高一物理|匀变速直线运动与自由落体运动:知识讲义+8 道例题精讲

匀变速直线运动是高一力学的地基：三大基本公式、四个推论、比例式，加上特例自由落体运动。本文把考点一次梳理清楚，末尾附 8 道典型例题精讲，先独立做一遍再对解析，效果最好。

知识总览（一张图记住脉络）

匀变速直线运动：加速度恒定（大小、方向均不变），速度随时间均匀变化。

　→ 特例 1　自由落体：初速度 v₀ = 0，加速度 a = g（竖直向下）。

　→ 特例 2　竖直上抛：初速度 v₀ ≠ 0，加速度 a = −g，可分段处理。

一、三个基本公式（匀变速直线运动）

五个物理量：初速度 v₀、末速度 v、加速度 a、时间 t、位移 x。解题时先规定正方向，各量带符号代入。

①　v = v₀ + at　　　（不含 x）

②　x = v₀t + ½at²　　　（不含 v）

③　v² − v₀² = 2ax　　　（不含 t）

选公式口诀：“知三求一”——缺哪个量，就选不含那个量的公式。

二、四个重要推论

（1）平均速度 = 中间时刻速度

v̄ = (v₀ + v)/2 = x/t

匀变速直线运动中，某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度，是求瞬时速度的常用方法。

（2）中间位移速度

v(x/2) = √[(v₀² + v²)/2]，且 v(x/2) ＞ v(t/2)

位移中点的瞬时速度恒大于时间中点的瞬时速度（初末速度不同时），二者不可混用。

（3）连续相等时间间隔的位移差

Δx = aT²

T 为连续相等的时间间隔，相邻两段位移之差恒定；处理纸带、频闪照片数据时常用它求加速度（逐差法）。

三、初速度为零的匀加速直线运动比例式（重点）

设连续相等的时间间隔为 T，连续相等的位移为 x，则：

①　1T 末、2T 末、3T 末……速度之比：1 : 2 : 3 : … : n

②　前 1T、前 2T、前 3T……内位移之比：1 : 4 : 9 : … : n²

③　第 1 个 T 内、第 2 个 T 内……位移之比：1 : 3 : 5 : … : (2n−1)

④　通过连续相等位移所用时间之比：1 : (√2−1) : (√3−√2) : …

⚠ 比例式只对初速度为零的运动成立；有初速度（刹车、竖直上抛）必须用基本公式。

四、v–t 图像：一图看懂两个规律

① 斜率 = 加速度 a（a 恒定则图线为倾斜直线）；

② 图线与 t 轴围成的面积 = 位移 x（t 轴上方为正、下方为负）；

③ 自由落体图像是过原点、斜率为 g 的直线。

图：匀变速直线运动与自由落体运动的 v–t 图像（示意）

五、自由落体运动

定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动（理想模型）。

条件：① 只受重力（空气阻力可忽略）；② 初速度 v₀ = 0。

特点：a = g（竖直向下），g ≈ 9.8 m/s²，粗略取 10 m/s²，与质量无关。

v = gt　　　h = ½gt²　　　v² = 2gh

比例结论（同 v₀ = 0 匀加速，把 a 换成 g）：速度比 1:2:3…；前 n s 内高度比 1:4:9…；第 n s 内高度比 1:3:5…。

六、竖直上抛运动（拓展）

定义：以初速度 v₀ 竖直向上抛出，加速度 a = −g（取向上为正），是匀变速直线运动。

分段处理：上升段匀减速，下落段自由落体；也可全程用匀变速公式。

上升时间 t上 = v₀/g　　最大高度 H = v₀²/(2g)　　总时间 t总 = 2v₀/g

七、典型例题精讲（8 道）

覆盖基本公式、刹车陷阱、比例式、逐差法、图像与竖直上抛等主要题型，先独立作答再对解析。

例题

【例题 1】基本公式应用（知三求一）

一辆汽车以 v₀ = 10 m/s 匀速行驶，因前方有情况紧急刹车，刹车过程可视为加速度 a = 2 m/s² 的匀减速直线运动。求：（1）刹车后 3 s 末的速度；（2）刹车后 10 s 内的位移。

· 取初速度方向为正方向，a = −2 m/s²，v = v₀ + at = 10 + (−2)×3 = 4 m/s。

· 刹车陷阱：先求停止时间 t停 = v₀/a = 5 s ＜ 10 s，说明 10 s 内汽车早已停止，不能直接代入 t = 10 s。

· 位移 x = v₀²/(2a) = 10²/(2×2) = 25 m。

答案：（1）4 m/s；（2）25 m。

例题

【例题 2】自由落体与比例式

一个小球从楼顶自由下落，取 g = 10 m/s²。求：（1）前 2 s 内下落的高度；（2）第 2 s 内下落的高度；（3）若落地前最后 1 s 内下落了 35 m，求楼高。

· （1）h = ½gt² = ½×10×2² = 20 m。

· （2）第 2 s 内位移 = 前 2 s − 前 1 s = 20 − 5 = 15 m（或用比例 1:3，第 2 s 内为 5×3）。

· （3）½gt² − ½g(t−1)² = 35，即 5(2t−1) = 35，解得 t = 4 s，楼高 H = ½×10×4² = 80 m。

答案：（1）20 m；（2）15 m；（3）80 m。

例题

【例题 3】自由落体综合

一物体从高 45 m 处自由下落，取 g = 10 m/s²。求：（1）落地时间与落地速度；（2）落地前最后 1 s 内的位移。

· t = √(2h/g) = √(2×45/10) = 3 s，v = gt = 30 m/s。

· 前 2 s 内下落 h₂ = ½×10×4 = 20 m，最后 1 s 内位移 Δh = 45 − 20 = 25 m（或用比例 1:3:5）。

答案：（1）3 s、30 m/s；（2）25 m。

例题

【例题 4】纸带与逐差法

用打点计时器研究小车的匀变速直线运动，相邻计数点间时间间隔 T = 0.1 s，连续三段位移依次为 x₁ = 3.50 cm、x₂ = 5.00 cm、x₃ = 6.50 cm。求：（1）加速度 a；（2）计数点 2（x₁ 与 x₂ 的分界点）的瞬时速度。

· 连续相等时间位移差 Δx = x₂ − x₁ = x₃ − x₂ = 1.50 cm = 0.0150 m，a = Δx/T² = 0.0150/0.1² = 1.5 m/s²。

· 计数点速度用相邻两段位移的平均速度：v = (x₁+x₂)/(2T) = (3.50+5.00)×10⁻²/(2×0.1) = 0.425 m/s。

答案：（1）1.5 m/s²；（2）0.425 m/s。

例题

【例题 5】中间时刻与中间位移速度

物体从静止开始做匀加速直线运动，当位移为 x 时速度为 v。求位移中点处的瞬时速度与时间中点处的瞬时速度之比。

· 时间中点速度 v₁ = (v₀+v)/2 = v/2；位移中点速度 v₂ = √[(v₀²+v²)/2] = v/√2。

· 比值 v₂/v₁ = (v/√2)/(v/2) = √2 ≈ 1.41。

答案：√2 : 1，即位移中点速度是时间中点速度的 √2 倍。

例题

【例题 6】v–t 图像

某物体做初速度为零的匀加速直线运动，其 v–t 图像是一条过原点的直线，2 s 末速度为 4 m/s。求：（1）加速度 a；（2）前 3 s 内的位移。

· 图像斜率即加速度：a = Δv/Δt = 4/2 = 2 m/s²。

· 3 s 末速度 v = at = 6 m/s，前 3 s 内位移 = 图线与 t 轴围成的面积 = ½×3×6 = 9 m。

答案：（1）2 m/s²；（2）9 m。

例题

【例题 7】竖直上抛

从地面以 v₀ = 20 m/s 竖直上抛一小球，取 g = 10 m/s²，忽略空气阻力。求：（1）上升时间；（2）上升的最大高度；（3）从抛出到落回地面的总时间。

· 上升段为匀减速，最高点速度为零：t上 = v₀/g = 20/10 = 2 s。

· H = v₀²/(2g) = 400/20 = 20 m。

· 由对称性，下落时间等于上升时间：t总 = 2t上 = 4 s。

答案：（1）2 s；（2）20 m；（3）4 s。

例题

【例题 8】比例式综合

一小球从塔顶自由下落，取 g = 10 m/s²，依次经过三段连续相等的位移，所用时间之比为多少？

· 自由落体是 v₀ = 0 的匀加速运动，直接套比例式：通过连续相等位移所用时间之比为 1 : (√2−1) : (√3−√2) : …。

· 验证：t₁ = √(2h/g)，t₂ = √(4h/g) − √(2h/g)，t₃ = √(6h/g) − √(4h/g)，提出 √(2h/g) 即得。

答案：1 : (√2−1) : (√3−√2)。

八、方法总结与易错提醒

① 公式均为矢量式：先规定正方向，匀减速时加速度取负值；

② 中间位移速度 ＞ 中间时刻速度：v(x/2) ＞ v(t/2)，不可混用；

③ 比例式只对 v₀ = 0 成立：有初速度（刹车、竖直上抛）用基本公式，刹车问题先判断停止时间；

④ 纸带数据处理：Δx = aT² 或逐差法，计数点速度用相邻两段平均速度；

⑤ 自由落体是理想模型，须同时满足“只受重力”和“初速度为零”。

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