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微专题22 计数原理与概率统计压轴小题
【典型例题】
例1．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知
，
，
，下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
例2．（2024·浙江·模拟预测）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6 名参加三场双打表演赛（一场为男双，
一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1 场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）
A．2025 种
B．4050 种
C．8100 种
D．16200 种
例3．（2024·四川成都·二模）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边
的两块着不同颜色的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2024·山东菏泽·一模）若数列
的通项公式为
，记在数列
的前
项
中任取两数都是正数的概率为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·广东湛江·一模）在一次考试中有一道4 个选项的双选题，其中B 和C 是正确选项，A 和D 是
错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4 个选项中随机选取两个选项．设事件
“甲、
乙两人所选选项恰有一个相同”，事件
“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件
“甲、乙两人所
选选项完全相同”，事件
“甲、乙两人均未选择B 选项”，则（ ）
A．事件M 与事件N 相互独立
B．事件X 与事件Y 相互独立
C．事件M 与事件Y 相互独立
D．事件N 与事件Y 相互独立
例6．（2024·高三·河南·专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为
1，2，
，n，且
，
，定义X 的信息熵
，则下列判
断中正确的是（ ）
①若
，则
②若
，则
；
1
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③若
，则当
时，
取得最大值
④若
，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，
，m，且
，则
A．①②
B．②③
C．①②④
D．①②③④
例7．（多选题）（2024·山东济南·一模）下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．（2024·高三·江苏泰州·阶段练习）将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段
称为“边”．若单位圆上
个颜色各不相同的点经过
次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他
任意点，就称这n 个点和k 条边所构成的图形满足“条件
”，并将所有满足“条件
”的图形个数记为
，则
．
例9．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，
机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为
，
，且各部件是
否正常工作相互独立，已知
，设
为在
次实验中成功运行的次数，若
，则至
少需要进行的试验次数为 ．
例10．（2024·全国·模拟预测）神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022 年的第六次飞行任务，也是
中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6 个月.某校为了培养学生们的航天精
神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了
和两位同学代表班级
参加比赛，每轮竞赛
和两位同学各答1 题.已知
同学每轮答对的概率是
，同学每轮答对的概率是
，
每轮竞赛中
和两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则
和两位同学至少答对3 道题的
概率为（ ）.
A．
B．
C．
D．
例11．（2024·广东·一模）已知随机变量
的分布列如下：
1
2
则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
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例12．（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：
站在了世界中心位置，
AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．
某团队决定用AI 对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该
视频是伪造的情况下，它有
的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，
它有
的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．
B．
C．
D．
【过关测试】
1．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理
论，随机事件
，
存在如下关系：
.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种
试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为
，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有
的可能呈现阳性；该试剂的误报率为
，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有
的
可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南·一模）甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3 分．一局比赛后，若决出胜负，则
胜的一方得1 分，负的一方得
分；若平局，则双方各得0 分．若干局比赛后，当一方累计得分为6 时比
赛结束且该方最终获胜．令
表示在甲的累计得分为i 时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率
为
，乙获胜的概率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·云南·一模）一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､
蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根
据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表
示的信息种数共有（ ）
A．60 种
B．68 种
C．82 种
D．108 种
4．（2024·高三·福建福州·期中）江先生每天9 点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家
车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布
，从停车场步行到单位
要6 分钟；江先生从家到地铁站需要步行5 分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分
钟）服从正态分布
，下地铁后从地铁站步行到单位要5 分钟，从统计的角度出发，下列说法中合
理的有（ ）
参考数据：若
，则
，
，
3
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A．若
出门，则开私家车不会迟到
B．若
出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若
出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D．若
出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
5．（多选题）（2024·甘肃·一模）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说
文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈"在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率
是
，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是
，而甲只
赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概
率分别是
和
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．当
时，
C．
，使得对
，都有
D．当
时，
6．（多选题）（2024·云南贵州·二模）袋子中有2 个黑球，1 个白球，现从袋子中有放回地随机取球4 次，
每次取一个球，取到白球记0 分，黑球记1 分，记4 次取球的总分数为
，则（ ）
A．
B．
C．
的期望
D．
的方差
7．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4 个选项，
其中有2 个或3 个是正确选项，全部选对者得6 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．小明对其中的
一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是
，记
为小明随机选择1 个选项的得分，记
为小明随
机选择2 个选项的得分．则
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）（2024·浙江·二模）已知正方体
，的棱长为1，点P 是正方形A1B1C1D1上的
一个动点，初始位置位于点
处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为
，向对
角顶点移动的概率为
，如当点P 在点
处时，向点
，
移动的概率均为
，向点
移动的概率为
，
则（ ）
4
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A．移动两次后，“
”的概率为
B．对任意
，移动n 次后，“
平面
”的概率都小于
C．对任意
，移动n 次后，“PC⊥平面
”的概率都小于
D．对任意
，移动n 次后，四面体
体积V 的数学期望
（注：当点P 在平面
上时，四面体
体积为0）
9．（多选题）（2024·高三·浙江·开学考试）日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假
设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量
，根据统计数据，它近似满足如下
规律：对任意正整数
，寿命恰好为
的植物在所有寿命不小于
的植物中的占比为
.记“一株植物的
寿命为
”为事件
，“一株植物的寿命不小于
”为事件
.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．设
，则
为等比数列
D．设
，则
10．（多选题）（2024·高三·湖南长沙·开学考试）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯
片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由
工人进行抽样检验.记A 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，
表示事件“某芯片经人工抽检后合
格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标
服从正态分布
，现从中随机抽取
个，
这
个芯片中恰有
个的质量指标
位于区间
，则下列说法正确的是（ ）（若
，
则
）
A．
B．
C．
D．
取得最大值时，
的估计值为53
11．（多选题）（2024·高三·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两个口袋各装有1 个红球和2 个白球，这些球除
颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n 次操作后，
甲口袋中恰有0 个红球，1 个红球，2 个红球分别记为事件
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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12．（2024·广东深圳·模拟预测）从1，2，3，
，
这
个数中随机抽一个数记为
，再从1，2，
，
中随机抽一个数记为
，则
.
13．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串
有三颗冰糖葫芦．若小王每次随机从其中一串吃一颗，则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为
．
14．（2024·全国·模拟预测）已知三位整数
满足
的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数
列，则
的最大值是 ．
15．（2024·高三·全国·专题练习）现有6 根绳子，共有12 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两
个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6 根绳子恰好能围成一个圈的概率为 .
16．（2024·高三·全国·专题练习）随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，
8，9 这10 个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰
子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9 这10 个数
字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9 的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐
个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，
三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
17．（2024·高三·全国·竞赛）已知正七边形ABCDEFG 的外接圆为
且A 为该圆上距离
坐标原点最远的点，则关于这七个点的回归直线方程为 ；设CG，AD 交于Q，则
18．（2024·高三·浙江·开学考试）设严格递增的整数数列
，
，…，
满足
，
.设
为
，
，…，
这19 个数中被3 整除的项的个数，则
的最大值为 ，使得
取到最
大值的数列
的个数为 .
19．（2024·高三·河南南阳·期末）某楼梯共有
个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者
个台
阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答）
6
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20．（2024·高三·全国·竞赛）一个平台的俯视图为一个3×3 的方格表，初始时在中心的方格
处有一只电
子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落
平台就会“死亡”，那么在2023 秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是 ．
21．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知集合
中含有
个元素，集合
是
的非空子集，且
，则不同的集合对
有 个．（用含
的代数式表示）
22．（2024·高三·广东·强基计划）设
个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中
的任何一位，
．若初始时球在甲手中，则第
次传球之后，球又回到甲手中的概率为 ．
23．（2024·全国·模拟预测）中秋节假期间，某医院要安排某科室的2 名男职工和2 名女职工进行3 天值班
（分白班和夜班，每班1 名职工），其中女职工不值夜班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法
共有 种（用数字作答）．
24．（2024·高三·辽宁沈阳·阶段练习）我们称
元有序实数组
为
维向量，
为该向量的范数.已知
维向量
，其中
，记范数为
奇数的
的个数为
，则
；
（用含
的式子表示，
）.
25．（2024·高三·福建泉州·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数
称为高
斯函数，其中
表示不超过
的最大整数.设
，则除以2023 的余数是 .
26．（2024·高三·安徽·阶段练习）从教学楼一楼到二楼共有11 级台阶（从下往上依次为第1 级，第2 级，
，第11 级），学生甲一步能上1 级或2 级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则
甲踩过第5 级台阶的概率是 ．
7
