文档文本内容
实战演练 06 立体几何中的平行问题
①利用中位线证线面平行
②利用平行四边形证线面平行
③利用线段成比例证线面平行
④利用线面平行的性质定理证线面平行
⑤利用面面平行证线面平行
⑥四点共面问题
一、直线与平面平行
1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线 与平面 平行，记作 ∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这个平
线∥线 面内的一条直线平行，那么这条
直线和这个平面平行（简记为
线∥面
“线线平行 线面平行
如果两个平面平行，那么在一个
面∥面 平面内的所有直线都平行于另一
个平面
线∥面
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个
平面平行，经过这条
线∥面 线∥线 直线的平面和这个平
面相交，那么这条直
线就和交线平行
二、平面与平面平行1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面 和 ，若 ，则 ∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内有两条相
线∥面 交的直线都平行于另一个
平面，那么这两个平面平
面∥面
行（简记为“线面平行
面面平行
线 面 如果两个平面同垂直于一
条直线，那么这两个平面
面∥面 ∥
平行
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平面平行，那
面//面
么在一个平面中的所有
线//面
直线都平行于另外一个
平面
如果两个平行平面同时
和第三个平面相交，那
性质定理 么他们的交线平行（简
记为“面面平行 线面
平行”）
如果两个平面中有一个
面//面 垂直于一条直线，那么
线 面 另一个平面也垂直于这
条直线
①利用中位线证线面平行解题技法
（1）可以拿一把直尺放在 位置（与 平齐），如图一；
（2）然后把直尺平行往平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，如图
二；
（3）此时刚好经过点 （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点 ），此时直尺所在的位置
就是我们要找的平行线，直尺与 相交于点 ，连接 ，如图三；
（4）此时 长度有长有短，连接 并延长刚好交于一点 ，刚好构成 型模型（
为 中点，则 也为 中点，若 为等分点，则 也为 对应等分点）， ，如
图四．
P P P P
0
E E 0 E E
1
1
2
2
3A D A 3 D A D A D
4
F 4
F F
B C B C
B C B C
一、解答题
1．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的修正处中点．
求证：DE∥平面ACF．
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行的判定定理，只需在平面 找到一条直线与DE平行即可.
【详解】连接BD交AC于G，连接FG．
∵F、G分别为BE、BD的中点，
∴ ， 平面ACF，DE 面 ，
∴ 平面ACF2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在三棱柱 中， 为 的中点，设平面
与底面 的交线为 ．
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）连接 与 交于点O，连接 ，根据三角形中位线的性质可得 ,再根据线面平
行的判定定理即可证明；
【详解】（1）证明：如图，连接 与 交于点O，连接
在三棱柱 中，侧面 为平行四边形，
所以O为 的中点，
又因为点M为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .3．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形且 ， 是边长
为 的等边三角形， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 与 交于点 ．
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明过程见解析
【分析】（1）作出 ，再根据线面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）如图，设 与 交于点 ，连接 .
因为 分别为 的中点，底面 是菱形，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
②利用平行四边形证线面平行
解题技法
（1）可以拿一把直尺放在 位置，如图一；
（2）然后把直尺平行往平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点 （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点 ），此时直尺所在的位置
就是我们要找的平行线，直尺与 相交于点O，连接 ， 如图三；（4）此时 长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），
连接 ，刚好构成平行四边形 型模型（ 为 中点，O也为 中点， 为三角形
中位线）， ，如图四．
P P P P
E O 0 E O E O E
0 1
A 1 D A2 D A D A D
2 3
3 4
B F 4 C B F C B F C B F C
图一 图二 图三 图四
一、解答题
1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）如图，在直三棱柱 中， ，E为 的中点，
F为BC的中点．
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形即可；
【详解】（1）证明：取 的中点O，连接 , ，
∵ ， ，∴ 且 ，
∵ ， ，∴ ，且 ,
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是等边三角形，底面 是直角梯形， ， ， .
(1)若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，即可证明四边形 为平行四边形，从而得到 ，
即可得证；
【详解】（1）取 的中点 ，连接 、 ，因为 为棱 的中点，
所以 且 ，
又 且 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ，BF⊂平面 ，所以 平面 ；
3．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 为菱形， ，
， ⊥ ，且平面 ⊥平面 .
(1)在DE上确定一点M，使得 平面 ；
(2)若 ，且 ，求多面体 的体积.
【答案】(1)点M是ED的中点【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到四边形 平行四边形，所以 ，从而得
到线面平行；
【详解】（1）当M是ED的中点时，满足 平面 ，理由如下：
取AD中点G，过点G作 交DE于点M，则 ，
连接 ，
又由题，有 ， ，所以 ， ，
即四边形 平行四边形，所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
③利用线段成比例证线面平行
一、解答题
1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，
， 为 与 的交点， 为 上一点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据 ，从而得到线线平行，从而可证线面平行；
【详解】（1）由 及 ，可知 ，又 ，所以 ，
所以在 中有 ，又 平面 ，而 平面 ，
所以 平面 ；
2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图1，在平面四边形 中， ， ，
. 是线段 上靠近 端的三等分点， 是线段 的中点， .将
沿 折成四棱锥 ，连接 ， ， ，如图2.
(1)在图2中，证明： 平面 .
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由 得到 ，从而 ，结合 得到 ，所以
，由线面平行的判定得到 平面 ；
【详解】（1）证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，
， ，
又 ， ，
又 是线段 上靠近 端的三等分点， ，
， ，
平面 ， 平面 ，
平面 .
3．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥 ， ， ，
为侧棱 上的点，且 ，求：(1)若 为 的中点，求证： 平面BMD；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明；
【详解】（1）
如图，连接 交 于点 ，连接 ， ， ，则 为 的中点，
当 为 的中点时， ，
又 平面BMD， 平面BMD，所以 平面BMD；
④利用线面平行的性质定理证线面平行
解题技法
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交
线平行
一、解答题
1．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直， ， 分别为
， 的中点，点 在棱 上， ，直线 与平面 相交于点 .(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先证明 平面 ，再由线面平行的性质证明即可；
【详解】（1）因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
2．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，
且 分别为棱 的中点，平面 与平面 交于直线 .
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先证得线面平行，然后利用线面平行的性质定理即可证得线线平行；
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
分别为 的中点，
，
为 的中点，且 为矩形，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
.3．（2024·新疆·二模）在圆柱 中， 是圆 的一条直径， 是圆柱 的母线，其中点 与 ，
不重合， ， 是线段 的两个三等分点，BM=MN=ND， ， ．
(1)若平面COM和平面CAN的交线为 ，证明：l//平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）推导出OM∥AN，OM∥平面CAN，，由线面平行的性质定理可得l∥OM，由此能证
明 平面 ．
【详解】（1）证明：由已知，易得 是 的中点， 是 的中点，
∴OM∥AN，又∵AN⊂平面CAN，OM⊂平面CAN，∴OM∥平面CAN，
又∵OM⊂平面COM，平面COM∩平面CAN=l，
由线面平行的性质定理可得，l∥OM
又∵OM⊂平面 ，l⊂平面 ，∴l∥平面
⑤利用面面平行证线面平行
解题技法
已知平面 平面 ，则平面 里的任意直线均与平面 平行
一、解答题
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体 的底面 为正方形，四边形 是平行四
边形， ， ， 是 的中点.(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见详解
【分析】（1）设 ，连接 ，根据题意可得 ∥ ， ∥ ，可证平面 ∥平面
，再利用面面平行的性质分析证明；
【详解】（1）设 ，连接 ，
因为 为正方形，则 为 的中点，
又因为 是 的中点，则 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
由题意可知：四边形 是平行四边形， ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
且 ， 平面 ，可得平面 ∥平面 ，
由 平面 ，可得 ∥平面 .
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 分别为棱 的中点．
(1)证明： ∥平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据题意可证 ∥平面 ， ∥平面 ，可得平面 ∥平面 ，结合面
面平行的性质分析证明；
【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ．因为 都是所在棱的中点，则 ∥ ， ∥ ，
所以 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ．
因为 分别是 和 的中点，则 ∥ ， ，
可得 ∥ ， ，可知四边形 是平行四边形，则 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
且 ， 平面 ，
所以平面 ∥平面 ，
由 平面 可得 ∥平面 ．
3．（2024·福建福州·模拟预测）如图，以正方形 的边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形
成的面围成一个几何体 ．设 是 上的一点， ， 分别为线段 ， 的中点．
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证法一：在正方形 中，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ，通过证明
可得 ，进而利用线面平行的判定定理即可证明；
证法二：取 的中点 ，连接 ， ，通过证明四边形 是平行四边形可得 ，进而利
用线面平行的判定定理即可证明；
证法三：取 的中点 ，连接 ， ，利用面面平行的判定定理证明平面 平面 ，从而即可
得证 平面 .
【详解】（1）证法一：在正方形 中，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ．因为 ， 分别为线段 ， 中点，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
证法二：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以 ， ，
又因为 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
证法三：取 的中点 ，连接 ， ．
因为 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以 ， ，
又因为 平面 ，BP⊂平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又因为 平面 ，
所以 平面 ．4．（24-25高三上·广东·开学考试）如图1，直角梯形 中， ，
将直角梯形 绕 旋转一周得到如图2的圆台， 为圆台的母线，且 是 的中点．
(1)在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？说明理由；
【答案】(1)存在，理由见解析
【分析】（1）过 作 ，过 作一条平行 的直线交 于 点，此时 ，利用线面平
行的判定定理得 平面AEFD、 平面 ，再由面面平行的判定定理、性质定理可得答案；
【详解】（1）线段 上存在一点 ，使 平面 ．理由如下：
过 作 ，垂足为 为 中点，又 ，
所以 ，过 作一条平行 的直线交 于 点，此时 ．
易知 平面 平面 ，所以 平面AEFD．
同理 平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
故线段 上存在一点 ，使 平面 ，且 ；
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）在四棱锥 中， 平面
，点 在线段 上，且 .
(1)求证： 平面 ；【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）在线段 上取一点 ，使 ，连接 ，可证四边形 为平行四边形，即
可得 ，再利用线面平行的判定定理可证 平面 ，根据成比例线段证得 ，再利
用线面平行的判定定理可证 平面 ，再结合面面平行的判定和性质即可得证；
【详解】（1）证明：在线段 上取一点 ，使 ，连接 .
在四边形 中， ，所以 ，即 .
又 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 .
又 平面 平面 ，所以 平面 .
在三角形 中， ，所以 .
又 平面 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
又 平面 ，所以 平面 .
⑥四点共面问题
一、解答题
1．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱 中， ， ，点 分别在
棱 ， ， ， 上， ， ，CG=3．
(1)证明：点 在平面 中；
【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，证明出 ，得出 四点
共面，即可证明点 在平面 中；
【详解】（1）取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，则 ， ，
由正四棱柱 得， ，则 ，
又点H,Q为 中点，所以 ，即四边形 为平行四边形，
同理可得，四边形 为平行四边形，所以 且 ，则
，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，
所以 四点共面，即点 在平面 中．
2．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 的中点，
如图2．将 沿 向上折叠，使得平面 平面 ，将 沿 向上折叠．使得平面
平面 ，连接 .
(1)求证： ， ， ， 四点共面：
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用线面垂直的性质得到 ，结合中位线定理得到 ，最后证明四点共面即可.
【详解】（1）取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ，
取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ， ，由题意知 ， 都是等边三角形，
所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 的中点分别为 ， ，所以
所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
因为 ， 的中点分别为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面；
3．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， ， 是 的中点，
分别在 上，且 ．
(1)证明： 四点共面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，由三角形中位线定理得 ，再根据线段间的关系得
到 ， ，从而得到四边形 为平行四边形，即得 ，最后利用平行线的传递
性得到 ，即可证得结论；
【详解】（1）证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ，
因为 分别是 的中点，所以 ，又因为 ，所以 且 ，
又由 ， ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 ，所以 ，则 四点共面．
4．（2024·北京·三模）如图，在正方体 中， 分别是棱 的中
点.
(1)求证： 四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，利用平行关系可得 四点共面，
四点共面，再根据过不共线的的三点 的平面具有唯一性，即可证明；
【详解】（1）如图， 取 的中点 ，连接 ，
因为 分别是棱 的中点，
所以 ， ，所以 ， 四点共面，
又 ， ，所以 ， 四点共面，
又因为过不共线的的三点 的平面具有唯一性，
则平面 与平面 重合，故 四点共面.
5．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知四棱锥 的底面是菱形，对角线 交于点 ， ，
， 底面 ， 分别为侧棱 的中点，点 在 上且 ．(1)求证： 四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）易知 ，由线面垂直的性质可得 ，建立如图空间直角坐标系
，利用空间向量法证明 ，即可证明；
【详解】（1）因为平面 是菱形，所以 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
所以 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
，则 ，
由 ，得 ，
所以 ，
则 ，所以 共面，
又直线 的公共点为 ，所以 四点共面；
