高中物理模型&知识总结 200 例|第 103 期 电场叠加原理

电场叠加原理

适合：【高二同步】【高三一轮】

一、模型识别

上一期算的是"一个电荷在某点产生多大的场"。可现实里很少只有一个电荷，两个、三个、四个电荷同时在场，某一点的场强就不止一份了——把它们按平行四边形加起来，就是这一期。

识别信号：

• 题里出现两个及以上的场源电荷，问"某点的场强"
• 图形对称：连线中点、中垂线上的点、正方形或正三角形的顶点和中心
• 出现"若撤去其中一个电荷"、"若把某个电荷换成异号"
• 给出圆环、球壳、带电平板，问"挖去一小块以后"某点的场强

一句话判断：只要场源不止一个，最后一步一定是矢量合成。

二、核心规律

第一步　一个一个算，大小和方向都先定下来

每个场源单独在目标点产生的场强，还是那条式子：

正电荷的场强从它自己出发向外，负电荷的场强指向它自己。这一步别急着合成，先在图上把每个箭头老老实实画出来——箭头画错，后面全错。

第二步　再合成：平行四边形，或者拆成两个垂直方向

夹角是 60°、90°、120° 这类特殊角，直接画平行四边形（很多时候就是菱形）算；角度一般化，就把每个场强拆成两个互相垂直的分量，分头相加再勾股。

同向相加、反向相减、垂直用勾股，这三句话能覆盖绝大多数题。

第三步　对称的位置，先看能不能直接抵消

两个场强等大反向，合起来就是零。等量同种电荷的连线中点、正三角形的中心、正方形的中心，这些位置经常能靠这一步一步到位，省掉一半计算。

第四步　等大、夹角 120°，合起来还是等大

两个等大的场强夹角 120°，合成后大小等于原来那一个；三个等大的两两夹角 120°，合成为零。正三角形、正六边形里的题，一半靠这两句。

第五步　补偿法：挖去一块，等于"完整的减掉挖走的那一块"

均匀带电的圆环、球壳、圆盘，挖掉一小块后求剩下部分在某点的场强：先当作完整的一整块算出场强，再把挖走的那一小块单独在该点产生的场强减掉（方向相反地加）。这一招在静电场的最后几期会反复出现。

一句话：先逐个算  并把箭头画出来，再按平行四边形合成；对称位置先看能不能抵消；等大 120° 合成后仍等大；挖去一块就用"完整的减去那一块"。

三、例题 1

题目：

如图 1 所示，真空中 A、B 两点固定两个电荷量均为  的点电荷，两者相距 2d，O 为 A、B 连线的中点，P 点在连线的中垂线上，且 OP ，静电力常量为 。下列说法正确的是（　　）

A．P 点的电场强度大小为 ，方向沿 OP 向外

B．P 点的电场强度大小为 ，方向沿 OP 向外

C．把一个试探电荷放在 O 点，它受到的电场力为零

D．若把 B 处的电荷换成 ，P 点的电场强度方向仍沿 OP 向外

答案：　AC

解析：

P 到 A、P 到 B 的距离一样，都是

所以两个电荷在 P 点产生的场强大小相同：

方向各自背离自己的电荷： 沿 AP 的延长线指向右上， 沿 BP 的延长线指向左上。

这两个方向的夹角是 90°——因为 AP 与 BP 垂直（A、B 关于 P 的垂足对称，构成等腰直角三角形）。等大的两个矢量垂直，合成后大小为：

方向沿 OP 向外。A 正确。

B 只算了一个电荷的场强，忘了另一个也要加上去——这是本节最常见的错。

图 2 就是合成的过程：两个分场强等长、夹角 90°，补出的平行四边形是个正方形，对角线就是合场强，长度是边长的  倍。

C 项：O 点在连线中点，A 在 O 点产生的场强向右、B 在 O 点产生的场强向左，两者等大反向，合成为零。场强为零，试探电荷受的力自然是零。C 正确。

D 项错在方向。把 B 换成  以后， 从"背离 B"变成"指向 B"，方向由左上翻成右下。再合成一次：

 的水平分量向右、竖直分量向上；新的  水平分量向右、竖直分量向下。两个竖直分量等大反向，抵消；两个水平分量都向右，相加。

所以合场强变成水平方向、由 A 指向 B，不再沿 OP 向外；大小倒是没变，仍是 。D 错。

顺带记一句：等量同种电荷在中垂线上，从 O 点往外走，场强是先增大后减小的，不是单调变化。P 点是不是最大，要看 OP 与 OA 的比值，不能想当然。

四、例题 2

题目：

如图 3 所示，真空中正方形 ABCD 的四个顶点各固定一个点电荷，A、B 两处为 ，C、D 两处为 ，正方形边长为 ，O 为正方形的中心。下列说法正确的是（　　）

A．O 点的电场强度为零

B．O 点的电场强度大小为 ，方向由 AB 的中点指向 CD 的中点

C．O 点的电场强度方向沿 AC 连线

D．若把 A、B 两处的电荷都换成 ，O 点的电场强度方向反向

答案：　BD

解析：

每个电荷到 O 的距离都是半个对角线：

所以每个电荷在 O 点产生的场强大小都是

接下来是本题的关键：不要四个一起乱加，先按对角线两两合并。

A 带正电，在 O 点的场强背离 A，沿 AC 方向指向 C；C 带负电，在 O 点的场强指向 C，也沿 AC 方向指向 C。两个同向，直接相加：

同理，B 带正电、D 带负电，两个场强都沿 BD 方向指向 D，合起来：

现在只剩两个等大的矢量，夹角 90°（对角线互相垂直），合成：

方向沿 AC 与 BD 的角平分线，也就是竖直方向——从 AB 的中点指向 CD 的中点。B 正确，C 错。

图 4 是这个过程的图示：先得到沿两条对角线的两个合矢量，再用平行四边形求出最终的竖直合场强。注意  的长度是  的  倍，和算出来的一致。

A 项错在"四个电荷一定会两两抵消"。要抵消，得是 A、C 同号且 B、D 同号——那样沿对角线方向的四个场强才两两反向。本题 A、B 同号、C、D 同号，沿对角线方向上是"两两同向"，只会叠加。判断之前先看清谁和谁同号。

D 项：四个电荷全部换号，每个场强都反向，合场强自然也反向，变成竖直向上。大小不变。D 正确。

五、易错点

• 把场强直接代数相加：场强是矢量，方向不同就不能直接加减。先算大小，再按方向合成，两步不能省。
• 只算离得近的那个电荷：远一点的场强小，但"小"不等于"可以忽略"。除非题目明确说很远，否则都得算上。
• 看到对称就说为零：对称只保证"等大"，要为零还得"反向"。等量异种电荷的中点就是等大同向，合起来是两倍，不是零。
• 负电荷的场强方向画反：负电荷的场强指向它自己，不是背离。四个电荷里只要有一个画反，整个合成都会错。
• 120° 当成 180°：夹角 120° 的两个等大矢量，合成后大小仍等于原来那个，不是两倍，也不是零。
• 补偿法里符号搞反：挖去的那一块要"减掉"，别加成两倍。这一步出错，结果一定偏大。
• 四个电荷一锅乱加：先找同向的合并（比如本题的两条对角线），再合成两个大矢量，比四个一起分解省事得多，也不容易错。

一句话总结

一句话：先逐个算 、把箭头画对，再按平行四边形合成；对称位置先看能不能抵消，等大的夹角 120° 合成后仍等大；四个以上的电荷先按同向合并成两三个，再收口；挖去一块就用"完整的减去那一块"。