高考数学基础知识分值考点_数学_专项复习_2025年_2025年新高考高中数学知识点总结全归纳电子版选修必修公式定理_高中数学知识点汇编

专题 01 三角函数与三角恒等变换
【命题规律】
高考对三角恒等变换、三角函数图象和性质的考查，往往在通过小题考查的同时，在大题中
将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查.具体的，先利用三角公式将三角函数式
化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周
期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档为主. 主要考查数学抽象、直观想
象、数学运算和逻辑推理等核心素养.在解题过程中,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵
活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.
【知识技能方法】
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象

定义域 R R {x|x k ,kZ}
2
值域 [1,1] R R
周期性 2 2 
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
 k
对称中心 (k,0) (k ,0) ( ,0)
2 2

对称轴方程 x k x k 无
2
2．三角函数的周期性
2
(1)函数 y  Asin(x)的最小正周期T  ．应特别注意函数 y |Asin(x)|的
||
 2
周期为T  ，函数 y | Asin(x)b|(b0)的最小正周期T  ．
|| ||
2
(2)函数 y  Acos(x)的最小正周期T  ．应特别注意函数 y | Acos(x)|
||
 2
的周期为T  ．函数 y |Acos(x)b|(b0)的最小正周期均为T  ．
|| ||
(3)函数 y  Atan(x)的最小正周期T  ．应特别注意函数 y |Atan(x)||
||
 
的周期为T  ，函数 y |Atan(x)b|(b0) 的最小正周期均为T  ．
|| ||
3．三角函数的奇偶性

(1)函数 y  Asin(x)是奇函数 k(kZ )，是偶函数 k (kZ )；
2
⇔ ⇔

(2)函数 y  Acos(x)是奇函数 k (kZ )，是偶函数 k(kZ )；
2
⇔ ⇔
(3)函数 y  Atan(x)是奇函数 k(kZ )．
4．三角函数的对称性 ⇔

(1)函数 y  Asin(x)的图象的对称轴由xk (kZ )解得，对称中心的
2
横坐标由xk(kZ )解得；
(2)函数 y  Acos(x)的图象的对称轴由xk(kZ )解得，对称中心的横坐

标由xk (kZ )解得；
2
k
(3)函数 y  Atan(x)的图象的对称中心由x kZ )解得．
2
5．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
(α－β)
C cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
(α＋β)
S sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
(α－β)
S sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
(α＋β)
tantan
tan() 
T 1tantan
(α－β)
变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)
tantan
tan()  ；
T 1tantan
(α＋β)
变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)
b
6．辅助角公式：asinxbcosx  a2b2sin(x) ，（其中tan ）；
a
7．二倍角公式sin 2x＝2sinxcosx；
S 变形：1＋sin 2x＝(sinx＋cosx)2，
2α
1－sin 2x＝(sinx－cosx)2
cos 2x＝cos2x－sin2x＝2cos2x－1＝1－2sin2x；
C 1cos2x 1cos2x
2α sin2 x  cos2 x 
变形-降幂公式： 2 2
2tanx
T tan2x 
2α 1tan2 x
8.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2＋cos2＝1(R)．
sin 
(2)商数关系：tan= ( k ,kZ).
cos 2
9.应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项
(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值
求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给
定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函
数名出错．
10.“sincos，sin·cos”关系的应用
(sincos)2 1
(sincos)2＝1 2sin·cos，sin·cos ，
2
1(sincos)2
sin·cos .
2
因此在解题中已知1个可求另外2个．
11.解决三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将 f(x)化为asinxbcosx的形式．
a b
第二步：构造 f(x)  a2 b2( sinx cosx) .
a2 b2 a2 b2
第三步：和角公式逆用，得 f(x)  a2 b2 sin(x) (其中φ为辅助角)．
第四步：利用 f(x)  a2 b2 sin(x) 研究三角函数的图象与性质．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．专题 02 解三角形
【命题规律】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考
查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查正弦定理、余弦定理以及解三角形问题，主要
考查：1．边和角的计算．2．三角形形状的判断．3．周长、面积的计算．4．有关的最值、
范围问题.5.平面几何（三角形中线）问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进
行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视，在新高考中很多题目开始以开放性题型命.
由于2019版A版教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量的结合考查
大概率上升.无论怎样都离不开与三角恒等变换的结合.预测试题难度控制在中等或中等以上，
主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想．
【知识技能方法】
1、正弦定理及其变形
（1）a 2Rsin A,b2RsinB,c2RsinC (边化角公式）
a b c
（2）sin A ,sinB  ,sinC  (角化边公式）
2R 2R 2R
（3）a:b:csin A:sinB:sinC
2、余弦定理及其推论
b2 c2 a2
cosA
2bc
a2 b2 c2 2bccosA
a2 c2 b2
b2 a2 c2 2accosB cosB 
2ac
c2 a2 b2 2abcosC
a2 b2 c2
cosC 
2ab
3、常用的三角形面积公式
1
（1）S  底高；
ABC
2
1 1 1
（2）S  absinC  bcsinA  casinB（两边夹一角）；
ABC
2 2 24、基本不等式
ab
① ab 
2
②a2 b2  2ab
5、向量化(三角形中线问题）
  
如图在ABC 中，D 为CB的中点，2AD  AC  AB (此秘籍在解决三角形中线问题时，
高效便捷）
6．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如
图①)．
7．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
8．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
9．在△ABC中，常有以下结论：
（1）∠A＋∠B＋∠C＝.
（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
AB 1 C
（3）sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin  ＝cos ；
2 2 2AB C
cos ＝sin .
2 2
（4）三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
10．解三角形的基本元素的计算
(1)已知三边a，b，c.
运用余弦定理可求三角A，B，C.
(2)已知两边a，b及夹角C.
运用余弦定理可求第三边c.
(3)已知两边a，b及一边对角A.
bsinA
先用正弦定理，求sinB，sinB＝ .
a
①A为锐角时，若a<bsinA，无解；若a＝bsinA，一解；若bsinA<a<b，两解；若a≥b，一
解.
②A为直角或钝角时，若a≤b，无解；若a>b，一解.
(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边.
11.判断三角形形状的两种思路
（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用
A＋B＋C＝π这个结论.
12.三角形面积公式的应用原则
（1）对于三角形面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
13.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
（1）分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
（2）建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，
建立一个解斜三角形的数学模型.
（3）求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解.
（4）检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
14.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形.
(2)解三角形与三角函数图象与性质的综合应用.
15.平面几何中解三角形问题的求解思路
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边
形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
16.解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作
为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围
限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避
免结果的范围过大.
（1）求角的三角函数值的最值：关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅
助角公式.
（2）求边的最值：边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，
再结合角的范围求解.有时也可利用均值不等式求解.
（3）利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边
或角的关系，利用函数或不等式是一种解决此类问题的常规方法.专题 03 数列之通项问题
【命题规律】
数列问题是高考的必考内容，主要考查：1．等差等比数列的证明．2．数列求通项．3．数
列求和．4．数列不等式问题.5.与概率、导数结合问题．在新高考中开放性题型命题值得关
注．
【知识技能方法】
S，n1
1、a  1
n S S ,n2
n n1
说明：此公式考点为两个方向：方向一，a  S S (n  2)即在求通项问题中，用a 替
n n n1 n
换题目中的S S ；此考点为主要考点；方向二：S S a (n  2)，即在求通项问
n n1 n n1 n
题中，用S S 替换题目中的a ，此法和方向一刚好是反方向的；此考点出现频率较少。
n n1 n
2.累加法（叠加法）
若数列
a
满足a
a  f(n)
(nN*)，则称数列
a
为“变差数列”，求变差数列
a

n n1 n n n
的通项时，利用恒等式
a a (a a )(a a )(a a )a  f(1) f(2) f(3) f(n1) (n2)
n 1 2 1 3 2 n n1 1
求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
a a  f (1)
2 1
a a  f (2)
3 2
a a  f (3)
4 3
 
a a  f (n1)
n n1
将上述n1个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
(a a )(a a )(a a )(a a ) = f(1) f(2) f(3) f(n1)
2 1 3 2 4 3 n n1
整理得：a a = f(1) f(2) f(3) f(n1)
n 1
3. 累乘法（叠乘法）a
若数列 a 满足 n1  f(n) (nN*)，则称数列 a 为“变比数列”，求变比数列 a 的
n a n n
n
a a a a
通项时，利用a a  2  3  4  n a  f(1) f(2) f(3)f(n1) (n2)求通项
n 1 a a a a 1
1 2 3 n1
公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
a
2  f(1)
a
1
a
3  f(2)
a
2
a
4  f(3)
a
3
 
a
n  f(n1)
a
n1
将上述n1个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
a a a a
2  3  4  n  f(1) f(2)f(3) f(n1)
a a a a
1 2 3 n1
a
整理得： n  f(1) f(2)f(3) f(n1)
a
1
4.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如a ka  p（k,p为常数，kp0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
n1 n
a mk(a m)（其中：m p ），由此构造出新的等比数列 a m ，先求出 a m 
n1 n k1 n n
 
的通项，从而求出数列 a 的通项公式。
n
类型2：用“同除法”构造等差数列
a a
（1）形如a qa  pqn1(nN*)，可通过两边同除qn1，将它转化为 n1  n  p，从
n1 n qn1 qn
a  a 
 
而构造数列 n为等差数列，先求出 n的通项，便可求得 a 的通项公式。
qn qn n
1 1
（2）形如a a ka a (k 0)，的数列，可通过两边同除以a a ，变形为  k
n n1 n1 n n1 n
a a
n1 n 1   1   
的形式，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，便可求得 a 的通项公式
a n a n n
5.用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a  n （ p,q为常数， pq0）的数列，通过两边取“倒”，变形为
n1
pa q
n
1 1 p 1 1 p  1   1 
  ，即：   ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，
a n1 a n q a n1 a n q a n a n
即可求得a .
n
ka
类型2：形如a  n （ p,q为常数， p 0，q0，k 0）的数列，通过两边取
n1 pa q
n
1 q 1 p 1 q p
“倒”，变形为   ，可通过换元：b  ，化简为：b  b  （此
a k a k n a n1 k n k
n1 n n
类型符合专题四类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如a ka  p（k,p为常
n1 n
p
数，kp0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为a mk(a m)（其中：m ），
n1 n k1
由此构造出新的等比数列 a m ，先求出 a m 的通项，从而求出数列  a  的通项公式。）
n n n专题 04 数列之综合问题
【命题规律】
数列问题是高考的必考内容，主要考查：1．等差等比数列的证明．2．数列求通项．3．数
列求和．4．数列不等式问题.5.与概率、导数结合问题．在新高考中开放性题型命题值得关
注．
【知识技能方法】
（一）求和公式
n(a a ) n(n1)
1. 等差数列的前n和的求和公式：S  1 n na  d .
n 2 1 2
2．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列a ,a ,a ,,a ,的前n项和是S  a a a a ，当q 1
1 2 3 n n 1 2 3 n
a (1qn) a a q
时，S  1 或S  1 n ；当q 1时，S  na （错位相减法）.
n 1q n 1q n 1
3. 数列前n项和
①重要公式：
n n(n1)
（1）k  123n
2
k1
n
（2）(2k1)135 2n1  n2
k1
2
n 1 
（3）k3  13 23 n3 

n(n1)

2 
k1
n 1
（4）k2 12 22 32 n2  n(n1)(2n1)
6
k1
②等差数列中，S S S mnd ；
mn m n
③等比数列中，S  S qnS  S qmS .
mn n m m n
（二）常见数列求和问题
1.倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和（满足a a  A（A为常数）的数列）.
m nm
2.分组求和法，如果一个数列可写成c a b 的形式，而数列  a  ，  b  是等差数列或
n n n n n
等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧
1 1 1 1
类型①  (  )
n(nk) k n nk
1 1 1 1 1 1
特别注意k 1,   ;k  1,  
n(n1) n n1 n(n1) n1 n
1 1
类型②  ( nk  n)
nk  n k
1 1 1 1 1
类型③  (  )（尤其要注意不能丢前边的 ）
4n2 1 2 2n1 2n1 2
1 1 1 1
理论上来讲像形如  (  )(其中p  q)都可以裂项的
pq q p p q
1 1 1 1
像  (  )也是这种类型
(AnB)(AnC) C B AnB AnC
1 1 1 1
类型④  (  )
n(n1)(n2) 2 n(n1) (n1)(n2)
2n 1 1
类型⑤  
(2n1 k)(2n k) 2n k 2n1 k
4．错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积
构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列  c  的通项公
n
   
式c a b ，其中 a 、 b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在
n n n n n
已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，
转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减法．
易错提醒：
（1）错位相减过程中最后一项是“－”，易错为把原来的“＋”抄下来；（2）错位相减后，其中一部分构成新的等比数列，应避免等比数列项数数错或漏掉其余的
项；
5.奇数项、偶数项讨论法.专题 05 立体几何之线面角问题
【命题规律】
利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空
间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体
为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别
是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体
几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问
题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”
题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用
空间向量方法进一步求角或距离.
【知识技能方法】
（一）直线与平面所成的角
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫
做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线l是平面的一条斜线，斜足为M ，斜线上一点A在平面上的射影为O，则
直线MO是斜线l在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角.由定义
 
可知：斜线与平面所成角的范围为0, ；
 2 

（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为 ；
2
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
 
结论：直线与平面所成角的范围为 0, .
 
 2
3、向量法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其
补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其
补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.
 
（3）设直线l 的方向向量为a，平面的一个法向量为n，直线l 与平面所成的角为，
 
  an  
则cosa,n    ，sin|cosa,n |.
|a||n|专题 06 立体几何之二面角问题
【命题规律】
利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空
间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体
为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别
是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体
几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问
题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”
题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用
空间向量方法进一步求角或距离.
【知识技能方法】
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点 ，在二面角的两个半平面内分别作棱的
P
垂线
PA
、PB,则APB 称为二面角的平面角。
2、二面角的范围：
[0,]
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大
 
小 AB,CD．
 
（2）如图②③，n ，n 分别是二面角l的两个半平面,的法向量，则二面角的
1 2
大小满足：
 
  n n  
cosn ,n  1 2 ；coscos n,n ，二面角的大小n ,n (或
1 2 1 2 1 2
|n ||n |
1 2
n ,n )．
1 2（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为
锐二面角还是钝二面角）专题 07 解析几何之“三定”问题
【命题规律】
纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线
的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的
位置关系的考查，较多的考查直线与抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年
出现了直线与双曲线位置关系或与圆综合的题目，难度、位置比较稳定；命题的主要特点有：
一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程），
进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的
位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲
线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问
题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥
曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组
联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.
【知识技能方法】
（一）常用的计算弦长的公式:
 
1.若直线AB的方程设为y kxm,A(x ,y ),B x ,y ,则
1 1 2 2

AB  1k2  x x  1k2   x x 2 4x x  1k2 
1 2 1 2 1 2 a
 
2.若直线AB的方程设为xmyt,A(x ,y ),B x ,y ,,则
1 1 2 2

AB  1m2  y  y  1m2   y  y 2 4y y  1m2 
1 2 1 2 1 2 a
注:其中a指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于x或 y的一元二

次方程的平方项系数,指的是该方程的判别式.通常用 AB  1k2  或
a

AB  1m2  计算弦长较为简便
a（二）中点弦问题与“点差法”
设直线与圆锥曲线交于A,B两点，AB中点为M ，这类与圆锥曲线的弦和弦中点有关
的问题，一般叫做中点弦问题，点差法是解决中点弦问题的重要方法.其解题的一般步骤
是：
   
（1）设A,B两点的坐标分别为A x ,y 、B x ,y ；
1 1 2 2
（2）代入圆锥曲线的方程；
 y  y
y  1 2
 M y  y
（3）将所得方程作差，结合中点公式 2 、斜率公式k  1 2 等化简，
x  x 1  y 2 AB x 1  x 2
M
 2
得出结果.
（三）在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无
关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考
查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
1.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2.解题的一般步骤为:
（1）设出直线的方程 y kxb或xmyt、点的坐标;
（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距
离等)表示成直线方程中引入的变量，通过计算得出目标变量为定值
3.常考题型：
①面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；
④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题
（四）证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型,这类问题解题一般
有两种解法.方法1：设直线，求解参数，一般的解题步骤为：
(1)设出直线的方程 y kxb或xmyt；
(2)通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,找到k和b,m和t的关系，或者解出b,t的值；
(3) 根据(2)中得出的结果,找出直线过的定点.
方法2：求两点，猜定点，证向量共线.一般的解题步骤为：
(1) 通过题干条件，求出直线上的两个点A,B的坐标(含参)；
(2)取两个具体的参数值，求出对应的直线AB，并求出它们的交点P，该点即为直线过的
定点；
(3)证明PA 与PB共线，得出直线AB过定点P.
注：上面的两个解法中，解法2的计算量通常要大一些，故一般首选解法1.当解法1失效或
处理起来较为复杂时再考虑解法2.
（五）解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，
即确定题目中核心变量（通常为变量 ）；②利用条件找到 过定点的曲线 之间的关系，得到
关于 与 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探
索出定点，再证明该定点与变量无关.专题 08 解析几何之最值与范围问题
【命题规律】
纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线
的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的
位置关系的考查，较多的考查直线与抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年
出现了直线与双曲线位置关系或与圆综合的题目，难度、位置比较稳定；命题的主要特点有：
一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程），
进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的
位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲
线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问
题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥
曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组
联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.
【知识技能方法】
1、解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量
关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的
取值范围．
2.求最值(范围)问题解题的一般步骤是：
(1)设出直线的方程 y kxb或xmyt、点的坐标；
(2)将直线的方程代入圆锥曲线中,计算弦长、点到直线的距离等中间量；
(3)将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式;(4)运用函数、均值不等式等基本方法求出最值(范围).
(5范围问题:首选均值不等式，其次用二次函数，最后选导数.
3.均值不等式 a2 b2 2ab(a,bR)
ab
变式：ab2 ab(a,bR);ab( )2(a,bR)
2
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
4.圆锥曲线问题常用到的均值不等式形式：
2t 2
S  
（1） t2 64 64 （注意分t0,t0,t0三种情况讨论）
t
t
12k2 12 12
AB 2 3 3 3
（2） 9t4 6k2 1 1 236
9k2  6
k2
1
当且仅当9k2  时，等号成立
k2
25y2 9x2 25y2 9x2
（3） PQ 2 3425 0 9 0 342 25 0 9 0 64
9x2 25y2 9x2 25y2
0 0 0 0
25y2 9x2
当且仅当25 0 9 0 时等号成立.
9x2 25y2
0 0
1 3 m 1 1 1 1 m2 m2 8
（4）S  12 m2   m2(m28)   2
2 2 3 2 2 2 2 2
当且仅当m2 m2 8时，等号成立
(5)
2k2 m2 1m2
1 1
2k2 m2 1 2m (2k2 m2 1)m2
S 2 2 1k2 1  1 4 2 1 1 4 2 2 2 2
12k2 1k2 12k2 12k2
当且仅当2k2 12m2时等号成立.
1专题 09 解析几何之探索性问题
【命题规律】
纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线
的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的
位置关系的考查，较多的考查直线与抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年
出现了直线与双曲线位置关系或与圆综合的题目，难度、位置比较稳定；命题的主要特点有：
一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程），
进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的
位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲
线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问
题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥
曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组
联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.
【知识技能方法】
（一）探索、存在性问题
1．存在性问题的解法：
2．先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，
若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或
参数)不存在．要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推
导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题
很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.
3.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
4.解题的一般步骤为:
（1）设出直线的方程 y kxb或xmyt、点的坐标;
（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)表示成直线方程中引入的变量，通过计算得出目标变量为定值
（二）三点共线问题
1.处理方法一般来说有三个：①斜率相等；②向量共线；③先由其中两点确定直线方程，证
明其过第三点.
2.证明三点共线问题的解题步骤：
（1）求出要证明共线的三点的坐标；（如果已给出，则无需这一步）
（2）运用斜率相等或向量共线来证明三点共线，或先由其中两点确定直线方程，证明其过
第三点
特别提醒：三点共线问题的两个处理方法中，向量共线往往更方便，因为无需考虑斜率不存
在的情形，所以大题一般用向量共线，小题用斜率相等。
（三）求轨迹方程的方法：
1.定义法：
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，
则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2.直译法：
如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量
关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x,y)表
示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作
为参变数，分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x  f(t)，
y  g(t)，进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)0.
4.代入法（相关点法）：
如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标
满足某已知曲线方程），则可以设出P(x,y)，用(x,y)表示出相关点P的坐标，然后把P
的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5.点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
A(x,y ),B(x ,y ) x x
1 1 2 2 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 1 2，
y  y x x y  y 2x x x
1 2， 1 2， 1 2等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足 1 2，
y y
2 1
2y  y 1  y 2且直线AB的斜率为 x 2 x 1 ，由此可求得弦AB中点的轨迹方程.专题 10 导数之恒成立问题
【命题规律】
导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函
数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋
势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、
函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．其中涉及不等式恒成立问题是常见类型题目
之一.
【知识技能方法】
1．利用导数研究函数的单调性
在(a,b)内可导函数 f(x)， f '(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f '(x)0 f(x) 在(a,b)上为增函数．
f '(x)0 f(x) 在(a,b)上为减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，
而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值
点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)
＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的
极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函
数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
4、与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是
高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助
图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立 f(x) a
min

f(x)a：有解 f(x) a
max

 无解 f(x) a
max
5.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以
根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要
研究变量表达式的最值就可以解决问题．有时需要构造新函数，通过借助导函数，求出新构
造函数的最大（小）值；往往涉及到二阶导数.
（1）一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)] ；若不等式a≤f(x)恒成立，
max
则a的取值范围是a≤[f(x)] ．
min
（2）含参数的不等式 f(x) g(x)恒成立、有解、无解的处理方法：①y  f(x) 的图象和
y  g(x)图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造F(x) f(x)g(x)，转化为F(x)的
最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为ah(x)，或ah(x) ，进而转化为求函
数h(x) 的最值.专题 11 导数之零点问题
【命题规律】
导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函
数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋
势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、
函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．其中涉及函数零点问题是常见类型题目之一，
主要有零点的确定、零点所在区间的判断、零点个数的判断、根据零点的存在或零点个数确
定参数（参数的范围）、根据零点情况证明不等式等.
【知识技能方法】
1．利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思
想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函
数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
2.利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数(a  g(x))后，将原问题转化为 y  g(x)的值域(最值)问题或转化为直线
y a 与 y  g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
3.零点个数问题
讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情
况，根据零
点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.
4.隐零点问题
“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论
（如函数零
点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之
为隐性零点. 我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条
件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造
函数”、利用
“函数方程思想”转化等。专题 12 导数之不等式问题
【命题规律】
导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函
数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋
势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、
函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．其中涉及不等式的证明问题是常见类型题目
之一，主要有函数值或函数之间、零点之间、极值点之间、参数之间等不等式证明问题.另
外还有类型如：不等式恒成立求参数（参数范围）、不等式有实数解，求参数的取值范围等
【知识技能方法】
一、不等式的证明
对策1：移项作差构造法
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数
研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证.
对策2：特征分析法
这种方法往往要在前面问题中证明出某个不等式，在后续的问题中应用前面的结论，呈现出
层层递进的特点.
对策3：隔离分析法
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传
递的中间量，达到证明的目标.
对策4：破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足
的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判
断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参
不等式，即可证得结果.
二、不等式恒成立问题
不等式恒成立问题的求解策略
1．已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围.利
用导数解决此类问题可以运用分离参数法.
2．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒
成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解.
三、x与ex，lnx组合的函数问题
1.分离参数
2.分离ex，lnx若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从
而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.
3. 借助ex≥x＋1和lnx≤x－1进行放缩
利用ex≥x＋1，lnx≤x－1可将超越函数转化为一次函数，有效地降低了试题的难度.专题 13 随机变量的分布列
【命题规律】
1．离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组
合、概率等知识综合命题．最近几年考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及
其性质、离散型随机变量的均值、方差的性质及计算，以小题为主．
2．解答题主要有一下几种可能，一是独立考查独立事件的概率及分布列、数学期望，二是
独立考查超几何分布、二项分布及数学期望，三是将几种分布与离散型随机变量的数字特征
结合命题，四是概率与统计问题综合考查，五是考查简单离散型随机变量的均值、方差，在
解决简单的实际问题中的应用，近两年与数列或导数相结合，题目的难度较大.
【知识技能方法】
一
. 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用
字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若是随机变量，ab，其中a,b是常数，则也是随机变
量.
2. 分布列的两个性质
① p 0，i 1,2,,n；② p  p  p 1.
i 1 2 n
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二. 常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为
X 0 1
P 1 p p
其中0 p1，则称离散型随机变量X 服从参数为 p的两点分布．其中 p P  X 1  称为成功概率．
(2)超几何分布：
在含有M 件次品的N 件产品中，任取n件，其中恰有X 件次品，则事件{X k }发生的
Ck Cnk
概率为P  X k  M NM ，k 0,1,2,,m，其中mmin  M,n  ，且
Cn
N
n N,M  N,n,M,NN，称分布列为超几何分布列.
X 0 1 … m
C0Cn0 C1 Cn1 CmCnm
P M NM M NM … M NM
Cn Cn Cn
N N N
（3）必备技能：
超几何分布描述的是不放回抽样（与两类不同元素的抽取问题的概率计算）问题，其实质是
古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．解题的关键如下：
①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要
区分超几何分布与二项分布．
②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元
素的个数及要抽取的元素个数．
③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列．
④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值．
(4)设离散型随机变量X 可能取得值为x ，x ，…，x ，…x ，X 取每一个值x
1 2 i n i
(i 1,2,,n)的概率为P  X  x  p ，则称表
i i
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式P  X  x  p ，
i i
i 1,2,,n表示X 的分布列．
三. 离散型随机变量的均值与方差
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i nP p p … p … p
1 2 i n
称E  X  x p x p x p x p 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了
1 1 2 2 i i n n
离散型随机变量取值的平均水平．．
若Y aX b，其中a,b为常数，则Y 也是随机变量，且E  aX b aE  X b.
若X 服从两点分布，则E

X

p；
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则  x E  X 2 描述了x (i 1,2,,n)相对于均值E  X  的偏离程度，而
i i
n
D  X  x E  X 2 p 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值
i i
i1
     
E X 的平均偏离程度．称D X 为随机变量X 的方差，其算术平方根 D X 为随机变
量X 的标准差．
若Y aX b，其中a,b为常数，则Y 也是随机变量，且D  aX b a2D  X  ．
若X 服从两点分布，则D  X  p  1 p  ．
3. 六条性质
(1) E

C
C
(C为常数)
(2) E  aX b aE  X b (a,b为常数)
(3) E  X  X  E  X E  X 
1 2 1 2
(4)如果X ,X 相互独立，则E  X X  E  X E  X 
1 2 1 2 1 2
(5) D  X E  X 2    E  X 2
(6) D  aX b a2D  X 
四. 条件概率
条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件
 
p AB
概率，用符号 p  B/A  来表示，其公式为 p  B/ A  .
 
P A 
n AB
在古典概型中，若用n  A  表示事件A中基本事件的个数，则 p  B/ A  .
 
n A
(2)条件概率具有的性质：
①0 p  B/A 1；
② 如果B和C是两互斥事件，则 p

BC/A

p

B/A

p

C/A

．
二. 相互独立事件同时发生的概率
(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则 p  B/A  p  B  ，
p

AB

p

B/A
P 
A

P

A
P 
B

．
(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．
(4)若 p  AB  P  A P  B  ，则A与B相互独立．
（5）必备方法：求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
五. 独立重复试验的概率
1．n次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试
验．
(2)公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的
概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P (k)＝Ckpk(1－p)n－k，
n n
(k＝0,1,2，…，n)．
六. 二项分布
1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独
立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ckpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
n
于是得到X的分布列
X 0 1 … k … n
P C0 n p0qn C1 n p1qn－1 … Ck n pkqn－k … Cn n pnq0
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝C0p0qn＋C1p1qn－1＋…＋Ckpkqn－k＋…＋Cnpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机
n n n n变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
2.二项分布的期望、方差：
若X  B

n,p

，则E

X
np.
若X  B  n,p  ，则D  X np  1 p  ．
3.必备方法：
二项分布的实际应用问题，主要是指与独立重复试验中的概率计算和离散型随机变量的分布
列、期望及方差的求解等有关的问题．解题的关键如下：
①定型，“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二
项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验
结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变
量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．
②定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
③列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
④求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．
七. 正态分布
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
1 x－μ2
函数φ (x)＝ e－ ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φ (x)
μ，σ μ，σ
2πσ 2σ2
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
1
③曲线在x＝μ处达到峰值 ；
2πσ
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲
线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：甲 乙
2．正态分布
正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分
布，则记为X～N(μ，σ2)．
3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．
4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
八. 利用均值、方差进行决策的方略
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，
它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先
比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
(2)若两随机变量均值相同或相差不大．则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散
程度或者稳定程度，进而进行决策．专题 14 统计案例
【命题规律】
1.命题的考查重点有：
（1）统计图表；
（2）频率分布图、表及其应用；
（3）回归分析；
（4）独立性检验的应用
2.从命题类型看，小题多独立考查统计图表的辨识，考查平均数、方差等数字特征的概念或
简单计算；大题有以下类型，一是独立考查回归分析的应用、独立性检验的应用，二是将二
者综合考查，三是将回归分析的应用、独立性检验的应用之一与随机变量的分布列综合考查.
【知识技能方法】
一
.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不
同，相关关系是一种非确定性关系．
体现的不一定是因果关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正
相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
二．两个变量的线性相关
1.从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两
个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
^ ^ ^
2.回归方程为y＝bx＋a，其中
n n
 x x  y  y  x y nxy
i i i i
b ˆ i1  i1 ，aˆ  yb ˆ x
n n
 x x 2 x2nx2
i i
i1 i1
3.求最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，
这一方法叫做最小二乘法．4.相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个
变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
5.技能方法
（1）求线性回归方程
^ ^
①利用公式，求出回归系数b，a.
②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．
（2）利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．
^
（3）利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数b.
（2）模型拟合效果的判断
①残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
②相关指数R2越大，模型的拟合效果越好．
③回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性
越强．
三．独立性检验
1.2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x ，x }和{y ，y }，其样本频数列联表(2×2列联表)
1 2 1 2
如下：
y y 总计
1 2
x a b a＋b
1
x c d c＋d
2
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
2.独立性检验
n(adbc)2
利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值K2  (其中n＝a＋b
(ab)(cd)(ac)(bd)
＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．
3.技能方法
（1）比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大．
②通过计算|ad－bc|的大小判断：|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性越大．
（2）独立性检验的一般步骤
①根据样本数据制成2×2列联表．
nad－bc2
②根据公式K2＝ ，计算K2的观测值k.
a＋ba＋cb＋dc＋d
③比较观测值k与临界值的大小关系，作统计推断．
【常用结论】
1．求解回归方程的关键是确定回归系数a ^ ，b ^ ，应充分利用回归直线过样本中心点( x，y)．
2．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把
握越大．
^
3．根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．