*小学数学重点培养的3种能力

如果有一天，我们把小学六年的数学课本全部收走，只允许孩子带三样东西进初中，让他带什么？

不是九九乘法表，不是分数乘除法公式，也不是面积、体积、百分数那一堆应用题模型。

不是这些东西不重要，而是这些东西一旦忘了，还能重新学。

真正麻烦的是，一个孩子做了六年数学题，却始终没有形成处理数学世界的基本方式。

说白了，就一句话：小学数学真正该留下的，不是一堆知识点，而是三种底层能力。我越来越愿意把它们叫作小学数学的三大母能力。

第一种是 单位 意识，第二种是 关系 意识，第三种是 变换 意识。

它们不是三件孤立的事，而是一条链子：先确定“1”，再看清关系，然后允许该变的东西变、该不变的东西不变。

为什么小学数学越学越多，真正的能力反而可能越来越少？

你翻开教材会发现，整数、小数、分数、百分数，四则运算、方程、比和比例，长度、面积、体积，统计、几何、应用题，一个接一个。到了六年级，孩子已经接触了相当多的概念和算法。可知识增加，并不自动等于能力增加。

有些孩子一年级会加减，三年级会乘除，五年级会分数小数，六年级会百分数，但这些知识在他脑子里像一个个独立抽屉。

遇到熟题，他知道开哪个抽屉。

题目稍微换个样子，他就不知道找哪个了。

你让他算四分之三乘三分之二，他会算。可你问他这个算式到底在说什么，他未必说得清。

你让他算一百二十乘百分之二十五，他会算。可你问他为什么百分数能和一个具体数量相乘，他可能也愣住。

你让他做八加七等于几加九，他也能填。可他心里可能把等号理解成“现在开始写答案”。

这些表面上是不同章节的问题，底下往往是一个原因：

孩子学到了越来越多的结果，却没有建立越来越少、越来越强的底层结构。

好的学习应该反过来。

知识越多，底层结构应该越少。

五年级的分数，应该帮孩子重新理解三年级的除法。

六年级的比，应该反过来解释五年级的分数。

百分数、小数、分数、倍数，最后应该慢慢并成同一个关系系统。

真正成熟的数学学习，不是世界越来越复杂，而是孩子不断发现，原来这些不同的东西，底下竟然是同一件事。

单位意识。

任何数学开始之前，先回答“什么是1”。

很多人把“1”想得太简单。

1就是一个苹果，1就是一支铅笔，1就是数轴上的那个点。

可数学一旦进入分数、小数、百分数、比例，“1”就远比想象中复杂。

因为数学里的1，本质上不是一个固定对象，而是我们这一次选择用什么作为计量和思考的标准。

你想想家里买牛奶。一箱十二盒。这个时候，1可以是一盒，也可以是一箱。你说“还剩半箱”，和说“还剩六盒”，说的是同一件事，但你选的1不一样。

你去菜市场买散装糖果，老板说一斤二十八块，你抓了一小袋，称出来零点三五斤。你不会觉得数字变小了，糖果就变少了，因为单位变了。量没有变，单位变了，数就变了。

三米等于三十分米。为什么数字从三变成三十？长度没有变，变化的是单位。

原来以米为1，现在以分米为1。单位缩小到原来的十分之一，同样的长度自然就需要十倍数量的单位来描述。

如果孩子只记住“米变分米乘十”，他掌握的是算法。

如果他理解“单位越小，同一个量里包含的单位个数越多”，他掌握的才是数学。

分数为什么成为很多孩子小学数学的第一个真正分水岭？因为整数阶段，1往往比较稳定。五个苹果，就是以一个苹果为单位数五次。二十米，就是以一米为单位数二十次。孩子即使没有真正形成单位意识，也能靠数数经验往前走。分数改变了这一切。

比如四分之三。它绝不是简单的三除以四。它首先要求孩子知道，有一个整体被暂时看作1。然后把这个1平均切成四份。最后取其中三份。分数不是先有一个数字，再给数字加一条横线。它的发生顺序是，确定整体，确定1，细分1，建立新单位，数新单位。孩子没有单位意识，分数当然会显得抽象。

到了分数乘法，单位还会继续变。六乘三分之二，很多教材会告诉孩子，这是求六的三分之二是多少。可为什么乘三分之二会得到四？真正过程是，先把六这个量平均切成三份，每一份是二。这个二，此时成了一个新的小单位。然后再取两个这样的单位，二加二等于四。所以所谓“乘一个小于1的分数会变小”，只是结果。发生过程是，先把原单位切成更小的单位，再重新数这些小单位。孩子理解到这里，整数乘法、分数乘法、小数乘法就不再是三套割裂的算法，而开始统一起来。

百分数也一样。今年产量比去年增加百分之二十。关键不是背“今年等于去年乘一加百分之二十”，而是先确定去年产量是1。于是今年就是一点二个去年。如果去年五百吨，今年就是五百乘一点二，等于六百吨。百分数难，经常不是百分号难，而是孩子不知道谁被当作了1。手机电量从百分之百掉到百分之二十，那个百分之二十背后，有一个满电的1。商品先涨价百分之二十，再降价百分之二十，也不是回到原价。原价一百，涨到一百二，再降百分之二十，是降一百二的百分之二十，变成九十六。因为第二次的1，已经不是原来那个1了。

所以以后遇到分数、百分数、比、倍数，我特别建议长期训练三个问题。谁是1？现在一个单位有多大？这个1有没有发生变化？孩子一旦形成这种习惯，小学数学很多章节就会自动开始连接。

关系意识

数学真正研究的，从来不是孤立的数。

单位意识回答的是，我用什么来数。

关系意识回答的是，这些量之间究竟发生了什么。

很多孩子学应用题最大的习惯是，一看到数字就想计算。

看到“多”就加，看到“少”就减，看到“倍”就乘，看到“平均”就除。

这其实是在用语言关键词代替关系判断。

真正的数学不会先问用什么运算，而会先问，这里有哪些量，这些量之间是什么关系。

比如小明有十二本书，小红比小明多五本。这里不是先看到“多”就加。真正的结构是，小红等于小明加五。所以小红等于十二加五，十七。再换一个问题，小红有十七本书，比小明多五本，小明有多少本？关系并没有变，还是小红等于小明加五，只是已知量和未知量换了位置。所以小明等于十七减五，十二。

这就是关系意识和算法意识最大的区别。

算法意识关注这题到底加还是减。

关系意识关注不管让我求谁，背后的关系有没有变。

传统应用题教学很容易不断增加题型。和差问题、倍数问题、归一问题、工程问题、行程问题、浓度问题、百分数问题，题型越分越细，孩子就越来越依赖识别。

看到相遇找相遇公式，看到多百分之几找百分数公式，看到甲是乙的几分之几再换一套算法。

短期很有效，因为考试里很多题确实有稳定外形。

但代价也很明显。孩子会把数学理解成，识别题型，调取公式，代入数字。

题目一换外衣，或者把两个熟悉结构组合在一起，他马上觉得，这题我没见过。

更有力量的方式应该反过来。

不管题型叫什么，先把文字放一放，只问，有哪些量，谁在变化，谁不变，哪两个量之间存在对应关系，这个关系能不能画出来。

比如水池已经注入全部水量的五分之二，又注入十八吨后，正好达到全部水量的十分之七。很多孩子被五分之二、十八吨、十分之七弄乱。但如果关系意识建立起来，他先看到的是，原来有五分之二，后来变成十分之七，所以新增的十八吨对应的是十分之七减五分之二，等于十分之三。于是十分之三等于十八吨，整体1就是六十吨。这道题的核心不是分数减法，而是识别出十八吨到底对应整体的哪一部分。

关系意识真正成熟的标志，是孩子能在多种表示之间来回转换。

一个孩子说“我懂了”，不一定真懂了。

判断他是否理解一个关系，有个很有效的办法，让他换一种方式表达。

女生人数是男生人数的五分之三。如果孩子只会复述这句话，理解还很脆弱。如果他真理解了，可以转换成女生比男生等于三比五。也可以说女生是男生的零点六倍。还可以说女生相当于男生的百分之六十。甚至可以画成五格和 three 格。四种表达表面完全不同，但真正的数学对象只有一个，女生和男生之间的数量关系。

文字是外衣，图是外衣，算式也是外衣，

真正稳定的是它们背后共同表达的关系。这也是代数能力真正发生的地方。

变换意识

数学高手不是只会算，而是会把不会的问题变成会的问题。

单位意识和关系意识解决了两个问题，用什么来数，量之间是什么关系。

但遇到难题以后，还差第三种能力。

如果问题现在不好解决，我能不能改变它的形式？

这就是变换意识。

九十九加三十八，可以变成一百加三十七。为什么可以？因为总和没有变。二十五乘十六，可以变成二十五乘四乘四，等于一百乘四，四百。这里改变了计算形式，但结果没有变。四分之三等于八分之六，分子分母都变了，可分数表示的量没有变。一个长方形面积是二十四平方厘米，可以是六乘四，也可以是八乘三，还可以是十二乘二。面积保持不变，长与宽不断变化。

数学里一个极其重要的思想就出来了，允许某些东西改变，同时保持某些东西不变。

没有变换意识的孩子，只能对着题目原来的样子硬算。

有变换意识的孩子，会不断追问，能不能换一个单位，能不能换一种表示，能不能把数字拆开，能不能把复杂情况变简单，能不能先假设一种特殊情况，能不能反过来想。

导航堵车了，你会换一条路，目的地没变。做菜时盐放多了，你会加点水或者加点糖，味道的目标没变。

数学变换也是这个意思，形式可以变，关系不能乱。

鸡兔同笼为什么值得学？不是因为以后真要数鸡和兔。鸡兔同笼，共三十五个头，九十四只脚，鸡和兔各多少。很多教学最后变成固定题型，甚至让孩子背公式，这就把一个非常有价值的问题学窄了。

它真正值得学的，是如何主动把一个复杂问题变成容易研究的问题。

假设所有动物都是鸡，三十五只鸡应该有七十只脚。实际有九十四只，多出二十四只。每把一只鸡变成一只兔，就增加两只脚。所以兔子有二十四除以二，十二只。鸡有三十五减十二，二十三只。这个过程里最重要的数学动作，不是乘法，不是除法，甚至不是鸡兔，而是把原问题变成一个假设问题，再利用差异把真实情况恢复出来。

孩子学到这里，真正该带走的不是鸡兔同笼解法，而是当一个问题不好直接解决时，我可以先创造一个更简单的世界。

以后代数设未知数，几何添辅助线，函数变量代换，本质都是变换。

这三种母能力不是三件独立的事，而是一条完整的数学发生链。比如某班男生二十人，女生人数是男生的四分之三，全班多少人。先看单位，谁是1？把男生人数看作1，二十人对应1。再看关系，女生和男生是什么关系？女生等于男生的四分之三。最后变换，把二十先平均分成四份，每份五人，再取三份，五人乘三等于十五人。于是二十加十五等于三十五人。成熟一点的数学思考，经常就是确定单位，建立关系，进行变换，得到新关系。然后新关系又成为下一轮思考的起点。

那小学六年到底该怎么训练这三种能力？如果接受这个框架，家庭辅导和课堂教学都可以变。

不必把主要精力都放在今天再多做二十道题，而应该拿出一部分时间，训练孩子每道题背后的思考动作。

对于单位意识，最值得反复问的是，这里的1是什么，一个单位有多大，如果换一个单位数字会怎样变化，分数的分母究竟在切什么，百分数中的百分之百对应谁。看到五分之三乘十，不要马上算。先问，五分之三里面的1是谁，这个五分之三表示哪一个整体的五分之三，如果把十作为一个整体，五分之三又意味着什么。

对于关系意识，最值得训练的是，不计算，先把关系说出来。甲比乙多百分之二十。先不要代数字。让孩子说，如果乙是1，甲就是一点二，或者甲等于乙乘一点二。再反过来问，乙比甲少百分之几。这时孩子必须重新判断单位。这种训练，比连续刷十道百分数应用题更能形成结构。

对于变换意识，最值得训练的是，一道题至少换一种做法。可以换数字，可以换图，可以换单位，可以从顺着想变成倒着想，可以先假设一个极端情况，也可以把复杂数字改成简单数字先看规律。久而久之，孩子会形成一种极其宝贵的习惯，卡住不是停止，而是换表示。

◆真正高质量的错题整理，也应该围绕这三种母能力展开。◆

传统错题本往往只做一件事，把错题抄下来，再做一次。

但很多孩子错的根本不是计算。

真正值得追问的是，我到底错在了哪一种母能力。

单位错了，比如甲比乙多百分之二十五，乙比甲少百分之二十五，孩子认为两个百分之二十五相同。问题不在百分数运算，而在于没有发现两次比较的单位不同。

关系错了，比如男生是女生的四分之三，孩子却列成女生乘四分之三等于男生，有时这当然对，但题目反过来求女生，他就不知道怎么办，因为他记的是一个方向的算法，而不是稳定的关系。

不会变换，就是关系其实看懂了，但只会沿原来的形式硬算，数字一复杂就失去方向。

如果错题本开始标注，这一次是单位问题，关系问题，还是变换问题，孩子对错误的理解会发生根本变化。他不再只是说这道题粗心了，而会慢慢意识到，我缺的是哪一种数学动作。

为什么这三种能力能一直延伸到初中、高中？

因为小学数学真正珍贵的知识，不应该只在小学有效。

到了初中学习负数，仍然要决定参照标准。

学习字母和方程，核心变成用符号表达量之间的关系。

学习函数，研究的更是一个量变化时，另一个量怎样随之变化。

学习几何证明，需要不断进行图形、条件和表达方式的变换。

到了高中，函数的自变量单位改变，图像和参数都会变。

解析几何把图形关系变换成代数关系。

三角函数不断在角、比值、坐标与周期变化之间切换。

微积分看似离小学很远，可它仍然在处理单位、关系和变化。

所以小学六年真正应该完成的，不是让孩子提前学多少初中知识，而是给他建立一个以后可以持续升级的操作系统。

这个操作系统里最核心的三个按钮，

单位、关系、变换。

如果小学数学只能留下三个问题，我会留下这三个。

这里的1是什么？

谁和谁是什么关系？

如果现在不好做，我可以把它变成什么？

第一个问题训练单位意识，第二个问题训练关系意识，第三个问题训练变换意识。

比如十二乘四分之三。这里的1是什么？可以把十二这个量看成当前整体。四分之三与十二是什么关系？要取十二的四分之三。怎样变换？把十二切成四个三，再取三个三。所以十二乘四分之三等于九。再比如一个长方形周长二十厘米，长和宽可能是多少。单位意识告诉孩子，我们研究的是厘米。关系意识告诉孩子，长加宽等于十。变换意识让孩子不断尝试，一和九，二和八，三和七，四和六，五和五。然后追问面积分别是多少。孩子会突然发现，周长保持不变，长和宽不断变化，面积也在变化。

这时，一道小学长方形题已经悄悄接近函数和优化思想。

而这一切，并不需要提前讲函数，

只需要让孩子不断经历确定单位、发现关系、主动变换。

六年以后，孩子一定会忘记一些东西。

他可能忘记某个特殊题型，可能忘记圆柱表面积公式里的一个细节，可能一时记不起某种简便运算技巧。

这并不可怕。

真正可怕的是，六年数学学完以后，孩子仍然认为数学就是老师先讲一种做法，我记住，然后遇到类似题再套进去。

因为这样学到的数学，一旦离开熟悉情境，就很容易失效。

真正值得小学六年留下来的，是另一种状态。孩子看到一个数，会想到，它是相对于哪个单位而言的。

看到几个量，会想到，它们之间到底是什么关系。

遇到一个不会的问题，会想到，我能不能换一个单位，换一种表示，换一个角度，把它变成我会的问题。

当这三种思考开始成为习惯，孩子面对的就不再是一道道孤立的数学题，而是开始拥有一种重新组织数学世界的能力。

所以，如果一定要把小学数学压缩到最后，我认为真正值得带走的不是几百个知识点，而是三个动作。

先确定1。再看清关系。然后允许一切可以改变的东西发生改变。

单位意识，让孩子知道自己站在哪里。

关系意识，让孩子知道不同的量怎样彼此连接。

变换意识，让孩子知道当原来的路走不通时，可以重新创造一条路。

这三者合起来，才是小学数学真正应该交给孩子的底层能力。

因为数学学习的终点，从来不是我记住了多少，而是面对一个从未见过的问题，我仍然知道自己可以从哪里开始。