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1.根据题干“三人共同借阅过的杂志最少”，即都满足的最少，判
定本题为多集合反向构造。多集合反向构造的解题方法是“反向-
求和-作差”，①反向：三个人没有借阅过的杂志分别是
本、
本、
本；②求和：要让共同借阅的杂志
最少，就让没有借阅过的杂志不重复，三者相加一共
本；③作差：所以三人共同借阅的杂志最少为
本。
故正确答案为A。
2.根据题意，各研究所人数情况如下图所示：
若要求每个小组中均包含4个研究所的人且来自任意2 个研究所
的人数都不相同，同时化验小组男性成员人数最少，则先考虑化
验小组总人数最少的情况，即化验小组为1+2+3+4=10 人。
满足要求的情况如下图所示：（注意化验小组的各个研究所人数
不能分别取1、2、3、4 人，会导致勘探小组人数为4、3、4、3
人，出现人数相同的情况，违背题意）
则化验小组来自A、B、C、D 四个研究所的男性成员人数最少分
别为0、1、0、1 人，所以化验小组最少有男性成员人数为
0+1+0+1=2 人。
故正确答案为B。
3.由于五个处室分别有职工5、8、18、21、22 人，问至少要抽
调多少人才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过15
人，也就是保证有两个处室的人数和为16 人，其中最不利的情
况是：5 人的处室中的人可以全部抽调，再从其余4 个处室中的
3 个分别抽调7 人，另一个抽调8 人，一共抽调
，
在此基础上多抽调1 人即可满足条件。所以答案为
。
故正确答案为B。
4.问至多有多少家，从最大的选项开始代入。分配方式为平均分
配可以使水果店最多。
代入D 项，如果每家先分7 箱，
箱，则所有水果店分得
水果都不超过8 箱，排除；
代入C 项，如果每家先分7 箱，
箱，剩余
箱，
都会有一家至少分得8 箱，当选。
故正确答案为C。
5.每次从箱子中摸出3 颗玻璃珠，若摸出3 个玻璃珠均为一种颜
色，则共有3 种情况；若摸出3 个玻璃珠有两种颜色，则共有
种情况；若摸出的3 个玻璃珠三种颜色都有，则有1 种
情况。故从中摸出3 个玻璃珠，颜色组合共计有
情况。
考虑最不利情况，在摸出的前10 种情况中，摸出的颜色组合均
不相同，则在第11 次无论摸出哪种颜色组合均可满足2 组玻璃
珠的颜色组合相同，故至少需要11 次。
正确答案为C。
6.方法一：赋值总票数为100，那么甲、乙、丙获得的票数分别
为88、70、46。未投甲的票数为
；未投乙的票数为
；未投丙的票数为
。无效投票为甲、乙、丙
三者同时被选。如果有效投票率最高，那么无效票数应最低。无
效票数最低
，此时有效票数最高为96，因此
有效率最高可能为
。
方法二：设投1 票的人数占比为，投2 票的人数占比为，投3
票的人数占比为，则：
······①，
······②；
联立①②可得：
，
，要想有效投票率最高，即无
效票数占比应尽可能小，也就是尽可能小，当
时，最小为
，
所以有效投票率最高
。
故正确答案为C。
7.
设男士有人，女士有人，倍数为。由条件“每位男士看到的白
色泳帽数量与红色泳帽数量一样多”，且每位男士看到的白色泳
帽数比男士人数少1，则有
；由条件“每位女士看到的白色
泳帽数量都是红色泳帽数量的倍数”，且每位女士看到的红色泳
帽都比女士人数少1，则有
。题目问最少，从最小的
开始代入，若
即女士只有一人，则此时女士看不到红色帽子，
不符合条件，排除A 项；当
时，
，
，满足题意。
故正确答案为B。
8.根据题意，设采购了猕猴桃、苹果分别、斤，根据获利40000
元为等量关系列方程，则有
，化简得：
，和40000 都是8 的倍数，则是8 的倍数；“最佳
投入资金”即尽可能投入较少资金，猕猴桃利润率为
，
苹果利润率为
。则利润率低的猕猴桃数量应该尽量少，
又因为题干说明每种水果采购都超过500 斤且为整数，则最少
为504，解得
，因此最佳投入资金为
元。
故正确答案为B。
9.任意两个数之积不能被4 整除，那么所取数中最多只能有一个
偶数，且该偶数不能为4 的倍数；30 个数中共有15 个奇数，所
以最多可以取
个数。
故正确答案为C。
10.根据问法“······会出现至少······”，可判定本题为最不利构造型最
值问题。从10 个号码中投选1-4 个号码为“一注”，共有4 种情
况，分别为投选1 个、2 个、3 个以及4 个，总情况数为
种；要求至少5 注相同，最不利的情况是每
种情况都投了4 注，此时再投1 注，必定有5 注相同，则总注数
注。
故正确答案为D。
11.由题意可知，九宫格数字总和=1+2+3+···+9=45，则虚线区
域以外3 个格子中的数字和为45-11-27=7。因3 个数字为1-9
中的3 个不同数字，故只有一种情况：1+2+4=7。因此灰色格
子中的数字最大为4。
故正确答案为D。
12.要让第二多的组人数最多，则其他组人数尽量少，设第二多
的组人数为，则第一多的组为
，第三多到最少的分别为
，解得
，取36。
故正确答案为E。
13.根据图形一笔画的基本规律，当图形中奇点个数为0 或2 时
可以一笔画，其他情况下需要的最少画笔数＝奇点个数÷2。观
察题干道路图，可以得出道路图中共有8 个奇点，则最小需要4
笔画完成。即保安从任意一个奇点出发，走完所有的道路需要重
复3 条边线。线路图总共23 条边线，重复3 条，共须走26 条
边线，每条边线100 米，故至少需走26×100＝2600 米。
故正确答案为A。
14.空间图形比较难想象，可以先考虑平面图形。在同一平面上，
最多可以同时有3 个正方形两两相接触。转换到空间中，把两个
平面相重合，通过调整正方体的边长，最多可以放置6 个正方体
使任意两个正方体都有一部分表面相接触，如下面俯视图所示。
故正确答案为C。
15.根据题意，假设院系A 分得的博士人数为x，要想x 尽可能小，
则其他院系分得的人数应尽可能多，最多为
。因共有81 名博
士，则
，解得
，则院系A 分得的博士人数至
少有8 名。
故正确答案为C。
16.要使最低分得分最低，则其他人得分应尽可能高。已知最高
分为21 分，且得分各不相同均为整数，那么其他人依次应为20、
19、18、n，则n=91-21-20-19-18=91-78=13 分。故正确答案
为C。
17.要使第三季度用电量最少，电费370 元为定值，需要让平均
用电价格尽量高，则应让一个月超过200 度的电尽可能多，其他
两个月用电量尽可能少，又已知用电最多的月份用电量不超过用
电最少月份的2 倍，极端考虑，可假设用电量少的其他两个月用
电量相等，均为（100+x）度，电量多的月份用电量为（200+2x）
度。则能够得出：
元
解得x=20 度，则总的用电度数=
度。
故正确答案为C。
18.题目要求低于60 分的人数最多，平均成绩80 分，
，就需要低于60 分的分数尽可能高，即从
59 分往下数。
问最多，从D 项代入，10 人成绩分别是59 分-50 分的整数分，
，
，而20 人总分最高即81-100 分的
，不满足百分制考
试，排除；
同理代入C 项，9 人成绩分别是59-51 分的整数分，
，
，而21 人总分最高即80-100 分的
，不满足百分制考
试，排除；
代入B 项，8 人成绩分别是59-52 的整数分，
，
，而22 人总分最高即79-100 的
，满足百分制考试，
当选。
故正确答案为B。
19.
将正方体展开，使得
与
在同一个平面，如上图所示，
从F 点引垂线交
于G 点，因
与AC 平行，则
，
则三角形
相似于三角形
，
，
，
，
因
，则
，则
，
。
故正确答案为B。
说明：本题存在争议，若沿
展开，直接连接
即为蚂蚁走
过的最短路径，为
，但是选项并没有这个答案，故出题人也
没有考虑到这种特殊的方式，因此保持本题结果不变。基于本题
的特殊位置造成了这样的结果，这个问题在最短路径问题中并不
是普遍现象，学员们只需要学会并掌握最短路径问题的一般套路
方法即可，不需要纠结
这个答案。
20.当紫薯产量大于400 公斤时，每增加n 公斤将导致枣的产量
下降0.2n 公斤。
假设紫薯的产量为
公斤，则此时枣的产量为
公
斤。
则总盈利为
，要让总盈利最大，
则n 取0，此时总盈利为46200 元。
故正确答案为B。
21.根据题意，原来的分机号最后一位的5 个数字相加为32，则
分机号颠倒后，所有十位上的数字和就是32。为了使得新分机
号码的5 个两位数字的和最大，则新分机号的个位数都取最大值
9。因此题目所求为
。
故正确答案为A。
22.由题意可知此题为两集合容斥问题。根据两集合容斥公式
，设两种都不会的人数为，则两种都会
的人数为，代入公式可得
，化简得总数
。
当
时，
，此时班里的人数最多。
故本题正确答案为C。
23.在满足两侧栽种要求的情况下，要使银杏树栽种的最多，应
把银杏树尽量栽在前面，其中一侧按照“银、银、银、梧······”循环，
周期为4，
，共有
棵银杏树。另一侧按照“银、
梧、梧、梧、梧······”循环，周期为5，
，共有7 棵银杏树。
因此两侧最多栽种了
棵银杏树。
故正确答案为B。
24.本题考查最值问题。方法一：要使周日商品的价格最高，在
调价机会次数固定的情况下，必然是提价次数要最多，降价次数
要最少。若要提价次数最多，在一周总销量固定的情况下，则要
求提价前一天的销售量尽量少，价格不变情况的销量也尽量少，
可赋值提价前一天的销量为101 件，价格不变前一天的销量为
51 件。且因为周日当天的销量不影响周日的价格，所以可以赋
值周日销量为0。设提价次数为，价格不变次数为，可得不等
式方程组：
，
，和均为整数，代入运算可
得两组结果：
，
；
，
。要让提价次数最多，则
选取第一组结果，则周日商品价格
元。
方法二：采用代入法，题目问价格最高，则从大到小代入选项。
周日的价格受前面6 天销量影响，如果周日价格为121 元，则前
面6 天有2 次提价，4 次不变，6 天总销量至少
件，不满足题意。若周日价格为110 元，
则前面6 天有1 次提价，5 次不变，6 天总销量至少
，满足题意。
故正确答案为C。
25.方法一：设A 地区有名志愿者，则B 地区有（
）名，C
地区有
名，D 地区有名，根据题意
，则
，该不定方程中必为偶数。
根据问题所求，在等式中若使取值尽可能小，则取值尽可能大，
且要满足
、
。在
中，最大的偶数为8，故当
时，
解得
，此时B 地区为
名，符合“D 地区人数不超过任
何其他地区”的要求。
方法二：根据题意可知，
名，
，
名，D 不超过任何其他地区人数（即人数最少）；故考虑代入排
除，问至少，从小到大依次代入：
代入A 项：
，故
，
，排除；
代入B 项：
，故
，
，排除；
代入C 项：
，故
，
，排除；
由于A、B、C 三项均不满足条件，因此正确答案只有D 项。
验证D 项：
，故
，
，符合题
意，当选。
故正确答案为D。
26.因为3 人共回答12 道题，所以回答问题最多的人至少回答
道题，而此人的得分最少，且为正分，故可构造为第
三名答错2 题，答对3 题，得分14 分。依此，若第二名构造为
回答2 题且全答对，得分20 分，第一名应构造为回答5 题且全
对，得分50 分，这时第一名和第三名都是回答问题最多的人，
均回答5 道。但是题中说回答问题最多的人得分最少，显然第一
名和第三名的得分不可能同时最少，排除。故第二名构造为回答
3 题且全对，第一名应回答4 题且全对，这时候分差为
分，并无对应选项，排除。
故第三名应构造为回答6 题。要让前两名的分差尽可能的大，则
应让第二名的分数尽可能的少，且还应高于第三名，故应让第三
名的得分尽可能的少。第三名得分相对较少的构造为答错3 题，
答对3 题，得分6 分；则第二名只需答对1 道题，得分10 分，
第一名回答5 道题且全部答对，得分50 分，前两名的分差为
分。
故正确答案为D。
27.若一排座位数为偶数，最多坐个考生；若一排座位数为奇数，
最多坐
个考生。因为各排都比前一排多一个座位，且第一排
是16 个，则每排最多坐的考生数依次为：8、9、9、10、10、······ 15、
15、16，
名。
故正确答案为B。
28.设张某在公司工作了年，由题干条件可得，年后（即2017
年）张某的
。
同理，设李某在单位工作了年，则年后（即2017 年）李某的
。
梳理可得：
；
。
结合选项，问的是最少，从小到大代入可得：
D 项：当
时，可得
。代入②式，解得不为整，排除；
C 项：当
时，可得
。代入②式，解得不为整，排除；
B 项：当
时，可得
。代入②式，解得不为整，排除；
A 项：当
时，可得
。代入②式，解得
，当选。
即张某在公司至少工作了6 年。
故正确答案为A。
29.由题意可知，A 大学招聘数量最少且为B 大学的一半，B 大
学数量最多，即
。因任意2 所大学招聘的应届生数量均不
相同，若让A 大学招聘数量尽量少，则其他学校数量要尽量多。
设A 学校招聘数量为名，则从B 大学最多招聘名，可将各学
校招聘数量列表如下：
可列式为
，解得
，问最少
需向上取整，则A 大学至少招聘47 名。
故正确答案为B。
30.要保证有两个乒乓球的标号差为6 的倍数，考虑最不利情况。
若拿出来的球是六个连续的标号，在此情况下不会产生标号差为
6 的倍数。故至少需拿出
个乒乓球，才能保证有两个的标
号差为6 的倍数。
故正确答案为B。
31.方法一：设排名第三的项目经费为万元，经费最多的两个项
目的平均经费为万元。则经费最多的两个项目经费之和为万
元，经费最少的两个项目经费之和为万元。根据经费总额为500
万元，有
。要值最小，则从最小的选项开始代入：
代入D 项，
，则
万元，经费最少的两个项
目必然有一个高于71 万元，不符合题意，排除；
代入C 项，
，则
万元，经费最少的两个项
目平均有71 万元，小于74 万元，符合题意，当选。
方法二：设经费最多的两个项目的平均经费为万元，推出经费
最多的两个项目经费之和为万元，经费最少的两个项目经费之
和为万元，则经费最多的两个项目和经费最少的两个项目经费
之和为万元，一定是3 的倍数，因此500 减去选项是3 的倍数。
A 项：
，不是3 的倍数，排除；B 项：
，
不是3 的倍数，排除；C 项：
，是3 的倍数，保留；D
项：
，是3 的倍数，保留。
剩余C、D 两项，题目问最低，从最小的开始代入，代入D 项，
排名第三的项目经费为71 万元，那么其他四个之和为
万元，429 是3 的倍数，说明经费最少的两个项目经费之和为
万元，其中一项明显会大于71 万元，不符合71 万元排
名第三，排除。
故正确答案为C。
32.要保证拿出的专利一定有2110 项是同一公司申请的专利，
考虑最不利情况，拿出了中国华为公司申请的1831 项、日本松
下公司的2109 项、中国中兴公司的2109 项，在此极端情况下
依然不满足条件。此时，华为公司已全部拿出，从剩下的两个公
司任意拿出一项，均满足条件“保证拿出的专利一定有2110 项是
同一公司申请的专利”，故至少需要拿出1831＋2109＋2109＋1，
相加尾数为0，只有B 项正确。
故正确答案为B。
33.若想开始时的水量占比尽可能大，则最开始时的水量应尽可
能多，由于最后剩余水量的占比一定，则每天排出的水要尽可能
多。
根据题意，每周二、四、六排水后剩余水量为前一天的
；
其余日期（周日、周一、周三、周五）每天剩余水量为前一天的
。若要每日排出的水尽量多，则其余日期应尽量多。假
设从周日开始计算，连续六天后，剩余水量为开始水量的：
。则最开始水池中的数量相当于总容量的
。
故正确答案为C。
34.设三个小组都没有报名为人，报名了两个小组为人，根据
三集合非标准型公式：
，
可得：
，解得
。
要让最多，则让最多，即除了三个小组都报名的会员外，其余
会员均报名两个小组，则的最大值
，
则的最大值为27 人，此时最大，
人。
故正确答案为A。
35.要行进距离最短，即每经过一个点，尽量让过这个点的三条
棱不与之前的重复，由于是正方体（如图所示）从A 点走到下一
步任意一点，设为B 点最少要有1 条棱重复（即AB），则要经
过正方体12 条棱，至少要从起点A（3 条棱），此后每走一步
可再经过2 条棱，共走5 步（3+2+2+2+2+1=12），才能走完。
故正确答案为C。
36.题目涉及平均分混合问题，可以考虑通过线段法求解。结合
题意画出如下线段：
总人数30 人，问不及格学生人数最多，则及格人数应最少。根
据线段法“距离与量成反比”，量（人数）及格尽可能少、不及格
尽可能多，因此距离（平均分与85 的差距）及格平均分与85
的差应尽量大，不及格平均分与85 的差应尽量小，故取与85
最远的值且不超过满分可以取值100，取与85 最近且不及格的
值可以取值59。由此可计算及格和不及格的平均分（距离）的
比
，则计算及格和不
及格的人数（量）的比为
。总人数为30 人，不及格人数为
，所求得10.98 为不及格的学生人数最多的情况，
因此人数需向下取整为10 人。
故正确答案为B。
37.
，要使第三季度的用电量尽可能少，而总
电费370 元为定值，则需让平均电价尽可能高，故应让其中一个
月超过200 度的电尽可能多，其他两个月用电量尽可能少。又已
知用电最多的月份用电量不超过用电最少月份的2 倍，极端考
虑，可假设用电量少的其他两个月用电量相等，均为
度，
电量多的月份用电量为
度。则可列式：
，解得
，则总的用电度数
。
故正确答案为F。
38.根据阅读艺术类书籍人数是阅读科学类书籍人数的，可得艺
术类：科学类
；根据阅读科学类书籍人数是阅读人文类书
籍人数的，可得科学类：人文类
，根据倍数特性，阅读科
学类人数同时满足3 和4 的倍数，即科学类人数是12 的倍数，
那么艺术类：科学类：人文类
，因求“该单位至少有多少
人”，则先赋值阅读艺术类、科学类、人文类书籍的人数分别是8
人次、12 人次、15 人次。设阅读2 种书籍的人数为人，则阅
读1 种书籍的人数为人，根据三集合容斥原理公式：
，代入得：
，解得
，满足为整数，则总人数至少为
人，对应B 项。
故正确答案为B。
39.要想支付的钱最少，则尽可能得到代金券并使用代金券，总
价为299+199+119+69<2×368，则最多获得1 张代金券，且只
能用于下次购买199 元商品时才能使用，故至少支付
686-100=586 元。
故正确答案为C。
40.根据题意，从最后一页的广告开始往前查看的话，广告页和
非广告页的页数分布如下图：
则这本杂志除最后一页外，共有广告
页，即
页；共有非广告页
页，即
页，则这
本杂志共有
页。因杂
志页数为整数，且
，因此
，的最大值为13，
此时这本杂志的广告页
页。
故正确答案为C。
拓展：等差数列的求和公式为
。
