每日一题第2903题(2026年全国高中数学联赛云南预赛解答11)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联云南预赛的解答题的第11题，难度中等。

题干中给出了抛物线上动弦PQ的垂直平分线过(0,3)这个定点，当然，既然是垂直平分线，所以肯定还要过动弦PQ的中点(x_0,y_0)，这个中点就是直线l和PQ的交点。而刚好要求的就是这个点的轨迹方程，所以根据中点和定点，就已经可以把垂直平分线l的斜率表示出来了。

而垂直平分线本来又应该是凭借直线PQ的斜率来得到的，所以根据PQ两点坐标得到PQ的斜率，进而又可以得到垂直平分线l的斜率，那么中点坐标的关系也就有了，轨迹方程也就有了，求出来是一个平移之后的反比例函数。

那么显然不可能是完整的反比例函数，所以再去找一下范围限制，也就是M点是弦中点，那么就一定会在抛物线内部，结合x0,y0的关系，就可以把范围找到了。