每日一题第2883题(2026年全国高中数学联赛湖南预赛填空7)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联湖南预赛的填空题的第7题，难度中等。

这个题就是一个解答题改成的填空题，虽然是套路题，不过还是应该按照解答题来练。题干中给出了一个点P(2,1)和椭圆方程，显然P点在椭圆上，同时又过点P作了两条斜率互为相反数的直线PA和PB，那么AB的斜率就是固定的了，这个在前几年的高考中是出现过的，至少是一个需要了解的二级结论。

在有了AB斜率为定值的前提下，直线AB就可以重新表示了，表示为y=x+t，同时弦长AB也可以根据斜率和A,B两点坐标表示出来，不需要再联立。然后要求QAB这个三角形的面积最大，其中Q点是椭圆上位于直线AB下方的动点，那么最大值显然是Q点处的切线平行于AB的时候，所以这里又再一次联立椭圆，计算判别式等于0，这样切线就知道了，两条平行线间的距离就是三角形的高，这样面积就可以表示了，然后根据表示出来的式子求导找最值即可。