微专题23 立体几何中的折叠与探索问题
近几年高考： 1.立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一
大热点与难点,主要包括两个方面:一是平面图形的折叠问题,
多涉及空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求
解等问题;二是几何体的表面展开问题,主要涉及几何体的表面
积以及几何体表面上的最短距离等; 2.以空间向量为工具,探索
空间几何体中线面关系或空间角存在的条件,计算量较大,一般
以解答题的形式考查,难度中等偏上.
一、高考真题
1.(2025·新高考Ⅱ卷)如图,在四边形ABCD 中,
AB∥CD,∠DAB=90°,F 为CD 的中点,点E 在AB 上,
EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA 沿EF 翻折至四边
形EFD'A',使得平面EFD'A'与平面EFCB 所成的二面角为60°.
(1)证明:A'B∥平面CD'F;
(2)求平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值.
2.(2023·新高考Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,
AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
(1)证明:B2C2∥A2D2;
(2)点P 在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
二．典型例题
1.折叠问题
例1 (2025·宜宾二诊)如图,在平面四边形ABCD 中,△ABC 是等
边三角形,△ADC 是等腰三角形,且∠ADC=90°,现将△ACD 沿
AC 翻折至△PAC,形成三棱锥P-ABC,其中P 为动点.
(1)若AB=BP,求证:平面APC⊥平面ABC;
(2)若∠PAB=45°,记△ABC 的重心为G,若⃗AG=⃗GE,求PE 与平
面PAB 所成角的正弦值;
(3)求平面ABC 与平面PBC 夹角正切的最大值.
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易错提醒 注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系.对
照前后图形,弄清楚变与不变的元素后,再立足于不变的元素的
位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数
量关系.
训练1 (2025·北京东城区模拟)如图,在等腰梯形ABCD 中,
AB∥CD,AD=BC,E,F 分别为AB,CD 的中点,沿线段EF 将四
边形AEFD 翻折到四边形MEFN 的位置,连接MB,NC.已知
BE=EF=2,CF=3,∠CFN=2π
3
,P 为射线FN 上一点.
(1)若⃗NP=2
3⃗NF,证明:EP∥平面BCNM.
(2)若直线FN 与平面CEP 所成角的正弦值为2
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,求PF.
2.探索问题
（1）、探索线面位置关系
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3.M 是AB 的中点,N 是B1C1的中点,
P 是BC1与B1C 的交点.在线段A1N 上是否存在点Q,使得PQ∥
平面A1CM?
2
（2）、探索与空间角有关的问题
例3 (2025·鹰潭模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,
AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,∠A1AB=∠A1AC=2π
3
.
(1)求证:BC⊥AA1;
(2)侧棱CC1上是否存在点D,使得直线AD 与平面A1BC 所成角
的正弦值为√70
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?若存在,确定点D 的位置;若不存在,说明理
由.
规律方法 解决立体几何探索问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立,再在这个前提
下进行推理,如果能推出与条件吻合的数据或事实,则说明假设
成立,并可进一步证明,否则假设不成立.
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时,一定要注意三点共线
的应用.
训练2 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F
分别为棱AA1,CC1的中点,G 为棱DD1上的动点.
(1)求证:B,E,D1,F 四点共面;
(2)是否存在点G,使得平面GEF⊥平面BEF?若存在,求出DG
的长;若不存在,说明理由.
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【精准强化练习】
1.(2025·上海浦东二模)如图,四边形ABCD 为长方形,PA⊥平面
ABCD,AB=AP=2,AD=3.
(1)若E,F 分别是PB,CD 的中点,求证:EF∥平面PAD;
(2)边BC 上是否存在点G,使得直线PG 与平面PAD 所成的角
的大小为30°?若存在,求BG 长;若不存在,说明理由.
2.如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面是平行四边形,侧面PAB 是
等边三角形,BC=2AB,
∠ABC=60°,PB⊥AC.
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)设Q 为侧棱PD 上一点,四边形BEQF 是过B,Q 两点的截面,
且AC∥平面BEQF,是否存在点Q,使得平面BEQF⊥平面
PAD?若存在,确定点Q 的位置;若不存在,说明理由.
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3.(2025·鞍山二模)如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=π
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,
点B1在底面ABC 的射影恰好是BC 的中点O,B1B=BC=CA=2.
(1)证明:BC1⊥AB1;
(2)将△A1B1C1沿A1C1翻折至△A1B0C1,使得点B0在平面AA1C1C
上,求平面AB1B0与平面AB1C1夹角的余弦值.
4.(2025·临沂模拟)在△NBC 中,
∠B=90°,AD∥BC,NA=CD=2AB=2,如图将△NAD 沿AD 翻折至
△PAD.
(1)证明:平面PBC⊥平面PAB;
(2)若二面角P-AD-B 大小为120°;
①求PA 与平面PBC 所成角的正弦值;
②在线段PD 上是否存在点E,使得平面ABE 与平面PDC 所成
角的余弦值为1
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?若存在,确定点E 的位置;若不存在,说明理由.
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