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2024-2025 学年广东省广州市西关外国语教育集团九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知二次函数 ，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
3.二次函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.二次函数 图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司5.用配方法解方程 时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
6.点 与点 关于原点对称，则 的值为（ ）
A.-1 B.1 C.-2024 D.2024
7.如果函数 是关于x的二次函数，那么k的值是（ ）
A.1或2 B.0或2 C.2 D.0
8.某商品原售价为200元，连续两次降价 后售价为100元，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知实数a，b分别满足 ， ，且 ，则 的值是（ ）
A.7 B.-7 C.11 D.-11
10. 是关于x的二次函数，当x的取值范围是 时，y在 时取得最大值，则
实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是m，n，则 ______.
12.一元二次方程 的两个实数根中较大的根是______.
13.如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O， 绕点O逆时针旋转90°后与 重合，
，则四边形BEOF面积是______.
学科网（北京）股份有限公司14.有m支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了 10场，则
______.
15.二次函数 的图象关于原点对称的图象解析式为______.
16.抛物线 的对称轴为直线 ，图象过 点，部分图象如图所示，下列判断中：①
；② ；③ ；④若点 ， 均在抛物线上，则 ；
⑤ .其中正确的序号有______.
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程： .
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.（本小题4分）
已知二次函数 的图象经过点 ， ，求此二次函数的表达式.
19.（本小题6分）
如图， 中， .
（1）将 绕点B逆时针旋转180°得到 ，连接 ， （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形 是菱形.
学科网（北京）股份有限公司20.（本小题6分）
已知关于x的方程 .
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根.
21.（本小题8分）
如图所示，抛物线 与直线 相交于点A， .
（1）直接写出实数m，n的值，并求出点A，B的坐标；
（2）若 ，请直接写出x的取值范围.
22.（本小题10分）
水果店王阿姨在水果批发市场以20元/kg的价格购进一种水果，若这种水果的销售量 ykg与销售单价x元/
kg的满足如图所示的一次函数关系.
（1）求y与x之间的函数关系式.并在不亏钱的情况下直接写出自变量x的取值范围；
（2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？
学科网（北京）股份有限公司23.（本小题10分）
如图所示，抛物线经过点 ， ， ，它的对称轴为直线 .
（1）求 的面积；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是该抛物线上的一个动点，过点P作直线 的垂线，垂足为点D，点E是直线 上的点，若以点
P，D，E为顶点的三角形与 全等，求满足条件的点P，点E的坐标.
24.（本小题12分）
如图， 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，点D落在线段 上，
连接 .
（1）求证： 平分 ；
（2）试判断线段 与线段 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ，请你求出 的度数.
学科网（北京）股份有限公司25.（本小题12分）
如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 E： 的顶点 P 在抛物线 F：
上，直线 与抛物线E，F分别交于点A， .
（1）求a的值；
（2）将A，B的纵坐标分别记为 ， ，设 ，若s的最大值为4，则m的值是多少？
（3） 是x轴的正半轴上一点，且 的中点M恰好在抛物线F上.试探究：此时无论m为何负值，在y
轴的负半轴上是否存在定点G，使 总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理
由.
学科网（北京）股份有限公司答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故选：D.
根据中心对称图形的定义逐项判断即可.
2.【答案】D
【解析】【分析】
根据二次函数的定义进行解答即可.
【解答】
解：∵函数 是二次函数，
整理得： ，
∴二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 .
故选D.
3.【答案】C
【解析】解：∵二次函数 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ，
故选项C符合，
故选：C.
利用二次函数的性质判断即可.
4.【答案】A
【解析】解：二次函数 图象的顶点坐标为 ，
故选：A.
对于二次函数 ，其顶点坐标为 ，据此求解即可.
5.【答案】B
【解析】解： ，
移项得： ，
学科网（北京）股份有限公司配方得： ，即 .
故选B.
将方程常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，即可得到结果.
6.【答案】B
【解析】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴ ， ，
则 .
故选：B.
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可求出答案.
7.【答案】D
【解析】【分析】
依据二次函数的定义可知 ， ，从而可求得k的值.
【解答】
解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ， .
解得 .
8.【答案】B
【解析】解：当商品第一次降价 时，其售价为 （元）.
当商品第二次降价 后，其售价为 （元）.
∴ .
故选：B.
9.【答案】A
【解析】【分析】
根据已知两等式得到a与b为方程 的两根，利用根与系数的关系求出 与 的值，所
求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将 与 的值代入计算即
可求出值.
【解答】解：根据题意得：a与b为方程 的两根，
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
则原式 .
故选A.
10.【答案】B
【解析】解：第一种情况：
当二次函数的对称轴不在 内时，此时，对称轴一定在 的右边，函数方能在这个区域取得
最大值，
，即 ，
第二种情况：
当对称轴在 内时，对称轴一定是在区间 的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就
是在 的地方取得最大值，即：
，即 （此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）
综合上所述 .
故选：B.
由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在 和对称轴在 内两种情况进行解答.
11.【答案】1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是m，n，
∴ ，
故答案为：1.
根据一元二次方程 的根与系数的关系 得出结论.
12.【答案】6
【解析】解：∵ 或 ，
∴ ， ，
∴原方程较大的根为6.
故答案为6.
原方程转化为 或 ，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根.
13.【答案】1
学科网（北京）股份有限公司【解析】解：∵ 绕点O逆时针旋转90°后与 重合，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 面积 ，
故答案为：1.
由旋转的性质可得 ，由面积和差关系可求解.
14.【答案】5
【解析】解：依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）.
故答案为：5.
根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，列出一元二次方程，解之取符合题意的
值即可.
15.【答案】
【解析】解； 的顶点坐标为 ，故变换后的抛物线为 ，
故答案为： .
根据关于原点对称点的特点，可得答案.
16.【答案】②③⑤
【解析】解：①∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故①错误.
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故②正确.
③∵抛物线与x轴的一个交点是 ，对称轴是 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点是 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，故③正确.
④∵点 在抛物线上，对称轴为 ，
∴ 也在抛物线上，
∵-1.5>-2，且 ， 都在对称轴的左侧，
∴ ，故④错误.
⑤∵抛物线对称轴为 ，且经过 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴⑤正确.
故正确的判断是②③⑤.
故答案为②③⑤.
①根据二次函数的图像可知：① ， ， ，据此判断即可；
②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；
③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是 ，对称轴为 ，进而确定另一个交点，然后判断即可；
④结合二次函数对称轴确定其增减性判断即可；
⑤ 根 据 对 称 轴 为 可 得 ， 进 而 可 得 ， ，
.
17.【答案】【解答】
解：因式分解得， ，
∴ 或 ，
解得 ， .
【解析】【分析】
将等号左边写成两个一次因式的积，分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元
一次方程，得到方程的解.
学科网（北京）股份有限公司18.【答案】解：依题意，得 ，
解得 ，
所以二次函数表达式为 .
【解析】把两已知点的坐标代入 得到关于b、c的方程组.然后解方程组求出b、c的值即
可.
19.【答案】（1）解：如图所示.
（2）证明：∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是菱形.
【解析】（1）根据旋转的性质作图即可.
（2）根据旋转的性质、菱形的判定证明即可.
20.【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： .
∴ 的取值范围是 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）设方程的另一根为 ，由根与系数的关系得：
，
解得： ，
则 的值是-1，该方程的另一根为-3
【解析】（1）关于 的方程 有两个不相等的实数根，即判别式 .即可
得到关于 的不等式，从而求得 的范围.
（2）设方程的另一根为 ，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根.
21.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴ ，
∵直线与x轴的交点坐标为 ，
∴ ，
解方程组 得 或 ，
∴ ， ；
（2）若 ， 的取值范围为 .
【解析】（1）利用抛物线的顶点的纵坐标为5确定m的值，利用直线与y轴的交点坐标确定n的值，然后
解方程组 得点A和点B的坐标；
（2）利用函数图象，写出抛物线在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可.
22.【答案】解：（1）设所求关系式为 ，
由图得：
解得： ，
学科网（北京）股份有限公司∴所求关系式： ；
（2）设这种水果的利润为w元，
依题意： ，
∴这种水果定价30元/kg时，可获最大利润1100元.
【解析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 ， ，即可求解.
23.【答案】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）由题意得： ，
则 ，
解得： ，
则所求解析式： ；
（3）∵抛物线： ，对称轴直线 ，
∴即直线 为直线 ，
∵ ， ，
∴等腰 中 ，
∵ 与 全等； 直线 ，
∴ 且点D、E在直线 上，
设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司∴当 时， ，即 ，
∴当 时， ，即 ，
∵ 直线 ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，点D，E在直线 上，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， .
【解析】（1）由 ，即可求解；
（2）由待定系数法的即可求解；
（3）等腰 中 ，而 与 全等， 直线 ，得到 且
点D、E在直线 上，设 ，则 ，进而求解.
24.【答案】（1）证明：∵将 绕点 顺时针旋转得到 ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∴ 平分 .
学科网（北京）股份有限公司（2）解： ，
理由：由旋转得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：如图， ，
∵ ，∴ ，
由（1）、（2）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的度数是72°.
【解析】（1）由旋转得 ， ，则 ，所以 ，即可证
明 平分 ；
（2）由旋转得 ，则 ，由 ， ，
学科网（北京）股份有限公司得 ， ， 所 以 ， 则
，所以 ；
（ 3 ） 由 （ 1 ） 、 （ 2 ） 得 ， 因 为 ， 所 以
，则 ，于是得
，求得 .
25.【答案】解：（1）由题意可知，抛物线E： 的顶点P的坐标为 ，
∵点P在抛物线F： 上，
∴ ，∴ .
（2）∵直线 与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴ ， ，
∴ ，
∵-3<0，
∴当 时， 的最大值为 ，
∵ 的最大值为4，
∴ ，解得 ，
∵ ，∴ .
（3）存在，理由如下：
设点M的坐标为n，则 ， ，
∴ ，
∵点Q在x轴正半轴上，
学科网（北京）股份有限公司∴ 且 ，
∴ ，
∴ ， .
如图，过点Q作x轴的垂线 ，分别过点P，G作x轴的平行线，与 分别交于K，N，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ， ， ，
∴
解得 .
学科网（北京）股份有限公司∴
【解析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F即可得出结论；
（2）根据题意可分别表示A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出m的值；
（3）过点 Q 作 x 轴的垂线 ，分别过点 P，G 作 x 轴的平行线，与 分别交于 K，N，则
，设出点M的坐标，可表示点Q和点G的坐标，进而可得出结论.
学科网（北京）股份有限公司
