25秋7星学霸小学数学通用版第11辑(1)

第１讲　进位制问题 １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 数论类转化思想 辗转相除法 第２讲　整数裂项与通项归纳 １１ 􀆺􀆺􀆺􀆺 计算类递推法 第３讲　多人多次相遇与追及 １９ 􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类数形结合 模型思想 第４讲　扶梯与发车问题 ３０ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类数形结合量不变思想模型思想 第５讲　工程问题进阶 ４１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类量不变思想模型思想 第６讲　经济问题 ５２ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类量不变思想模型思想 第７讲　浓度问题 ６３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类量不变思想模型思想十字交叉法 第８讲　数论中的计数 ７３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 计数类枚举法 有序思想 第９讲　比例法解应用题 ８１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类量不变思想 第１０讲　分数、百分数应用题 ９０ 􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类量不变思想 第１１讲　燕尾模型 ９９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 几何类模型思想 构造思想 第１２讲　沙漏模型 １１０ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 几何类模型思想 构造思想 第１３讲　归纳与递推 １１９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 计数类递推法 标数法 第１４讲　直线型几何综合 １２８ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 几何类模型思想 构造思想 第１５讲　构造论证 １３９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 组合类分类思想 极端思想 整体思想 第１６讲　 数学思想方法综合 １４７ 数学思想方法

１ １ 　 进位制问题 　　“进位制”是指进位的法则ꎮ我们已经学过的一条法则———逢１０进１ꎬ又称“十进制”ꎮ常见 的还有二进制、三进制、四进制􀆺􀆺这么多进位制ꎬ怎么把它们区分开来呢? 一般地ꎬ如没有特殊 说明ꎬ都默认十进制ꎬ如果要表示其他进制ꎬ就采用括号加脚标的形式ꎬ例如二进制中的１１０ꎬ我 们就写成(１１０) ２ꎬ五进制中的２３４就写成(２３４) ５ꎻ进制之间可以相互转换:①ｎ进制换十进制:位 值原理法ꎻ②十进制换ｎ进制:短除倒取余数法ꎻ③ｍ进制换ｎ进制:十进制做“中介”ꎬ即先把 ｍ进制换成十进制ꎬ再把十进制换成ｎ进制ꎮ 　　在ｎ进制中ꎬ会用到ｎ种数字:从０到(ｎ－１)ꎬ即(１)ｎ进制中不可能出现数字ｎ以及比ｎ更 大的数ꎬ如六进制中不可能出现数字６、７、８、９等ꎮ反过来ꎬ如果一个数中出现了数字６或大于６ 的数字ꎬ这个数就一定不会是六进制数ꎬ如３２６、７３１都不可能是六进制数ꎻ(２)ｎ进制中ꎬ出现的 数字可能会超出０到９这十种数字ꎬ比如十六进制ꎬ必须逢１６才能进１ꎬ所以从０开始数到９之 后不能进位ꎬ数学上约定在十六进制中用字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ来表示十进制中的１０、１１、１２、１３、 １４、１５ꎮ (１)１２３４＝(　　　　) ２＝(　　　　) ３＝(　　　　) ６＝(　　　　) １６ (２)(１２３４) ８＝(　　　　) １０ (１２３４) ５＝(　　　　) １０ 第１１辑 ２ 　 　　(１)１２３４＝(１００１１０１００１０) ２＝(１２００２０１) ３＝(５４１４) ６＝(４Ｄ２) １６ 　　 　　 　　 　　(２) (１２３４) ８从右往左的数字ꎬ分别表示８０ꎬ８１ꎬ８２ꎬ８３ꎬ所以１×８３＋２×８２＋３×８１＋４×８０＝５１２＋ １２８＋２４＋４＝６６８ꎬ所以(１２３４) ８＝(６６８) １０ꎮ(１２３４) ５从右往左的数字ꎬ分别表示５０ꎬ５１ꎬ５２ꎬ５３ꎬ所以 １×５３＋２×５２＋３×５１＋４×５０＝１２５＋５０＋１５＋４＝１９４ꎬ所以(１２３４) ５＝(１９４) １０ꎮ (１)５６７＝(　　　　) ２＝(　　　　) ３＝(　　　　) ６＝(　　　　) １６ (２)(５６７) ８＝(　　) １０　　　(４３２) ５＝(　　) １０ 第１讲􀅰进位制问题 ３ 　 (１)９９９＝(　　　　) ４＝(　　　　) ５ (２)(１２１) ９＝(　　) １０　　　　　(２３２) ７＝(　　) １０ (ＡＤＤ) １６＝(　　　　) １０　　　　　９９９９＝(　　　　) １５ (１２１２１２１２) ３＝(　　　　) ６＝(　　　　) ９ (ＢＣＤ) １６＝(　　　　) ８＝(　　　　) ４ 第１１辑 ４ 　 　　(１２１２１２１２) ３＝１×３７＋２×３６＋１×３５＋２×３４＋１×３３＋２×３２＋１×３１＋２×３０＝(４１００) １０ 　　 　　(ＢＣＤ) １６＝１１×１６２＋１２×１６１＋１３×１６０＝(３０２１) １０ 　　 　　故(１２１２１２１２) ３＝(３０５５２) ６＝(５５５５) ９　　(ＢＣＤ) １６＝(５７１５) ８＝(２３３０３１) ４ (１２１２) ７＝(　　) １４　　　　(９９９) １２＝(　　) ６ (２２２２) ３＝(　　) ９　　　　(６６６) １１＝(　　) ５ (１ＣＡ) １６＝(　　) １４ 第１讲􀅰进位制问题 ５ 　 (１)(１０１) ２×(１０１１) ２－(１１０１１) ２＝(　　　　) ２ (２)(１１０００１１１) ２－(１０１０１) ２÷(１１) ２＝(　　　　) ２ 　　先把二进制转换成十进制ꎬ在十进制下进行计算ꎬ结果再转换成二进制ꎮ 　　(１)(１０１) ２＝(５) １０　　　　　(１０１１) ２＝(１１) １０　　　　　(１１０１１) ２＝(２７) １０ 　　(５) １０×(１１) １０－(２７) １０＝(２８) １０＝(１１１００) ２ 第１１辑 ６ 　 　　或 　　故填１１１００ꎮ 　　(２)(１１０００１１１) ２＝(１９９) １０ 　　(１０１０１) ２＝(２１) １０ 　　(１１) ２＝(３) １０ 　　(１９９) １０－(２１) １０÷(３) １０＝(１９２) １０＝(１１００００００) ２ 　　或 　　故填１１００００００ꎮ (１１０１) ２×(１１０１) ２－(１１１１０１１) ２＝(　　　　) ２ (１１１) ２×(１０１０１) ２÷(１１) ２＝(　　　　) ２ (５４５３) ７＋(６２４５) ７＝(　　) ７ 在六进制中有三位数ａｂｃꎬ化为九进制为ｃｂａꎬ这个三位数在十进制中是多少? 第１讲􀅰进位制问题 ７ 　 　　先把２个数转换成十进制: 　　(ａｂｃ) ６＝ａ×６２＋ｂ×６１＋ｃ×６０＝３６ａ＋６ｂ＋ｃꎻ(ｃｂａ) ９＝ｃ×９２＋ｂ×９１＋ａ×９０＝８１ｃ＋９ｂ＋ａꎮ 　　所以３６ａ＋６ｂ＋ｃ＝８１ｃ＋９ｂ＋ａꎬ于是３５ａ＝３ｂ＋８０ｃꎮ 　　因为３５ａ是５的倍数ꎬ８０ｃ也是５的倍数ꎬ所以３ｂ也必须是５的倍数ꎬ则ｂ也是５的倍数ꎬ所以 ｂ＝０或５(在六进制中最大为５)ꎮ 　　①若ｂ＝０ꎬ则３５ａ＝８０ｃꎬ即７ａ＝１６ｃꎻ由于７、１６的最大公因数是１ꎬ且ａ、ｃ均不为０ꎬ所以ａ＝１６ꎬ ｃ＝７ꎬ但是在六、九进制下ꎬ不可以有一个数为１６ꎬ所以这种情况不成立ꎮ 　　②若ｂ＝５ꎬ则３５ａ＝３×５＋８０ｃꎬ即７ａ＝３＋１６ｃꎬａ＝３＋１６ｃ ７ ꎬ当ｃ＝２时ꎬａ＝５ꎻ当ｃ＝９时ꎬａ＝２１(此种 情况舍去ꎬ因为在六、九进制下ꎬ不可以有一个数为２１)ꎬ则(ａｂｃ) ６＝(５５２) ６＝５×６２＋５×６＋２＝２１２ꎮ 　　所以这个三位数在十进制中为２１２ꎮ 第１１辑 ８ 　 在五进制中有三位数ａｂｃꎬ化为八进制为ｃｂａꎬ这个三位数在十进制中为多少? 在七进制中有三位数ａｂｃꎬ换成九进制为ｃｂａꎬ这个三位数在十进制中为多少? 一个十进制三位数ａｂｃꎬ它的八进制形式恰好为１ｃｂａꎬ这个十进制三位数是多少? 算式１５３４×２５＝４３２１４是几进制数的乘法? 第１讲􀅰进位制问题 ９ 　 　　我们来看末尾ꎬ在足够大的进制中ꎬ我们知道４×５＝２０ꎬ末尾为０ꎬ但是现在的末尾为４ꎬ２０－４＝ １６ꎬ所以进制为１６的因数ꎬ可能是二、四、八或十六进制ꎮ因为算式中有数字５ꎬ不可能有超过进制 的数字ꎬ所以二、四进制排除ꎮ在十进制中有１５３４×２５＝３８３５０<４３２１４ꎬ所以在算式中不到１０就有 进位ꎬ即进制小于十ꎬ所以这里的进制为八进制ꎮ 算式２１４×３＝１０５０在几进制下成立? 第１１辑 １０ 　 算式４×１３＝１００在几进制下成立? 算式３１４÷４＝７１在几进制下成立? 进制问题解答技巧: 一、关于进制 　　１. ｎ进制:“逢ｎ进１ꎬ借１当ｎ”ꎬ如:十进制的特点“逢１０进１ꎬ借１当１０”ꎻ二进制的特点 “逢２进１ꎬ借１当２”ꎻ 　　２. ｎ进制的四则混合运算和十进制一样:先乘除ꎬ后加减ꎻ同级运算先左后右ꎻ有括号时先计 算括号内的ꎮ 二、进制转换 　　１. 十进制转换ｎ进制:短除倒取余数法ꎻ 　　２. ｎ进制转换十进制:位值原理法ꎻ 　　３. ｎ进制转换ｍ进制:十进制做桥梁ꎬ即先把ｎ进制转换成十进制ꎬ再把十进制转换成ｍ 进制ꎮ 三、进制判断 　　判断一个式子在何种进制下成立ꎬ一般依靠以下两种方法: 　　１. 数字特征法:在ｎ进制下ꎬ每个数字都不能大于(ｎ－１)ꎬ如在九进制下ꎬ每个数字都不能大 于８ꎻ反过来说ꎬ若ｎ进制下出现８这个数字ꎬ则ｎ必定大于８ꎬ至少为九进制ꎮ 　　２. 尾数特征法:观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果再对比式子结果的尾 数ꎬ找出进位进了多少ꎬ再推断进制ꎮ

２ １１ 　 整数裂项与通项归纳 　　裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用ꎮ具体步骤是将数列中的每项分解ꎬ然 后重新组合ꎬ使之能消去一些项ꎬ最终达到求和的目的ꎮ 　　对于比较复杂的式子ꎬ我们可以先找通项ꎬ再进行分组裂项ꎮ 　　常见的整数裂项有如下几种情形: 　　①出现的数为等差数列ꎻ 　　②连续两项相乘ꎬ前后有相同项ꎮ 　　常见的通项归纳有如下几种情形: 　　①每一项之间有递推规律ꎻ 　　②化简式子后可以找到递推规律ꎮ １×２＋２×３＋３×４＋４×５＋５×６＋６×７＋７×８＋８×９＋９×１０＝(　　)ꎮ 　　本题项数较少ꎬ可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和ꎬ但是对于项数较多的情 第１１辑 １２ 　 况显然不能这样进行计算ꎮ对于项数较多的情况ꎬ可以进行如下变形: 　　ｎ(ｎ＋１)＝ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)－(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１) ３ ＝１ ３ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)－１ ３(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１) 　　原式＝１ ３×１×２×３＋( １ ３×２×３×４－１ ３×１×２×３) ＋􀆺＋( １ ３×９×１０×１１－１ ３×８×９×１０) ＝１ ３×９×１０× １１＝３３０ 　　答:结果为３３０ꎮ 计算:１×２＋２×３＋３×４＋􀆺＋４９×５０ꎮ 计算:１×４＋４×７＋７×１０＋􀆺＋４９×５２ꎮ 计算:１×２＋３×４＋５×６＋􀆺＋９９×１００ ２×３＋４×５＋􀆺＋９８×９９ ꎮ １×２×３＋２×３×４＋３×４×５＋􀆺＋９×１０×１１＝(　　)ꎮ 第２讲􀅰整数裂项与通项归纳 １３ 　 　　可以进行如下变形:ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)＝１ ４ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)－１ ４(ｎ－１)ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２) 　　原式＝１ ４×１×２×３×４＋( １ ４×２×３×４×５－１ ４×１×２×３×４)＋􀆺＋( １ ４×９×１０×１１×１２－１ ４×８×９×１０×１１) 　　 ＝１ ４×９×１０×１１×１２＝２９７０ 　　答:结果为２９７０ꎮ 计算:１×３×５＋３×５×７＋􀆺＋１７×１９×２１ꎮ 计算:１０×１６×２２＋１６×２２×２８＋􀆺＋７０×７６×８２＋７６×８２×８８ꎮ 计算:１×２×３×４×５＋２×３×４×５×６＋􀆺＋１０×１１×１２×１３×１４ꎮ 第１１辑 １４ 　 １×１!＋２×２!＋３×３!＋􀆺＋２００８×２００８! ＝(　　)ꎮ 　　可以进行如下变形: 　　１×１! ＝(２－１)×１! ＝２!－１! 　　２×２! ＝(３－１)×２! ＝３!－２! 　　３×３! ＝(４－１)×３! ＝４!－３! 　　􀆺􀆺 　　２００８×２００８! ＝(２００９－１)×２００８! ＝２００９!－２００８! 　　所以１×１!＋２×２!＋３×３!＋􀆺＋２００８×２００８! ＝２００９!－１ 　　答:结果为２００９!－１ꎮ ３×３!＋４×４!＋５×５!＋􀆺＋１９８０×１９８０! ＝(　　)ꎮ 已知１×１!＋３×３!＋５×５!＋􀆺＋９×９! ＝ａꎬ ２×２!＋４×４!＋６×６!＋􀆺＋１０×１０! ＝ｂꎬ 求ａ＋ｂ的值ꎮ 第２讲􀅰整数裂项与通项归纳 １５ 　 计算: １ ２!＋２ ３!＋３ ４!＋􀆺＋１２ １３!ꎮ １ ３＋１ ３＋５＋ １ ３＋５＋７＋􀆺＋ １ ３＋５＋７＋􀆺＋２１＝(　　)ꎮ 　　先找通项:ａｎ＝ １ ３＋５＋􀆺＋(２ｎ＋１)＝ １ １ ２×(２ｎ＋１＋３)×ｎ ＝ １ ｎ(ｎ＋２) 　　原式＝１ １×３＋１ ２×４＋１ ３×５＋１ ４×６＋􀆺＋ １ ９×１１＋ １ １０×１２ 第１１辑 １６ 　 　　 ＝( １ １×３＋１ ３×５＋􀆺＋ １ ９×１１)＋( １ ２×４＋１ ４×６＋􀆺＋ １ １０×１２) 　　 ＝１ ２× ( １ １－１ １１)＋１ ２× ( １ ２－１ １２) ＝１７５ ２６４ 　　答:结果为１７５ ２６４ꎮ 计算: １ ２＋１ ２＋４＋ １ ２＋４＋６＋ １ ２＋４＋６＋８＋ １ ２＋４＋６＋８＋１０＋ １ ２＋４＋６＋８＋１０＋１２ꎮ 计算: １ ２ １＋１ ２ ＋ １ ３ (１＋１ ２)× (１＋１ ３) ＋􀆺＋ １ １９９９ (１＋１ ２)× (１＋１ ３)×􀆺× (１＋１ １９９９) ꎮ 计算:２×２ １×３＋４×４ ３×５＋６×６ ５×７＋８×８ ７×９＋１０×１０ ９×１１ꎮ 计算:１２＋２２ １×２＋２２＋３２ ２×３＋􀆺＋２００４２＋２００５２ ２００４×２００５＋２００５２＋２００６２ ２００５×２００６ꎮ 第２讲􀅰整数裂项与通项归纳 １７ 　 　　先来分析一下它的通项ꎬａｎ＝ｎ２＋(ｎ＋１) ２ ｎ(ｎ＋１) ＝(ｎ＋１) ２ ｎ(ｎ＋１) ＋ ｎ２ ｎ(ｎ＋１)＝ｎ＋１ ｎ＋ｎ ｎ＋１ꎬ代入计算ꎻ也可以继 续化简为ａｎ＝ｎ２＋(ｎ＋１) ２ ｎ(ｎ＋１) ＝２ｎ２＋２ｎ＋１ ｎ２＋ｎ ＝２＋ １ ｎ２＋ｎ ＝２＋ １ ｎ(ｎ＋１)ꎬ再代入计算ꎮ 　　原式＝( ２ １＋１ ２)＋( ３ ２＋２ ３)＋( ４ ３＋３ ４) ＋( ５ ４＋４ ５) ＋􀆺＋( ２００５ ２００４＋２００４ ２００５) ＋( ２００６ ２００５＋２００５ ２００６) ＝２００５×２＋ ２００５ ２００６＝４０１０２００５ ２００６ꎮ 　　答:结果为４０１０２００５ ２００６ꎮ 计算: ２２ ３２－１ × ４２ ５２－１ × ６２ ７２－１ ×􀆺× １９９８２ １９９９２－１ ꎮ 第１１辑 １８ 　 计算: ３ １２＋ ５ １２＋２２＋ ７ １２＋２２＋３２＋􀆺＋ ２１ １２＋２２＋􀆺＋１０２ꎮ 计算: １２ １２－１００＋５０００ ＋ ２２ ２２－２００＋５０００ ＋􀆺＋ ９９２ ９９２－９９００＋５０００ ꎮ 　　裂项法是解决复杂且有规律数列求和的重要方法ꎬ在出现的数为等差数列或者连续两项相 乘ꎬ前后有相同项的数列时常常可以使用裂项法ꎮ

３ １９ 　 多人多次相遇与追及 　　我们已经学习了基础相遇与追及问题ꎬ以及稍复杂的环形跑道问题ꎬ这一讲中我们将学习更 加复杂的多人多次相遇与追及问题ꎮ 　　解决此类问题ꎬ我们常常需要借助线段图、比例法或者柳卡图等多种方法ꎮ 小明、小红两名同学在周长为４００米的圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步ꎮ 小明每秒钟跑４.５米ꎬ小红每秒钟跑５.５米ꎮ他们第八次相遇时ꎬ小明还需跑多少 米才能回到出发点? 第１１辑 ２０ 　 　　从开始到两人第八次相遇的这段时间内ꎬ小明、小红两人共跑的路程是跑道周长的８倍ꎬ为 ４００×８＝３２００(米)ꎬ因为小明每秒钟跑４.５米ꎬ小红每秒钟跑５.５米ꎬ所以这段时间小明共跑了 ３２００÷(４.５＋５.５)×４.５＝１４４０(米)ꎬ１４４０÷４００＝３􀆺􀆺２４０(米)ꎬ也就是小明最后一次离开出发点继 续跑了２４０米ꎬ可知小明还需跑４００－２４０＝１６０(米)才能回到出发点ꎮ 乐乐和小明沿着学校的环形林荫道散步ꎬ小明每分钟走５５米ꎬ乐乐每分钟走６５米ꎮ已知 林荫道周长是３６０米ꎬ他们从同一地点同时背向而行ꎮ在他们第７次相遇后小明再走多少 米就能回到出发点? 小明、丁丁二人在圆形水池边玩ꎬ他们从同一地点同时背向绕水池而行ꎮ小明每分钟走 ５５米ꎬ丁丁每分钟走６５米ꎮ１０次相遇一共用了８分钟ꎬ丁丁再走多少米才能回到出发点? 甲、乙两车分别从Ａ、Ｂ两地同时出发ꎬ在Ａ、Ｂ两地之间不断往返行驶ꎬ已知甲车的速度是 乙车速度的４ ６ꎬ并且甲、乙两车第９次迎面相遇的地点与第１０次迎面相遇的地点恰好相 距１６０米ꎮ那么ꎬＡ、Ｂ两地之间的距离等于多少米? 第３讲􀅰多人多次相遇与追及 ２１ 　 小明和小红两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始ꎬ以匀速按相反的方 向绕此圆形场地运动ꎬ当小红走了１００米时ꎬ他们第一次相遇ꎬ在小明走完一周 前５０米处又第二次相遇ꎮ求此圆形场地的周长ꎮ 　　小明和小红第一次相遇所走的总路程为半个圆ꎬ从第一次相遇到第二次相遇总路程为１个 圆ꎬ小红的速度不变ꎬ２×小红从出发点到相遇点１的路程＝小红从相遇点１到相遇点２的路程＝２× １００＝２００(米)ꎮ所以小红行走的总路程＝小红从出发点到相遇点２的路程＝３×１００＝３００(米)ꎬ半 圆的周长为３００－５０＝２５０(米)ꎬ整个圆的周长为２５０×２＝５００(米)ꎮ 第１１辑 ２２ 　 如图ꎬＡ、Ｂ是圆的直径的两端ꎬ李明在Ａ点ꎬ王宏在Ｂ点ꎬ同时出发相向行走ꎬ他们在Ｃ点第 一次迎面相遇ꎬＣ点离Ａ点９０米ꎻ在Ｄ点第二次迎面相遇ꎬＤ点离Ｂ点５０米ꎬ这个圆的周 长是多少? 　 如图ꎬ有一个圆ꎬ两只小虫分别从直径的两端Ａ与Ｃ同时出发ꎬ绕圆相向而行ꎬ它们第一次 迎面相遇时在离Ａ点８厘米处的Ｂ点ꎬ第二次迎面相遇时在离Ｃ点６厘米处的Ｄ点ꎬ这个 圆的周长是多少? 　 如图ꎬ操场是一个边长为１００米的正方形ꎬ甲、乙两人同时从Ａ点出发ꎬ甲逆时针每分钟行 １５０米ꎬ乙顺时针每分钟行９０米ꎮ两人第一次在ＣＤ边(不包括ＣＤ两点)上相遇ꎬ是出发 以后的第几次相遇? 　 第３讲􀅰多人多次相遇与追及 ２３ 　 甲、乙两车同时分别从Ａ、Ｂ两地相对开出ꎬ两车第一次在距Ａ地４０千米处迎面相 遇ꎬ相遇后继续行驶ꎬ各自达到Ｂ、Ａ两地后ꎬ立即沿原路返回ꎬ第二次在距Ａ地 ５０千米处迎面相遇ꎬ则Ａ、Ｂ两地间的距离是多少千米? 　　第一次迎面相遇甲、乙的路程和是一个Ａ、Ｂ的距离ꎬ甲走了４０千米ꎻ第二次迎面相遇甲、乙的 路程和是三个Ａ、Ｂ的距离ꎮ那么甲共走了４０× ３＝１２０( 千米)ꎮ甲差５０千米走了两个Ａ、Ｂ 的距离ꎮ 　　(１２０＋５０)÷２＝８５(千米) 　　答:Ａ、Ｂ两地间的距离是８５千米ꎮ 第１１辑 ２４ 　 李明、王宏二人以均匀的速度分别从Ａ、Ｂ两地同时出发ꎬ相向而行ꎮ他们第一次迎面相遇 地点离Ａ地５千米ꎬ相遇后二人继续前进ꎬ走到对方出发点后立即返回ꎬ在距Ｂ地３千米处 二人第二次迎面相遇ꎬ两次迎面相遇地点之间的距离是多少? 小丁和小李两人分别从Ａ、Ｂ两地同时出发ꎬ在Ａ、Ｂ之间往返跑步ꎬ小丁每秒跑３米ꎬ小李 每秒跑７米ꎬ如果他们第三次迎面相遇点与第四次迎面相遇点的距离是２００米ꎬ那么Ａ、Ｂ 两地之间的距离是多少米? Ａ、Ｂ两地相距８５０米ꎬ小红和小明两人同时由Ａ地出发ꎬ在Ａ、Ｂ两地之间往返锻炼半小 时ꎮ小红步行ꎬ每分钟走４０米ꎻ小明跑步ꎬ每分钟跑１３０米ꎮ则小明、小红二人第几次迎 面相遇时距Ｂ地最近? 小明和小红二人分别从Ａ、Ｂ两地同时相向而行ꎮ小明的速度是每小时１５千米ꎬ 小红的速度是每小时１０千米ꎮ二人迎面相遇后继续行进ꎬ小明到Ｂ地、小红到Ａ 地后立即返回ꎮ已知二人第四次迎面相遇的地点距第三次迎面相遇的地点１６千 米ꎬ那么Ａ、Ｂ两地相距多少千米? 第３讲􀅰多人多次相遇与追及 ２５ 　 　　小明、小红两人的速度比为１５∶１０＝３∶２ꎬ 　　则相同时间内小明、小红两人走过的路程比也为３∶２ꎬ 　　全程分为５份ꎬ可知第三次迎面相遇小明和小红共走３×２－１＝５(个)全程ꎬ小明走了３×５＝ １５(份)ꎬ距Ａ地５份路程ꎬ在图中Ｂ处ꎻ 　　第四次迎面相遇小明和小红共走４×２－１＝７(个)全程ꎬ小明走了３×７＝２１(份)ꎬ距Ａ地１份路 程ꎬ在图中Ｃ处ꎬ所以Ａ、Ｂ的距离是１６÷(５－１)×(２＋３)＝２０(千米)ꎮ 　　答:Ａ、Ｂ两地相距２０千米ꎮ 第１１辑 ２６ 　 小明、小红二人分别从Ａ、Ｂ两地同时出发相向而行ꎬ他们在Ａ、Ｂ之间往返跑步ꎮ小明每分 钟跑１６５米ꎬ小红每分钟跑１１０米ꎮ如果他们的第７次迎面相遇点与第８次迎面相遇点的 距离是８０米ꎬ那么Ａ、Ｂ两地间的距离为多少米? 小明、小红两人分别从Ａ、Ｂ两地同时出发相向而行ꎬ小红的速度是小明的３ ４ꎬ两人相遇后继 续行进ꎬ小明到Ｂ地、小红到Ａ地后立即返回ꎮ已知两人第二次迎面相遇的地点距第三次 迎面相遇的地点是６０米ꎬ那么ꎬＡ、Ｂ两地相距多少米? 已知Ａ、Ｂ两地相距４８０米ꎬ甲、乙分别从Ａ、Ｂ两地同时出发相向而行ꎬ在Ａ、Ｂ两地间往 返锻炼ꎮ甲每分钟行３０米ꎬ乙每分钟行４０米ꎮ在４０分钟内甲、乙两人第几次相遇时距 Ｂ地最近(从后面追上也算作相遇)? (得数保留整数) 每天中午有一艘轮船从上海开往大连ꎬ每天同一时刻也有一艘轮船从大连开往上海ꎮ轮船 在途中均要航行四天四夜ꎮ某艘从上海开出的轮船在到达大连时能遇上几艘从大连开来的 轮船? (包括起点和终点处遇到的轮船) 第３讲􀅰多人多次相遇与追及 ２７ 　 　　这是著名的柳卡问题ꎮ下面介绍法国数学家柳卡􀅰斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法ꎮ 他先画了如下一幅图: 　　在平面上画两条平行线ꎬ一条直线表示上海ꎬ另一条直线表示大连ꎮ那么ꎬ从上海或大连开出 的轮船ꎬ就可用图中的两组平行线来表示ꎬ图中的每条线段分别表示每条船的航行情况ꎮ实线表 示从上海驶出的轮船在海上的航行ꎬ它与其他线段的交点即为与从大连驶出的轮船相遇的情况ꎮ 　　从图中可以看出ꎬ某天中午从上海驶出的一艘轮船(图中用实线表示)会与从大连驶出的９艘 轮船相遇(图中用虚线表示)ꎮ而且在这相遇的９艘轮船中有１艘是在出发时遇到(从大连刚到达 上海)ꎬ１艘是到达大连时遇到(刚好从大连驶出)ꎬ剩下的７艘则在海上相遇ꎮ这就是著名的柳 卡图ꎮ 第１１辑 ２８ 　 甲港和乙港间新开辟了一条航线ꎬ每天正午分别从两港相对开出一艘船ꎮ若所有船的速度 相同ꎬ且从甲港到乙港要航行５昼夜ꎬ则通航的第３天(通航日为第一天)从甲港开出的那 艘船在航线上遇到乙港开来的船(不包括在港口的相遇)共有多少艘? 甲、乙两人在相距６０米的直路上来回跑步ꎬ甲的速度是每秒跑４米ꎬ乙的速度是每秒跑 ３米ꎮ如果他们同时分别从直路两端出发ꎬ１０分钟内共相遇几次(从背面追上也算相遇)? 甲、乙两人分别从Ａ、Ｂ两地出发相向而行ꎬ在Ａ、Ｂ两地之间不断往返行走ꎮ当甲走了 ４个来回的时候ꎬ乙恰好走了６个来回ꎮ在甲、乙两人行进的过程中ꎬ两人一共相遇了多 少次(迎面碰到和追上都算相遇)? 第３讲􀅰多人多次相遇与追及 ２９ 　 一、基本公式 　　路程＝速度×时间ꎬ路程和＝速度和×相遇时间ꎬ路程差＝速度差×追及时间 二、行程中的比例 　　设甲、乙两个人所走的路程分别为ｓ甲、ｓ乙ꎻ速度分别为ｖ甲、ｖ乙ꎻ所用时间分别为ｔ甲、ｔ乙时ꎬ由 于ｓ甲＝ｖ甲×ｔ甲ꎬｓ乙＝ｖ乙×ｔ乙有如下关系: 　　１.当时间相同ꎬ即ｔ甲＝ｔ乙时ꎬｓ甲∶ｓ乙＝ｖ甲∶ｖ乙ꎻ 　　２.当速度相同ꎬ即ｖ甲＝ｖ乙时ꎬｓ甲∶ｓ乙＝ｔ甲∶ｔ乙ꎻ 　　３.当路程相同ꎬ即ｓ甲＝ｓ乙时ꎬｖ甲∶ｖ乙＝ｔ乙∶ｔ甲ꎮ 三、行程中的多次相遇 　　１. 环形跑道上的多次相遇与追及问题 　　同时同地背向而行ꎬ每合走一个圆的周长ꎬ两人相遇一次ꎬ第ｎ次相遇ꎬ两人合走ｎ个圆的周长ꎮ 　　同时同地同向而行ꎬ快的比慢的多走一个圆的周长ꎬ两人相遇时ꎬ第ｎ次追及ꎬ两人的路程差 是ｎ个圆的周长ꎮ 　　２. 直线型相遇与追及问题 　　设一个全程中甲走的路程为Ｍꎬ乙走的路程为Ｎ 　　①甲、乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题: 相遇次数甲、乙共行的路程和 甲共走的路程 乙共走的路程 １ １ Ｍ Ｎ ２ ３ ３Ｍ ３Ｎ ３ ５ ５Ｍ ５Ｎ 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 ｎ ２ｎ－１ (２ｎ－１)Ｍ (２ｎ－１)Ｎ 　　②同一出发点的直线型多次相遇问题: 相遇次数甲、乙共行的路程和 甲共走的路程 乙共走的路程 １ ２ ２Ｍ ２Ｎ ２ ４ ４Ｍ ４Ｎ ３ ６ ６Ｍ ６Ｎ 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 ｎ ２ｎ ２ｎＭ ２ｎＮ 　　注:①每次相遇指的是迎面相遇ꎻ②两人速度不变ꎬ且没有停留ꎮ 　　画柳卡图可以解决迎面相遇和追及相遇的总次数ꎮ 第１讲　进位制问题 ０１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第２讲　整数裂项与通项归纳 ０３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第３讲　多人多次相遇与追及 ０５ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第４讲　扶梯与发车问题 ０７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第５讲　工程问题进阶 ０９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第６讲　经济问题 １１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第７讲　浓度问题 １３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第８讲　数论中的计数 １５ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第９讲　比例法解应用题 １７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１０讲　分数、百分数应用题 １９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１１讲　燕尾模型 ２１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１２讲　沙漏模型 ２３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１３讲　归纳与递推 ２５ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１４讲　直线型几何综合 ２７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１５讲　构造论证 ２９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１６讲　数学思想方法综合 ３１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１讲 进位制问题 １ (５６７８) １０＝(　　　　) ４＝(　　　　) １６ ２ (４４４４) ５＝(　　　　) １０　　　(３３３３) ９＝(　　　　) １０ ３ (７７７) ８＝(　　　　) １６　　　(７７７) ３＝(　　　　) ２ ４ (９９９) １６＝(　　　　) ７　　　(９９９) ３＝(　　　　) ４ ５ (１００１１) ２＋(１１００１) ２＋(１０００１１) ２＝(　　　　) ２ (１１００１) ２×(１１１) ２＋(１０００１１) ２＝(　　　　) ２ ６ (１２３) ５×(１２３) ５＝(　　　　) ５　　　(１２３) ７×(１２３) ７＝(　　　　) ７ １ ０ 小学数学·第１１辑 ７ 一个十进制三位数ａｂｃꎬ它的二进制表达式是一个七位数１ａｂｃａｂｃꎬ这个十进制的三 位数是多少? ８ 一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数ꎬ并且它的各位数字的排列顺序恰 好相反ꎬ这个自然数用十进制表示是多少? ９ 算式１５×１６＝２６６在几进制下成立? １０ ａ、ｂ是自然数ꎬａ进制下的数４７和ｂ进制下的数７４相等ꎬａ与ｂ的和的最小值 是多少? ２ ０ 第２讲 　　整数裂项与通项归纳 １ 计算:２００４×２００３－２００３×２００２＋２００２×２００１－２００１×２０００＋􀆺＋２×１ꎮ ２ 计算:１×２×３×４＋３×４×５×６＋５×６×７×８＋􀆺＋９７×９８×９９×１００ꎮ ３ 计算: (１＋ １ ２２－１)× (１＋ １ ３２－１)×􀆺× (１＋ １ ９９２－１)ꎮ ４ 计算: (１－１ ２)× (２－２ ３)× (３－３ ４)×􀆺× (８－８ ９)× (９－９ １０)ꎮ ５ 计算: ５ ３!＋１１ ４!＋１９ ５!＋􀆺＋ｎ２＋３ｎ＋１ (ｎ＋２)! ꎮ ３ ０ 小学数学·第１１辑 ６ 计算:１＋２ ２×１＋２＋３ ２＋３×１＋２＋３＋４ ２＋３＋４×􀆺×１＋２＋３＋􀆺＋５０ ２＋３＋􀆺＋５０ꎮ ７ 计算:１２ １３－１２＋２２ １３＋２３＋１２＋２２＋３２ １３＋２３＋３３－１２＋２２＋３２＋４２ １３＋２３＋３３＋４３＋􀆺－１２＋２２＋􀆺＋２６２ １３＋２３＋􀆺＋２６３ꎮ ８ 计算:２４× ( １ ２×３＋１ ４×５＋􀆺＋ １ ２０×２１)－( １ １２＋ １ １２＋２２＋􀆺＋ １ １２＋２２＋􀆺＋１０２)ꎮ ９ 计算:１２＋２２＋３２ ３ ＋２２＋３２＋４２ ３＋５ ＋􀆺＋８２＋９２＋１０２ ３＋５＋􀆺＋１７ꎮ １０ 计算:３－ ２ ３－２ ⋮ ３－２ ３ (共２０２３条分数线)ꎮ ４ ０ 第３讲 　多人多次相遇与追及 １ 甲、乙两名同学在周长为３００米的圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步ꎬ甲每 秒钟跑３.５米ꎬ乙每秒钟跑４米ꎬ问:他们第十次相遇时ꎬ甲还需跑多少米才能回到出发点? ２ 甲、乙两人从４００米的环形跑道上一点Ａ同时出发背向而行ꎬ８分钟后两人第五次 相遇ꎬ已知每分钟甲比乙多走６米ꎬ那么两人第五次相遇的地点与点Ａ沿跑道上的最短路 程是多少米? ３ 如图ꎬＡ、Ｂ是圆的一条直径的两端ꎬ甲在Ａ点ꎬ乙在Ｂ点ꎬＡ、Ｂ同时出发反向而行ꎬ 两人在Ｃ点第一次迎面相遇ꎬ在Ｄ点第二次迎面相遇ꎮ已知Ｃ离Ａ有８０米ꎬＤ离Ｂ有 ６０米ꎬ求这个圆的周长ꎮ ４ 甲、乙二人以均匀的速度分别从Ａ、Ｂ两地同时出发ꎬ相向而行ꎬ他们第一次迎面相 遇地点离Ａ地１８千米ꎬ相遇后二人继续前进ꎬ走到对方出发点后立即返回ꎬ在距Ｂ地１３千 米处第二次迎面相遇ꎬ求Ａ、Ｂ两地之间的距离ꎮ ５ 第十一届“走美杯”初赛 甲从Ａ地出发前往Ｂ地ꎬ乙、丙两人从Ｂ地出发前往 Ａ地ꎮ甲行了５０千米后ꎬ乙和丙才同时从Ｂ地出发ꎮ结果ꎬ甲和乙在Ｃ地迎面相遇ꎬ甲和 丙在Ｄ地迎面相遇ꎮ已知ꎬ甲的速度是丙的３倍ꎬ是乙的１.５倍ꎬＣ、Ｄ两地之间的距离是 １２千米ꎮ那么Ａ、Ｂ两地之间的距离是多少千米? ５ ０ 小学数学·第１１辑 ６ 甲、乙两车分别从Ａ、Ｂ两地出发ꎬ并在Ａ、Ｂ两地间不断往返行驶ꎮ已知甲车的速 度是３０千米/ 时ꎬ乙车的速度是５０千米/ 时ꎬ甲、乙两车第３次迎面相遇地点与第４次迎面 相遇的地点相差１００千米ꎮ求Ａ、Ｂ两地的距离ꎮ ７ 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站ꎬ每隔４分钟有一辆电车从甲 站发出开往乙站ꎬ全程要走１２分钟ꎮ有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站ꎮ他 出发的时候ꎬ恰好有一辆电车到达乙站ꎮ在路上他又遇到了９辆迎面开来的电车ꎮ到达甲 站时ꎬ恰好又有一辆电车从甲站开出ꎮ问他从乙站到甲站用了多少分钟? ８ 第三十二届“迎春杯”初赛 如图ꎬＡ、Ｂ为圆形轨道一条直径的两个端点ꎬ甲、乙、丙 三个微型机器人在圆形轨道上同时出发ꎬ作匀速圆周运动ꎬ甲、乙从Ａ点出发ꎬ丙从Ｂ点出 发ꎻ乙顺时针运动ꎬ甲、丙逆时针运动ꎬ出发后１２秒钟甲到达Ｂ点ꎬ再过９秒钟甲第一次追 上丙时恰好也和乙第一次相遇ꎻ那么当丙第一次到达Ａ点后ꎬ再过多少秒钟ꎬ乙才第一次到 达Ｂ点? ９ Ａ、Ｂ两地相距１２５千米ꎬ甲、乙两人骑自行车分别从Ａ、Ｂ两地同时出发ꎬ相向而行ꎮ 丙骑摩托车以每小时６３千米的速度ꎬ与甲同时从Ａ地出发ꎬ在甲、乙两人间来回穿梭(与 乙相遇立即返回ꎬ与甲相遇也立即返回)ꎮ若甲骑车速度为每小时９千米ꎬ且当丙第二次回 到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处)ꎬ甲、乙两人相距４５千米ꎮ问:当 甲、乙两人相距２０千米时ꎬ甲与丙相距多少千米? ６ ０ 讲解册参考答案 第１讲　进位制问题　 ( １) ５６７＝( １０００１１０１１１) ２ ＝( ２１００００) ３ ＝ (２３４３) ６＝(２３７) １６ 解 析 　 (２)(５６７) ８＝(３７５) １０　(４３２) ５＝(１１７) １０ 解 析 (５６７)８从右往左的数字ꎬ分别表示８０ꎬ８１ꎬ８２ꎬ所以 ５×８２＋６×８１＋７×８０＝３２０＋４８＋７＝３７５ꎬ所以(５６７)８＝(３７５)１０ꎮ (４３２) ５从右往左的数字ꎬ分别表示５０ꎬ５１ꎬ５２ꎬ所以４×５２＋ ３×５１＋２×５０＝１００＋１５＋２＝１１７ꎬ所以(４３２) ５＝(１１７) １０ꎮ (１)９９９＝(３３２１３) ４＝(１２４４４) ５ 解 析 　 (２)(１２１) ９＝(１００) １０　(２３２) ７＝(１２１) １０ 解 析 (１２１) ９从右往左的数字ꎬ分别表示９０ꎬ９１ꎬ９２ꎬ所 以１× ９２＋２× ９１＋１× ９０＝８１＋１８＋１＝１００ꎬ所以(１２１) ９＝ (１００) １０ꎮ (２３２) ７从右往左的数字ꎬ分别表示７０ꎬ７１ꎬ７２ꎬ所以２×７２＋ ３×７１＋２×７０＝９８＋２１＋２＝１２１ꎬ所以(２３２) ７＝(１２１) １０ꎮ (ＡＤＤ) １６＝(２７８１) １０　９９９９＝(２Ｅ６９) １５ 解 析 (ＡＤＤ) １６从右往左的数字ꎬ分别表示１６０ꎬ１６１ꎬ １６２ꎬ所以１０×１６２＋１３×１６１＋１３×１６０＝２５６０＋２０８＋１３＝２７８１ꎬ 所以(ＡＤＤ) １６＝(２７８１) １０ꎮ (１２１２) ７＝(２４２) １４　(９９９) １２＝(１０３１３) ６ 解 析 先把(１２１２) ７转换到十进制ꎬ再从十进制转换到 十四进制ꎮ (１２１２) ７＝１× ７３＋２× ７２＋１× ７１＋２× ７０＝３４３＋９８＋７＋２＝ (４５０) １０ꎬ如图①ꎬ(４５０) １０＝(２４２) １４ꎮ先把(９９９) １２转换到 十进制ꎬ再从十进制转换到六进制ꎮ(９９９) １２＝９×１２２＋９× １２１＋９× １２０＝１２９６＋１０８＋９＝( １４１３) １０ꎬ如图②ꎬ (１４１３) １０＝(１０３１３) ６ꎮ 　 (２２２２) ３＝(８８) ９　(６６６) １１＝(１１１４３) ５ 解 析 先把(２２２２) ３转换到十进制ꎬ再从十进制转换到 九进制ꎮ (２２２２) ３＝２×３３＋２×３２＋２×３１＋２×３０＝５４＋１８＋６＋２＝(８０) １０ꎬ 如图①ꎬ(８０) １０＝(８８) ９ꎮ 先把(６６６) １１转换到十进制ꎬ再从十进制转换到五进制ꎮ (６６６) １１＝６×１１２＋６×１１１＋６×１１０＝７２６＋６６＋６＝(７９８) １０ꎬ如 图②ꎬ(７９８) １０＝(１１１４３) ５ꎮ (１ＣＡ) １６＝(２４Ａ) １４ 解 析 先把(１ＣＡ) １６转换到十进制ꎬ再从十进制转换到 十四进制ꎮ (１ＣＡ) １６＝１× １６２＋１２× １６１＋１０× １６０＝２５６＋１９２＋１０＝ (４５８) １０ꎬ如图ꎬ(４５８) １０＝(２４Ａ) １４ꎮ (１１０１) ２×(１１０１) ２－(１１１１０１１) ２＝(１０１１１０) ２ 解 析 方法１:(１１０１) ２＝(１３) １０　(１１１１０１１) ２＝(１２３) １０ (１３) １０×(１３) １０－(１２３) １０＝(４６) １０＝(１０１１１０) ２ 方法２: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １ ０ (１１１) ２×(１０１０１) ２÷(１１) ２＝(１１０００１) ２ 解 析 方法１:(１１１) ２＝(７) １０　(１０１０１) ２＝(２１) １０ (１１) ２＝( ３) １０　 ( ７) １０× ( ２１) １０÷ ( ３) １０＝( ４９) １０　 (４９) １０＝(１１０００１) ２ 方法２: (５４５３) ７＋(６２４５) ７＝(１５０３１) ７ 解 析 方法１:(５４５３) ７＝(１９４９) １０　(６２４５) ７＝(２１８９) １０ (１９４９) １０＋(２１８９) １０＝(４１３８) １０　(４１３８) １０＝(１５０３１) ７ 方法２: 这个三位数在十进制中为９１ꎮ 解 析 先把２个数转换成十进制: (ａｂｃ) ５＝ａ×５２＋ｂ×５１＋ｃ×５０＝２５ａ＋５ｂ＋ｃꎬ (ｃｂａ) ８＝ｃ×８２＋ｂ×８１＋ａ×８０＝６４ｃ＋８ｂ＋ａꎬ 所以２５ａ＋５ｂ＋ｃ＝６４ｃ＋８ｂ＋ａꎬ于是８ａ＝ｂ＋２１ｃꎮ ｃ＝８ａ－ｂ ２１ꎬ当ａ＝３ꎬｂ＝３时ꎬｃ＝１ꎻ当ａ＝６ꎬｂ＝６时ꎬｃ＝２(舍 去ꎬ五进制中不存在数字６ꎬ后面的情况也超过５ꎬ可以不 考虑)ꎬ(ａｂｃ) ５＝(３３１) ５＝３×５２＋３×５１＋１＝９１ꎮ 所以这个三位数在十进制中为９１ꎮ 这个三位数在十进制中为２４８ꎮ 解 析 先把２个数转换成十进制: (ａｂｃ) ７＝ａ×７２＋ｂ×７１＋ｃ×７０＝４９ａ＋７ｂ＋ｃꎬ (ｃｂａ) ９＝ｃ×９２＋ｂ×９１＋ａ×９０＝８１ｃ＋９ｂ＋ａꎬ 所以４９ａ＋７ｂ＋ｃ＝８１ｃ＋９ｂ＋ａꎬ于是２４ａ＝ｂ＋４０ｃꎮ 因为２４ａ是８的倍数ꎬ４０ｃ也是８的倍数ꎬ所以ｂ也必须是 ８的倍数ꎬ所以ｂ＝０或８(８舍去ꎬ因为在七进制下ꎬ不可能 有数字８)ꎮ 若ｂ＝０ꎬ则２４ａ＝４０ｃꎬ即３ａ＝５ｃꎻ由于３、５的最大公因数是 １ꎬ且ａ、ｃ均不为０ꎬ所以ａ＝５ꎬｃ＝３ꎮ (ａｂｃ) ７＝(５０３) ７＝５×７２＋３＝２４８ꎮ 所以这个三位数在十进制中为２４８ꎮ 这个十进制三位数是７４３ꎮ 解 析 先把２个数转换成十进制: (ａｂｃ) １０＝ａ×１０２＋ｂ×１０１＋ｃ×１００＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃꎬ (１ｃｂａ) ８＝１×８３＋ｃ×８２＋ｂ×８１＋ａ×８０＝５１２＋６４ｃ＋８ｂ＋ａꎬ 所以１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝５１２＋６４ｃ＋８ｂ＋ａꎬ于是９９ａ＋２ｂ＝６３ｃ＋ ５１２ꎬ即９９ａ－６３ｃ＝５１２－２ｂꎮ 因为９９ａ是９的倍数ꎬ６３ｃ也是９的倍数ꎬ所以５１２－２ｂ也 必须是９的倍数ꎬ所以当ｂ＝４时ꎬ成立ꎮ 若ｂ＝４ꎬ则９９ａ－６３ｃ＝５０４ꎬ即１１ａ＝７ｃ＋５６ꎬａ＝７ｃ＋５６ １１ ꎬ当ｃ＝ ３时ꎬａ＝７ꎬ此时成立ꎮ(ａｂｃ) １０＝(７４３) １０ꎮ所以这个十进 制三位数是７４３ꎮ 六进制下算式成立 解 析 观察尾数４×３＝１２ꎬ现在尾数为０ꎬ即１２全部进 位ꎬ因此这个进制应是１２的因数ꎬ可能是二、三、四、六、十 二进制ꎮ又因为出现了数字５ꎬ因此是六或十二进制ꎬ又 因为十进制中２１４× ３＝６４２< １０５０ꎬ所以六进制下算式 成立ꎮ 六进制下算式成立 解 析 观察尾数４×３＝１２ꎬ现在尾数为０ꎬ即１２全部进 位ꎬ因此这个进制应是１２的因数ꎬ可能是二、三、四、六、十 二进制ꎮ又因为出现了数字４ꎬ因此是六或十二进制ꎬ又 因为十进制中４×１３＝５２<１００ꎬ所以六进制下算式成立ꎮ 九进制下算式成立 解 析 解:设进制为ｘ进制ꎬ则(３×ｘ２＋１×ｘ１＋４) ÷４＝７× ｘ＋１ꎬ解得ｘ＝９(ｘ＝０舍去)ꎬ所以是在九进制下成立ꎮ 第２讲　整数 裂项与通项归纳 ４１６５０ 解 析 设Ｓ＝１×２＋２×３＋３×４＋􀆺＋４９×５０ꎬ １×２×３＝１×２×３ꎬ ２×３×３＝２×３×(４－１)＝２×３×４－１×２×３ꎬ ３×４×３＝３×４×(５－２)＝３×４×５－２×３×４ꎬ 􀆺􀆺 ４９×５０×３＝４９×５０×(５１－４８)＝４９×５０×５１－４８×４９×５０ꎮ ３Ｓ＝１×２×３＋２×３×３＋３×４×３＋􀆺＋４９×５０×３＝４９×５０×５１ꎬ Ｓ＝４９×５０×５１÷３＝４１６５０ꎮ １５５７２ 解 析 设Ｓ＝１×４＋４×７＋７×１０＋􀆺＋４９×５２ꎬ １×４×９＝１×４×７＋１×４×２ꎬ ４×７×９＝４×７×(１０－１)＝４×７×１０－１×４×７ꎬ ７×１０×９＝７×１０×(１３－４)＝７×１０×１３－４×７×１０ꎬ 􀆺􀆺 ４９×５２×９＝４９×５２×(５５－４６)＝４９×５２×５５－４６×４９×５２ꎮ ９Ｓ＝４９×５２×５５＋１×４×２ꎬ Ｓ＝(４９×５２×５５＋１×４×２)÷９＝１５５７２ꎮ ３３８３ ３２８３ 解 析 设原式＝Ｂ Ａꎬ Ａ＋Ｂ＝１×２＋２×３＋３×４＋􀆺＋９８×９９＋９９×１００ ＝１ ３[(１×２×３－０×１×２)＋(２×３×４－１×２×３)＋􀆺＋(９９×１００× １０１－９８×９９×１００)] ＝１ ３×９９×１００×１０１＝３３３３００ꎬ Ｂ－Ａ＝１×２＋３×２＋􀆺＋９９×２＝５０×１００＝５０００ꎬ Ｂ Ａ＝３３３３００＋５０００ ３３３３００－５０００＝３３８３ ３２８３ꎮ １９５０３ 解 析 方法一:可以进行整数裂项ꎮ ３×５×７＝３×５×７×９－１×３×５×７ ８ ꎬ ５×７×９＝５×７×９×１１－３×５×７×９ ８ ꎬ 􀆺􀆺 １７×１９×２１＝１７×１９×２１×２３－１５×１７×１９×２１ ８ ꎬ 所以原式＝１×３×５＋３×５×７×９－１×３×５×７ ８ ＋􀆺＋ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２ ０ １７×１９×２１×２３－１５×１７×１９×２１ ８ ＝１×３×５＋１７×１９×２１×２３－１×３×５×７ ８ ＝１７×１９×２１×２３＋１×３×５ ８ ＝１９５０３ꎮ 方法二:原式＝(３－２) × ３×(３＋２) ＋(５－２) × ５×(５＋２) ＋ 􀆺＋(１９－２)×１９×(１９＋２) ＝(３２－２２)×３＋(５２－２２)×５＋􀆺＋(１９２－２２)×１９ ＝(３３＋５３＋􀆺＋１９３)－４×(３＋５＋􀆺＋１９) ＝(１３＋３３＋５３＋􀆺＋１９３)－４×(１＋３＋５＋􀆺＋１９)＋３ꎬ 而１３＋３３＋５３＋􀆺＋１９３＝(１３＋２３＋３３＋􀆺＋２０３) －(２３＋４３＋６３＋ 􀆺＋２０３) ＝１ ４×２０２×２１２－８× １ ４×１０２×１１２＝１９９００ꎬ １＋３＋５＋􀆺＋１９＝１００ꎬ所以原式＝１９９００－４×１００＋３＝１９５０３ꎮ ２１４７３７６ 解 析 可进行整数裂项ꎬ 原式＝１０×１６×２２×２８－４×１０×１６×２２ ２４ ＋ １６×２２×２８×３４－１０×１６×２２×２８ ２４ ＋􀆺＋ ７０×７６×８２×８８－６４×７０×７６×８２ ２４ ＋ ７６×８２×８８×９４－７０×７６×８２×８８ ２４ ＝ １０×１６×２２×２８ ２４ － ４×１０×１６×２２ ２４ ＋ １６×２２×２８×３４ ２４ － １０×１６×２２×２８ ２４ ＋􀆺＋７０×７６×８２×８８ ２４ －６４×７０×７６×８２ ２４ ＋ ７６×８２×８８×９４ ２４ －７０×７６×８２×８８ ２４ ＝７６×８２×８８×９４ ２４ －４×１０×１６×２２ ２４ ＝７６×８２×８８×９４－４×１０×１６×２２ ２４ ＝２１４７３７６ ６００６００ 解 析 每项５个连续自然数相乘ꎬ前后项有４个自然数 相同ꎬ仿照两项裂项的方法ꎬ尝试裂开ꎬ看前后是否能 相消ꎮ １×２×３×４×５＝１ ６(１×２×３×４×５×６)ꎬ ２×３×４×５×６＝１ ６(２×３×４×５×６×７－１×２×３×４×５×６)ꎬ 􀆺􀆺 １０×１１×１２×１３×１４＝１ ６(１０×１１×１２×１３×１４×１５－９×１０×１１× １２×１３×１４)ꎬ 原式＝１ ６(１０×１１×１２×１３×１４×１５)＝６００６００ꎮ １９８１! －３! 解 析 我们可以得到: ３×３! ＝(４－１)×３! ＝４! －３! ꎬ ４×４! ＝(５－１)×４! ＝５! －４! ꎬ ５×５! ＝(６－１)×５! ＝６! －５! ꎬ 􀆺􀆺 １９８０×１９８０! ＝(１９８１－１)×１９８０! ＝１９８１! －１９８０! ꎬ 相加可得３× ３! ＋４× ４! ＋５× ５! ＋􀆺＋１９８０× １９８０! ＝ １９８１! －３!ꎮ １１! －１ 解 析 因为ａ＝(２! －１! )＋(４! －３! )＋􀆺＋(１０! －９! ) ＝(２! ＋４! ＋􀆺＋１０! )－(１! ＋３! ＋􀆺＋９! )ꎬ ｂ＝(３! －２! )＋(５! －４! )＋􀆺＋(１１! －１０! ) ＝(３! ＋５! ＋􀆺＋１１! )－(２! ＋４! ＋􀆺＋１０! )ꎬ 所以ａ＋ｂ＝(３! ＋５! ＋􀆺＋１１! )－(１! ＋３! ＋􀆺＋９! ) ＝１１! －１ꎮ １－１ １３! 解 析 １ ２!＋２ ３!＋􀆺＋１２ １３! ＝２－１ ２! ＋３－１ ３! ＋􀆺＋１３－１ １３! ＝１ １! －１ ２! ＋ １ ２!－１ ３!＋􀆺＋１ １２!－１ １３!＝１－１ １３!ꎮ ６ ７ 解 析 ａｎ＝ １ ２＋４＋􀆺＋２ｎ＝ １ １ ２×(２＋２ｎ)×ｎ ＝ １ ｎ(ｎ＋１)ꎬ 原式＝１ １×２＋１ ２×３＋１ ３×４＋１ ４×５＋１ ５×６＋１ ６×７ ＝( １ １－１ ２) ＋( １ ２－１ ３) ＋( １ ３－１ ４) ＋􀆺＋( １ ６－１ ７) ＝１－１ ７＝６ ７ꎮ ａｎ＝ １ ｎ＋１ ( １＋１ ２) × ( １＋１ ３) ×􀆺× ( １＋１ ｎ＋１) ＝ １ ｎ＋１ ｎ＋２ ２ ＝ ２ (ｎ＋１)(ｎ＋２)＝２× ( １ ｎ＋１－１ ｎ＋２) 原式＝[ ( １ ２－１ ３) ＋( １ ３－１ ４) ＋( １ ４－１ ５) ＋􀆺＋ ( １ １９９９－１ ２０００) ] ×２＝１－１ １０００＝９９９ １０００ 解 析 先通项归纳ꎬ １ ｎ＋１ ( １＋１ ２) × ( １＋１ ３) ×􀆺× ( １＋１ ｎ＋１) ＝ １ ｎ＋１ ｎ＋２ ２ ＝ ２ (ｎ＋１)(ｎ＋２)＝２× ( １ ｎ＋１－１ ｎ＋２) ꎬ再计算ꎮ ａｎ＝ (２ｎ) ２ (２ｎ－１)(２ｎ＋１)＝１＋ １ (２ｎ－１)(２ｎ＋１) 原式＝( １＋１ １×３) ＋( １＋１ ３×５) ＋( １＋１ ５×７) ＋( １＋ １ ７×９) ＋( １＋ １ ９×１１) ＝５＋１ ２× ( １－１ １１) ＝５＋５ １１＝５５ １１ 解 析 可先找通项ａｎ＝ (２ｎ) ２ (２ｎ－１)(２ｎ＋１) ＝ １＋ １ (２ｎ－１)(２ｎ＋１)ꎬ再计算ꎮ １ １０００ 解 析 通项归纳: (２ｎ) ２ (２ｎ＋１) ２－１ ＝ ２ｎ×２ｎ ２ｎ×(２ｎ＋２)＝ ｎ ｎ＋１ꎬ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３ ０ 原式＝１ ２× ２ ３× ３ ４×􀆺× ９９９ １０００＝ １ １０００ꎮ ６０ １１ 解 析 通项归纳ꎬ ２ｎ＋１ １２＋２２＋􀆺＋ｎ２＝ ６(２ｎ＋１) ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１) ＝ ６( １ ｎ－１ ｎ＋１) ꎬ原式＝６× ( １ １－１ ２) ＋６× ( １ ２－１ ３) ＋􀆺＋ ６× ( １ １０－１ １１) ＝６× ( １－１ １１) ＝６０ １１ꎮ ９９ 解 析 本题的通项公式为 ｎ２ ｎ２－１００ｎ＋５０００ ꎬ没办法进行 裂项的处理ꎮ注意到分母ｎ２－１００ｎ＋５０００＝５０００－ｎ(１００－ ｎ)＝５０００－(１００－ｎ) [１００－(１００－ｎ)]ꎬ可以看出如果把ｎ 换成１００－ｎ的话分母的值不变ꎬ所以可以把原式中的分数 两两组合起来ꎬ最后单独剩下一个 ５０２ ５０２－５０００＋５０００ .将项数 和为 １００ 的两项相加ꎬ 得 ｎ２ ｎ２－１００ｎ＋５０００ ＋ (１００－ｎ) ２ (１００－ｎ) ２－１００(１００－ｎ)＋５０００ ＝ ｎ２＋(１００－ｎ) ２ ｎ２－１００ｎ＋５０００ ＝ ２ｎ２－２００ｎ＋１００００ ｎ２－１００ｎ＋５０００ ＝２ꎬ所以原式＝２×４９＋１＝９９ꎮ(或者ꎬ可 得原式中９９项的平均数为１ꎬ所以原式＝１×９９＝９９) 第３讲　多人多次 相遇与追及 　 ３６０×７＝２５２０(米)　２５２０÷(５５＋６５)×５５＝１１５５(米) １１５５÷３６０＝３(圈)􀆺􀆺７５(米)　３６０－７５＝２８５(米) 答:小明再走２８５米就能回到出发点ꎮ 解 析 从开始到两人第７次相遇的这段时间内ꎬ乐乐和 小明两人共走的路程是林荫道周长的７倍ꎬ为３６０× ７＝２５２０(米)ꎬ因为小明每分钟走５５米ꎬ乐乐每分钟走 ６５米ꎬ所以这段时间小明共走了２５２０÷(５５＋６５) × ５５＝ １１５５(米)ꎬ１１５５÷３６０＝３(圈) 􀆺􀆺７５(米)ꎬ也就是小明最 后一次离开出发点继续走了７５米ꎬ可知小明还需走３６０－ ７５＝２８５(米)才能回到出发点ꎮ ８÷１０×(５５＋６５)＝９６(米) ６５×８÷９６＝５(圈)􀆺􀆺４０(米) ９６－４０＝５６(米) 答:丁丁再走５６米才能回到出发点ꎮ 解 析 两人每合走一个圆形水池的周长就相遇一次ꎬ所 以每８÷１０＝０.８(分钟)就相遇一次ꎮ圆形水池的周长是 ０.８× ( ５５＋６５) ＝９６( 米)ꎮ８分钟丁丁共走了６５× ８＝ ５２０(米)ꎮ５２０÷９６＝５(圈)􀆺􀆺４０(米)ꎬ还要再走９６－４０＝ ５６(米)才能回到出发点ꎮ ４×(９×２－１)＝６８ (４＋６)×２＝２０　６８÷２０＝３􀆺􀆺８ ４×(１０×２－１)＝７６ ７６÷２０＝３􀆺􀆺１６　２０－１６＝４ １６０÷(８－４)×１０＝４００(米) 答:Ａ、Ｂ两地之间的距离等于４００米ꎮ 解 析 根据题意ꎬ在相同时间内ꎬ甲、乙所行的路程比是 ４∶６ꎬ设Ａ、Ｂ两地之间的距离为１０份ꎬ这样一个全程中 甲走４份ꎬ第９次相遇时ꎬ甲总共走了４× (９× ２－１) ＝ ６８(份)ꎬ甲往返两地之间一次共走(４＋６) × ２＝２０(份)ꎬ ６８÷２０＝３􀆺􀆺８(份)ꎬ相遇点距离Ａ地有８份路程ꎮ第 １０次相遇时ꎬ甲总共走了４×(１０×２－１)＝７６(份)ꎬ７６÷２０＝ ３􀆺􀆺１６(份)ꎬ相遇点距离Ａ地还有２０－１６＝４(份)路程ꎮ 所以Ａ、Ｂ两地之间的距离为１６０÷(８－４)×１０＝４００(米)ꎮ (９０×３－５０)×２＝４４０(米) 答:这个圆的周长是４４０米ꎮ 解 析 第二次迎面相遇时ꎬ李明行走的总路程为第一次 迎面相遇时行走总路程的３倍ꎬ即９０×３＝２７０(米)ꎮ所以 此圆的周长为(２７０－５０)×２＝４４０(米)ꎮ (８×３－６)×２＝３６(厘米) 答:这个圆的周长是３６厘米ꎮ 解 析 第二次迎面相遇时ꎬ从Ａ点出发的小虫行的总路 程为第一次迎面相遇时行的总路程的３倍ꎬ即８× ３＝ ２４(厘米)ꎮ所以此圆的周长为(２４－６)×２＝３６(厘米)ꎮ ４×１００÷(１５０＋９０)＝５ ３(分钟) ９０× ５ ３＝１５０(米) 可知乙每走１５０米两人相遇一 次ꎬ如图ꎬ可知第一次在ＣＤ边上 相遇ꎬ是出发以后第７次相 遇ꎮ(图中数字表示第ｎ次相遇的地点) 答:第一次在ＣＤ边上相遇ꎬ是出发以后第７次 相遇ꎮ 解 析 两人第一次相遇需４× １００÷(１５０＋９０) ＝５ ３( 分 钟)ꎮ其中乙走了９０× ５ ３＝１５０( 米)ꎬ由此可知乙每走 １５０米两人相遇一次ꎬ依次可推出第一次在ＣＤ边上相遇ꎬ 是出发以后第７次相遇ꎮ如上图ꎬ图中数字表示第ｎ次相 遇的地点ꎮ ５×３－３＝１２(千米) １２－５－３＝４(千米) 答:两次迎面相遇地点之间的距离是４千米ꎮ 解 析 第一次迎面相遇李明、王宏的路程和是一个Ａ、Ｂ 的距离ꎬ李明走了５千米ꎻ第二次迎面相遇ꎬ李明、王宏的 路程和是三个Ａ、Ｂ的距离ꎮ那么李明共走了５× ３＝ １５(千米)ꎬＡ、Ｂ两地的距离就是１５－３＝１２(千米)ꎬ那么两 次迎面相遇地点之间的距离为１２－５－３＝４(千米)ꎮ ３×(３× ２－１) ＝１５　 (３＋７) × ２＝２０　 ２０－１５＝５　 ３×(４×２－１)＝２１　 ２１÷２０＝１􀆺􀆺１　 ２００÷(５－１) × １０＝５００(米) 答:Ａ、Ｂ两地之间的距离是５００米ꎮ 解 析 根据题意ꎬ在相同时间内ꎬ小丁和小李所行的路 程比是３∶７ꎬ设整个路程为１０份ꎬ这样一个全程中小丁 走了３份ꎬ第３次相遇时ꎬ小丁总共走了３×(３× ２－１) ＝ １５(份)ꎬ往返两地之间共走(３＋７)×２＝２０(份)ꎬ相遇点距 离Ａ地有２０－１５＝５(份)路程ꎮ第四次相遇时ꎬ小丁总共 走了３×(４×２－１)＝２１(份)ꎬ２１÷２０＝１􀆺􀆺１(份)ꎬ相遇点 距离Ａ地有１份路程ꎮ所以Ａ、Ｂ两地之间的距离 为２００÷(５－１)×１０＝５００(米)ꎮ 半小时＝３０分钟 两人路程总和:(４０＋１３０)×３０＝５１００(米) ５１００÷８５０＝６(个)　６÷２＝３(次)　４０∶１３０＝４∶１３ 第一次迎面相遇时小红走了Ａ、Ｂ两地距离的 ４ ４＋１３×２＝８ １７ꎬ距离Ｂ地:１－８ １７＝９ １７ꎬ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４ ０ 第二次迎面相遇时ꎬ小红走了Ａ、Ｂ两地距离的 ４ ４＋１３×４＝１６ １７ꎬ距离Ｂ地:１－１６ １７＝１ １７ꎬ 第三次迎面相遇时ꎬ小红走了Ａ、Ｂ两地距离的 ４ ４＋１３×６＝２４ １７ꎬ距离Ｂ地:２４ １７－１＝７ １７ꎬ 因为９ １７> ７ １７> １ １７ꎬ所以第二次迎面相遇时距Ｂ地 最近ꎮ 答:小明、小红二人第二次迎面相遇时距Ｂ地最近ꎮ 解 析 先进行单位换算ꎬ即半小时＝３０分钟ꎬ再算出两 人的路程和(４０＋１３０)×３０＝５１００(米)ꎬ相当于５１００÷８５０＝ ６(个)全程ꎬ两人每合走２个全程就会有一次相遇ꎬ所以 两人共有６÷２＝３(次)相遇ꎬ而两人的速度比为４０∶１３０＝ ４∶１３ꎬ所以相同时间内两人的行程比为４∶１３ꎬ那么第一 次相遇小红走了全程的 ４ ４＋１３×２＝８ １７ꎬ距离Ｂ地有１－８ １７＝ ９ １７ꎻ第二次相遇小红走了全程的 ４ ４＋１３×４＝１６ １７ꎬ距离Ｂ地有 １－１６ １７＝１ １７ꎻ第三次相遇小红走了全程的 ４ ４＋１３×６＝２４ １７ꎬ距离 Ｂ地有２４ １７－１＝７ １７ꎮ因为９ １７> ７ １７> １ １７ꎬ所以小明、小红二人 第二次迎面相遇时距Ｂ地最近ꎮ １６５∶１１０＝３∶２ 第７次相遇:２×７－１＝１３(个)　３×１３＝３９(份) 第８次相遇:２×８－１＝１５(个)　３×１５＝４５(份) ８０÷(５－１)×(２＋３)＝１００(米) 答:Ａ、Ｂ两地间的距离为１００米ꎮ 解 析 小明、小红两人的速度比为１６５∶１１０＝３∶２ꎬ则 相同时间内小明、小红两人走过的路程比也为３∶２ꎬ 把Ａ、Ｂ两地间的路程看作５份ꎬ可知第７次迎面相遇时 小明和小红共走２×７－１＝１３(个)Ａ、Ｂ两地间的路程ꎬ小明 走了３×１３＝３９(份)ꎬ距Ａ地１份路程ꎬ如图ꎬ在图中Ｃ处ꎻ 第８次迎面相遇小明和小红共走２×８－１＝１５(个)Ａ、Ｂ两 地间的路程ꎬ小明走了３×１５＝４５(份)ꎬ距Ａ地５份路程ꎬ 在图中Ｂ处ꎬ所以Ａ、Ｂ两地之间的距离是８０÷ (５－１)×(２＋３)＝１００(米)ꎮ 路程比＝速度比＝４∶３ 第二次相遇:２×２－１＝３(个)　３×４＝１２(份) 第三次相遇:２×３－１＝５(个)　５×４＝２０(份) ６０÷(６－２)×(４＋３)＝１０５(米) 答:Ａ、Ｂ两地相距１０５米ꎮ 解 析 小明、小红两人的速度比为４∶３ꎬ则相同时间内 小明、小红两人走过的路程比也为４∶３ꎬＡ、Ｂ两地之间的 距离看作７份ꎬ可知ꎬ第二次迎面相遇时小明和小红共 走２×２－１＝３(个) Ａ、Ｂ两地之间的距离ꎬ小明走了３×４＝ １２(份)ꎬ距Ａ地２份路程ꎬ如图ꎬ在图中Ｃ处ꎻ第三次迎面 相遇时小明和小红共走３×２－１＝５(个)Ａ、Ｂ两地之间的距 离ꎬ小明走了５×４＝２０(份)ꎬ距Ａ地６份路程ꎬ在图中Ｄ 处ꎬ所以Ａ、Ｂ两地之间的距离是６０÷(６－２) ×(４＋３) ＝ １０５(米)ꎮ 甲:４０×３０＝１２００(米)　乙:４０×４０＝１６００(米) 路程比＝速度比＝３０∶４０＝３∶４ 第一次相遇( 距离Ｂ地４份): ４× ４８０ ７ ＝ １９２０ ７(米)≈２７４米ꎻ 第二次相遇(距离Ｂ地２份):２×２－１＝３(个) 　 ３× ４＝１２(份)　 １２×４８０ ７＝５７６０ ７(米)≈８２３米ꎻ 第三次相遇(距离Ｂ地６份):２×３－１＝５(个) 　 ５× ４＝２０(份)　２０×４８０ ７＝９６００ ７(米)≈１３７１米ꎮ 答:甲、乙两人第二次相遇时距离Ｂ地最近ꎮ 解 析 ４０分钟ꎬ甲走了４０×３０＝１２００(米)ꎬ乙走了４０× ４０＝１６００(米)ꎮ 路程比＝速度比＝３０∶４０＝３∶４ꎬ全程分为７份ꎬ每１份是 ４８０ ７米ꎮ两人第一次相遇是在距离Ｂ地４份的地方ꎬ乙走 了４×４８０ ７＝１９２０ ７(米)≈２７４米ꎬ２７４<１６００ꎻ 第二次相遇他们共走了２×２－１＝３(个)Ａ、Ｂ两地的距离ꎬ 乙走了３×４＝１２(份)ꎬ距离Ｂ地２份ꎬ乙走了１２× ４８０ ７＝ ５７６０ ７(米)≈８２３米ꎻ 第三次相遇他们共走了２×３－１＝５(个)Ａ、Ｂ两地的距离ꎬ 乙走了５×４＝２０(份)ꎬ距离Ｂ地６份ꎬ乙走了２０× ４８０ ７＝ ９６００ ７(米)≈１３７１米ꎮ 因此第四次相遇时ꎬ乙走的路程肯定大于１６００米ꎬ所以在 三次相遇中ꎬ两人第二次相遇时距离Ｂ地最近ꎮ ７艘 解 析 因为从乙港开出的船要过５天到达甲港ꎬ所以顺次连接 ６、１两点ꎬ７、２两点􀆺的线段分别表示从乙港开出的船在 相应时间内的航行路线ꎮ 甲港第３天开出的船也要经过５天到达乙港ꎬ所以连接 ３、８两点的线段表示甲港船的航行路线ꎬ 从图中看到该线与乙港开出船的航行路线有８个交 点(包括在港口的相遇)ꎬ 这些点表示从甲港第３天开出的船遇到乙港开出船的 次数ꎬ 除去在乙港港口相遇的一点共７个ꎬ 则通航的第３天(通航日为第一天)从甲港开出的那艘船 在航线上遇到从乙港开来的船(不包括在港口的相遇)共 有７艘ꎮ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ５ ０ ３５次 解 析 甲跑一个全程需６０÷４＝１５(秒)ꎬ乙跑一个全程 需６０÷３＝２０(秒)ꎬ画柳卡图如下(实线表示甲ꎬ虚线表示 乙ꎬ那么实、虚两线的交点就是甲、乙相遇的地点): 一个周期１２０秒中相遇７次ꎬ１０分钟＝６００秒ꎬ ６００÷１２０＝５(个)ꎬ１０分钟内相遇的次数是７×５＝３５(次)ꎮ １０次 解 析 当甲走了４个来回的时候ꎬ乙恰好走了６个来 回ꎬ得甲、乙的速度比是４∶６＝２∶３ꎬ那么从Ａ到Ｂꎬ甲、乙 所用的时间比是３∶２ꎬ画柳卡图如下(实线表示甲ꎬ虚线 表示乙ꎬ那么实、虚两线交点就是甲、乙相遇的地点): 从图中看到甲、乙两个人共相遇了１０次ꎮ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ６ ０ 练习册参考答案 第１讲　进位制问题　 (５６７８) １０＝(１１２０２３２) ４＝(１６２Ｅ) １６ 解 析 　 (４４４４) ５＝(６２４) １０　(３３３３) ９＝(２４６０) １０ 解 析 (４４４４) ５＝４×５３＋４×５２＋４×５１＋４×５０＝(６２４) １０ (３３３３) ９＝３×９３＋３×９２＋３×９１＋３×９０＝(２４６０) １０ (７７７) ８＝(１ＦＦ) １６ (７７７) ３＝(１０１１０１１) ２ 解 析 (７７７) ８＝７×８２＋７×８１＋７×８０＝(５１１) １０　 (７７７) ３＝ ７×３２＋７×３１＋７×３０＝(９１) １０ 　 (９９９) １６＝(１０１１０) ７　(９９９) ３＝(１３１１) ４ 解 析 (９９９) １６＝９×１６２＋９×１６１＋９×１６０＝(２４５７) １０ (９９９) ３＝９×３２＋９×３１＋９×３０＝(１１７) １０ 　 (１００１１) ２＋(１１００１) ２＋(１０００１１) ２＝(１００１１１１) ２ (１１００１) ２×(１１１) ２＋(１０００１１) ２＝(１１０１００１０) ２ 解 析 　 (１２３) ５×(１２３) ５＝(２１２３４) ５ (１２３) ７×(１２３) ７＝(１５４６２) ７ 解 析 　 这个十进制的三位数是１００ꎮ 解 析 因为ａ、ｂ、ｃ出现在二进制的表达式内ꎬ所以ａ、 ｂ、ｃ只能是０或１ꎬ又因为ａ出现在十进制表达式最高位 上ꎬ所以ａ≠０ꎬ所以ａ＝１ꎮ１×１００＋１０×ｂ＋ｃ＝１×２６＋１×２５＋ ｂ×２４＋ｃ×２３＋１×２２＋ｂ×２＋ｃꎬ８ｂ＋８ｃ＝０ꎬ所以ｂ＝ｃ＝０ꎬ则三位 数ａｂｃ是１００ꎮ 这个自然数用十进制表示是２２ꎮ 解 析 假设这个三进制的三位数是ａｂｃꎬ由题意有 (ａｂｃ) ３＝(ｃｂａ) ４ꎬ其中ａ、ｂ、ｃ均小于３ꎬ则有９ａ＋３ｂ＋ｃ＝ １６ｃ＋４ｂ＋ａꎬ化简得８ａ＝ｂ＋１５ｃꎬ符合条件的ａ、ｂ、ｃ为２、１、 １ꎬ(２１１) ３化成十进制是２２ꎮ 在八进制下成立ꎮ 解 析 解法一:末尾在足够大的进制中ꎬ我们知道５×６＝ ３０ꎬ末尾为０ꎬ但是现在的结果末尾是６ꎬ３０－６＝２４ꎬ所以进 制为２４的因数ꎬ可能是二、三、四、六、八、十二进制ꎮ因为 算式中有数字６ꎬ不可能有超过进制的数字ꎬ所以二、三、 四、六进制排除ꎮ在十进制中有１５×１６＝２４０<２６６ꎬ所以在 算式中不到１０就有进位ꎬ即进制小于１０ꎬ所以这里的进 制为八进制ꎮ 解法二:设进制为ｘ进制ꎬ则(１×ｘ＋５) ×(１×ｘ＋６)＝２×ｘ２＋ ６×ｘ＋６ꎬ解得ｘ＝８(负值舍去)ꎬ所以在八进制下成立ꎮ ａ与ｂ的和的最小值是２４ꎮ 解 析 ａ进制下的数４７转换成十进制:４ａ＋７ꎬ ｂ进制下的数７４转换成十进制:７ｂ＋４ꎬ 问题转化为４ａ＋７＝７ｂ＋４ꎬ可知ｂ＝４ａ＋３ ７ ꎬ由于数位中有７ꎬ 所以ａ和ｂ均大于７ꎮ 当ａ＝１５时ꎬｂ＝９ꎬ此时ａ与ｂ的和最小ꎬ为２４ꎮ 第２讲　整数 裂项与通项归纳 　 ２００８００８ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ０ ３ 解 析 原式＝２００３×２＋２００１×２＋􀆺＋３×２＋２×１ ＝２×(１＋３＋５＋􀆺＋２００１＋２００３) ＝２×(１＋２００３)×１００２÷２ ＝２００８００８ꎮ 也可以直接根据公式１＋３＋５＋７＋􀆺＋(２ｎ－１)＝ｎ２得出１＋ ３＋５＋􀆺＋２００１＋２００３＝１００２２ꎬ进而求出原式的结果ꎮ ９７４５１００４０ 解 析 一般的整数裂项各项之间都是连续的ꎬ本题中 各项之间是断开的ꎬ为此可以将中间缺少的项补上ꎬ再进 行计算ꎮ 记原式为Ａꎬ再设Ｂ＝２×３×４×５＋４×５×６×７＋６×７×８×９＋􀆺＋ ９６×９７×９８×９９ꎬ 则Ａ＋Ｂ＝１×２×３×４＋２×３×４×５＋３×４×５×６＋􀆺＋９７×９８×９９× １００＝１ ５×９７×９８×９９×１００×１０１＝１９０１００９８８０ꎬ 现在知道Ａ与Ｂ的和了ꎬ如果能再求出Ａ与Ｂ的差ꎬ那 么Ａ、Ｂ的值就都可以求出来了ꎮ Ａ－Ｂ＝１×２×３×４－２×３×４×５＋３×４×５×６－４×５×６×７＋５×６×７× ８＋􀆺＋９７×９８×９９×１００ ＝４×(１×２×３＋３×４×５＋５×６×７＋􀆺＋９７×９８×９９) ＝４×[２×(２２－１)＋４×(４２－１)＋６×(６２－１)＋􀆺＋９８×(９８２－１)] ＝４×(２３＋４３＋６３＋􀆺＋９８３)－４×(２＋４＋６＋􀆺＋９８) ＝４×８× １ ４×４９２×５０２－４× １ ２×１００×４９＝４８０１０２００ꎬ 所以Ａ＝(１９０１００９８８０＋４８０１０２００)÷２＝９７４５１００４０ꎮ ａｎ＝１＋ １ (ｎ＋１) ２－１ ＝(ｎ＋１) ２ (ｎ＋１) ２－１ ＝(ｎ＋１) ２ ｎ×(ｎ＋２) 原式＝２×２ １×３×３×３ ２×４×４×４ ３×５×５×５ ４×６×􀆺×９８×９８ ９７×９９× ９９×９９ ９８×１００＝２ １× ９９ １００＝１４９ ５０ 解 析 先计算出通项ａｎ＝１＋ １ (ｎ＋１) ２－１ ＝ (ｎ＋１) ２ (ｎ＋１) ２－１ ＝ (ｎ＋１) ２ ｎ×(ｎ＋２)ꎬ然后再计算ꎮ ａｎ＝ｎ－ｎ ｎ＋１＝ｎ(ｎ＋１)－ｎ ｎ＋１ ＝ｎ２ ｎ＋１ 原式＝１ ２× ２２ ３× ３２ ４× ４２ ５×􀆺× ８２ ９× ９２ １０＝３× ４× ６× ７× ８× ９＝３６２８８ 解 析 先计算出通项ａｎ＝ｎ－ｎ ｎ＋１＝ｎ(ｎ＋１)－ｎ ｎ＋１ ＝ｎ２ ｎ＋１ꎬ然 后再计算ꎮ ａｎ＝ｎ２＋３ｎ＋１ (ｎ＋２)! ＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)－１ (ｎ＋２)! ＝１ ｎ!－ １ (ｎ＋２)! 原式＝１ １!－１ ３!＋１ ２!－１ ４!＋􀆺＋１ ｎ!－ １ (ｎ＋２)! ＝( １ １! ＋１ ２! ＋１ ３! ＋􀆺＋１ ｎ! ) －( １ ３! ＋１ ４! ＋１ ５! ＋􀆺＋ １ (ｎ＋２)! ) ＝１＋１ ２!－ １ (ｎ＋１)!－ １ (ｎ＋２)! ＝３ ２－ ｎ＋３ (ｎ＋２)! 解 析 先根据ｎ２＋３ｎ＋１＝(ｎ＋１)(ｎ＋２) －１计算出通项ꎬ ａｎ＝ｎ２＋３ｎ＋１ (ｎ＋２)! ＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)－１ (ｎ＋２)! ＝１ ｎ! － １ (ｎ＋２)!ꎬ然后再分 组ꎬ可以看出原式为１ １!＋１ ２!＋１ ３!＋􀆺＋１ ｎ!和１ ３!＋１ ４!＋１ ５!＋􀆺＋ １ (ｎ＋２)!的差ꎮ ａｎ＝ (１＋ｎ)×ｎ ２ (１＋ｎ)×ｎ ２ －１ ＝ｎ×(ｎ＋１) ｎ×(ｎ＋１)－２＝ ｎ×(ｎ＋１) (ｎ－１)×(ｎ＋２)(ｎ≥２) 原式＝２×３ １×４× ３×４ ２×５× ４×５ ３×６× ５×６ ４×７× 􀆺× ４８×４９ ４７×５０× ４９×５０ ４８×５１× ５０×５１ ４９×５２＝３ １×５０ ５２＝２２３ ２６ 解 析 先计算出通项 ａｎ ＝ (１＋ｎ)×ｎ ２ (１＋ｎ)×ｎ ２ －１ ＝ ｎ×(ｎ＋１) ｎ×(ｎ＋１)－２(ｎ≥２)ꎮ因为(ｎ－１) ×(ｎ＋２)＝ｎ２＋ｎ－２ꎬ所以 再将ｎ×(ｎ＋１) －２化为(ｎ－１) ×(ｎ＋２)ꎬ然后再代入原式 计算ꎮ ａｎ ＝１２＋２２＋􀆺＋ｎ２ １３＋２３＋􀆺＋ｎ３ ＝ ｎ×(ｎ＋１)×(２ｎ＋１) ６ ｎ２×(ｎ＋１) ２ ４ ＝ ２ ３ × ２ｎ＋１ ｎ×(ｎ＋１)＝２ ３× ( １ ｎ＋１ ｎ＋１) 原式＝２ ３× [ ( １ １＋１ ２) －( １ ２＋１ ３) ＋( １ ３＋１ ４) － 􀆺－( １ ２６＋１ ２７) ] ＝２ ３× ( １－１ ２７) ＝５２ ８１ 解 析 先计算出通项 ａｎ ＝ １２＋２２＋􀆺＋ｎ２ １３＋２３＋􀆺＋ｎ３ ＝ ｎ×(ｎ＋１)×(２ｎ＋１) ６ ｎ２×(ｎ＋１) ２ ４ ＝２ ３× ２ｎ＋１ ｎ×(ｎ＋１) ＝２ ３× ( １ ｎ＋１ ｎ＋１) ꎬ然 后再计算ꎮ ２４× ( １ ２×３＋ １ ４×５＋􀆺＋ １ ２０×２１) －( １ １２＋ １ １２＋２２＋􀆺＋ １ １２＋２２＋􀆺＋１０２) ＝２４× ( １ ２×３＋１ ４×５＋􀆺＋ １ ２０×２１) －６× ( １ １×２×３＋ １ ２×３×５＋ 􀆺＋ １ １０×１１×２１) ＝２４× ( １ ２×３＋１ ４×５＋􀆺＋ １ ２０×２１) －２４× ( １ ２×３×４＋ １ ４×６×５＋ 􀆺＋ １ ２０×２２×２１) ＝２４× [ ( １ ２×３－ １ ２×４×３) ＋( １ ４×５－ １ ４×６×５) ＋􀆺＋ ( １ ２０×２１－ １ ２０×２２×２１) ] ＝２４× ( １ ２×４＋１ ４×６＋􀆺＋ １ ２０×２２) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １ ３ ＝６× ( １ １×２＋１ ２×３＋􀆺＋ １ １０×１１) ＝６× ( １－１ １１) ＝６０ １１ 解 析 虽然很容易看出１ ２×３＝１ ２－１ ３ꎬ１ ４×５＝１ ４－１ ５ꎬ但 是并没有什么效果ꎻ再看后面的式子ꎬ每一项的分母容易 让我们想到公式１２＋２２＋３２＋􀆺＋ｎ２＝１ ６×ｎ×(ｎ＋１) ×(２ｎ＋ １)ꎬ于是我们可以想到 １ １２＋２２＋３２＋􀆺＋ｎ２ ＝ ６ ｎ×(ｎ＋１)×(２ｎ＋１)ꎬ可以看出减号前面括号里的式子有 １０项ꎬ减号后面括号里的式子也恰好有１０项ꎬ据此计算 即可ꎮ 原式＝１２＋２２＋３２ ２２－１ ＋２２＋３２＋４２ ３２－１ ＋􀆺＋８２＋９２＋１０２ ９２－１ 通项归纳ꎬ(ｎ－１) ２＋ｎ２＋(ｎ＋１) ２ ｎ２－１ ＝３ｎ２＋２ ｎ２－１ ＝３＋ ５ ｎ２－１ ＝３＋ ５ ２( １ ｎ－１－１ ｎ＋１) (ｎ≥２) 原式＝３×８＋５ ２( １＋１ ２－１ ９－１ １０) ＝２４＋２９ ９＝２７２ ９ 解 析 先化简原式ꎬ 然后计算出通项 (ｎ－１) ２＋ｎ２＋(ｎ＋１) ２ ｎ２－１ ＝ ３ｎ２＋２ ｎ２－１ ＝ ３＋ ５ ｎ２－１ ＝ ３＋ ５ ２( １ ｎ－１－１ ｎ＋１) (ｎ≥２)ꎬ最后代入计算即可ꎮ ３－２ ３＝７ ３＝２３－１ ２２－１ ３－ ２ ３－２ ３ ＝３－６ ７＝１５ ７＝２４－１ ２３－１ ３－ ２ ３－ ２ ３－２ ３ ＝３－１４ １５＝３１ １５＝２５－１ ２４－１ 􀆺􀆺 ３－ ２ ３－ ２ ⋮ ３－２ ３ ＝２ｎ＋２－１ ２ｎ＋１－１ (共ｎ条分数线) 所以２０２３条分数线时ꎬ答案为２２０２５－１ ２２０２４－１ ꎮ 解 析 从最简单的情况开始ꎬ依次计算并化简ꎬ找到 规律ꎮ 第３讲　多人多次 相遇与追及 　 总路程:３００×１０＝３０００(米) 所用时间:３０００÷(３.５＋４)＝４００(秒) 甲的路程:３.５×４００＝１４００(米) １４００÷３００＝４(圈)􀆺􀆺２００(米) 甲还需跑:３００－２００＝１００(米) 答:甲还需跑１００米才能回到出发点ꎮ 解 析 相遇十次的总路程为３００×１０＝３０００(米)ꎬ相遇 十次所用的时间为３０００÷(３.５＋４)＝４００(秒)ꎮ甲所走的 路程为３.５×４００＝１４００(米)ꎬ那么甲已经跑了１４００÷３００＝ ４(圈)􀆺􀆺２００(米)ꎬ即甲已经跑了４圈多２００米ꎬ一圈的 周长为３００米ꎬ那么还需要跑３００－２００＝１００(米) 才能回 到出发点ꎮ 路程和:４００×５＝２０００(米) 速度和:２０００÷８＝２５０(米/ 分)　速度差:６米/ 分 甲的速度:(２５０＋６)÷２＝１２８(米/ 分) 甲的路程:１２８×８＝１０２４(米) １０２４÷４００＝２(圈)􀆺􀆺２２４(米) 两人第五次相遇的地点与点Ａ沿跑道上的最短路程是 ４００－２２４＝１７６(米) 答:两人第五次相遇的地点与点Ａ沿跑道上的最短路 程是１７６米ꎮ 解 析 先算出甲、乙两人的速度和ꎬ路程和÷相遇时间＝ 速度和ꎮ相遇五次的路程总和是４００×５＝２０００(米)ꎬ相遇 时间为８分钟ꎬ那么速度和为２０００÷８＝２５０(米/ 分)ꎮ已 知速度差为６米/ 分ꎬ所以甲的速度为( ２５０＋６) ÷ ２＝ １２８(米/ 分)ꎬ甲所走的路程为１２８×８＝１０２４(米)ꎬ１０２４÷ ４００＝２(圈)􀆺􀆺２２４(米)ꎬ即跑了２圈多２２４米ꎬ所以两人 第五次相遇的地点与点Ａ沿跑道上的最短路程是 ４００－２２４＝１７６(米)ꎮ (８０×３－６０)×２＝３６０(米) 答:这个圆的周长为３６０米ꎮ 解 析 第二次迎面相遇时ꎬ甲行走的总路程为第一次迎 面相遇时行走总路程的３倍ꎬ即８０×３＝２４０(米)ꎮ所以此 圆的周长为(２４０－６０)×２＝３６０(米)ꎮ １８×３＝５４(千米) ５４－１３＝４１(千米) 答:Ａ、Ｂ两地之间的距离是４１千米ꎮ 解 析 第一次迎面相遇时甲、乙的路程和是一个Ａ、Ｂ 两地之间的距离ꎬ甲走了１８千米ꎻ第二次迎面相遇时甲、 乙的路程和是三个Ａ、Ｂ的距离ꎮ那么第二次迎面相遇时 甲共走了１８×３＝５４(千米)ꎬＡ、Ｂ两地的距离就是５４－１３＝ ４１(千米)ꎮ ｖ甲∶ｖ乙∶ｖ丙＝３∶２∶１　 ３ ２＋３＝３ ５　 ３ １＋３＝３ ４　 ３ ４－ ３ ５＝３ ２０　１２÷ ３ ２０＝８０(千米)　５０＋８０＝１３０(千米) 答:Ａ、Ｂ两地之间的距离是１３０千米ꎮ 解 析 甲的速度是丙的３倍ꎬ是乙的１.５倍ꎬ甲、乙、丙三人的速 度比为３∶２∶１ꎬ 甲、乙的速度比是３∶２ꎬＥＣ占ＥＢ的３ ２＋３＝３ ５ꎬ 甲、丙的速度比是３∶１ꎬＥＤ占ＥＢ的３ １＋３＝３ ４ꎬ 得ＣＤ占ＥＢ的３ ４－３ ５＝３ ２０ꎬＥＢ的距离是１２÷ ３ ２０＝ ８０(千米)ꎬ Ａ、Ｂ两地之间的距离是５０＋８０＝１３０(千米)ꎮ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２ ３ 路程比＝速度比＝３０∶５０＝３∶５ 第３次相遇(距离Ａ地１份):３×２－１＝５(个)　３×５＝ １５(份) 第４次相遇(距离Ａ地５份):４×２－１＝７(个) ３×７＝２１(份)　１００÷(５－１)×(３＋５)＝２００(千米) 答:Ａ、Ｂ两地的距离是２００千米ꎮ 解 析 甲、乙两车的速度比为３０∶５０＝３∶５ꎬ则相同时间内甲、乙 两车走过的路程比也为３∶５ꎬ全程分为８份ꎬ可知第３次 迎面相遇时ꎬ甲、乙两车共走３×２－１＝５(个)全程ꎬ甲车走 了３×５＝１５(份)ꎬ距Ａ地１份路程ꎬ在图中Ｃ处ꎻ第４次迎 面相遇时ꎬ甲、乙两车共走４×２－１＝７(个)全程ꎬ甲车走了 ３×７＝２１(份)ꎬ距Ａ地５份路程ꎬ在图中Ｄ处ꎬ所以Ａ、Ｂ两 地的距离是１００÷(５－１)×(３＋５)＝２００(千米)ꎮ ９＋１＋１＝１１(辆)　１２÷４＋１＝４(辆) (１１－４)×４＝２８(分钟) 答:他从乙站到甲站用了２８分钟ꎮ 解 析 据题意可知ꎬ骑车人一共看见９＋１＋１＝１１(辆)电 车ꎬ因每隔４分钟有一辆电车开出ꎬ而全程需１２分钟ꎬ骑 车人在乙站看到的电车是１２分钟以前发出的ꎬ可以推算 出ꎬ他从乙站出发的时候ꎬ第１２÷４＋１＝４(辆)电车正从甲 站出发ꎬ骑车人从乙站到甲站的这段时间里ꎬ甲站发出的 电车是从第４辆到第１１辆ꎮ即骑车人从乙站出发时ꎬ第 ４辆电车正从甲站开出ꎬ到达甲站时ꎬ第１１辆电车正从甲 站开出ꎬ所以骑车人从乙站到甲站所用时间就是从第４辆 电车从甲站开出到第１１辆电车从甲站开出之间的时间ꎬ 得他从乙站到甲站用了(１１－４)×４＝２８(分钟)ꎮ ＢＣ＝ＡＢ× ３ ４　ＡＣ＝ＡＢ× １ ４　ＡＢ＋ＢＣ＝７ ４×ＡＢ Ｖ甲∶Ｖ乙∶Ｖ丙＝７∶１∶３ ２１× １ ３＝７(秒)　ＢＤ＝８ＣＤ　８×７＝５６(秒) 答:再过５６秒钟ꎬ乙才第一次到达Ｂꎮ 解 析 甲经过１２秒钟从Ａ点到达Ｂ点ꎬ则再过９秒钟 后甲到达Ｃ点ꎬ 且ＢＣ的长度等于ＡＢ长度的３ ４ꎬ 则ＡＣ的长度等于ＡＢ长度的１ ４ꎬ 即２１秒钟的时间内ꎬ甲的路程为ＡＢ＋ＢＣ＝７ ４ＡＢꎬ 乙的路程为ＡＣ＝１ ４ＡＢꎬ丙的路程为ＢＣ＝３ ４ＡＢꎬ 则速度比甲∶乙∶丙＝７∶１∶３ꎬ 丙从Ｃ点到达Ａ点所用时间＝２１× １ ３＝７(秒)ꎬ 此时乙从Ｃ点到达Ｄ点ꎬ所用时间也为７秒ꎬ 因为ＣＡ＝１ ３ＢＣꎬ则ＣＤ＝１ ３ＡＣꎬ则ＢＤ＝８ＣＤꎬ 则丙第一次到达Ａ后乙第一次到达Ｂ的所需时间为８× ７＝５６(秒)ꎮ 由于用比例来求每个人走的路程ꎬ比先求时间ꎬ再求路 程来的方便ꎬ且注意到丙的速度是甲速度的７倍ꎬ所以 可以想办法把速度往甲的速度上面靠ꎬ故设乙的速度 为９ｘ千米/ 时ꎬ即是甲的速度的ｘ倍ꎬ那么三人的速度 比是甲∶乙∶丙＝１∶ｘ∶７ꎮ 第一阶段ꎬ第一次乙、丙相遇时ꎬ乙走了( ｘ ｘ＋７× １２５) 千米ꎬ丙走了( ７ ｘ＋７×１２５) 千米ꎬ甲走了( １ ｘ＋７× １２５) 千米ꎮ此时甲、丙相距( ６ ｘ＋７×１２５) 千米(也就是 甲、乙之间的距离)ꎮ 丙第一次回到甲处时ꎬ甲又走了( １ １＋７× ６ ｘ＋７× １２５) 千米ꎬ丙又走了( ７ １＋７× ６ ｘ＋７×１２５) 千米ꎬ乙走的 是甲的ｘ倍ꎬ即( ｘ １＋７× ６ ｘ＋７×１２５) 千米ꎬ此时甲、乙相 距( ６ ｘ＋７×１２５－１ １＋７× ６ ｘ＋７×１２５－ｘ １＋７× ６ ｘ＋７×１２５) 千米ꎬ即 ７ ８× ６ ｘ＋７×１２５－ｘ ８× ６ ｘ＋７×１２５＝３ ４×７－ｘ ７＋ｘ×１２５(千米)(也 是丙、乙之间的距离)ꎮ 第二阶段ꎬ第二次乙、丙相遇时ꎬ为了方便ꎬ我们采用换 元的方法ꎬ令Ｓ千米等于此时乙、丙间的距离ꎬ即Ｓ＝ ３ ４× ７－ｘ ７＋ｘ× １２５ꎮ当乙、丙相遇时ꎬ乙走了( ｘ ｘ＋７× Ｓ) 千米ꎬ丙走了( ７ ｘ＋７×Ｓ) 千米ꎬ甲走了( １ ｘ＋７×Ｓ) 千米ꎮ 甲、丙相距( ６ ｘ＋７×Ｓ) 千米(也就是甲、乙之间的距离)ꎮ 丙第二次回到甲处时ꎬ甲又走了( １ １＋７× ６ ｘ＋７×Ｓ) 千米ꎬ 丙又走了( ７ １＋７× ６ ｘ＋７×Ｓ) 千米ꎬ乙走的是甲的ｘ倍ꎬ即 ( ｘ １＋７× ６ ｘ＋７×Ｓ) 千米ꎬ此时甲、乙相距( ６ ｘ＋７×Ｓ－１ １＋７× ６ ｘ＋７×Ｓ－ｘ １＋７× ６ ｘ＋７×Ｓ) 千米ꎬ即７ ８× ６ ｘ＋７×Ｓ－ｘ ８× ６ ｘ＋７×Ｓ＝ ３ ４×７－ｘ ７＋ｘ×Ｓ(千米)(也是丙、乙之间的距离)ꎮ 将Ｓ＝３ ４×７－ｘ ７＋ｘ×１２５代入３ ４×７－ｘ ７＋ｘ×Ｓ得丙第二次回到甲 处时ꎬ甲、乙相距[ ( ３ ４×７－ｘ ７＋ｘ) ２ ×１２５] 千米ꎬ依题意得 ( ３ ４×７－ｘ ７＋ｘ) ２ ×１２５＝４５ꎬ即( ３ ４×７－ｘ ７＋ｘ) ２ ＝４５ １２５ꎬ 两边开方ꎬ得３ ４×７－ｘ ７＋ｘ＝３ ５ꎬ即７－ｘ ７＋ｘ＝４ ５ꎬ去分母得３５－ ５ｘ＝２８＋４ｘꎬ即９ｘ＝７ꎬ解得ｘ＝７ ９ꎮ 所以乙的速度是９× ７ ９＝７(千米/ 时)ꎮ 通过之前的推导ꎬ我们发现第二阶段的推导相当于把 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３ ３ 第一阶段推导中的１２５换成了Ｓꎬ其余的都完全一 样(所以其实第二阶段只要动脑筋想一下就可以不用 写任何过程ꎬ轻松得到结果)ꎬ观察第一阶段最后甲、 乙相距( ３ ４×７－ｘ ７＋ｘ×１２５) 千米ꎬ第二阶段最后甲、乙相 距[ ( ３ ４×７－ｘ ７＋ｘ) ２ ×１２５] 千米ꎬ同理ꎬ第三阶段最后甲、 乙相距[ ( ３ ４×７－ｘ ７＋ｘ) ３ ×１２５] 千米ꎬ第四阶段最后甲、 乙相距[ ( ３ ４×７－ｘ ７＋ｘ) ４ ×１２５] 千米􀆺􀆺 将ｘ＝７ ９代入得ꎬ第三次甲、丙相遇时ꎬ甲、乙相距 ( ３ ４× ７－７ ９ ７＋７ ９ ) ３ ×１２５＝( ３ ５) ３ ×１２５＝２７(千米)ꎮ 第四次甲、丙相遇时ꎬ甲、乙相距( ３ ４× ７－７ ９ ７＋７ ９ ) ４ ×１２５＝ ( ３ ５) ４ ×１２５＝８１ ５＝１６.２(千米)ꎬ很容易看出题中要求 的甲、乙相距２０千米发生在甲、丙第三次和第四次相 遇之间ꎮ 注意到从甲、丙相遇开始ꎬ到下一次乙、丙相遇ꎬ甲、乙 之间的距离会缩小到开始时的６ ｘ＋７＝ ６ ７ ９＋７ ＝２７ ３５ꎬ且注 意到２７ ３５>２０ ２７ꎬ进一步说明甲、乙相距２０千米发生在乙、 丙第三次相遇之后ꎬ所以从甲、丙第四次相遇开始倒推 更方便ꎮ 因为２０－８１ ５＝１９ ５(千米)ꎬ甲、乙速度和与甲、丙速度和 的比为( １＋７ ９) ∶(１＋７)＝２∶９ꎬ所以甲、丙相距１９ ５× ９ ２＝１７.１(千米)ꎮ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４ ３