专题17 构造法模型和递推模型
类型1：构造法模型
例1．某人连续射击8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果
有多少种．
【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．A5
2
=20 种
例2.个人参加秋游带10 瓶饮料，每人至少带1 瓶，一共有多少钟不同的带法．
【解析】把问题转化为5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的10 个相同的黑球之间的9 个空隙种的排列
问题．C9
5
=126 种
例3.从1，2，3，…，1000 个自然数中任取10 个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
【解析】把稳体转化为10 个相同的黑球与990 个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。C991
10
例4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街5 条，东西向大街4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的
走法有多少种．
【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问
题．C7
3
=35（种）
例5.一个楼梯共18 个台阶12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
【解析】根据题意要想12 步登完只能6 个一步登一个台阶，6 个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6
个相同的黑球与6 个相同的白球的排列问题．C12
6
=924（种）．
例6. 求（a+b+c）10的展开式的项数．
【解析】展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2 个相同的黑球与10 个相同的白球
的排列问题．C12
2
=66（种）
例7. 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1 号队员比赛，
负者淘汰，胜者再与负方2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么
所有可能出现的比赛过程有多少种？
【解析】设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若
以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10 个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的
队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5 个相同的白球和5 个相同黑球排列问题，比赛过
程的总数为C10
6
=252（种）
例8.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的3 盏,但不能关掉相邻的2 盏或3 盏,
也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
【解析】把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的5 个空隙中插入3 个不亮的灯有
种
例9.25 人排成5×5 方阵,现从中选3 人,要求3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
【解析】将这个问题退化成9 人排成3×3 方阵,现从中选3 人,要求3 人不在同一行也不在同一列,有多少
选法.这样每行必有1 人从其中的一行中选取1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3 方
队中选3 人的方法有
种。再从5×5 方阵选出3×3 方阵便可解决问题.从5×5 方队中选取3 行3 列
有
选法所以从5×5 方阵选不在同一行也不在同一列的3 人有
选法。
类型2：递推模型
例1．5 个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有 种不同的站法．
A．42
B．44
C．46
D．48
【解析】首先我们把人数推广到
个人，即
个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上．
设满足这样的站队方式有
种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：
第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有
种站法．
第二步：假设第一个人站在第2 个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在
第一个位置，则余下的
个人有
种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二
个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，
，第
个人不站
在第
个位置，所以有
种站队方式．
由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列
的递推关系式：
，显然，
，
，
，
，
，有44 种排法
故选：
．
例2．欲登上第10 级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或二级，问共有
89
种不同的走法．
【解析】
最后走到第十阶，可能是从第八阶直接上去，也可以从第九阶上去，
设上
级楼梯的走法是
，则
的值与等于
与
的值的和，
一阶为1 种走法：
（1）
二阶为2 种走法：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
故答案为：89．
制发例3.甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5 次后球仍回到甲手中的不同传球方式有
A．6 种
B．8 种
C．10 种
D．16 种
【解析】根据题意，设在第
次传球后
，有
种情况球在甲手中，
即经过
次传递后，球又被传回给甲，
而前
次传球中，每次传球都有2 种方法，则前
次传球的不同的传球方法共有
种，
那么在第
次传球后，球不在甲手中的情况有
种情况，即球在乙或丙手中，
只有在这些情况时，在第
次传球后，球才会被传回甲，即
；
易得
，则
，
，
，
故选：
．
例4．甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续10 次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有
342
种．
【解析】解：设经过
次传球后球回到甲手中的传法有
种．
则经过
次传球后球回到甲手中的传法有
种．
而
次传球一共有
次传法，
所以经过
次传球后球没有回到甲手中的传法有
，
，
，
故答案为342
例5．某校有教职员工150 人，为了丰富教工的课余生活，每天下午
同时开放健身房
和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有
下次
去娱乐室，而在娱乐室的人有
下次去健身房．请问，随着时间的推移，去健身房的人数能
否趋于稳定？
【解析】记第
天去健身房的人数为
，去娱乐室的人数为
，则
；
当
时，则
，
当
时，
，
则
，
即
；
数列
是
为首项，以0.7 为公比的等比数列；
，
即
；
当
时，
，
，
；
即随着时间的推移，去健身房的人数应稳定于100 人左右．
例6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有（ ）
A.60 种 B.44 种
C.36 种 D.24 种
【解析】首先我们把人数推广到
个人,即
个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足
这样的站队方式有
种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:第一步:第一个人不站在原来的第
一个位置,有
种站法.第二步:假设第一个人站在第2 个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,
第二个人恰好站在第个位置,则余下的
个人有
种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就
是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,
第
个人不站
在第
个位置,所以有
种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列
的递推关系
式:
显然
再由递推关系有
故应选B.
例7.有排成一行的
个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首
尾两格也不同色,阳有多少种涂法?
【解析】设共有
种不同涂法.易得
，且当
时,将
个格子依此编号后,则格1 与格(
)不相邻.
(1)若格
涂色与格1 不同,此时格
只有一色可涂,且前格满足首尾两格不同色,故有
种不同涂法.
(2)若格(
-1)涂色与格1 相同,此时格(
-2)与格1 涂色必然不同,否则格
与格
相同,于是前
格有
种不同涂法.因为格
与格1 不同色,有两种涂法,故有
种不同涂法.综上可得递推关系式
并可得
.
例8.一只猴子爬一个8 级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有
多少种不同的爬跃方式？
【解析】易得
.把问题一般化,设一共有
级梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上
跃三级.设共有
种不同的爬跃方式.若第一次爬了一级,则有
种方式;若第一次上跃二级，则有
种方
式;若第一次上跃三级,则有
种方式.因此
:易得
.即共有81 种不同的爬跃方式.
例9.用4 种不同颜色涂四边形的4 个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色
方法？
【解析】我们先把这个题目推广:用
种不同颜色给
边形
的
个顶点染色（其中
且
为常数),每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,不同的染色方法有多少种?
设不同的染色方法有
种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：
第一步:染
有
种染法第二步:染
,有
种染法同理，染
均有
种染法，最后染
如
果仅考虑
与
不同色，则仍有
种染法，相乘得
种染法,但要去掉
与
同色的染法数,
此时可将
与
合并看成一个点,得出需要排除的染法数为
,所以有
显然
.
又本题中,颜色数
所以递推关系为
又
所以
种),故不
同的染色方法种数有84 种.
例10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种?
【解析】首先我们把人数推广到
个人,即
个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足
这样的站队方式有
种，现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推美系：第一步:第一个人不站在原来
的第一个位置,有
种站法.
第二步：假设第一个人站在第2 个位置，则第二个人的站法又可以分为两
类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置，则余下的
-2 个人有
种站队方式;第二类，第二个人不站在
第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，
……，第
个人不站在第
个位置,所以有
种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理，,我们便得到了
数列的递推关系式：
再由递推关系有
故共有44 种.
