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1.如下图所示，设北极点为N 点，地心为O 点，过O 点做赤道
线与圆相交于A 点。北纬45 度为赤道平面与赤道平面的中心和
北纬45度小圆上任意一点连线所成的角，即
，
，
则
，且直线SC 与圆相切于C 点，则
，
因此
为等腰直角三角形，根据题意可知，OC
，则SC
，
SO
，ON
，那么所求距离
SN SO ON
。
故正确答案为C。
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2.由题意可知，三角形第一条边长为米，第二条边长为（
）
米，第三条边长为
米。根据“第一条边是唯
一最短边”可知：
，即
，排除C、D 两项；根据三角
形基本性质“两边之和大于第三边”可知：
，即
，排除A 项。
故正确答案为B。
3.方法一：假设扩建前长方形的长为a，宽为b，可得a+b=22①。
扩建后增加的面积=3a+5b+15=95，化简得3a+5b=80②，联立
①和②，解得a=15，b=7，则扩建前面积为15×7=105 平方米。
方法二：扩建后增加的面积=3a+5b+15=95，化简得3a+5b=80
（a>b），已知80 是5 的倍数，5b 也是5 的倍数，那么3a 一
定为5 的倍数，所以a 必为5 的倍数。代入方程，由于a＞b，
只有三组解，a=25、b=1，面积=25；a=20、b=4，面积=80；
a=15、b=7，面积=105。只有B 项满足。
故正确答案为B。
4.由题意可得：AB 平行CD，则
，则
，
；OE 平行CD，则
，则
；
同理，在梯形EODC 中，
，
，
，GF 平行CD，则
，则
；
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在梯形GFDC 中，
，
，
，
MN 平行CD，则
，则
。
故正确答案为A。
5.连接CQ，如图1 所示，因PQ 与正四棱锥的底面垂直，故三
角形CPQ 为直角三角形，在直角三角形CPQ 中，
，故
。同理，连接
，如图2，在直角三角形
中，
，故
，根据
，
，且
，可
得
，故第二次伞撑开后形成的正
方形
是第一次撑开后正方形ABCD 面积的3 倍。
故正确答案为D。
6.面积一定，两边长度最接近时，长方形周长最小。
按照下
图排列为正方形。即一边为2 个60 厘米、另一边为3 个40 厘
米，一共六块组成一个边长为120 厘米的正方形，如图1；九个
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相同的正方形按三行三列排放组成一个边长为360 厘米的正方
形，如图2；最终沿着边长将剩余6 个，如图3 排列组成一个长
为400 厘米、宽为360 厘米的长方形。故最短周长为：
。
故正确答案为B。
7.
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如图所示，在截面面积固定不变的情况下，要让棱长尽量小，
则截面应尽量大。正方体中满足切掉一个角的最大的截面如虚线
所示，其面积是
。由于三条虚线都是正方体的面对角线，彼
此相等，所以是正三角形。
假设该正三角形边长为，则正三角形面积为：
，解得
，则正方体其中一个面的对角线长度
为20，正方体边长为
，已知棱长为整数，则其最小值为
15。
注意：有的截面积更大的切法，不满足切下来的必须是一个角的
要求，故错误。
故正确答案为A。
8.方法一：重心是三边中线的交点，具有特殊性质，即到顶点的
距离与到对边中点的距离之比为2：1。
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思路：将图形展开连成直线，利用重心的特性，可以求出其他两
边的值，继而求得直角边的值。
展开图如下：
已知：
，
，
,
则
，延长BG 交CD 于Q 点，
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则BQ=
，
则BG=
，
。
方法二：正式考试时，可以在图纸上画出上图，但是要相对标准，
然后用尺子量取。
故正确答案为B。
9.左图中，每个小圆的面积为
，则
，故正方形的边长为
，则
。
右图中，大圆的半径为正方形边长的一半，即
，则大圆
的面积为
。
所以右图阴影部分的面积为正方形面积减去大圆面积，即
。
故正确答案为B。
10.设隔离带围成的场所宽为x 米，则长为
米，则场所面积
为
。因此，当
时，场所面积最大，为648 平方米。
故正确答案为B。
11.方法一：因为H 是AD 边上的任意一点，而答案是固定值，
与H 的位置无关，所以设H 点为AD 边的中点，则
与
面积相等。所以
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。
方法二：因为H 是AD 边上的任意一点，而答案是固定值，与H
的位置无关，所以设H 点与A 点重合，则
。
方法三：因为H 是AD 边上的任意一点，而答案是固定值，与H
的位置无关，所以设H 点与D 点重合，则
。
故正确答案为A。
12.设平行于长剪了刀，平行于宽剪了刀。每当长或宽多剪一刀，
这些小长方形总周长比原长方形周长多了2 倍的长或宽。由此可
列：
，化简可得
，结合奇偶特性可知，应
为偶数。根据
，要剪的总刀数最多，即（
）
最大，则尽量小，由于为偶数且不能为0，则应取2。当
时，
，共剪
刀。
故正确答案为D。
13.一张长宽分别为85 厘米和75 厘米的红纸，面积为
；一副完整的春联的包含上下联14 个字及横批4
个字，面积共为
。要想制作的春联尽可能
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多，则红纸浪费的面积应尽可能少，若完全不考虑浪费，能制作
春联
幅，即最多能制作3 幅，结合选项，排除C、D 两项。
如下图所示，蓝色代表横批，红黄两色代表上下联，可知最多能
制作3 幅春联。
故正确答案为B。
14.开始的时候，长方形的右端距离A 点为4cm，故只需通过滑
动46-4=42cm 的距离即可满足题目要求。从第一秒开始，每次
滑动的距离分别为3cm、4cm、3cm、4cm······，即每两秒滑动
7cm。
次，故所需的时间=6×2=12 秒。
故正确答案为B。
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15.要想装的货物尽可能多，则集装箱浪费的体积应尽可能少。
以
这个面为底面，已知货物尺寸有一个
的面，所以一层可
放8 个货物（如下图所示）。已知货物高为5，大集装箱高为20，
则可以放
层，即共放
个。
故正确答案为D。
16.由题图可知，大火烧到岛中心时，刚好圆弧状的火线最中间
点在圆心位置。如图所示：
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假设圆心为O 点，起火点为A 点，起火点到圆弧状火线与森林
边缘的交点分别为B、C 两点，连接OB 和OC、AB 和AC，OA、
OB、OC 恰好都为圆形小岛的半径，则
。同时由
题图可知
，则三角形BAO 和三角形CAO 均为等边三
角形，即
，同时高均为
。由扇形面积
可知，
；过
火面积
，
，圆形小岛面
积
。故过火面积所占比例为
。
故正确答案为B。
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17.将大正方形拆分为若干个边长1 厘米的小正方形，根据大正
方形边长的奇偶性分类讨论如下：
①若大正方形的边长为奇数，则小正方形的个数也为奇数，剪去
2 个小正方形后，剩下的小正方形个数依然为奇数；而每个小矩
形需要占用2 个小正方形，则剩下的奇数个小正方形不可能全部
拆成小矩形，矛盾。故边长为奇数必然不满足题意，排除B 项；
②若大正方形的边长为偶数，如下图所示：将其拆分为若干个小
正方形之后，黑色和白色方块的总数相等，且拿掉的对角的两个
小正方形一定都是黑色或白色，那么剩下的黑色与白色方块数必
然不等，此为结论1。
观察图形，要取出
的小矩形，必须由一黑一白组成。那么，
要让剩下的图形恰好能分成若干个
的小矩形，则剩下图形的
黑色与白色方块个数必须相等，此为结论2。
结论2 与结论1 明显矛盾，故边长为偶数也必然不满足题意，排
除A、C 项。
故正确答案为D。
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18.根据题意可得：
老王所放风筝的高度
米；
老侯所放风筝的高度
米；
老黄所放风筝的高度
=
米。
故三人中放风筝最高的是老侯。
故正确答案为B。
19.因为G 是平行四边形对角线的交点，则
平行四边形
ABCD，又因为
，所以
平行四边形
ABCD。因为
，所以
相似
，故
，
即
，且
与
同高，所以
，则
平行四边形ABCD。S 四边形EFGB
平
行四边形ABCD
平行四边形ABCD
平行四边形ABCD。
故正确答案为D。
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20.连接C、F 两个点。已知BD＝2DC，EC＝2AE，假设S△CDF=a，
S△AEF=b，则S△BFD=2a，S△CEF＝2b。结合图形可得
3a+2b=S△BCE= S△ABC，a+3b=S△ACD= S△ABC，两式相
除可解得a＝4b。所以
。
故正确答案为C。
21.由题意可知，D 为BC 中点，且角E 为90 度，故
米。由三角形两边和大于第三边可知：
，即
米。
故正确答案为D。
22.方法一：根据正方形面积为320 平方米，可求出正方形的边
长为
米，因为圆形广场的直径比正方形广场的边长短
，可知圆形广场的半径为
米，因此圆形广
场的面积
平方米，A 项最接近。
方法二：当圆的直径和正方形的边长相等
时，
，因为题干中的圆形广场的直径比
正方形广场的边长短，因此
。根据正方形广场的
面积为320 平方米，则圆形广场的面积
平方米，
只有A 项符合。
故正确答案为A。
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23.根据题干水管从上到下是公差为1 的等差数列。水管直径和
长度相同，则占地面积值之比为最底部水管根数之比。
当每20 根一堆时，堆放从上到下为2 根、3 根、4 根、5 根、6
根，共5 堆，最底部水管根数
根；
当100 根一堆时，只能八层，根据等差数列求和公式：
，求得中位数12.5，即堆放从上到下为9 根、10 根、
11 根、12 根、13 根、14 根、15 根、16 根，则最下层为16 根。
占地面积节省
。
故正确答案为D。
24.如下图所示，一条直线可将平面分成2 个部分，两条直线可
将平面分成4 个部分，三条直线可将平面分成7 个部分······，设
共有条直线，则平面可分成的部分数量
，则6 条直线可分成
个部分。
故正确答案为C。
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25.方法一：根据题意及给定图形，判定箱子底部为长方形。已
知A、B 均为正方形，面积之比为1:16，则边长之比为1:4，A
的边长为2cm，则B 的边长为8cm，E 的边长为
cm，C
与D的边长为
cm，则箱子底部长方形的长为
cm，
宽为
cm，面积为
。
方法二：已知A、B 均为正方形，面积之比为1:16，则边长之比
为1:4，A 的边长为2cm，则B 的边长为8cm，E 的边长为
cm，则箱子底部长方形的宽为
cm，面积应能被
18 整除，结合选项，只有C 项满足。
故正确答案为C。
26.
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如上图所示，堆成的棱长4 厘米的大正方体表面外露的小正方体
分为三种情况：①顶点正方体，即位于大正方体顶点位置，每个
小正方体表面外露的有三个面，每个顶点各对应一个，一共有8
个；②棱正方体，即位于大正方体棱上，每个小正方体表面外露
的有两个面，每条棱上2 个，12 条棱一共有
个；③面正
方体，即位于大正方体每个面的面上，每个小正方体表面外露的
只有一个面，大正方体每个面上有4 个面正方体，六个面一共有
个。
如上图所示，原来的长方体木块只有一层，即可以提供的顶点正
方体一共有4 个；可以提供的棱正方体一共有
个；可以提
供的面正方体一共有
个。要使小正方体堆成棱长4 厘米的
大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大，则应该用小正
方体的黑色的面尽可能补上大正方体外露的地方。大正方体所需
的8 个顶点正方体，原来的长方体只能提供4 个，欠缺4 个；而
大正方体外露的24 个棱正方体和24 个面正方体，原来的长方体
均可以提供。则欠缺的顶点正方体需由多余的面正方体进行补
充，顶点正方体是3 个面外露，而面正方体只有1 个面外露，则
1 个面正方体替换1 个顶点正方体，外露的黑色面积会减少2 个
面即2 平方厘米，替换欠缺的4 个顶点正方体，黑色面积一共减
少
平方厘米，而整个大正方体外表面面积为
平方
厘米，则大正方体的表面外露的黑色面积最多为
平方厘
米。
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故正确答案为B。
27.根据题意，
，设底面半径为，则口部半
径为，装满水时的液面高度为，因为倒出部分水后液面高度
为装满时的一半，则倒出水后的液面高度和倒出部分水的液面高
度均为，倒出水后的水面半径
。赋值
，则倒出水
后的水面半径
，口部半径
。根据
，且容器
中的液体不变，密度相同，可得水的质量比即为体积比；根据圆
台体积公式
（为上底半径、为下底半径、为
高），则倒出部分水的体积与剩余部分水的体积之比
。设倒出部分的水的质量为
，剩
余部分的水的质量为
。倒出部分的水的质量
千克
，则
，剩余部分的水的质量
，此时
总重量
，
。
故正确答案为C。
28.
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如图所示，根据题意可得，
米，
米。因“此时同一位
置站立的人在地面的影子长度恰好与身高相同”，故
米；因
“电线杆的影子投射在地面以及与地面成45 度角的土坡上”，
米，则在等腰三角形ACD 中，
米，而在等腰三
角形EOD 中，
且
，则有
米，故电
线杆的高度为
米。
故正确答案为B。
29.如图所示，
，因为四个小三棱
锥都是棱长为
的正三棱锥，它们的体积相等，所以
。
故正确答案为A。
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30.容器是由一个长方体和一个半圆柱体组合而成的，根据长方
体的表面积公式
和圆柱表面积公式
，
可得：容器表面积长方体表面积
圆柱表面积长方体和半圆
柱重合面面积
平方米，则平均每平方米的涂漆成本
元/平方米。
故正确答案为B。
31.设李家菜园的长边为米，则
米；张家菜园
的长边则为
米，
米。因李家菜园面积
比张家大50 平方米，则可依此列出方程：
，
解得
。即李家菜园的长边为25 米，宽边为
米，故
李家菜园的面积
平方米。
故正确答案为B。
32.根据题意，可画出如图所示三角形。
观察可以发现，图中面积最大的三角形为
；
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其次即为
面积的一半：
；
再次为
面积的：
。
共计可组成3 种面积不等的三角形。
故正确答案为A。
33.如图所示，符合条件的施工员所画线的最长距离为矩形
的周长，所画线的最短距离为矩形
的周长。
米，则矩形
的周长
米，矩形
的周长
米。则所画的线可能的最长距离和最短距离之间的
差为
米。
故正确答案为C。
34.等腰直角三角形斜边长为
，则直角边长为
，即长方体
的高为
。立方体积木的体积为
，则积木的棱长为
。长
方体底面积为
，则每层可放
块，高
层。由于不得凸出包装盒外沿，所以最多放
3 层，这个盒子最多可以放入
块积木。
故正确答案为A。
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35.要使切割后的两部分表面积之和最大，则应让切割面最大，
则两部分的表面积之和便分解为原长方体表面积＋两个切割面
表面积。原长方体表面积为
平方厘米；切
割面最大的表面积为沿着长边切割的斜面（即沿着图中线处切
割），则两个切割面表面积为
平方厘米。则切
割后两部分的表面积之和最大为
平方厘米。
故正确答案为C。
36.因鱼缸为正方体鱼缸，底面积不变，故每次加水的体积与高
度成正比。第一次加水后，水面高度为
；第二次加水是第一
次加水的2 倍，则第二次水面高度增加了
；第三次加水是第
二次加水的2 倍，则第三次水面高度增加了
；第四次加水又
是第三次的2 倍，则第四次水面高度增加了
。此时水面距离
鱼缸顶部还有
，则鱼缸的总高度为：
。
故正确答案为C。
37.设长方体鱼缸的长宽高分别为、、，根据数值可列式为
；
；
。则
，则
，即为长方
体鱼缸的体积。
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故正确答案为B。
38.如下图，根据题意，
且为等腰直角三角形，则CO
为
的平分线，即正方形对角线。延长CO 至点A，易得
且为等腰直角三角形，则EG∥BD。由于EFOH 为正
方形，则EF=OF=AF，可得F 点为AO 中点，即EG 为
中位
线。根据三角形中位线结论，OB=2×FG，则OJ=BJ。连接GJ 易
得
。则
。由于油漆费用=油漆单价×刷
漆面积，且每种颜色的油漆单价相同，则所求费用=8×200=1600
元。
故正确答案为B。
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39.根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可以得出：
，化简得：
，为整数，则只有13、14、15、
16、17 满足条件，共计可组成5 种不同的三角形。
故正确答案为C。
40.
假设平均每人享用蛋糕
，则蛋糕面积为
，赋值蛋糕的长
为35cm，宽为10cm。如下图所示：
根据“左下角那块蛋糕平均可供50 人享用，右上角那块蛋糕平均
可供70 人”可知
，
，根据三角形面积公式：
，可得：CE
cm，BF
cm，则
ED=35-10=25cm，DF=10-4=6cm，则
，故
，平均可供155 人享用，即中间最大
块蛋糕平均可供155 人享用。
故正确答案为B。
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