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第27 讲 电场能的性质
——划重点之精细讲义系列
一．电势 等势面和电势能
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值．
(2)定义式：φ＝.
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零势点高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零势点的不同而不同，通常取
无限远或地球的电势为零．
2．等势面的特点
(1)同一等势面上的任意两点间移动电荷电场力不做功．
(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直．
(3)电场线总是从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
(4)等差等势面越密的地方场强越大，反之越小．
3．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点具有的势能，等于将电荷从该点移到零势点位置时电
场力所做的功．
(2)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB
＝EpA－EpB＝－ΔEp.
二．电势差 匀强电场中电势差与场强的关系
1．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A 移到另一点B 时，电场力
F 做的功
与移动的电
荷的电荷量的比值．
(2)定义式：UAB＝.
(3)电势差与电势的关系：UAB＝φA－
φ B，UAB＝－UBA.
(4)影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q 及电场力做的
功WAB无关，与零电势点的选取无关．
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：UAB＝Ed，其中d 为电场中两点间沿场强方向的距离．
(2)在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上降低的电势；
注意：电场中，场强方向是指电势降落最快的方向．
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考点一 电势 等势面和电势能
考向1：电势与电势能的判断
1．电势高低的判断
判断角度
判断方法
依据电场线
方向
沿电场线方向电势逐渐降低
依据场源电
荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠
近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
依据电场力
做功
根据UAB＝，将WAB、q 的正负号代入，由UAB 的正负判断φA、φB 的高低
依据电势能
的高低
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
2.电势能大小的判断
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功，电势能减小
电场力做负功，电势能增加
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大
负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正
Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，
电势能越小
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能
相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，
电势能增加
【典例1】(多选)如图所示，在x 轴上相距为L 的两点固定两个等量异种点电荷＋
Q、－Q，虚线是以＋Q 所在点为圆心、为半径的圆，a、b、c、d 是圆上的四个点，其
中a、c 两点在x 轴上，b、d 两点关于x 轴对称．下列判断正确的是( )
A．b、d 两点处的电势相同
B．四个点中c 点处的电势最低
C．b、d 两点处的电场强度相同
D．将一试探电荷＋q 沿圆周由a 点移至c 点，＋q 的电势能减小
【典例2】 (多选)如图所示，有一对等量异种电荷分别位于空间中的a 点和f 点，
以a 点和f 点为顶点作一正立方体．现在各顶点间移动一试探电荷，关于试探电荷受电
场力和具有的电势能，以下判断正确的是( )
A．在b 点和d 点受力大小相等，方向不同
B．在c 点和h 点受力大小相等，方向相同
C．在b 点和d 点电势能相等
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D．在c 点和h 点电势能相等
带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．
(2)判断电场力(或场强)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指
向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断场强的方向．
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场
力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
考向2：几种常见的典型电场等势面的对比分析
电场
等势面(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇等间距平面
点电荷的电
场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点
电荷的电场
连线的中垂面上的电势为零
等量同种正
点电荷的电
场
连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势
最高．关于中点左右对称或上下对称的点电势相等
【典例1】 关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正
功
【典例2】(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，
一带电粒子以某一速度从图中a 点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只
受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是( )
A．带正电
B．速度先变大后变小
C．电势能先变大后变小
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D．经过b 点和d 点时的速度大小相等
考点二 电场强中电势差与电场强度的关系
考向1：在匀强电场中由公式U＝Ed 得出“一式二结论”
(1)“一式”：E＝＝，其中d 是沿电场线方向上的距离．
(2)“二结论”
结论1：匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC＝，如图1 所示．
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－
φD)，如图2 所示．
【典例1】 (多选)如图所示，A、B、C、D、E、F 为匀强电场中一个边长为10 cm
的正六边形的六个顶点，A、B、C 三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面
与电场线平行．下列说法正确的是( )
A．通过CD 和AF 的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由C 指向A
D．将一个电子由E 点移到D 点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
【典例2】(多选)如图所示 ，A、B、C 是匀强电场中平行于电场线的某一平面上
的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F 三等分AB，G 为AC
的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
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考向2：E＝在非匀强电场中的妙用
(1)解释等差等势面的疏密与场强大小的关系，当电势差U 一定时，场强E 越大，
则沿场强方向的距离d 越小，即场强越大，等差等势面越密集．
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E 越
大，U 越大；E 越小，U 越小．
(3)利用φ x 图象的斜率判断沿x 方向场强Ex随位置的变化规律．在φ x 图象中斜
率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向．
【典例1】电场中某三条等势线如图甲中实线a、b、c 所示．一电子仅在电场力作
用下沿直线从P 运动到Q，已知电势φa>φb>φc，这一过程电子运动的v t 图象可能是图
乙中的( )
【典例2】如图所示的同心圆是电场中的一簇等势线，一个电子只在电场力作用
下沿着直线由A→C 运动时的速度越来越小，B 为线段AC 的中点，则下列说法正确的
是( )
A．电子沿AC 方向运动时受到的电场力越来越小
B．电子沿AC 方向运动时它具有的电势能越来越大
C．电势差UAB＝UBC
D．电势φA<φB<φC
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考点三 电场中的功能关系
1．求电场力做功的四种方法
(1)定义式：WAB＝Flcos α＝qEdcos α(适用于匀强电场)．
(2)电势的变化：W＝qUAB＝q(φA－φB)．
(3)动能定理：W 电＋W 其＝ΔEk.
(4)电势能的变化：WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB.
2．电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量．
(4)所有外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化．
【典例1】如图所示， 虚线PQ、MN 间存在如图所示的水平匀强电场， 一带电
粒子质量为m ＝2.0 × 10－11kg、电荷量为q＝＋1.0×10－5 C，从a 点由静止开始经电
压为U＝100 V 的电场加速后，垂直于匀强电场方向进入匀强电场中，从虚线MN 上的
某点b(图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ、MN 间距离为
20 cm，带电粒子的重力忽略不计．求：
(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速度v1；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)ab 两点间的电势差．
【典例2】如图所示，直线MN 是某电场中的一条电场线(方向未画出)．虚线是一
带电的粒子只在电场力的作用下，由a 到b 的运动轨迹，轨迹为一抛物线．下列判断
正确的是( )
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A．电场线MN 的方向一定是由N 指向M
B．带电粒子由a 运动到b 的过程中动能一定逐渐减小
C．带电粒子在a 点的电势能一定大于在b 点的电势能
D．带电粒子在a 点的加速度一定大于在b 点的加速度
【典例3】(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平
地面上，上面放一质量为m 的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F 将小球向
下压至某位置静止．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电
场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上
述过程中( )
A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球的重力势能增加－W1
C．小球的机械能增加W1＋mv2
D．小球的电势能减少W2
【典例4】 (多选)某导体置于电场后周围的电场分布情况如图所示，图中虚线表
示电场线，实线表示等势面，A、B、C 为电场中的三个点．下列说法正确的是( )
A．A 点的电场强度小于B 点的电场强度
B．A 点的电势高于B 点的电势
C．将负电荷从A 点移到B 点，电场力做正功
D．将正电荷从A 点移到C 点，电场力做功为零
【典例5】 (多选)光滑绝缘水平面上有两个带等量异种电荷的小球A、B，小球A
通过绝缘轻弹簧与竖直墙相连，如图所示．今小球B 在外力F 作用下缓慢向右移动，
移动中两小球带电荷量不变，则对两小球和弹簧组成的系统的分析正确的是( )
A．外力F 对系统做正功，弹性势能增大
B．外力F 对系统做正功，弹性势能减小
C．静电力做正功，电势能减小
D．静电力做负功，两球间电势差增大
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(1)电荷在电场中运动时，电场力做功将引起电势能与其他形式的能相互发生转化，
电荷的机械能不再守恒．
(2)要搞清几个功能关系：重力做功等于重力势能的变化，电场力做功等于电势能
的变化，弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，合外力做功等于动能的变化．
(3)无论能量如何变化，总是满足能量守恒定律．
考点四 静电场中的三类图象问题
考向1: v t 图象
根据v t 图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力
的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【典例1】(多选)如图(a)，直线MN 表示某电场中一条电场线，a、b 是线上的两点，
将一带负电荷的粒子从a 点处由静止释放，粒子从a 运动到b 过程中的v t 图线如图(b)
所示．设a、b 两点的电势分别为φa、φb，电场强度大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b 两
点的电势能分别为Wa、Wb，不计重力，则有( )
A．φa＞φb
B．Ea＞Eb
C．Ea＜Eb
D．Wa＞Wb
考向2：φ x 图象
(1)电场强度的大小等于φ x 图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x 图线存在极
值，其切线的斜率为零．
(2)在φ x 图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场
强度的方向．
(3)在φ x 图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的
正负，然后作出判断．
【典例2】两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x 轴上的O、M 两点，两电荷连
线上各点电势φ 随x 变化的关系如图所示，其中A、N 两点的电势均为零，ND 段中的
C 点电势最高，则( )
A．N 点的电场强度大小为零
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B．A 点的电场强度大小为零
C．NC 间电场强度方向指向x 轴正方向
D．将一负点电荷从N 点移到D 点，电场力先做正功后做负功
考向3：Ex 图象
在给定了电场的Ex 图象后，可以由图线确定电场强度的变化情况，电势的变化情
况，Ex 图线与x 轴所围图形“面积”表示电势差．在与粒子运动相结合的题目中，可
进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
在这类题目中，还可以由Ex 图象假设某一种符合Ex 图线的电场，利用这种已知
电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题．
【典例3】(多选) 静电场在x 轴上的电场强度E 随x 的变化关系如图所示，x 轴正
向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x 轴运动，则点电荷( )
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
1．(多选)关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是( )
A．电场强度的方向处处与等电势面垂直
B．电场强度为零的地方，电势也为零
C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低
D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向
2. 如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C 点是A、B 连线的中点．已知A
点的电势φA＝30 V，B 点的电势φB＝－10 V，则C 点的电势( )
A．φC＝10 V
B．φC＞10 V
C．φC＜10 V
D．上述选项都不正确
3. 一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场
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线分布如图所示．容器内表面为等势面，A、B 为容器内表面上的两点，下列说法正确
的是( )
A．A 点的电场强度比B 点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B 点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A 点沿不同路径移到B 点，电场力所做的功不同
4. 如图所示，P 是固定的点电荷，虚线是以P 为圆心的两个圆．带电粒子Q 在P
的电场中运动．运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c 为轨迹上的三个点．若Q 仅
受P 的电场力作用，其在a、b、c 点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为
va、vb、vc，则( )
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
5．如图所示，一带电小球沿与CD 平行方向，射入倾角为θ 的光滑斜面上，斜面
所在区域存在和AD 平行的匀强电场，小球运动轨迹如图中虚线所示，则( )
A．若小球带正电荷，则电场方向一定沿斜面向下
B．小球从M 点运动到N 点电势能一定增加
C．小球从M 点运动到N 点动能一定增加
D．小球从M 点运动到N 点机械能一定增加
6. 如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图中箭
头所示，M、N、Q 是以直电场线上一点O 为圆心的同一圆周上的三点，OQ 连线垂直
于MN.以下说法正确的是( )
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A．O 点电势与Q 点电势相等
B．O、M 间的电势差小于N、Q 间的电势差
C．将一负电荷由M 点移到Q 点，电荷的电势能增加
D．在Q 点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ 垂直的方向竖直向上
7．(多选) 如图所示，两电荷量分别为Q(Q＞0)和－Q 的点电荷对称地放置在x 轴
上原点O 的两侧，a 点位于x 轴上O 点与点电荷Q 之间，b 点位于y 轴O 点上方．取无
穷远处的电势为零．下列说法正确的是( )
A．b 点电势为零，电场强度也为零
B．正的试探电荷在a 点的电势能大于零，所受电场力方向向右
C．将正的试探电荷从O 点移到a 点，必须克服电场力做功
D．将同一正的试探电荷先后从O、b 两点移到a 点，后者电势能的变化较大
8．(多选)如图所示的水平匀强电场中，将两个带电小球M 和N 分别沿图示路径移
动到同一水平线上的不同位置，释放后，M、N 保持静止，不计重力，则( )
A．M 的带电量比N 的大
B．M 带负电荷，N 带正电荷
C．静止时M 受到的合力比N 的大
D．移动过程中匀强电场对M 做负功
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐
标原点O 处的电势为零，点A 处的电势为6 V，点B 处的电势为3 V，则电场强度的
大小为( )
A．200 V/m
B．200 V/m
C．100 V/m
D．100 V/m
10. 如图，直线a、b 和c、d 是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q 是它
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们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M 点分别运动到N 点和P 点
的过程中，电场力所做的负功相等．则( )
A．直线a 位于某一等势面内，φM＞φQ
B．直线c 位于某一等势面内，φM＞φN
C．若电子由M 点运动到Q 点，电场力做正功
D．若电子由P 点运动到Q 点，电场力做负功
11. (多选) 如图所示，一带电粒子在两个固定的等量正电荷的电场中运动，图中的
实线为等势面，虚线ABC 为粒子的运动轨迹，其中B 点是两点电荷连线的中点，A、C
位于同一等势面上．下列说法正确的是( )
A．该粒子可能带正电
B．该粒子经过B 点时的速度最大
C．该粒子经过B 点时的加速度一定为零
D．该粒子在B 点的电势能小于在A 点的电势能
12．两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x 轴上的O、M 两点，两电荷连线上
各点电势φ 随x 变化的关系如图所示，其中C 为ND 段电势最低的点，则下列说法正确
的是( )
A．q1、q2为等量异种电荷
B．N、C 两点间场强方向沿x 轴负方向
C．N、D 两点间的电场强度大小沿x 轴正方向先减小后增大
D．将一正点电荷从N 点移到D 点，电势能先增大后减小
13．一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动．取该直线
为x 轴，起始点O 为坐标原点，其电势能Ep与位移x 的关系如图所示，下列图象中合
理的是( )
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14．(多选)如图甲所示，有一绝缘圆环，圆环上均匀分布着正电荷，圆环平面与竖
直平面重合．一光滑细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环，细杆上套有一个质量为m
＝10 g 的带正电的小球，小球所带电荷量q＝5.0×10－4C.小球从C 点由静止释放，其
沿细杆由C 经B 向A 运动的v t 图象如图乙所示．小球运动到B 点时，速度图象的切
线斜率最大(图中标出了该切线)．则下列说法正确的是( )
A．在O 点右侧杆上，B 点场强最大，场强大小为E＝1.2 V/m
B．由C 到A 的过程中，小球的电势能先减小后增大
C．由C 到A 电势逐渐降低
D．C、B 两点间的电势差UCB＝0.9 V
1．（2022·重庆·高考真题）（多选）如图为两点电荷Q、
的电场等势面分布示意图，
Q、
位于x 轴上，相邻等势面的电势差为
。若x 轴上的M 点和N 点位于
等势
面上，P 为某等势面上一点，则（ ）
A．N 点的电场强度大小比M 点的大
B．Q 为正电荷
C．M 点的电场方向沿x 轴负方向
D．P 点与M 点的电势差为
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2．（2022·海南·高考真题）（多选）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，设A
点的电场强度为
，电势为
，B 点的电场强度为
，电势为
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·海南·高考真题）（多选）如图，带正电
的物块A 放在水平桌面上，
利用细绳通过光滑的滑轮与B 相连，A 处在匀强电场中，
，从O 开始，
A 与桌面的动摩擦因数
随x 的变化如图所示，取O 点电势能为零，A、B 质量均为
，
B 离滑轮的距离足够长，则（ ）
A．它们运动的最大速度为
B．它们向左运动的最大位移为
C．当速度为
时，A 的电势能可能是
D．当速度为
时，绳子的拉力可能是
4．（2022·江苏·高考真题）如图所示，正方形ABCD 四个顶点各固定一个带正电的点
电荷，电荷量相等，O 是正方形的中心。现将A 点的电荷沿OA 的延长线向无穷远处移
动，则（ ）
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A．在移动过程中，O 点电场强度变小
B．在移动过程中，C 点的电荷所受静电力变大
C．在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功
D．当其移动到无穷远处时，O 点的电势高于A 点
5．（2022·湖北·统考高考真题）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属
板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油
滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差
为U 时，电荷量为q、半径为r 的球状油滴在板间保持静止。若仅将金属板间电势差调
整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（ ）
A．q，r
B．2q，r
C．2q，2r
D．4q，2r
6．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、
N 间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t=0 时刻，M 板中点处的粒子源发
射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M 板向右的粒子，到达N 板时速度大小为
；
平行M 板向下的粒子，刚好从N 板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（
）
A．M 板电势高于N 板电势
B．两个粒子的电势能都增加
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C．粒子在两板间的加速度
D．粒子从N 板下端射出的时间
7．（2022·河北·统考高考真题）如图，真空中电荷量为
和
的两个点电荷
分别位于
点与
点，形成一个以
延长线上
点为球心，电势为零的等势面（取
无穷处电势为零），
为
连线上的一点，S 为等势面与直线
的交点，
为等势
面上的一点，下列说法正确的是（ ）
A．
点电势低于点电势
B．
点电场强度方向指向O 点
C．除无穷远处外，MN 直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷
从T 点移到P 点，静电力做正功
8．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N 之间距离为d，两板所
加的电压为U。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 板由静止释放。不计带电
粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N 板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动
距离时撤去所加电压，求该粒子从M 板运动到N 板经历的
时间t。
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9．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨
在B 点平滑连接，导轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由
静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为
坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有方向与x 轴夹角为
的匀强电场，
进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电荷量保持不变，重
力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
10．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因
此获得了1923 年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相
距为d 的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰
撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为
、位于同一竖直线上的球形小油
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滴A 和B，在时间t 内都匀速下落了距离
。此时给两极板加上电压U（上极板接正
极），A 继续以原速度下落，B 经过一段时间后向上匀速运动。B 在匀速运动时间t 内
上升了距离
，随后与A 合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直
至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为
，其中k 为比例系数，m 为油
滴质量，v 为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B 的带电量和电性；B 上升距离
电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
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