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实战演练 01 抽象函数的性质
①抽象函数求值
②抽象函数的单调性与抽象不等式
③抽象函数的奇偶性
④抽象函数的对称性
⑤抽象函数的周期性
⑥抽象函数结合导数的应用
⑦抽象函数性质的综合应用
一、抽象函数的性质
1.周期性： ； ；
；（ 为常数）；
2.对称性：
对称轴： 或者 关于 对称；
对称中心： 或者 关于 对称；
3.如果 同时关于 对称，又关于 对称，则 的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
① 在 上是奇函数，且 单调递增 若解不等式 ，则有
；
在 上是奇函数，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
② 在 上是偶函数，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有 （不
变号加绝对值）；在 上是偶函数，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有 （变号
加绝对值）；
③ 关于 对称，且 单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于 对称，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
④ 关于 对称，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
关于 对称，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数： ，则 ，
【一次函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 为奇函数；
模型3：若 则 ；
模型4：若 则 ；
【指数函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 ；
模型3：若 ，则 ；
模型4：若 ，则 ；
【对数函数模型】
模型1：若 ，则模型2：若 ，则
模型3：若 ，则
模型4：若 ，则
模型5：若 ，则
【幂函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
代入 则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
【正切函数模型】
模型：若 ，则
模型3：若 ，则
①抽象函数求值
解题技法
抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x=⋯ ,−2,−1,0,1,2⋯ 等特殊
值求抽象函数的函数值.
一、单选题
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ， ，均满足
．若 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D【分析】先赋值 求出 ，接着赋值 ， 求出 ，再赋值 求出 ，最后赋
值 ， 即可求解.
【详解】令 ，得 ，所以 ；
令 ， ，得 ，
又 ，所以 ；令 ，得 ；
令 ， ，得 .
故选：D.
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设函数 的定义域为 ，且 ，
则 （ ）
A． B．0 C．4 D．
【答案】B
【分析】令 结合 得 ，令 得 ，令 ， ，得 ，
令 ，分别令 可以得到 ，令 ， 得 的周期为 ，所以
.
【详解】因为 ，令 ，有 ，则 或
．
若 ，则令 ，有 ，得 ，与已知 矛盾，所以
．
令 ，有 ，则 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．令 ，有 ，得 ，
令 ，有 ，即 ，
所以 ，故 ，所以 的周期为 ，
所以 ．
故选：B．
【点睛】方法点睛：赋值法解决抽象函数问题，通过对 赋值，得到相应的函数值，进而研究函数性质
或者得到待求函数值.
二、填空题
3．（2025高三·全国·专题练习）定义在 上的函数 满足 ，
，则 ， .
【答案】 12 6
【分析】利用赋值法可求 的值，再求出 ，从而可求 的值.
【详解】 ，
而 即 ，
故 ，故 ，
故答案为：
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，
，则
【答案】2
【分析】令 ， 或 ，再说明 不合题意.
【详解】令 ， 得 得 或 ，
当 时，令 得 不合题意， 故 .
故答案为：2
5．（2025高三·全国·专题练习）已知定义域为 的函数 ，满足
，且 ， ，则 .
【答案】0
【分析】在已知式中令 可得．
【详解】由 ，令 ，则
故答案为：0.
6．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在 上的 满足 ，且对于任意的 ，有
，则 .
【答案】
【分析】令 得 或 ，排除 即可.
【详解】在 中，令 ，有 ，解得 或 ，
若 ，则在 中，令 ，有 恒成立，但这与 矛盾，
所以只能 ，经检验符合题意.
故答案为： .
②抽象函数的单调性与抽象不等式
解题技法
（1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x 与x 的大小关
1 2
系构造出一个大于（或小于）0的数.
（2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求
解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将
常数转化为函数值.
一、单选题
1．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数 在定义域 上是增函数，且
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性及定义域得到关于 的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为函数 在定义域 上是增函数，且 ，
则有 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.
【详解】由 ，可得 ，
因为 是奇函数，且 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
故不等式 的解集为 ．
故选：D
3．（23-24高三下·吉林通化·期中）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 单调递增，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数单调性和奇偶性得到 ，画出曲线 与曲线 的图象，数
形结合得到答案.
【详解】由奇函数可知，
，
又 单调递增，则 ，
画出曲线 与曲线 的图象，
可以看出 与 有两个交点，
且 与 分别为两交点横坐标，
所以不等式 的解集为 ．
故选：B
二、多选题4．（2024·广东茂名·二模）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若 ，
则实数 的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】先利用函数 是奇函数，将不等式 转变为 ，再利用函数
在 上单调递增，将不等式 转变为 ，求解即可.
【详解】因为函数 是奇函数，
则不等式 ，可变形为 ，
因为函数 在 上单调递增，
则不等式 成立，则 ，
解得 ，1，2符合题意，
故选：CD.
三、填空题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围
是 ．
【答案】 ．
【分析】先根据函数的解析式判断得出函数的奇偶性以及单调性．进而将原不等式转化为
，即可结合函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案．
【详解】由题意知函数定义域为R，且 ，
所以 为奇函数．
又函数 均为R上的增函数，根据复合函数的单调性可知 也为R上的增函数，
所以， 为R上的函数．
由 ，得 ，所以 ，
解得 ，
故答案为： ．
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知偶函数 在区间 上是严格减函数.若 ，
则 的取值范围是 .【答案】
【分析】根据偶函数的性质及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为偶函数 在区间 上是严格减函数，
所以 在 上单调递增，
所以不等式 ，即 ，所以 ，即 ，
解得 ，
即 的取值范围是 .
故答案为：
③抽象函数的奇偶性
解题技法
抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值
法”进行求值和化简.
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为R，对于任意实数x，y满足
，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 为奇函数 D．
【答案】C
【分析】由条件等式通过取特殊值求 ， 由此判断A，D，再取特殊值确定 ， 的关系结
合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.
【详解】因为 ， ，
取 ， 可得 ，又 ，所以 ；A对；
取 ， 可得 ，因为 ，所以 ，所以 为偶函数，
C错，B对；
取 ， 可得 ，又 ， ；
所以 ，D对；故选：C.
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 为奇函数，则
（ ）
A． B．14 C． D．7
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解.
【详解】因为 为奇函数，
故 ，
，
，
，
故 .
故选：C.
3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数 ， 满足 ，且
，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】D
【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原
函数的对称关系.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 关于直线 对称，
因为 ，
所以 关于 对称，即 为偶函数.
故选：D
4．（2025高三·全国·专题练习）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则说法不正确的
是（ ）
A． 为奇函数 B． 为周期函数C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】D
【分析】由奇函数性质及题意得 且 ，因此
即 ，进而得 且 即可判断A、
B；由 可得 ，结合奇函数的定义即可判断C、D.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
∴ ，即 ，
所以 ，且 ，
∴ 是周期为2的函数，且 是奇函数，故A、B正确；
由 得 ，
故由A、B得 ，
即 为奇函数，故C正确；
由 得 ，
所以 为奇函数，故D错误；
故选：D.
二、多选题
5．（2024·河南·三模）定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 单调递增
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可求 及 ，故可判断各项的正误，也可以由题意得
，结合条件 推出 的解析式，进而即可求解
判断ABCD四个选项.
【详解】法1：令 ，则 ，
令 ，则 ，
若 或 ，
若 ，则 即 ，由 的任意性可得 不恒成立，故 不成立，故 ，
故A错误，B正确.
令 ，则 ，
故 为奇函数，且 ，它为 上的增函数，
故CD正确.
法2：由条件 ，得
，
由 的任意性得 为常数，
故代回去 得：
，
所以由 的任意性只能 ，即 ，为增函数，
所以 ， 为奇函数，
故A错，BCD对.
故选：BCD.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知奇函数 与偶函数 的定义域、值域均为R，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】BCD
【分析】本题根据奇偶性的定义逐项判断即可得出结果.
【详解】对A，因为 ，所以 不是奇函数，故A
错误；
对B，因为 ，所以 是奇函数，故B正确；
对C，因为 ，所以 是奇函数，故C正确；
对D，因为 ，所以 是偶函数，故D正确．
故选：BCD．
三、解答题
7．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）定义在 上的单调函数 满足 且对任意x，
都有 ．
(1)判断 的奇偶性，并说明理由；(2)若 对任意 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见解析；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求证，
（2）根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为 对任意 成立．即可换元利用二
次不等式的性质求解.
【详解】（1） 是奇函数，
理由如下：
由 ，①
令 ，代入①式，得 ，即 ．
令 ，代入①式，得 ，又 ，
则有 ．即 对任意 成立，
所以 是奇函数．
（2） ，即 ，又 在 上是单调函数，
所以 在 上是增函数
又由（1） 是奇函数． ，
∴ ， 对任意 成立．
令 ，问题等价于 对任意 恒成立．
令 ，其对称轴 ．
当 即 时， ，符合题意；
当 时，对任意 ， 恒成立 ．
解得 ．
综上所述，当 时， 对任意 恒成立．
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
， ， ，且 ．
(1)求 ， ， 的值；(2)判断 的奇偶性，并证明．
【答案】(1) ， ，
(2)偶函数，证明见解析
【分析】（1）令 ，求得 ，令 ，求得 ，令 ，求得 ，
（2）令 ，再结合（1）的结果和奇偶性的定义可得结论.
【详解】（1）令 ，得 ，
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
（2） 为偶函数．
证明如下：令 ，得 ，
由（1）得 ，
即 ，又 的定义域为 ，所以 为偶函数．
④抽象函数的对称性
解题技法
（1）若函数y=f (ax+b)为偶函数，则函数图象关于直线x=b对称；若函数y=f (ax+b)为奇函
数，则函数图象关于点(b,0)对称.
（2）若函数f (x)在定义域上的图象是一条连续不断的曲线，则：①函数f (x)的图象关于直线
x=a对称⇔ 导函数f ′(x)的图象关于点(a,0)对称；②函数f (x)的图象关于点(a,f (a))对称⇔ 导
函数f ′(x)的图象关于直线x=a对称.
一、多选题
1．（23-24高三下·山东·开学考试）函数 满足：对任意实数x,y都有 ，且当
时， ，则（ ）
A． B． 关于 对称 C． D．
为减函数【答案】ABC
【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.
【详解】由对于任意实数 ，
令 ，则 ，即 ,故A正确；
令 ，则 ，即 ，故B正确；
令 ， ，则 ，
即 ，故C正确；
对于任意 ，则设 ，当 时， ，
则 ，即 ，
所以 单调递增，故D错误．
故选：ABC
2．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的连续函数 满足 ，
， ，当 时， 恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是偶函数
C． D． 的图象关于 对称
【答案】BCD
【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.
【详解】因为 ， ，
令 可得 ，解得 或 ，
又当 时， 恒成立，所以 ，故A错误；
令 ， ，则 ，即 ，
所以 为偶函数，故B正确；
令 ， ，则 ，所以 ，
令 ， ，则 ，所以 ，故C正确；
令 可得 ，
令 ，可得 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 的图象关于 对称，故D正确.
故选：BCD
3．（2024·广东·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 ，且 ，
则（ ）
A． B． 无最小值
C． D． 的图象关于点 中心对称
【答案】BCD
【分析】对于A，令 即可；对于BC，令 得 ，通过递推计算即可；对于
D，令 ，得 即可判断函数 的图象关于点 中心对称.
【详解】对于A，令 ，得 ，解得 ，故A错误；
对于B，令 ，则 ，且 ，即 可知函数 无最小值，
故B正确；
对于C，由B知， ，
所以 ， ，
则
，故C正确；
对于D，令 ，则原式化为 ，
令 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以函数 的图象关于点 中心对称，故D正确.
故选：BCD.
4．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）若定义在 上的函数 满足 ，
且值域为 ，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 的图象关于 中心对称
【答案】ACD
【分析】利用赋值法、函数的奇偶性和对称性，逐项判断即可.
【详解】对于选项A，令 得 ，解得 或 ，
令 ，得 ，由 的值域为 ，所以 时， ，不合题意，
所以 ，A说法错误；
对于选项B，令 得 ，所以 或 ，
令 ，得 ，即 ，
由 的值域为 ，所以 ，
令 得 ，所以 或 ，
由 的值域为 ，所以 ，B说法正确；
对于选项C，令 得 ，
因为 ，所以 ，所以 为偶函数，C说法错误；
对于选项D，若图象关于 中心对称，则 ，由于定义域为 ，值域为 ，
若 ，则必有 ，与题设矛盾，故D说法错误；
故选：ACD
5．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ，
，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D．
【答案】BCD
【分析】利用赋值法求得 即可判断A；利用赋值可得 ，并且判断出 ，
由不等式的性质可得 ，即可判断B；利用函数的奇偶性以及 的值即可判断C；利用等比数
列的判定可得 的通项公式，利用等比数列的求和公式可得 ，即可判断D．
【详解】令 ， ，则 ，将 代入得 ，即 ，故
A错误；
由 ，令 可得 ，若存在x使得 ，
则上式变为 ，显然不成立，所以 ，
又 ，因为 ，所以 ，
将 整理为 ，
因为 ，即 ，所以 ，故B正确；
令 ，
则 ，
且 ，所以 为奇函数，故C正确；
当 时， ， ，
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
由 可知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n项和进
行分析，由此即可顺利得解．
二、单选题
6．（2024·河北·二模）已知函数 为奇函数，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】C
【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.
【详解】函数 为奇函数，图象关于 对称，
将函数 向左平移一个单位可得函数 ，
则函数 关于 对称，
所以函数 的图象关于 对称.故选：C.
7．（2024·四川·三模）定义在R上的函数 与 的图象关于直线 对称，且函数
为奇函数，则函数 图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据条件得到 的对称中心，再根据对称得到 的对称中心.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，
即 ，
故 的对称中心为 ，即 ，
由于函数 与 的图象关于直线 对称，
且 关于 的对称点为 ，
故 的对称中心为 .
故选：D
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为R， 的图象关于直线 对称， 为
奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 的图象关于直线 对称可得 ，函数 为奇函数，则
，可得 ，计算可求得 .
【详解】因为函数 的图象关于直线x＝2对称，则 ，可得
因为函数 为奇函数，则 ，所以 ，
所以 ，故 ，即 ，
故f(x)是以4为周期的周期函数．
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，
其他三个选项由已知条件 不能确定结果是否为0．
故选：A.
⑤抽象函数的周期性一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得到 的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.
【详解】根据题意，函数 满足 ，则 ，即 是周期为 的周期函数，
所以 ， ，又由函数 为定义在 上的奇函数，则 ， ，
当 时， ，则 ，则 ，
所以 ，
故选：B．
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为R的函数 满足 ，当 时，
，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 得 ，所以将 向区间 进行转化，即可求得答案.
【详解】由 ，得 ，
故 ，
故选：D
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则 （ ）
A．2024 B． C． D．0
【答案】D【分析】根据表达式得出规律，即可求出 的值.
【详解】由题意，
在 中， 定义域为 ， ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，
即
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
……函数值周期性变化，周期为3，
∵ ，
可得：
，
故选：D.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为R， 的图象关于直线 对称， 为
奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 的图象关于直线 对称可得 ，函数 为奇函数，则
，可得 ，计算可求得 .
【详解】因为函数 的图象关于直线x＝2对称，则 ，可得
因为函数 为奇函数，则 ，所以 ，
所以 ，故 ，即 ，
故f(x)是以4为周期的周期函数．
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，
其他三个选项由已知条件 不能确定结果是否为0．
故选：A.
5．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义域为 的函数 满足 ，，当 时， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】依题意可得 为奇函数，再由 ，推出 是周期为 的周期函数，由
求出 的值，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为定义域为 的函数 满足 ，则 为奇函数，
又 ，所以 ，
所以 ，则 是周期为 的周期函数，
又因为 ，即 ，
又当 时， ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
6．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 满足： ， ，则
下列说法正确的有（ ）
A． 是周期函数
B．
C．
D． 图象的一个对称中心为
【答案】A
【分析】先证明 得到A正确；再给出 作为反例说明B，C，
D错误.
【详解】对于A，由于 ，故
.
从而 ，这就得到 ，所
以 ，即 .所以 是周期函数，故A正确；
对于B，C，D，取 ，则 满足条件，但 ，
，同时由于 ， ，从而 关于 的对称点
并不在函数图象上，故B，C，D错误；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对条件进行适当的代数变形.
二、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）函数 满足 ，且 ，则 ．
【答案】 /
【分析】由已知可得到 ，然后利用 和 即可得到结果.
【详解】由 ，知 .
所以 ，得 .
故 .
故答案为： .
8．（2024·安徽六安·模拟预测）若偶函数 对任意 都有 ，且当 时，
，则 ．
【答案】
【分析】由题意求得 ，可得 的周期为6，
则 ，即可求解.
【详解】由 ，且当 时 ， ，
得 ，
，
则 是以6为周期的函数，
所以 .
故答案为：9．（2023·云南昆明·模拟预测）定义在 上的函数 满足： ，对任意 ，
，则 .
【答案】
【分析】利用赋值法可得 ，然后结合条件可得函数 是周期为 的周期函数，进
而即得.
【详解】因为 ，
令 ，得 ，即 ，
由 ， ，
令 ， ，得 ，又 ，
因此 ， ， ， ， ， ， ， ，…….
所以函数 是周期为 的周期函数，
所以 ，即 .
故答案为： .
⑥抽象函数结合导数的应用
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数 的图象是一条连续不断的曲线， 是 的
导函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知
在 时是单调递增函数，再结合已知条件又可知 是偶函数，利用单调性和
奇偶性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 为奇函数，且图象连续不断，所以 为偶函数，
由 ，得 ，解得 或
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为 的偶函数 的导函数为 ，若
也为偶函数，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先令 ，判断 的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求
解不等式．
【详解】因为 为偶函数，
所以 ，所以 ，
令 ，
因为 为偶函数，
则 ，即 ，
即 ，
所以 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
由 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令 ，从而推导出 ，即可得到函数的
单调性.
3．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 为奇函数，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意利用赋值法求出 、 、 、 的值，推出函数 的周期，结合
，每四个值为一个循环，即可求得答案.
【详解】由 ，令 ，得 ，所以 ，由 为奇函数，得 ，所以 ，
故 ①．
又 ②，
由①和②得 ，即 ，
所以 ，③
令 ，得 ，得 ，
令 ，得 ，得 ，
又 ④，
由③ ④得 ，即 ，
所以函数 是以8为周期的周期函数，
故 ，
所以 ，
所以
.
故选：B．
二、多选题
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若
的图象关于直线 对称， ，且 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 的图象关于点 对称
C． D．
【答案】BCD
【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数 的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数
的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求 ，最后利用函数 与 的关系
求和.
【详解】由 的图象关于直线 对称，可得 的图象关于直线 对称，即 的图象关于
直线 对称，则
由 ，可得 ，又 ，所以 ，所以 的图象关于点 对称，即 为奇函数，
所以 ，即 ，即函数 的周期为4，
由 ，可得 ，因为 的周期为4，所以 ，
则 ，即 ，所以 的图象关于点 对称，故B正确；
因为 的图象关于直线 对称，则 ，所以 ，所以 ，
因为 的周期为4，所以 的周期也为4.由 ，可得 ，所以
，故C正确；
由 ，可得 ，所以 ，即
，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，
发现函数 与 的性质关系，以及解析式的关系.
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 及其导函数 ，且 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的关系式，采用赋值，赋变量的方法，结合函数的对称性和周期性，即可判断选项.
【详解】因为 ，所以 的图像关于直线 对称.令 ，得 ，故A项
正确；
因为 .所以 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，则 的一个周期为4.
因为 的图像关于直线 对称，所以 是 的一个极值点，
所以 ，所以 ，则 .故B项错误；
由 ，得 ，即 .所以 ，故C项正确；
设 为常数），定义域为 ，
则 ，
又 ，所以 ，显然 也满足题设，
即 上､下平移均满足题设，显然 的值不确定，故D项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，以及抽象函数的导数问题， ，
即可正确得到 .
6．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是偶函数，
，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】法一、利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性可判定A、B、C选项，利用C的结
论可判定D项；法二、构造函数 ，利用正、余弦函数的性质一一判定选项即可.
【详解】法一、由题意可知 为 上奇函数，即 ，
令
或0（舍去），故A错误；
令 ，
故B正确；
由条件可知 ，
，
则有 ，
所以 ，则 ，故C正确；
由C： ，即 的一个周期为 ，所以 ，故D错误.
法二、由题意可设 ，则 ，显然符合条件，
对于A项， ，故A错误；
对于B项， ，故B正确；
对于C项， ，故C正确；
对于D项， ，所以 ，
故D错误.
故选：BC
【点睛】思路点睛：抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令 及构造
并判定其是否相等可分别判定A、B、C选项，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇
偶性的关系可得出最终结果；还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果.
7．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，
若 ， ，且 ，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． 为奇函数
C．函数 是周期函数 D．
【答案】BCD
【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判
断即可得.
【详解】对A：由 ，故 为奇函数，
若 为偶函数，则 ，与条件不符，故A错误；
对B：由 ，则 ，
又 ，即 ，
即 ，又 定义在 上，
故 为奇函数，故B正确；
对C：由 ， ， ，
所以 ，则 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
则函数 是周期函数 的周期函数，函数 是周期函数 的周期函数，故C正确；
对D：由 是周期函数 的周期函数，
由 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
由 ， ，
则 ，则 关于 对称，则 关于 对称，
又 为奇函数，即 关于 中心对称，
故 关于 对称，则 ，
则 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数 关于直线 轴对称，则 ，若函数 关于点 中心对
称，则 ，反之也成立；
（2）关于周期：若 ，或 ，或 ，可知函数 的周期为 .
8．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数 及其导函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
，且对任意 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.
【详解】由 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，故A错误；
令 ，则 ，①
所以 ，因为 为奇函数，所以 为偶函数， ，
所以 ，②
由① ②并整理得 ，
即 ，
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，故 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故C正确；
由上知 ，
在①中，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键
在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数 ， 的性质.
⑦抽象函数性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在 上的函数 是奇函数，对任意 都有 ，
当 时，则 等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数 的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得
的值.
【详解】定义在 上的函数 是奇函数，且对任意 都有 ，
故函数 的图象关于直线 对称，∴ ，故 ，
∴ ，∴ 是周期为4的周期函数．则 ．
故选：A．
2．（2024·四川内江·三模）已知函数 的定义域为R，对任意实数x都有 成立，且函数
为偶函数， ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1012 D．2024
【答案】B
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由 ，即 的一个周期为4，
由 为偶函数可知 关于 轴对称，即 ，
又 可知 ，
所以 ，
显然 ，
所以 .
故选：B
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在 上的函数 满足 ， 为偶函数，
函数 的图象关于 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答.
【详解】因为 关于 对称，有 ，
令 ，则 ， 的图象关于 对称.
由 为偶函数，得 ，则 的图象于 对称，
因为 ，
所以 ，
即 ，则 的图象关于 对称.
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 为 的一个周期，
因为 图象关于 对称，所以 ，故 ，
所以由 ，得 .
故选：C.
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知定义在R上的函数 恒大于0，对 ， ，都有
，且 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 是奇数 D． 有最小值
【答案】D
【详解】对于A， ，取 ，则 ， ，选项A正确；
对于B，取 ，则 ，则 ，选项B正确；
对于C，取 ， ，则 ，则 ，
取 ， ， ，
则 ，所以 是奇数，选项C正确；
取函数 ，符合题目条件，但此时 无最小值，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是得出 ，由此即可顺利得解.
5．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推
出其周期，再结合赋值法求得 ，结合函数的周期性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 的定义域为 ，且 ， ，
令 ，则 ，即 ，故 为偶函数；
又 ，令 ，则 ，又由 ，得 ，
即 的图象关于点 成中心对称，则 ；
，即 ，又结合 为偶函数，
则 ，故 ，即4为 的周期，
故 ，
故
，
故选：D
【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；
（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推
导.
6．（2024·四川泸州·二模）已知 ， 都是定义在R上的函数，对任意x，y满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．函数 的图象关于直线 对称 D．
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取 可判断C，对于
B，通过观察选项可以推断 很可能是周期函数，结合 的特殊性及一些已经证明的结
论，想到令 和 时可构建出两个式子，两式相加即可得出 ，进一步得
出 是周期函数，从而可求 的值.
【详解】对于A，令 ，可得 ，得 ，
令 ， ，代入已知等式得 ，
可得 ，结合 得 ，
所以 ，故A错误；
对于D，因为 ，令 ，代入已知等式得 ，
将 ， 代入上式，得 ，所以函数 为奇函数.
令 ， ，代入已知等式，得 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故D正确；
对于B，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式：
， ，
两式相加易得 ，所以有 ，
即 ，
有 ，
即 ，所以 为周期函数，且周期为 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，故B错误；
对于C，取 ， ，满足 及 ，
所以 ，又 ，
所以函数 的图像不关于直线 对称，故C错误；
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有 的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及
利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有 双变量，需
要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这
就需要观察题设条件以及选项来决定.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在 上的函数 满足 ， ， 为奇函
数，有下列结论：
①直线 为曲线 的对称轴；②点 为曲线 的对称中心；③函数 是周期函数；
④ ；⑤函数 是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据 可得函数对称轴，可判断①；根据 可得函数周期，
可判断③；根据 ，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称
性求出 ，进而可得 判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤.
【详解】由 知直线 为曲线 的对称轴，①正确；
因为 ，所以
所以 是周期为4的周期函数，③正确；
由 为奇函数有 ，令 得 ，则 的图象关于点
对称，
又直线 为曲线 的对称轴，以 是周期为4的周期函数
则 的对称中心为 ，②错误；
令 ，则 ，所以 ，在 中，令 ，则 .
于是 ， ， ， ，则 ，所以
，④正确；
因为 的图象关于点 对称 ，因为周期为4，
所以 ，所以 为奇函数，⑤错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
一是若函数 是偶函数，则函数 关于直线 对称；若函数 是奇函数，则
函数 关于点 中心对称；
二是若对任意 都有 ，则 是以 为周期的函数；若对任意 都有
，则 也是以 为周期的函数.
8．（2023·福建宁德·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，对任意的 ，恒
有 ，则下列说法正确的个数是（ ）
① ；② 必为奇函数；③ ；④若 ，则 .A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令 ，得出
，变量代换可判断③；利用赋值法求出 部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计
算 ，判断④，即可得答案.
【详解】令 ，则由 可得 ，
故 或 ，故①错误；
当 时，令 ，则 ，则 ，
故 ，函数 既是奇函数又是偶函数；
当 时，令 ，则 ，所以 ，
则 ，即 ，则 为奇函数，
综合以上可知 必为奇函数，②正确；
令 ，则 ，故 .
由于 ，令 ，即 ，即有 ，故③正确；
对于D，若 ，令 ，则 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
，
由此可得 的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
故 ，故④正确，即正确的是②③④，
故选：C.
【点睛】难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的综合应用，解答时要注意利用赋值法求值，难点在于④
的判断，要结合函数值的计算得出函数值具有周期性，从而求解.
9．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数 与 是定义在 上的函数，它们的导函数分别为 和
，且满足 ，且 ，则
（ ）
A．1012 B．2024 C． D．
【答案】D
【分析】根据 得到 ，故 ，求导得到
， 两边求导得到 ，从而得到 ，故
，故 是 的一个周期，其中 ，根据周期性求出答案.
【详解】由于 ，则 ，
两式相加得 ，
故 ，
所以 ，
故 ，即 ，
其中 两边求导得， ，
故 ，
故 ，
将 替换为 得 ，
又 ，
故 ，
将 替换为 得 ，
则 ，
故 是 的一个周期，
其中 ，
故 ，故 .
故选：D
【点睛】结论点睛：
设函数 ， ， ， ．
（1）若 ，则函数 的周期为2a；
（2）若 ，则函数 的周期为2a；
（3）若 ，则函数 的周期为2a；
（4）若 ，则函数 的周期为2a；
（5）若 ，则函数 的周期为 ；
（6）若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
（7）若函数 的图象既关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（8）若函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（9）若函数 是偶函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为2a；
（10）若函数 是奇函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为4a．
10．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .
若函数 与 均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的周期为2 D．
【答案】C
【分析】选项A，偶函数的导函数是奇函数，可得到函数 是奇函数，过原点，可做出判断；
选项B，构造函数 ，判断其奇偶性，进而得到 的图象特征；选项C，两个对称
性得到周期性，因为 为偶函数，得 ，因为 为奇函数，可得：
，自变量代换后化简可得 ，即可做出判断；选项D，先求出
，并归纳出 ，由 ，归纳出
，再利用周期性，将 表示为 ，求值即可.
【详解】对于选项A，因为 为偶函数，
其导函数 为奇函数，
将 代入，得 ，得 ，选项A正确；
对于选项B，因为 为偶函数，
所以 为奇函数，且 ，
则 的图象关于点 对称，选项B正确；
对于选项C，因为 为偶函数，可得： ，
即 ，
因为 为奇函数，可得： ，
即 ，得 ，
所以 ，即 ，
则 ，
可知 的周期为4，选项C错误；
对于选项D，因为 为偶函数，可得： 关于 对称，
由 且 关于 对称，知 ，
又 的周期为4，可得 和 ，
合并后，可得： .
选项C中有等式 ，即 ，
则有 成立，
有：
选项D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题CD的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出
，结合其周期进行求和从而判断D选项.二、多选题
11．（23-24高三上·福建福州·阶段练习）已知函数 是 上的偶函数，对于任意的 ，都有
成立，当 且 时，都有 则下列命题中，正确的为
（ ）
A．
B．直线 是函数 的图象的一条对称轴
C．函数 在 上为增函数
D．函数 在 上有四个零点
【答案】ABD
【分析】由题意知可求出 ， 并结合函数为偶函数，即可对A、B项判断；利用
可求出函数单调性并结合函数的偶函数性质，即可对C项判断，由函数的周期性
结合函数的零点，可对D项判断.
【详解】对于A：对于任意 ，都有 成立，令 ，则
，又因为 是 上的偶函数，所以 .故A正确.
对于B：由（1）知 ，所以 的周期为 ，
又因为 是 上的偶函数，所以 ，
而 的周期为 ，所以 ，
所以 ，所以直线 是函数 的图象的一条对称轴.故B正确.
对于C：当 ，且 时，都有 ，
所以函数 在 上为增函数，
因为 是 上的偶函数，所以函数 在 上为减函数，
而 的周期为 ，所以函数 在 上为减函数，故C错误；
对于D： 的周期为 ，所以 ，
函数 在 上有四个零点.故D正确.
故选：ABD.12．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数 满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． 的定义域为R D． 的周期为4
【答案】ABD
【分析】赋值，令 ，即可判断A；令 ，可判断C；令 ，结合函数奇偶性定义可判
断B；令 ，推出 ，即可推出函数的周期，判断D.
【详解】令 ，则 ，即 ，A正确，
令 ，则 无意义，即 的定义域不为R，C错误；
由 可知 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，B正确；
，
故 ，即 的周期为4，D正确，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：本题考查了抽象函数的知识的综合应用，涉及到函数定义域、求函数值、以及奇偶性
和单调性问题，解答此类题目一般采用赋值法，以及结合函数的奇偶性以及单调性定义进行解答.
13．（2024·新疆喀什·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则
下列说法正确的是（ ）
A． B． 有最大值
C． D．函数 是奇函数
【答案】AD
【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解.
【详解】对于A中，令 ，可得 ，令 ，则 ，解得 ，所以A正确；
对于B中，令 ，且 ，则 ，
可得 ，
若 时， 时， ，此时函数 为单调递增函数；
若 时， 时， ，此时函数 为单调递减函数，
所以函数 不一定有最大值，所以B错误；
对于C中，令 ，可得 ，
即 ，
所以
，所以C错误；
对于D中，令 ，可得 ，可得 ，
即 ，所以函数 是奇函数，所以D正确；
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出 ，及证明函数 是
奇函数.
14．（2024·新疆·三模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意实数x，y满足
， 且 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． 为奇函数 D．
【答案】ABC
【分析】令 即可判断A；令 即可判断B；令 可得 ，结合奇函数的定
义即可判断C；由选项C，令 可得 ，求出 的周期即可求解.
【详解】 .
A：令 ，得 ，则 ，故A正确；
B：令 ，得 ，即 ，
又 且 ，所以 ，解得 ，故B正确；
C：令 ，得 ，即 ，得 ，所以 ，得 ，
所以 ，则 为奇函数，故C正确；
D：由选项C知 ，又 ，
得 ①，令 替换成 ，得 ②，
①②相加，得 ，则 ，
得 ，即 的周期为3，所以 ，
因为 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：对于含有 ，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以
及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有 双变量，
需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这
就需要观察题设条件以及选项来决定.
15．（2024·河南·一模）已知定义在 上的函数 ， ，其导函数分别为 ， ，
， ，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 中心对称 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先根据条件分析出 的周期性和对称性，再得到 的周期性，根据函数性质即可得结果.
【详解】由题意可得 ，两式相减可得 ①，
所以 的图象关于点 成中心对称，故A错误；
由 ②，②式两边对 求导可得 ，
可知 是偶函数，以 替换①中的 可得 ，
可得 ，所以 是周期为4的周期函数，故B正确；
因为 ，可知 也是周期为4的周期函数，
即 ，两边求导可得 ，所以 ，故C正确；
因为 ，令 ，则 ，即 ，
又因为 是偶函数，所以 ，又因为 是周期为4的周期函数，
则 ，由 可得 ，所以 ，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两
条直线（平行于 轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行
于 轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数 及其导函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
，且对任意 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.
【详解】由 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，故A错误；
令 ，则 ，①
所以 ，
因为 为奇函数，所以 为偶函数， ，
所以 ，②
由① ②并整理得 ，
即 ，
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，故 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故C正确；
由上知 ，
在①中，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键
在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数 ， 的性质.
17．（2024·河北秦皇岛·二模）已知函数 满足：对 ，都有
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对 赋值，代入计算并结合条件分析可判断AB，赋值 后可判断函数为偶函数，再令
得出 ，再由 可判断C，求出函数周期，利用周期判断D.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ， ，则 ，故A正确；
结合选项A可得 ，所以 或 .
若 ，则 ，所以 ，
此时与 矛盾，舍去；
若 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，故B错误；
令 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 为偶函数，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，即 ，故C正确；
由 为偶函数，所以 ，
则 ，则 ，
即 ，所以 是周期为4的周期函数，
又 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
18．（2024·安徽合肥·三模）已知函数 的定义域为 为 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由 是偶函数可得 是奇函数， ，进而结合已知证明 是周期函数，且周期
为 即可判断A选项；对已知条件分别令 和 得并联立方程即可判断B选项；根据
， 是周期函数求解即可判断C；根据
，结合 的周期性求解即可.
【详解】解：由 是偶函数，则 ，两边求导得 ，
所以 是奇函数，故 ．
对于A，由 ，得 ，
所以 ，
代入 ，得 ，
又因为 是奇函数，
所以 ， ，
即 ，
所以 是周期函数，且周期为 ，故A正确；
对选项B，令 得， ，
令 得， ，故 ，故B正确；
对于C：令 ，得 ，
因为 是周期函数，且周期为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故C错误；对于D：由 得 ，
，
由A选项知 ，令 得 ，故 ，
因为 是周期函数与奇函数，且周期为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以
所以
故D错误．
故选：AB
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.
