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2025 年高考数学二轮复习小题基础练05
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·浙江金华·一模）在复平面中，若复数
满足
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥
中，
平面
，四边形
是正
方形，
，则四棱锥
外接球的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”
（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年
后是
；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是
，一年后“进步”的是“退步”的
倍．若每天的
“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100 倍以上，最少要
经过（参考数据：
，
）（ ）
A．10 天
B．11 天
C．12 天
D．13 天
5．（2023·四川·模拟预测）我国古代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”
之“方田圆池结角池图”，意思是说，有一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池
（其中圆与正方形一角的两边均相切），如图所示．已知圆O 的半径为2 丈，过C 作圆O
1
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的两条切线，切点分别为M，N，若
，则对角线AC 长度为（ ）
A．
丈
B．
丈
C．
丈
D．
丈
6．（2024·新疆·二模）过点
且与曲线
相切的直线方程为（ ）
A．
B．7 x−4 y +9=0
C．
或7 x−4 y +9=0
D．
或4 x−7 y +24 =0
7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知向量
满足
与
的夹角为
，
则
与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线
的焦点
到其准线的距离为2，
点
是抛物线
上两个不同点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
2
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9．（2023·山东日照·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最小值
D．
有最小值4
10．（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有
四个数字，
抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2 的倍数”为事件
，“数字是
5 的倍数”为事件
，“数字是7 的倍数”为事件
，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件
、
、
两两互斥
B．事件
与事件
对立
C．
D．事件
、
、
两两独立
11．（2023·广东茂名·三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线
的光学性质：
，
是双曲线的左右焦点，从
､
发出的光线
射在双曲线右支上一点
，
经点
反射后，反射光线的反向延长线过
；当
异于双曲线顶点时，双曲线在点
处的
切线平分
.若双曲线
的方程为
，则下列结论正确的是（ ）
A．射线
所在直线的斜率为
，则
3
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B．当
时，
C．当
过点
时，光线由
到
再到
所经过的路程为13
D．若点
坐标为
，直线
与
相切，则
三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知
，
，则
.
13．（2022·全国·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯
卡三角形”早了300 多年.下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记
为由图中虚
线上的数1，3，6，10，…依次构成的数列的第
项，则
的值为 .
14．（2024·广东湛江·一模）若函数
为奇函数，则
4
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
A
C
D
A
ABD
ABC
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】由复数的计算化简得到复数
，再求模长.
【详解】∵
，∴
，∴
，∴
.
故选：D.
2．D
【分析】根据二次不等式以及对数不等式化简两个集合，即可根据交集的定义求解.
【详解】由
，
，
故
，
故选；D
3．C
【分析】根据正方体的外接球即可求解体对角线得半径，进而利用体积公式求解.
【详解】将四棱锥
放入正方体中，则四棱锥
的外接球与正方体的外接
球相同，
设四棱锥
外接球的半径为
，则
，所以
，
故四棱锥
外接球的体积
．
故选：C
4．C
5
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【分析】由题意列出相应不等式，结合对数运算，即可求得答案.
【详解】设经过x 天后，“进步”的是“退步”的100 倍以上，则
，即
，
∴
（天）．
故最少要经过12 天
故选：C
5．A
【分析】结合图形的对称性和切线的性质，通过三角函数或勾股定理，由
丈，
，求出
，可得对角线AC 长度.
【详解】记OC 与MN 相交于E，过O 作AB 的垂线，与AB 相交于F 点，如图所示，
丈，
丈，则
丈，
在
中，
，则
，
中，
丈，
中，
丈，
，则
丈，
所以
丈.
故选：A.
6．C
【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而
求出切线.
6
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【详解】设过点(1,4)的曲线y = f ( x)的切线为： l: y −y0=(3 x0
2+1)(x−x0)，
有{
(3 x0
2+1)(1−x0)= 4−y0
y0= x0
3+ x0+2
,
解得{
x0=1
y0= 4或{
x0=−1
2
y0= 9
8
,
代入可得
或7 x−4 y +9=0.
故选：
7．D
【分析】对等式
进行变形得
，再运算数量积的运算求解即可.
【详解】设
，由题得
，
所以
，
，所以
，
所以
，又
，
所以
，
故选:D.
8．A
【分析】抛物线
的焦点
到其准线的距离为
，又
，进而利用
得
，从而可得
的值.
7
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【详解】因为抛物线
的焦点
到其准线的距离为2，所以
，
所以
,即
,
由
得
，即
，则
，
由焦半径公式可得
.
故选：A.
9．ABD
【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由
，
对于A 中，由
，可得
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，所以
有最大值
，所以A 正确；
对于B 中，由
，因为
有最大值
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，所以
有最小值
，所以B 正确；
对于C 中，由
，
当且仅当
时，等号成立，所以
有最大值
，所以C 不正确；
对于D 中，由
，
当且仅当
时，等号成立，所以
有最小值
，所以D 正确；
故选：ABD.
10．ABC
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.
【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有
、、
、
，
8
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事件
包含的基本事件有
、
，则
；
事件
包含的基本事件有、
，则
；
事件
包含的基本事件有
、
，则
；
显然事件
与事件
，事件
与事件
，事件
与事件
均可以同时发生，
故事件
与事件
，事件
与事件
，事件
与事件
均不互斥，故A 错误；
事件
包含的基本事件有
、、
，
事件
包含的基本事件有
，
当出现
时事件
与事件
均发生，故事件
与事件
不互斥，
显然不对立，故B 错误；
又事件
包含的基本事件有
，所以
，
所以
，故C 错误；
因为事件
包含的基本事件有
，所以
，所以
与
相互独立；
因为事件
包含的基本事件有
，所以
，所以
与
相互独立；
因为事件
包含的基本事件有
，所以
，所以
与
相互独立；
即事件
、
、
两两独立，故D 正确.
故选：ABC
11．ABD
【分析】A 选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.
B 选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.
C 选项，由双曲线定义可判断.
D 选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线
的方程为
，所以
，渐近线方程为
，
9
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选项A，因为直线
与双曲线有两个交点，所以
，即A 正确；
选项B，由双曲线的定义知，
，
若
，则
，
因为
，
所以
，
解得
，即B 正确；
选项C：
，即C 错误；
选项D，因为
平分
，由角分线定理知，
，
所以
，
又
，
所以
，解得
，即D 正确.
故选：ABD.
12．
【分析】利用二倍角公式结合两角和与差的余弦公式展开求解即可.
【详解】
.
由
得
，
，
10
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原式
.
故答案为：
13．
【分析】
利用累加法求得
，再利用裂项相消法即可.
【详解】
设第
个数为
，则
，
，
，
，…，
，
叠加可得
，
∴
.
故答案为：
.
14．
/
【分析】先根据函数是奇函数关于原点对称得出
,再应用奇函数的定义计算求出
,
计算即可求值.
【详解】由于函数的定义域满足
，故定义域为
，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知
，
∴
，
，
∴
，
11
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故
，
故答案为：
．
12
