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专题 03 19 题新结构定义题（平面向量与解三角形部分）
(典型题型归类训练)
1．（2024上·福建宁德·高一统考期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链
线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: _____________.（只写出
即可，不要求证明）；
(2) ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，试比较 与 的大小关系，并证明你的结论.
2．（2023下·贵州贵阳·高一统考期末）阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提
出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为 ，中斜为 ，大斜为
，则三角形的面积为 .这个公式称之为秦九韶公式；材料二：古希腊数学家
海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即
已知三角形的三条边长分别为 ，则它的面积为 ，其中 ，
这个公式称之为海伦公式；材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的
问题.海伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美，秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与
海伦公式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高
的数学水平；材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一
边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即设凸四边形的四条边长分别为 ，
，凸四边形的一对对角和的半为 ，则凸四边形的面积为
.这个公式称之为婆罗摩笈多公式.请你结合阅读材料解答下面
的问题：(1)在下面两个问题中选择一个作答：（如果多做，按所做的第一个问题给分）①证明秦九韶公式与海伦公
式的等价性；②已知圆内接四边形 中， ， ， ， ，求 的面积；
(2) 中， 的对边分别为 ，已知 的面积为6，其内切圆半径为1， ，求 ，
.
3．（2023下·广东广州·高一统考期末）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边
长a，b，c计算三角形面积的公式： ，这个公式常称为海伦公式.其中，
.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角
形面积的公式： ，这个公式常称为“三斜求积”公式.
(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式 ；
(2)在 中， ， ，求 面积的最大值.
4．（2023下·江苏宿迁·高一统考期中）设n次多项式 ，若其
满足 ，则称这些多项式 为切比雪夫多项式．例如：由 可得切比雪夫多项
式 ，由 可得切比雪夫多项式 ．
(1)若切比雪夫多项式 ，求实数a，b，c，d的值；
(2)已知函数 在 上有3个不同的零点，分别记为 ，证明： ．5．（2022上·河北邢台·高三统考期中）阅读下面的两个材料：
材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称
为小斜､中斜和大斜，记小斜为 ，中斜为 ，大斜为 ，则三角形的面积为
．这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，
即已知三角形的三条边长分别为 ，则它的面积为 ，其中
，这个公式称之为海伦公式．
请你解答下面的两个问题：
(1)已知 的三条边为 ，求这个三角形的面积 ；
(2)已知 的三条边为 ，求这个三角形的面积 ；
(3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分）．
6．（2024上·河南·高三校联考期末）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
．若 ，则称 为空间向量 与
的叉乘，其中 （ ）， （ ）， 为单位正
交基底．以O为坐标原点、分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知
A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．
(1)①若 ， ，求 ；
②证明： ．
(2)记 的面积为 ，证明： ．
(3)证明： 的几何意义表示以 为底面、 为高的三棱锥体积的6倍．7．（2023下·北京·高一北京八十中校考期中）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整
点列（整点即横纵坐标都是整数的点） ， ， ， ， 与 ， ， ， ， ，其中
，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段 ，其中 ，则称
与 互为正交点列.
(1)求 ： ， ， 的正交点列 ；
(2)判断 ： ， ， ， 是否存在正交点列 ？并说明理由；
(3) ， ，是否都存在无正交点列的有序整点列 ？并证明你的结论.
8．（2023下·北京东城·高一统考期末）对于三维向量 ，定义“
变换”： ，其中， ．记 ，
．
(1)若 ，求 及 ；
(2)证明：对于任意 ，经过若干次 变换后，必存在 ，使 ；
(3)已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值．
