每日一题第2875题(2026年全国高中数学联赛甘肃预赛解答15)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联甘肃预赛的解答题的第15题，难度中等。

第一问很简单，给出了x的范围，然后把要证的不等式f(2x)<tanx直接移项求导，就可以得到导函数≤0，那么原函数的单调性就有了，再结合端点值就可以证明了。

第二问给出了不等式f(x)≤x^2在(0,+∞)恒成立，求a的范围，因为很容易确定x-sinx的正负，所以优先考虑分离参数，去求x^2/(x-sinx)的最值，注意这个函数形式，分子是x^2，分母是x-sinx，显然当x比较大的时候，分子的增长是快于分母的增长的，所以多半应该是在前面x比较小的时候取到最小值。令其等于h(x)，然后直接求导，把导函数能确定正负的都丢开，只剩m(x)=x-2sinx+xcosx，正负情况和单调性都不清楚，就拿出来再求一次导，同时还要注意特殊点处的函数值，取0和取π的时候都是0，那么这个π就很可能作为一个分界点来讨论。然后经过两次求导，就可以得到m"(x)在0到π上的正负了，然后逐步往前推即可。大于π的时候单独讨论一下，这时候没有参数了，也比较简单。