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度.简化模型
如图所示:Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L,存在垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度等大反
向;Ⅲ、Ⅳ区为电场区,Ⅳ区电场足够宽,各区边界均垂直于x 轴,O 为坐标原点.
甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为+q、质量均为m 的粒子.如图所示,甲、乙
平行于x 轴向右运动,先后射入Ⅰ区时速度大小分别为3
2v0和v0.甲到P 点时,乙刚
好射入Ⅰ区.乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°.甲到O 点时,乙恰好到P 点.已知Ⅲ
区存在沿+x 方向的匀强电场,电场强度大小E0=9m v0
2
4 π qL
.不计粒子重力及粒子间相
互作用,忽略边界效应及变化的电场产生的磁场.
(1)求磁感应强度的大小B.
(2)求Ⅲ区宽度d.
(3)Ⅳ区x 轴上的电场方向沿x 轴,电场强度E 随时间t、位置坐标x 的变化关系为
E=ωt-kx,其中常系数ω>0,ω 已知、k 未知,取甲经过O 点时t=0.已知甲在Ⅳ区始
终做匀速直线运动,设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F,甲、乙间距为Δx,求乙追
上甲前F 与Δx 间的关系式(不要求写出Δx 的取值范围)
拓展挑战
6.[2025·福建厦门模拟] 如图所示,直角坐标系xOy 平面内,第一、二象限分别存
在垂直纸面向里的匀强磁场和沿y 轴正方向的匀强电场,E、B 大小均未知.质量
为m、电荷量为-q(q > 0)的粒子从x 轴负半轴M 点与x 轴正方向成60°角射入电
场,经电场偏转后以速度v0从点P(0,d)垂直y 轴进入磁场,最后从N 点与x 轴正方
向成60°角射出磁场,不计粒子重力.
(1)求粒子进入电场时的速度大小;
(2)求磁感应强度B 的大小;
(3)若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力Ff=kv(k 为已知常量),粒子恰好
从Q 点(图中未标出)垂直x 轴射出磁场,求Q 点的坐标;
(4)在第(3)问的情况下,求粒子从P 点运动到Q 点的轨迹长度.
答案解析
1.AD [解析] 要使粒子的运动轨迹如题图乙所示,由左手定则知粒子做圆周运动
的周期应为T0=T
2 ,若粒子的初始位置在a 处,对应时刻应为t=3
4T0=3
8T,同理可判
断B、C、D 选项,故A、D 正确.
2.AB [解析] 设粒子在原点的入射角为θ,在左、右侧磁场中的轨迹半径分别为
r 和r
2,如图所示,有rcos θ=a
2,又2rsin θ=a,解得θ=45°,r= a
❑√2,粒子在左、右两侧
磁场中运动的圆心角分别为180°和270°,周期之比为2∶1,故运动时间之比为
4∶3,选项A、B 正确;粒子离x 轴的最远距离为y=r
2+r
2cos 45°=
❑√2+1
4
a,选项C
错误;粒子离y 轴的最远距离为x=a+r
2+r
2sin 45°=
❑√2+5
4
a,选项D 错误.
3.AD [解析] 若h=B
2a
2q
2mE ,则在电场中,由动能定理得qEh=1
2mv2,在磁场中,由牛
顿第二定律得qvB=mv
2
r ,联立解得r=a,根据几何关系可知,粒子垂直于CM 射出磁
场,故A 正确,B 错误;若h=B
2a
2q
8mE ,同理可得r=1
2a,根据几何关系可知,粒子平行于
x 轴射出磁场,故C 错误,D 正确.
4.(1)2mv0
qR
(2)m v0
2
2qR
(3)(4 ❑√3+ 4 π
3 )
R
v0
[解析] (1)粒子恰好从半圆边界的最左端穿出磁场,则有 r= R
2
根据牛顿第二定律有qv0B=mv0
2
r
解得B=2m v0
qR
(2)根据题意,由粒子在电场中运动时轨迹的对称性,设粒子射出磁场的位置为Q,
作出粒子运动轨迹如图所示
由几何关系有OQ=2×1
2Rcos 30°=
❑√3
2 R
粒子在电场中做类斜上抛运动,根据对称性可知OQ=v0cos θ·t1,v0sin θ=at1
又有qE=ma
解得E=m v0
2
2qR
(3)粒子从P 点再次进入磁场后,根据对称性可知,粒子的运动轨迹仍刚好与磁场
边界相切,并从O 点射出磁场,则粒子在磁场中运动的时间
t 磁=2×2
3×2π m
qB =4 π R
3 v0
粒子在电场中运动的时间
t 电=4t1=4 ❑√3 R
v0
因此粒子在电场和磁场中运动的总时间t=t 磁+t 电=(4 ❑√3+ 4 π
3 )
R
v0
5.(1)m v0
2qL (2)3
2πL (3)F=ωq Δ x
3 v0
[解析] (1)乙粒子在Ⅰ区的运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力有
qv0B=mv0
2
r1
由几何关系得sin 30°= L
r1
联立解得磁感应强度的大小B=mv0
2qL
(2)根据对称性可知,乙在磁场中运动的时间为
t1=2× 30°
360°×2π m
qB
根据对称性可知,甲粒子到P 点时的速度方向沿x 轴正方向,甲粒子在Ⅲ区电场中
沿着直线从P 点到O 点,由运动学公式有
d=3
2v0t1+1
2at1
2
由牛顿第二定律有
a=q E0
m
其中E0=9mv0
2
4 π qL
联立解得Ⅲ区宽度d=3
2πL
(3)甲粒子经过O 点时的速度为v 甲=3
2v0+at1
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动,则甲的位置坐标为x1=v 甲t
同时甲所在处的电场强度E1=0,即
ωt=kx1
联立解得v 甲=3v0,k= ω
3 v0
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为t2,乙粒子在Ⅳ区运动的时间为t0,则t=t0+t2
乙所在处的电场强度E2=ωt-kx2,即
F
q =ω(t0+t2)-kx2
整理可得x2=3v0(t0+t2)-3 v0 F
qω
对甲有x1=3v0(t0+t2)
则Δx=x1-x2=3 v0 F
qω
化简可得乙追上甲前F 与Δx 间的关系式为
F=ωq Δ x
3 v0
6.(1)2v0 (2)m v0
2qd
(3)(
mv0
2k ,0)
(4)m v0
k
+d-m
2v0
2
4 d k
2
[解析] (1)粒子进入电场后水平方向做匀速直线运动,竖直方向做类竖直上抛运
动,则有vMcos 60°=v0
解得vM=2v0
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动,其轨迹如图所示
根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径满足Rsin 30°=R-d 解得
R=2d
由洛伦兹力充当向心力有Bqv0=mv0
2
R
解得B=m v0
2qd
(3)对粒子受力分析可知,速度在x 轴的分量会产生x 轴的阻力与y 轴负方向的洛
伦兹力;速度在y 轴的分量,会产生y 轴的阻力与x 轴负方向的洛伦兹力,其受力分
析如图所示
在x 轴上,由动量定理有-(kvx+Bqvy)Δt=mΔvx
由微元法累加后可得-kx-Bqy=m(0-v0)
其中y=d
解得x=m v0
2k
则Q 点的坐标为m v0
2k
,0
(4)同理在y 轴上有-(kvy-Bqvx)Δt=mΔvy
微元法叠加后可得-ky+Bqx=m(vQ-0)
解得vQ=mv0
2
4 dk
-kd
m
阻力使得粒子速度减小,在轨迹切线方向有-kvΔt=mΔv
沿着轨迹切线方向由动量定理,可得速度的变化量Δv=vQ-v0
微元叠加后可得-kl=mΔv
解得轨迹的长度为l=m
k
v0+kd
m
-mv0
2
4 dk
=m v0
k
+d-m
2v0
2
4 d k
2
