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最值问题（最不利、多集合反向构造） （笔记） 主讲教师：张磊 授课时间：2025.11.04 粉笔公考·官方微信 1 最值问题（最不利、多集合反向构造）（笔记） 【答案汇总】 1-5：DCCAA；6-10：BDABA；11：A 最不利构造 多集合反向构造 构造数列类（明天中午12 点） 【注意】最值思维相对比较灵活，其中有能总结出套路的三类题型，最不利 构造、多集合反向构造、构造数列类，本节课讲解前两类。 最不利构造 一、题型识别：至少……保证 例1……从暗箱中至少摸出多少只小球才能保证至少得10 分 例2……问至少摸出多少组，才能保证至少有2 组玻璃珠的颜色组合是一样 的 例3……那么一次至少拿出多少本教辅资料，才能保证取的教辅资料中至少 有7 本是同一种教辅资料？ 【注意】 1.题型识别：问法出现“至少……保证”。 2.引例：均出现“至少……保证”，属于最不利构造问题。 最不利构造 二、解题方法：最不利情况数+1 关键核心：什么是最不利情况 最不利情况就是最倒霉的情况，最倒霉不是距离成功遥不可及，而是就差一 点点成功时 比如大学考试时，60 分及格，59 分倒霉还是50 分倒霉呢？ 【注意】 2 1.解题方法：最不利情况数+1。 2.关键核心：什么是最不利情况。 3.最不利情况就是最倒霉的情况，最倒霉不是距离成功遥不可及，而是就差 一点点成功时。比如大学考试时，60 分及格，59 分倒霉还是50 分倒霉呢？59 分更倒霉，马上成功，就差一点点的时候失败最倒霉。 二、解题方法：最不利情况数+1 要求n 个，够n 个，最不利取n-1 个；如果不够n 个，全部取出 例1.有2 个白球，3 个红球，5 个黄球，至少取出（ ）个，能保证一定有 红球 例2.有2 个白球，3 个红球，5 个黄球，至少取出（ ）个，能保证一定有 2 个相同颜色的球 例3.有5 个白球，5 个红球，5 个黄球，至少取出（ ）个，能保证一定有 3 个相同颜色的球 【注意】 1.例1：2 个白球、3 个红球、5 个黄球，在“至少”的情况下，还需要“保 证”，最倒霉的情况是先摸2 个白球，之后连续取出5 个黄球，此时就剩下3 个 红球，不论怎么摸，一定是红球，最倒霉的情况是2+5，再摸1 个，至少摸2+5+1=8 个球一定保证有红球。 2.例2：相同颜色的球，即2 个红球、2 个黄球、2 个白球，都符合相同颜 色。最倒霉的情况是取1 个白球、1 个红球、1 个黄球，此时再摸1 个球，就可 以保证有2 个颜色相同的球。 3.例3：红色取2 个，黄色取2 个，白色只有2 个，无法取到3 个，全部取 出，防止后面“+1”的时候取出来的是白球，至少取2+2+2+1=7 个球。 4.要求n 个，够n 个，最不利取n-1 个；如果不够n 个，全部取出，目的是 防止后面“捣乱”。 1.（2025 广东）箱子里装有红、蓝、绿、白、黑五种颜色的小球各20 个。 如果从箱子里取出若干个小球，且确保其中有10 个小球颜色相同，则至少要取 3 出（ ）个小球。 A.56 B.51 C.50 D.46 【解析】1.问“确保（保证）……至少”，最不利构造问题。方法为最不利 +1。“确保其中有10 个小球颜色相同”，最倒霉的情况是每个颜色取9 个球，最 不利的情况+1=9*5+1=46 种。【选D】 2.（2025 联考）一场大学生机器人预选赛中，某高校A 专业有5 名学生备 赛，B 专业有7 名学生备赛，C 专业有8 名学生备赛。问至少派出多少名备赛学 生，才能保证一定有3 名学生的专业相同？ A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】2.问“至少……保证”，最不利构造问题，方法为最不利+1。要求 “有3 名学生的专业相同”，每个专业都取2 人为最不利的情况，最不利情况 +1=2*3+1=7 种。【选C】 3.（2023 山东）一个袋子里装了50 个苹果，5 个香蕉，30 个橘子和50 个 梨，若每次从袋子里随机取出1 个水果，问至少需要取多少次能肯定拿出10 个 相同种类的水果？ A.10 B.35 C.33 D.32 【解析】3.问“至少……肯定”，为最不利构造问题，方法为最不利+1。要 求“10 个相同种类的水果”，苹果、橘子、梨各取9 个，香蕉只有5 个，全部取 出，此时再取1 个，最不利情况+1=9*3+5+1=33。【选C】 4.（2023 浙江）某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80 个抽奖券，共20 个不同的数字，每个数字均出现4 次，且分别对应一份礼品，不同的数字对应的 礼品不同。每人当天限抽1 次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，才能保证至 少有3 人领取的礼品相同？ 4 A.41 B.42 C.61 D.62 【解析】4.问“至少……保证”，为最不利构造问题。“20 个不同的数字” 可以类比为20 种不同颜色的小球，每种颜色小球有4 个，要求保证有3 个相同 颜色的小球。最倒霉情况为每种颜色取2 个，最后+1，2*20+1=41。【选A】 【练习】（2022 河北）有200 人参加招聘会，其中法学70 人，经济学60 人， 工业设计50 人，统计学20 人，至少有（ ）人找到工作才能保证一定有50 人 的专业相同。 A.167 B.168 C.170 D.175 【解析】练习.问“至少……保证”，最不利构造问题，方法为最不利+1。要 求“保证一定有50 人的专业相同”，法学、经济学、工程设计各取49 人，统计 学不够全取，最不利+1=49+49+49+20+1，利用尾数计算，尾数7+1=尾数8，对应 B 项。【选B】 5.（2024 四川）某单位每名党员每周六都被随机安排到甲、乙、丙三个社 区中的一个开展志愿服务（同一个社区可以连续前往）。已知任意连续的3 个周 六中，都能保证至少3 名党员的志愿服务行程完全相同。问该单位至少有多少名 党员？ A.55 B.52 C.24 D.21 【解析】5.出现“至少……保证”，为最不利构造问题。与例题相比，“有2 个白球，3 个红球，5 个黄球，至少取出（ ）个，能保证一定有2 个相同颜色 的球”，例题可以很清楚地知道共有3 种颜色，每种颜色取1 个，所求=3*1+1=4 个。本题要求“3 名党员的志愿服务行程完全相同”，需要先求有多少种不同的 行程路线。连续三周，第一周甲、乙、丙随便选择社区，有3 种选择；第二周同 样有3 种选择；第三周有3 种选择，每一周是独立的，分步相乘，共3*3*3=27 种不同的行程，相当于有27 种不同的颜色。最不利思维，要求3 个党员行程完 5 全相同，最不利的情况为每种行程给2 个人，最后+1，所求=2*27+1=54+1=55。 【选A】 【注意】如果没有说有多少个党员，默认是无穷的。 6.（2024 辽宁）某部门工会为丰富职工文化生活增进职工身心健康，组织 开展了拔河、羽毛球、乒乓球、台球四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项 比赛。若要保证至少有5 名职工参加的比赛项目完全相同，则该部门参加比赛的 职工至少有： A.40 名 B.41 名 C.50 名 D.51 名 【解析】6.出现“至少……保证”，最不利构造问题。职工参加一项或两项 都可以，如果参加一项，有4 种情况；如果参加两项，可以枚举，拔河羽毛球、 拔河乒乓球、拔河台球、羽毛球乒乓球、羽毛球台球、乒乓球台球，共6 种情况， 一项或两项共4+6=10 种情况，要求“至少有5名职工参加的比赛项目完全相同”， 最不利的情况是每种方式取4 个，最不利+1=4*10+1=41 种。【选B】 7.（2024 深圳）某早餐店推出“10 元2 件”套餐，顾客花费10 元即可在白 粥、豆浆、油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6 个品类中任选2 件，既可以选相同的， 也可以选不同的。则至少售出（ ）份该套餐时，一定有2 份套餐的搭配完全一 致。 A.15 B.16 C.21 D.22 【解析】7.既可以选相同的，也可以选不同的，“至少……保证”，不知道有 多少种套餐搭配方式，若选相同的，有6 种方式，若选不同的，可以枚举，白粥 有5 种搭配方式，豆浆有4 种搭配方式，油条有3 种搭配方式，蛋饼有2 种搭配 方式，叉烧包只能和云吞面搭配，共有5+4+3+2+1 种方式，或直接用排列组合求 解，C（6,2）=6*5/2=15 种方式；相同的有6 种，不同的有15 种，共有5+15=21 种搭配方式，最倒霉的是每种都有1 个，所求=21+1=22，对应D 项。【选D】 6 多集合反向构造 一、题型识别：都……至少 例1……那么三人都浇过的花至少有几盆 例2……问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人： 例3……这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢 二、解题方法：反向、加和、作差 例.20 名粉笔数资男老师中，高的有12 人，富的有15 人，帅的有16 人， 高富帅的男老师至少有多少人？ 1.反向：不高8 人，不富5 人，不帅4 人 2.加和：不满足高富帅任意一种人数最多=8+5+4=17 人 3.作差：高富帅的人数最少=20+17=3 人 【注意】多集合反向构造： 1.题型识别：都……至少。 （1）例1……那么三人都浇过的花至少有几盆。 （2）例2……问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人。 （3）例3……这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢。 2.解题方法：反向、加和、作差。 （1）例：20 名粉笔数资男教师中，高的有12 人，富的有15 人，帅的有16 人，高富帅的男老师至少有多少人？ 答：正面+反面=总的，正面是三个都满足的，高富不帅是高富帅的反例，故 三个都满足的反面是三个不都满足；要让正面尽可能少，则反面尽可能多，高的 有12 人，则不高的有8 人，富的有15 人，则不富的有5 人，帅的有16 人，则 7 不帅的有4 人，反面最多有8+5+4=17 人，则正面最少有3 人。 （2）梳理过程： ①反向：不高8 人，不富5 人，不帅4 人。 ②加和：不满足高富帅任意一种人数最多=8+5+4=17 人。 ③作差：高富帅的人数最少=20+17=3 人。 8.（2020 事业单位）甲、乙、丙同时给100 盆花浇水。已知甲浇了78 盆， 乙浇了68 盆，丙浇了58 盆，那么3 人都浇过的花最少是：（ ）。 A.4 盆 B.6 盆 C.8 盆 D.10 盆 【解析】8.多集合反向构造，（1）反向：不甲=100-78=22、不乙=100-68=32、 不丙=100-58=42，（2）加和：22+32+42=96，（3）作差：100-96=4，对应A 项。 【选A】 【注意】加减法过程中也可以用尾数法，不甲=尾数0-尾数8=尾数2、不乙 =尾数0-尾数8=尾数2、不丙=尾数0-尾数8=尾数2，加和：尾数2+尾数2+尾数 2=尾数6，作差：尾数0-尾数6=尾数4，选择A 项。 9.（2021 广东选调）某单位在网上办公系统传阅了15 份文件，甲阅读了9 份，乙阅读了12 份，丙阅读了10 份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少 有（ ）份。 A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】9.（1）反向：不甲=15-9=6、不乙=15-12=3、不丙=15-10=5，（2） 加和：6+3+5=11，（3）作差：15-14=1，对应B 项。【选B】 10.（2022 江苏）某机构对全运会收视情况进行调查，在1000 名受访者中， 观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。 这1000 名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有： 8 A.310 人 B.440 人 C.620 人 D.690 人 【解析】10.多集合反向构造，可以用人数计算，也可以用比重计算。 方法一：人数分别为870、750、690，（1）反向：不乒乓球=1000-870=130、 不跳水=1000-750=250、不田径=1000-690=310，（2）加和：130+250+310=690， （3）作差：1000-690=310，选择A 项。 方法二：用比重的尾数计算，（1）反向：不乒乓球=100%-87%=尾数3、不跳 水=100%-75%=尾数5、不田径=100%-69%=尾数1，（2）加和：尾数3+尾数5+尾数 1=尾数9，（3）作差：尾数0-尾数9=尾数1，尾数为1%，尾数1%*1000=尾数10 人，只有A 项符合。【选A】 11.（2018 广东）某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用 情况调查，在接受调查的1000 人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用 过乙软件，有75%的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000 人中，使用过全部四款手机软件的至少有（ ）人。 A.120 B.250 C.380 D.430 【解析】11.方法一：可以算出具体数，680、870、750、820，（1）反向： 不甲=320、不乙=130、不丙=250、不丁=180，（2）加和：320+130+250+180=880； （3）作差：1000-880=120，对应A 项。 方法二：用比重求解，（1）反向：不甲=尾数0-尾数8=尾数2、不乙=尾数 0-尾数7=尾数3、不丙=尾数0-尾数5=尾数5、不丁=尾数0-尾数2=尾数8， （2） 加和：尾数2+尾数3+尾数5+尾数8=尾数8，（3）作差：尾数0-尾数8=尾数2， 对应尾数2%，尾数2%*1000=尾数20，对应A 项。【选A】 9 【注意】 1.最不利构造：最不利情况就是最倒霉的情况。 2.多集合反向构造：可以用尾数法计算。 10 遇见不一样的自己 Be your better self
