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2025 年高考数学二轮复习小题基础练07
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·山东·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数
，则
的共轭复数
在复平面内对应点的
坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．某病8 位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50
百分位数为
B．已知数据
的平均数为2，方差为3，那么数据
，
，
的平均数和
方差分别为5，13
C．在回归直线方程
中，相对于样本点
的残差为
D．样本相关系数
4．（2023·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.
在如图所示的勒洛三角形中，已知
，P 为弧AC 上的一点，且
，则
的值为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
5．（2024·浙江绍兴·模拟预测）空气膜等厚干涉是一个有趣的光学现象，如左图所示，当
一块玻璃在另一块平板玻璃上方时，让光线垂直照射就会出现明暗相间的条纹.同一条纹上
两玻璃之间的空气间隙厚度一致.现有一圆锥形玻璃，底面周长为24
，母线长为13.将其
顶点朝下放置于平板玻璃上，并且使得底面与平板玻璃的夹角
近似满足sin
=
，用光
垂直照射，则得到的条纹形状为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
6．（2024·四川雅安·一模）函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·浙江宁波·一模）设
，函数
若
在区间
2
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内恰有6 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·山东·模拟预测）在直四棱柱
中，
，
，点
在侧面
内，且
，则点
轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
9．（2024·安徽·三模）已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，其中
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
的外接圆面积为
C．若
，
，则
D．若
，
，则
10．（2024·海南海口·模拟预测）某校为了解学生的身体状况，随机抽取了50 名学生测量
体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45 至70 之间，将数据整理
得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
3
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A．频率分布直方图中
的值为0.04
B．这50 名学生体重的众数约为52.5
C．该校学生体重的上四分位数约为61.25
D．这50 名学生中体重不低于65 千克的人数约为10
11．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数
，则（）
A．
在
上单调递增
B．
是函数
的极大值点
C．
既无最大值，也无最小值
D．当
时，
有三个零点
三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知圆C 与两坐标轴及直线
都相切，且圆心
在第二象限，则圆C 的方程为 ．
13．（2024·海南海口·一模）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．
洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列
为：
，即
，且
．设数列
各项依次除以4 所得余数形成的数列
为
，则
．
14．（2024·北京·模拟预测）设双曲线
（
）的右顶点为F，且F 是
4
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抛物线
的焦点．过点F 的直线l 与抛物线
交于A，B 两点，满足
，若
点A 也在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
C
A
B
D
C
BCD
ABC
题号
11
答案
BD
1．C
【分析】解集合
中函数定义域和集合
中函数的值域，得到这两个集合，再由定义进行
补集和交集的运算.
【详解】函数
有意义，则有
，解得
，则
；
，有
，得
，则
，
，
所以
.
故选：C.
2．A
【分析】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出
，再求出其共轭复数对应点的
坐标.
【详解】依题意，
，
所以
在复平面内对应点的坐标为
.
故选：A
3．C
【分析】根据百分位数的概念可判断A 的真假；根据两组相关数据的平均数和方差的计算
方法判断B 的真假；计算残差判断C 的真假；根据相关系数的取值范围判断D.
【详解】对A：将3，3，8，4，2，7，10，18 由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，
18，第50 百分位数即为中位数，这组数的中位数为
，所以A 错误；
5
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对B：由数据
的平均数为2，方差为3，则数据
，
，
的平均数为
，方差为
，所以B 错误；
对C：残差
，故C 正确；
对D：样本的相关系数应满足
，所以D 错误．
故选：C
4．C
【分析】根据数量积的坐标运算即可求解.
【详解】如图所示，
以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标
系，则
，
，由
，得
，所以
，
，
所以
.
故选：C.
5．A
【分析】将问题转化为用平面去截圆锥得到的截面形状，即可得到圆锥形玻璃照射得到的
条纹形状.
【详解】根据题意，同一条纹上两玻璃之间的空气间隙厚度一致，所以该问题等价于用平
行于平板玻璃所在平面的平面去截圆锥形玻璃，得到的截面形状，
设圆锥的底面半径为，高为
，母线为
则
，解得
，所以
，
6
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所以圆锥的高与母线夹角的余弦值为
，
而圆锥底面与平板玻璃的夹角
近似满足
，即截面与圆锥高的夹角的余弦值也为
，且
，所以截面形状为椭圆，则条纹形状是椭圆.
故选：A.
6．B
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除AC，再结合
时，
即可排除D，进
而得到答案.
【详解】由题意，
，
，
则
，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故AC 不满足；
当
时，
，
，则
，
故D 不满足，B 符合题意.
故选：B.
7．D
【分析】根据正弦函数的性质可得
的零点为
，根据
，解得
或
，即可分三种情况讨论求解.
【详解】
在区间
内恰有6 个零点，
又
最多有两个零点，
当
时，
至少有四个根，
，
令
，即
，
，
，
7
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又
，
，即
，
令
，解得
或
，
①若
且
，解得
，
此时
在
有2 个零点，
只需要
在
有4 个零点，
这4 个零点分别为
故
且
，解得
，此时
有6 个零点，满足题意，
②当
且
时，解得
，
此时
在
有1 个零点，
只需要
在
有5 个零点，
这5 个零点分别为
，
故
且
，解得
，此时
有6 个零点，满足题意，
③当
且
时，解得
，
此时
在
有1 个零点，
只需要
在
有5 个零点，
这5 个零点分别为
，
故
且
，解得
不存在，
综上可得
或
，
故选：D
8
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【点睛】关键点点睛：
的零点为
，根据
，解得
或
，分三种情况讨论求解.
8．C
【分析】过点
作
，结合已知得
，再结合平面几何知识即可求解.
【详解】
如图所示，过点
作
，过点
作
，
因为四棱柱
是直四棱柱，所以
平面
A1B1C1D1，
因为
平面
A1B1C1D1，所以
，
又因为
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为直线
平面
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，
9
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所以
，
因为点
在侧面
内，
所以在平面直角坐标系中来研究点
轨迹的长度，如图所示：
点
的运动轨迹为以点
为圆心、半径为2 的圆在正方形
内部的弧
，
显然
，
，所以
，
所以
.
故选：C.
9．BCD
【分析】本题考查了向量的数量积、利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，是中档题.
先由向量的数量积、正弦定理和三角恒等变换得
，则
，再由利用正余弦定
理解三角形逐一判定即可.
【详解】对于A 选项，依题意，
，
则
，
由正弦定理，
，
因为
，且
，
故
，故
，
10
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因为
，故
，故A 错误；
对于B 选项，由选项A 可知，
，故其外接圆面积为
，故B 正确；
对于C、D 选项，因为
，记
，
所以
，
，
，
，
在
中，由正弦定理，
，即
，
在
中，由余弦定理，
，
故
，解得
，
因为
，则
，
，故C、D 正确；
故选：BCD.
10．ABC
【分析】利用频率之和为1 可判断选项A，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众
数，即可判断选项B，由分位数的计算方法求解，即可判断选项C，利用频率即可计算个数
求解D.
【详解】由
，解得
，故选项A 正确；
50 名学生体重的众数约为
，故选项B 正确；
因为体重不低于60 千克的频率为0.3，而体重在
,
的频率为
，
所以计该校学生体重的
分位数约为
，故选项C 正确．
体重不低于65 千克的频率为
，
所以这50 名学生中体重不低于65 千克的人数为
人，故选项D 错误；
故选：ABC．
11．BD
【分析】先将
用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值
点、最值及零点即可.
11
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【详解】由题意得
，
所以
，
对于A，当
时，
，
所以
在
上单调递减，故A 错误;
对于B，当
时，
，当
时，
，当
时，
,
所以
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，
所以x =1是函数
的极大值点，故B 正确;
对于C，当
时，
，当
时，
,
又
,
的大致图象如图所示，
的值域为
,
所以
有最小值，无最大值，故C 错误;
对于D，当
时，
在
上单调递增,
因为
,
12
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所以
,
所以
在
上有一个零点;
当x<2时，
在
上单调递增，在
上单调递减,
又
，当
时，
.
结合
的大致图象（如上图），
在
有一个零点，在
上有一个零点，
综上，当
时，
有三个零点，故D 正确.
故选：BD.
12．
【分析】根据给定条件，设出圆C 的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式计算即得.
【详解】由圆C 与两坐标轴都相切，且圆心在第二象限，设
，圆C 的半径为
，
又圆C 与直线
相切，则
，解得
，即
，
所以圆C 的方程为
.
故答案为：
13．3
13
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【分析】根据递推关系可得
的周期性，再根据周期性求解即可.
【详解】
的各项除以
的余数分别为
，
故可得
的周期为
，且前
项分别为
，
所以
.
故答案为：.
14．
/
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点
坐标，再结合已知求出双曲线的
离心率.
【详解】抛物线
的焦点
，直线不垂直于
轴，设其方程为
，
由
消去
得：
，设
，则
，
由
，得
，由对称性不妨令点
在第一象限，解得
，
，
由点
在双曲线
上得，
，又
，解得
，
所以双曲线C 的离心率
.
故答案为：
14
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15
