晴子数学精选-26秋第六周每日真题训练(5)

▎今日真题方法技巧

① |x+5|+|x−2|=7：两点间距正好 7 → x 取 [−5,2] 之间全部整数，别漏端点

② 一般结论 |x−(a−1)|+|x−(a+6)|≥(a+6)−(a−1)=7，最小值与 a 无关——「中间夹着」就最小

③ 双线段重合：把每条线段的左右端点都写成含 t 的式子，重叠长=Min(右端)−Max(左端)（为正才有重叠）

④ 记账表：每件利润=(售价−32)×件数，正负数先求总售价、再减总成本，符号别弄反

一句话总结：绝对值题「画数轴看夹不夹」，动线段题「端点全员用 t 表示」——两句话管今天全部。

▎今日真题方法技巧

① 旋转 60° 手拉手：BM 绕 B 转 60° 到 BN → △MBG≌△NBH（取 BC 中点 G、BH=BG）→ HN=MG

② HN 最小值=MG 最小值：M 在高线 CH 上动 → 垂线段最短，MG⊥CH 时取到，30° 角对边=斜边一半

③ 「关联分式」M+N=MN：把定义当方程用——通分化简后对比系数解出 b=±2√2 a

④ 试根法：奇次项系数和=偶次项系数和的相反数 → f(1)=0（或 f(−1)=0）→ 有因式 (x∓1)，再待定系数配平

一句话总结：旋转题「找全等搬线段」，最值靠「垂线段」；试根法就是「代 x=±1 找因式」的机械化流程。

▎今日真题方法技巧

① 直线与圆有公共点 ⇔ 圆心到直线距离 ≤ 半径：d=|b|/√2，与 P(a,0) 用勾股联系出 a 的范围

② 证「CA 平分∠DCE」：切线 → ∠OCD=90°，∠OCA=∠OAC（等腰）+ 余角代换 → ∠DCA=∠ECA

③ 求弧长先求圆心角：∠DCA=25° → ∠OCE=40° → ∠COE=50°，弧 AC 的圆心角随之定

④ 圆锥实践：扇形半径=母线、弧长=底面周长；「最少需要几张纸」按一张纸能剪出几个扇形算覆盖

一句话总结：位置关系就是「距离比半径」；切线题「等腰导角+余角代换」；圆锥题「两个相等」：半径=母线、弧长=底周长。

▎今日真题方法技巧

① 取整函数先画图：{x}=x−⌊x⌋ 是锯齿波，值域、奇偶、单调区间、对称轴全从图上读

② 逐项验证多选：值域看一段的高度、偶函数看图象对折、对称轴 x=k/2 找波峰

③ 「关联函数」=一一对应 ⇔ 单调 + 值域恰好是给定区间——先验单调再对端点

④ 第(3)问：不等式对任意 x 恒成立 → 分离出参数，对「关联函数」的每段值域分类，求出各段下参数的最大范围再取交

一句话总结：取整函数一切看图，新定义「关联函数」翻译成「单调+值域吻合」——两把钥匙开今天的锁。

▎今日真题方法技巧

① 圆外点到圆上最小距离 = 点到圆心距离 − 半径：先求直线上的点到 O 的最小值 3√2/2

② 切线长 = √(d²−r²)：四边形 PAOB 面积 = r·切线长，全部用 d 表达，B 项 ≥1 立判

③ 张角：sin∠APO = r/d ≤ 1/√2，所以 ∠APB ≤ 90°，等号在 P(1,1) 取到

④ 多选题逐项验：A 项「等边三角形」代 P(2,0) 或 (0,2) 直接排除；B、C、D 等号都能取到

一句话总结：一条切线三件宝：切线长、垂直、张角，全部围绕 d=|OP| 转动。