弦图藏妙,数形相济——从赵爽弦图看小学数学习题设计(261027)

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       数学家华罗庚曾言：“数缺形，少直观；形缺数，难入微。”本题的设计正是这一思想的课堂化表达。基于素养导向与学生的真实学习路径，笔者确立“命题”与“变式”两级设计：

      主命题（赋值）——以数刻画。通过赋予图形具体数值，体现“形依数入微”，即以“数”对“形”作精细化刻画，考查学生以数构形、由数想形的建构能力。

       变式（证明）——以形证数。引导学生重走赵爽证明之路，探寻图形各边之间的数量关系，发展数学抽象与逻辑推理素养。鉴于其思维要求较高，需教师课堂导学，故置于变式之中。

      命题的落脚点取决于学情。为合理赋值，笔者系统梳理了小学阶段学生数学知识的发展序列及“数形结合”的相关活动经验，发现本题所涉三角形面积问题，可依托小学生从具象的长方形方块图，到半抽象的长、正方形面积，再到三角形面积的认知进阶加以考查，并能有效反映学生分析几何图形等量关系的能力。

      各年级学生数形结合的学习经验分布如下：

       基于上述学情分析与素养定位，笔者命制如下主命题：

    【命题】我国古人曾用多种方法证明勾股定理，其中“赵爽弦图”尤为巧妙：他将正方形分割为4个全等的直角三角形和中间一个小正方形。已知大正方形面积为169，每个小三角形两条直角边的乘积为60，则小正方形的边长（　）。

      考查意图： 本题旨在考查学生数与形的建构力、灵活性及几何发展水平（参照范希尔几何思维水平），其难度定位于范希尔几何思维水平的第三层次——“演绎”。

     结合学情分析，本题可提供如下两种解题策略：

      两种策略所依据的等量关系均为：小正方形面积＋4个直角三角形面积＝大正方形面积。前者由“线”构“面”，激活长方形或三角形面积公式；后者通过图形的旋转、拼组还原为长方形，均实现了由形到数的对接。

      学生实测反馈： 从五、六年级的实测结果看，各班能够独立完成的均不足5人。个别访谈中，一名数学理解水平较高的学生表示，其看到“乘积为60”后，即刻联想到以两条直角边构成长方形，借助“长×宽”的直观经验迁移至三角形面积。另有学生则在思路受阻时，将静止的图形“动态化”，通过拼组还原为长方形，恰好契合长方形面积公式，从而完成形与数的对接。两种思路均能有效反映学生数形结合的灵活程度。

【变式】 

      设计意图： 其一，体会以形证数，感受数学家“为证数而构形”的思维智慧；其二，着眼中小衔接，让学生亲历证明过程，训练说理的逻辑性；其三，激活先前经验，促使学习经验实现“联结”，提升数形结合的主动建构意识。

      变式的价值，不在于使学生习得勾股定理及其证明方法，而在于借由赵爽弦图，引导学生体会数学家为证明边的关系而主动建构几何图形的过程。在证明过程中，学生得以体会以数代形、以数的关系式表征形、以纯字母代数式表达形的等量关系，进而训练说理的逻辑性，发展逻辑推理素养。

        以下是课堂呈现建议和学生的证明过程：

       其一，明确题意，分层呈现提示；其二，明确用字母表示等量关系的方法，引导学生代入提示；其三，引导整理等式，使勾股定理得以证明；其四，组织交流，梳理推导过程，明确赵爽弦图的本质是“主动构形以证数”；其五，引导学生证明分配律并比较两种证明的异同，体会代数式可由构造图形而得证，深化对数形结合的理解。

      来自五、六年级的课堂反馈：多数学生参与热情高涨，能用字母表达“小正方形面积＋三角形面积＝大正方形面积”的大小关系。五年级超过半数学生能运用给定字母表示等量关系，六年级比例略高。但多数学生代入完全平方公式后，难以正确整理结果，反映出日常此类训练的不足；也正因如此，学生对最终简洁的代数结果表现出极大的惊奇。

       在引导学生认识到“数学家为证数而构图，并以数代形的推理完成构数证形”之后，笔者请学生回顾小学阶段还有哪些以数构形的经验。多数学生则在教师提示下回顾出分配律的面积模型并阐述数与形的联系。随后，请学生寻找变式与分配律面积模型验证法之间的相通之处——学生能指出：两者皆为构形证数，皆含面积间的等量关系，皆运用推理、证明与思辨；思辨能力较强的学生更能概括出“证明定理需要一个图形和一个代数式来表征一个公式”，这已为其后续中学学习奠定基础。

思考：

1、 关注主动建构。今后习题设计应关注学生数形结合的主动建构能力，引导图形“动”起来，促使学习经验实现“联结”。

2、 注重说理与逻辑。 应重视数形结合过程中的说理与逻辑训练，追求理与形的统一，提升数形结合的思维灵活性与建构力。

3、 做好中小衔接。通过练习与变式设计，帮助学生实现由小学形象思维、半抽象思维向中学抽象思维的过渡，将小学阶段的数形结合经验加以归纳与深化，提升其理解水平。

4 、追求选材的“复合价值”。宜审慎选材，追求多种教育价值叠加与多重目的复合，以深化学生的学习经验，兼得数形的生动与理的深刻。

5、教师可从数学史及中外数学文化中选材并适当改编，使题目贴近学生实际，落于学生“知识能解决、思维可发展”的范畴；应遴选具有可深挖性的优质“种子图”作为拓展课起始的呈现图，通过变式引导学生经历辨析、比较、猜想、推理、验证等有意义的思维活动，进而总结提炼，提升几何审美，增强对数形结合的理解。

乐一乐

数形谁更强