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教考衔接二十 教材命题点探源
提升卷（一）
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·荆州模拟）若复数z 满足
，则
的实部为( )
A.1
B.
C.2
D.
【答案】C
【解析】因为
，所以
，所以
，所
以
的实部为2，故选C.
2．（2026·邯郸一模）已知集合
，
，若全集
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由
，可得
，由
，可得
，则
，
，则
，则
.故选D.
3.（2026·湛江1 月检测）已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的倍，则C 的离心率为( )
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【解析】设双曲线C 的实轴长2a，虚轴长为2b，焦距为2c.
思路1:利用基本定义．
由题意得b＝a，c＝＝2a.因此C 的离心率e＝＝2，正确选项为D.
思路2：特殊值法．
取a＝1，则b＝，c＝＝2，故＝2.因此C 的离心率e＝＝2，正确选项为D.
思路3：排除法．
1
由题意得c>b＝a，故C 的离心率e＝>.因为选项A，B，C 都小于或等于，所以正确选项为D.
4．（2026·白银期末）等比数列
的前n 项和为
，已知
，
，
成等差数列，则
的公
比为( )
A.
B.
C.3
D.
【答案】D
【解析】设等比数列
的公比为q，因为
，
，
成等差数列，所以
，所以
，即
，解得
．故选D.
5．（2026·湖南期末）AI 算力芯片的散热基座采用《九章算术》“阳马”结构（底面为矩形、侧棱垂直
底面的四棱锥），利用其表面积优势优化散热，通过
打印制成。已知阳马形基座
中，
建模设
，
，
，棱
上的分流节点
满足
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
,关选A.
6．（2026·苏州模拟）已知函数
及其导数
的定义域为R，记
，且
，
都为奇函数.若
，则
( )
2
A.0
B.
C.2
D.
【答案】C
【解析】因为
为奇函数，所以
，即
，则
的图象关于点
对称，则
，即
，可知
的图象关于直线
对称，则
，又因为
为奇函数，所以
，
，
，可得
，可知
的周期为4，
所以
.又因为
，
，已知
，所以
故选C.
7．（2026·哈尔滨模拟）对任一实数序列
，定义序列
，它的第n 项为
.假定序列
的所有项都为1，且
，则
( )
A.3000
B.7000
C.9015
D.10045
【答案】D
【解析】依题意知
，
，
，…是公差为1 的等差数列，设其首项为a，通项为
，则
，于是
，
，即
，解得
，
3
，故
，故选D.
8．（2026·秦皇岛模拟）函数
的定义域为D，若满足：①
在D 内是单调函数；②如果存在区
间
，使
在区间
上的值域为
，那么就称函数
为“减半函数”.若函数
（
，且
）是“减半函数”，则实数t 的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】显然
是定义域上的增函数，因此，若
是“减半函数”，则
即
有两个不等实根.由
，可得
.令
，则
，
.依题意知
方程有两个不等正实根，设为
，
，所以
解得
，故选D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·湖北1 月检测）某公司为保证产品生产质量，连续10 天监测某种新产品生产线的次品件数，
得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的
结论正确的是( )
4
A.极差是4
B.众数小于平均数
C.方差是1.8
D.数据的
分位数为4
【答案】AC
【解析】数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5．
对于A，该组数据的极差为
，故A 正确；
对于B，众数为3，平均数为
，两者相等，故B 错误；
对于C，方差为
，故C 正确；
对于D，
，
这组数据的
分位数为第8 个数和第9 个数的平均数4.5，故D 错误．故
选AC．
10．（2026·张掖期末）如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，测得从D，C
到水库底面与水坝斜面的交线
的距离分别为
，
.又测得
的长为10m，
的长为
，则( )
A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为
B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为
C.直线
与水库底面所成角的正弦值为
D.直线
与水库底面所成角的正弦值为
【答案】BC
5
【解析】如图，作
且
，连接
，又
，则四边形
是矩形，
，又
，所以
是所求二面角的平面角.因为
，
，则
，又
，
，
，
平面
，所以
平面
，而
平面
，所以
，因为
，所以
，
，
，所以
，故A 错误，B 正确，因为
为等腰三
角形，故面积
，
，设点C 到水库底面的距离为h，则
，故
，故直线
与水库底面所成角的正弦值为
，故C 正确，D 错误，故选BC.
11．（2026·绵阳期末）设函数
，则( )
6
A.当
时，直线
不是曲线
的切线
B.当
时，函数
有三个零点
C.若
有三个不同的零点
，
，
，则
D.若曲线
上有且仅有四点能构成一个正方形，则
【答案】BCD
【解析】当
时，
，则
，则
，则曲线
在点
处的切
线方程为
，故A 选项错误.
当
时，
，则
，当
和
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减.又因为
，
，结合三次函数的
图象特征，此时
有三个零点，故B 选项正确.
设
的三个零点分别为
，
，
，则有
，
展开后比对含
项的系数，可得
，故选项C 正确.
当
时，易知
在R 上单调递增，结合图象知不符合题意，故
.因为
，因
此函数
的图象关于点
成中心对称图形.则此正方形必以
为中心，不妨设正方
形的四个顶点分别为A，B，C，D，其中一条对角线
的方程为
，则
，即
，解得
，则
，同理可得
.由
得
，根据题意，方程
7
只有一个正解，当
时，显然不成立.故
，则
，因为
，则
，设
，则
.
设
，根据题意，只需要直线
与函数
的图象只有唯一的公共点即可.
结合函数图象可得
，解得
，故选项D 正确.故选BCD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（2026·辽宁朝阳模拟）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”火遍全国.现有
甲、乙、丙3 位运动员要与“琮琮”“莲莲”“宸宸”站成一排拍照留念，则这3 个吉祥物互不相邻的排
队方法数为__________.（用数字作答）
【答案】144
【解析】甲、乙、丙3 位运动员站成一排，有
种不同的排法，在3 位运动员形成的4 个空隙中选3 个，
插入3 个吉祥物，共有
种排法.
13．（2026·鞍山期末）若随机变量
，
，
，则
的
最小值为________.
【答案】18
【解析】因为
，所以对应的正态曲线的对称轴为直线
.又
，则由对称
性得
.又
，所以
.所以
8
，当且仅当
且
，即
，
时，等号成立，所以
的最小值为18.
14．（2026·河北保定模拟）已知向量a，b 满足
，
，则
的最大
值为_____________.
【答案】
【解析】设
，
，由
，知
，又
，所以
，则可设
，
，则
，其中
，
，故
的最大值为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2026·青岛模拟）（13 分）设
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求角A 的大小；
（2）若
，
边上的高为
，求
的周长．
9
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为A，B，C 为
的内角，所以
，
因为
，
所以
，可化为
，
即
，即
，
因为
，得
，
即
．
(2)由三角形面积公式得
，
，
代入得
，所以
，
由余弦定理
，
得
，解得
或
（舍去），
即
，
所以
的周长为
.
16．（2026·芜湖模拟）（15 分）如图1，在等边三角形ABC 中，E，F 分别为AB，AC 的中点，M 为
10
EF 的中点，N 为BC 边上一点，且
，连接AM，MN，BF，将
沿EF 折到
的
位置，使平面
平面EFCB，如图2.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）证明：因为E，F 分别为等边三角形ABC 的边AB，AC 的中点，
所以
是等边三角形，且
.
因为M 是EF 的中点，所以
.
又平面
平面
，
平面
，所以
平面EFCB.
又
平面EFCB，所以
.
因为
，所以
，
所以四边形MFCN 为平行四边形，所以
.
在等边三角形ABC 中，
，所以
.
又
，
平面
，所以
平面
.
11
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）设等边三角形ABC 的边长为4，取BC 的中点G，连接MG.
由题设知
，由（1）知
平面EFCB.
又
平面EFCB，所以
，如图，建立空间直角坐标系Mxyz，
则
，
，
，所以
，
.
设平面
的法向量为
，
则由
得
令
，则
，
，
则
为平面
的一个法向量.
易知平面
的一个法向量为
，
所以
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
17．（2026·湖北期末）（15 分）记复数的一个构造：从数集
中随机取出2 个不同的数作为复
数的实部和虚部.重复n 次这样的构造，可得到n 个复数，将它们的乘积记为
.已知复数具有运算性质：
12
，其中
.
（1）当
时，记
的取值为X，求X 的分布列；
（2）当
时，求满足
的概率；
（3）求
的概率
.
【答案】（1）分布列见解析
（2）
（3）
【解析】（1）由题意知，可构成的复数为
，共6 个复数，
模为
，
，
.
则X 的可能取值为1，
，2，3，
，4，
，
，
，
，
，
，
所以X 的分布列为
X
1
2
3
4
P
（2）
可能的结果共有
种，满足
的情况有：
①3 个复数的模均为1，共有
种；
②3 个复数中，2 个模均为1，1 个模为
或2，共有
种，
13
所以
.
（3）当
或2 时，显然都满足，此时
；
当
时，满足
共有三种情况：
①n 个复数的模均为1，则共有
种；
②
个复数的模为1，剩余1 个复数的模为
或2，则共有
种；
③
个复数的模为1，剩余2 个复数的模为
或2，
则共有
种，
故
，当
时均成立.
所以
.
18．（2026·河北石家庄模拟）（17 分）已知函数
，
.
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若存在正数a，b，且a 为函数
大于1 的零点，b 为函数
的极值点.
（ⅰ）求实数m 的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
【答案】（1）函数
的单调递减区间为
，无单调递增区间
（2）（ⅰ）
（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）依题意，函数
的定义域为
，
14
，
当
时，
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递减，
所以函数
的单调递减区间为
，无单调递增区间.
（2）（ⅰ）由（1）可知
，
令
，
，则
.
因为
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递减，
当
时，由（1）可知，函数
在
上单调递减，
所以函数
不存在极值点，不符合题意；
当
时，
，
所以当
时，
，则
，
所以函数
在
上单调递减.
因为
，所以当
时，
，
所以函数
不存在大于1 的零点，不符合题意；
当
时，
，因为
，
，
所以存在
，满足
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
存在极值点.
15
因为
，
，
所以
，此时
，且
，
即函数
存在大于1 的零点，此时实数m 的取值范围为
.
（ⅱ）证明：依题意
即
所以
，即
.
因为
在
上恒成立，且
，
，即
，
所以
，即
，
两边取对数得
，
则
，所以
.
19．（2026·青岛期末）（17 分）已知O 为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分
别为
，
，
，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过
，
的圆与直线
相切.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知直线l 交椭圆C 于M，N 两点.
①若直线l 的斜率等于1，求
面积的最大值；
②若
，点D 在l 上，
.证明：存在定点W，使得
为定值.
【答案】（1）
（2）①
②证明见解析
16
【解析】（1）由题意知
，
，
，所以
.
因为以P 为圆心且过
，
的圆与直线
相切，
所以该圆的半径为
，所以
，所以
，
所以椭圆C 的标准方程为
.
（2）①设直线l 的方程为
，
，
，
将
代入
，得
，
所以
，
，
，解得
.
所以
，
点O 到直线l 的距离
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故当
时，
的面积最大，且最大值为
.
②证明：显然直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为
，
，
，
17
由
得
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
解得
，
所以直线过定点
或
，
所以D 在以
为直径的圆上，该圆的圆心为
或
，半径为
，
所以存在定点W，其坐标为
或
，使得
为定值
.
18
