文档内容
方法精讲-数量 3
（笔记）
主讲教师：李晟
授课时间：2024.06.11
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 3（笔记）
数量关系 方法精讲 3
学习任务：
1.课程内容：工程问题、经济利润问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 187～191页
4.重点内容：
（1）掌握给完工时间型工程问题的题型特征与解题步骤
（2）掌握给效率比例型工程问题的题型特征与解题步骤
（3）掌握与售价、进价、利润、折扣、利润率等相关的公式
（4）掌握经济利润问题中的分段计费问题和函数最值问题
第四节 工程问题
三量关系：总量=效率*时间
考查题型
1.给具体单位型
2.给完工时间型
3.给效率比例型
4.牛吃草问题（拓展）
【注意】工程问题：修马路、加工零件、折纸飞机、下课后去搬砖均属于
干活，都是工程问题。
1.三量关系（简单）：总量=效率*时间。已知工作总量和时间，效率=工作
总量/时间，只要知道三量关系中的任意两个可以求出第三个量。
2.考查题型：根据所给条件不同，可以分成四大类。
（1）给具体单位型：一般指给出工作效率或工作总量的具体单位。
（2）给完工时间型。
（3）给效率比例型。
（4）牛吃草问题（拓展），在后续的强化阶段还会讲到牛吃草问题。
11.给具体单位型（效率或总量）
①设未知数
②找等量关系列方程
【注意】给具体单位型（指给出工作效率或工作总量的具体单位）：如给
出甲每小时修的马路比乙多多少米，甲每天修马路的量是多少，给出工作效率
或工作总量的具体数据。没有特殊技巧，利用方程法解题。给具体单位的题目
比较简单，一般列出一元一次方程即可。
1.设未知数。
2.找等量关系列方程。
【例 1】（2024 事业单位联考）甲、乙施工队共同修一条全长 20 千米的路，
合作施工25天后乙队被调走，剩下部分甲队又用了 25天正好完成。已知乙队的
效率是甲队的2倍，问甲、乙两队合作每天可以修多少米路？
A.400 B.600
C.800 D.1200
【解析】1.只要是工程问题，无论给出工作总量还是效率的数据，均可以设
未知数，找等量关系。本题给出工作总量为 20km，设未知数找等量关系（完成这
项工程），已知“乙队的效率是甲队的 2 倍”，设甲的效率为 x，乙的效率为 2x，
若时间比较紧张，考虑猜题，问每天可以修多少米路，两人每天可以修 3x，3x一
定是3的倍数，可以排除 A、C项，答案在 B、D项中猜测；若有时间可以继续分
析，整个工程分为两段，完成 20km 的工作量，前面的 25 天是合作，后面 25 天
是甲单独工作，计算出两段的工作量即可，注意单位统一，所求为多少米，
20km=20000m，25*（2x+x）+25*x=20000m→100x=20000→x=200，故两人工作一
天为3x=600，对应 B项。【选B】
22.给完工时间型
注：完工时间指的是完成同一项工程的多个时间
①赋总量（完工时间的公倍数）
②算效率：效率=总量/时间
③根据工作过程列式
【示例】搬一车砖，甲单独搬要 30分钟完成，乙单独搬要 45分钟完成。若
两人一起搬，需要多少分钟？
A.10 B.15
C.16 D.18
【注意】给完工时间型：
1.注：完工时间指的是完成同一项工程的多个时间。一定对应相同的工作总
量，最少出现两个时间，只有出现两个数才能找公倍数，如果能找到两个完工时
间，就将时间的公倍数当做总量，求效率，列式求解即可。
2.解题方法：
（1）赋总量（完工时间的公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式。
3.示例：搬一车砖，甲单独搬要 30分钟完成，乙单独搬要 45分钟完成。若
两人一起搬，需要多少分钟？
A.10 B.15
3C.16 D.18
答：工程问题是小学四五年级学的知识点，在小学中一般将工作总量看作是
1，P =1/30、P =1/45，两人合作，所求=1÷[（1/30）+（1/45）]，这种思路
甲 乙
是对的，但不适用于公务员考试，因为这样做会出现分数，若数据比较大，计算
会比较麻烦，可以赋值总量为任意一个数，为了尽量让计算出的效率是整数，故
赋值总量为完工时间的公倍数，是否为最小公倍数均可以，30和45 的公倍数为
90，算效率，P =90/30=3、P =90/45=2，效率为整数，两人合作，所求=90/（3+2）
甲 乙
=90/5=18。
找公倍数训练：
8、10
11、13
10、12、15
12、15、24
【注意】找公倍数训练：工程问题找公倍数一定是越快越好，不一定是最小
公倍数。
1.8、10：能想到两个数的公倍数为 40、也可以是80，用首先能想到的公倍
数计算即可，不必刻意要求是最小公倍数，若求最小公倍数，标准方法为短除法，
8、10的公约数为 2，8/2=4、10/2=5，4和 5之间除了1之外没有公约数，故最
小公倍数为2*4*5。
2.11、13：两个数之间是互质的，最小公倍数为两个数相乘。
3.10、12、15：
（1）短除法：10、12、15，当三个数之间没有公约数，找两两之间的公约
数，先分析10、15，有公约数 5，下面为2、12、3，3、2和12之间有2的约数，
下面为 1、6、3，3、6 有公约数 3，下面为 1、2、1，不存在公约数，则最小公
4倍数为5*2*3*1*2*1。
（2）先找比较大的公倍数，先找 12、15 的公倍数，若想不到可以直接用
12*15，但这个数据比较大，可以除以一下两个数的公约数，12、15 的公约数为
3，12*15/3=60，60 刚好是10的倍数，故公倍数取值为 60即可。
4.12、15、24：12和24之间存在倍数关系，此时可以不考虑 12，若一个数
是24的倍数，则这个数一定是 12的倍数，只需要找 15和24的公倍数即可，15
和24之间有公约数 3，故15和24的公倍数为 15*24/3=120。
【例 2】（2023 北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先
施工，用了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9天。
则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？
A.10 B.15
C.16 D.20
【解析】2.出现时间相关的数据，甲队先施工，用了 15 天完成了一半，则
甲队完成工作总量需要30天；“剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了9天”，
前一半是 15 天，短了 9 天，就是用了 6 天，即甲乙合作完成一半用 6 天，则甲
乙合作完成整个工作总量需要 6*2=12 天。两个时间对应相同的工作，属于给完
工时间型工程问题。（1）赋总量：赋值工作总量为 30、12的公倍数 60；（2）算
效率：P =60/30=2、P =60/12=5。所求为“乙工程队独立完成整个工程需要多
甲 甲+乙
少天”，P =5-2=3。（3）列式子或方程，所求=60/3=20天，对应D 项。【选D】
乙
【注意】
1.若用 15、6 赋值，得到的是一半的工作总量，此时会错选 A 项。
2.题型识别：15天一半（干完需30天）；15-9=6天一半（干完需 12天）→
给完工时间型。
5【例 3】（2024 联考）有一批零件，如果甲车间单独完成需要 50 小时，乙车
间单独完成需要 30 小时，在甲车间单独完成若干小时后，由于要承担其他紧急
任务，剩余的任务由乙车间继续完成，这样一共用了 42 小时。问乙车间完成的
零件量占这批零件总量的：
A.3/4 B.3/5
C.2/5 D.1/3
【解析】3.“甲车间单独完成需要 50 小时，乙车间单独完成需要 30 小时”
给出两个完工时间，做题要形成条件反射，确定题型为给完工时间型工程问题，
三步走，（1）赋总量：赋值工作总量为 50、30 的公倍数 150；（2）算效率：P
甲
=150/50=3，P =150/30=5；（3）列式子或方程：本题的难点在于工作过程不同，
乙
工程问题如果分成很多个阶段，可以画线段分析，将每个阶段的工作量表示出来
即可，甲乙一共用 42 小时，所求为乙车间的占比，求谁设谁，求乙，设乙的时
间为t，则甲的时间为 42-t，计算出两段的工作总量，3*（42-t）+5t=150→126-
3t+5t=150→2t=24→t=12，P =5，所求=5*12/150=2/5，对应C项。【选 C】
乙
【注意】工程问题是模板化题型，做题步骤固定。
【例 4】（2023 联考）轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工
程队合作进行需 4 小时完成，甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时，则甲队
单独完成需要的时间是：
A.5 小时 B.6 小时
C.7 小时 D.8 小时
【解析】4.题目比较创新，找完工时间，本题中 4 小时为完工时间，但 15
小时为时间差（甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时→t -t =15），不是完
乙 甲
工时间，所求为甲队单独工作需要的时间，若知道甲队的时间，则可以求出乙队
的时间，四个选项中有一个选项是甲的完工时间，甲比乙快，则甲的时间少，乙
的时间多，题目提到多个人的时间差，且所求答案恰好是其中某人的时间，优先
代入，代入最好算的一组数。
6若甲的时间为 5h，则乙的时间为 20h；甲的时间为 6h，则乙的时间为 21h；
甲的时间为7h，则乙的时间为 22h；甲的时间为 8h，则乙的时间为 23h；四组数
据中 A 项最好算（考试中更多考查的是思维能力，考查计算和硬算没有太大意
义），优先代入 A 项，甲的时间为 5h，乙的时间为 20h，（1）赋总量：赋值工作
总量为5、20的公倍数 20；（2）求效率：P =20/5=4、P =20/20=1，（3）根据工
甲 乙
作过程列式求解：根据“甲、乙两个工程队合作进行需 4小时完成”验证，甲乙
合作需要20/（4+1）=4h，满足题干要求，对应 A项。【选A】
3.给效率比例型
①赋效率（满足比例即可）
②算总量：总量=效率*时间
③根据工作过程列式
【示例】甲、乙搬砖的效率之比为 2：3，两人合作搬完一车砖需要 18分钟。
如果甲单独搬需要多少分钟搬完？
A.30 B.36
C.40 D.45
【注意】给效率比例型：变化较多，考法比较灵活。
1.解题方法（三步走）：
（1）赋效率（满足比例即可）。若给出甲乙效率之比为 4：3，赋值 P =4、
甲
P =3即可。
乙
（2）算总量：总量=效率*时间。工程问题的核心是效率和总量，已知效率
可以算总量，已知总量可以算效率。
（3）根据工作过程列式。
2.示例：甲、乙搬砖的效率之比为 2：3，两人合作搬完一车砖需要 18分钟。
如果甲单独搬需要多少分钟搬完？
A.30 B.36
C.40 D.45
答：已知效率之比为 2：3，三步走，（1）赋效率：赋值 P =2、P =3，（2）
甲 乙
算总量：“两人合作搬完一车砖需要 18 分钟”→W=18*（2+3）=90，（3）根据工
7作过程列式：所求=90/2=45，对应D项。
【例 5】（2020 联考）某医疗器械公司为完成一批口罩订单生产任务，先期
投产了A和B两条生产线，A和B的工作效率之比为 2：3，计划8天可完成订单
生产任务，两天后公司又对这批订单投产了生产线 C，A 和 C 的工作效率之比为
2：1，问该批口罩订单任务将提前几天完成？
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】5.已知“A 和 B 的工作效率之比为 2：3”，（1）根据效率之比赋效
率：赋值 P=2、P=3，“A 和 C 的工作效率之比为 2：1”，故 P=1，（2）算总量：
A B C
“计划8天可完成订单生产任务”→W=8*（2+3）=40，已知效率和总量，（3）根
据工作过程列式求解：只要是分为好几个时间段完成的工程问题，若思考不清楚
过程，可以画线段分析，A、B 合作 2 天，设 A、B、C 合作 t 天，全程的时间为
2+t天，分别表示出两段的工作总量，W=2*（2+3）+t*（2+3+1）=40→10+6t=40
→t=5 天，不要根据“8-5=3 天”错选 C 项，问完成时间提前几天，前面还工作
2 天，实际工作时间为 7 天，计划是 8 天，相当于只提前一天，对应 A 项。【选
A】
【注意】若给出的效率比例为 A：B=2：3、A：C=3：5，将2、3 统一成相同
的数，找 2、3 的公倍数，A：B=6：9、A：B=6：10，此时可以赋值 P=6、P=9、
A B
P=10。
C
效率比例的多种形式
直接给：甲的效率是乙的 3/4
间接给：甲 3天的工作量等于乙 2天的工作量（工作量相同，时间与效率成
反比）
给具体人数或机器数：
50 个工人修路，36台收割机割麦子
赋值每个人/每台机器效率为 1
8【注意】效率比例的多种形式：
1.直接给（简单）：甲的效率是乙的 3/4。甲：乙=3/4。
2.间接给（较难，需要自行转化）：甲 3 天的工作量等于乙 2 天的工作量，
3*甲=2*乙→甲：乙=2：3；也可以理解为工作量相同，时间和效率成反比，同样
的工作，时间越多，效率越低，时间越少，效率越高。此处的例子比较简单，考
试中更多的会给出一些比较复杂的工作过程，建立等量关系计算甲乙的效率比例
即可。
3.给具体人数或机器数（简单，相当于直接给出效率）：如 50 个工人修路、
36 台收割机割麦子、20 台挖掘机工作等。如果给出很多个人数或机器，只要没
有区分人与人不同、机器与机器不同，就默认为每台机器或每个人的效率为 1，
如 50 个工人修路，则 50 个人的效率为 50，有多少个人，效率就是多少，36 台
收割机割麦子，默认每台收割机的效率为 1，故36台收割机的效率为 36。
【例 6】（2024 联考）甲、乙两工厂共同完成某个生产订单需要 12天。现两
工厂共同生产8天后，再由乙单独生产 7天，一共完成了订单总量的 90%。若整
个订单由乙单独生产，那么需要多少天完成？
A.20 B.23
C.26 D.30
【解析】6.出现 12、8、7天，用排除法确定题型，无法找到两个完工时间，
只有一个完工时间为 12 天，且没给出具体量，为给效率比例型工程问题，没有
直接给出效率，为间接给效率，按照题目要求列式，“甲、乙两工厂共同完成某
个生产订单需要 12 天”→工作总量=12*（P +P ），“两工厂共同生产 8 天后，
甲 乙
再由乙单独生产 7 天，一共完成了订单总量的 90%”→8*（P +P ）+7*P =12*
甲 乙 乙
（P +P ）*0.9→8*P +15*P =10.8*P +10.8*P →4.2*P =2.8*P →P /P
甲 乙 甲 乙 甲 乙 乙 甲 甲 乙
=4.2/2.8=3/2，（1）赋效率：按照比例关系，赋值 P =3、P =2，（2）算总量，
甲 乙
W=12*（3+2）=60，（3）根据工作过程列式求解：所求=60/2=30，对应 D项。【选
D】
9【例 7】（2021 广东）某茶园需要在一定时间内完成采摘。前 4 天安排了20
名采茶工，完成了五分之一的工作量。如果再用 10 天完成全部采摘，至少还需
要增加多少名采茶工？
A.12 B.11
C.10 D.9
【解析】7.出现人数，20 个人，则效率为 20，四天的工作量为 4*20=80，
“完成了五分之一的工作量”，相当于给出部分和比重，计算总体，工作总量为
80÷（1/5）=400，已经完成 80的工作量，则剩余的工作量为 400-80=320，要想
10 天完成需要 32 个人，原来有 20 个人，还需要增加 32-20=12 人，对应 A 项。
【选A】
【注意】给出多少人的题目，默认每个人的效率为 1。
拓展：牛吃草问题
题型特征：有增长、有消耗（排比句）
公式：Y=（N-X）*T
Y：草地原有草量
N：牛数
X：每天的长草量
T：时间
【例】某牧场长满牧草，牧草每天均匀生长，牧场可供 100 头牛吃 20 天，
可供150 头牛吃10 天。则这片牧场可供250 头牛吃多少天？
10A.5 B.6
C.7 D.8
【注意】拓展：牛吃草问题，2023、2020 年广东考查过，连续考查的可能性
不大。
1.题型特征：有增长、有消耗（排比句）。
2.例：老师有小金库，有 1000元钱，若老师每天搬砖，能赚 20 元，但老师
每天需要花费 40 元，1000 元相当于原有存量，每天赚 20 相当于增长量，花费
40相当于消耗量，每天净花费 20元，列式：1000=（40-20）*t→原有量=（消耗
量-增长量）*t，为牛吃草问题的基本模型。
3.公式：Y=（N-X）*T；Y：草地原有草量（在牛没有吃草之前，草地原有一
些草量，牛在吃草，在减少这个草量，同时草还在增长）、N：牛数、X：每天的
长草量、T：时间。
4.例：某牧场长满牧草，牧草每天均匀生长，牧场可供 100 头牛吃 20 天，
可供150 头牛吃10 天。则这片牧场可供250 头牛吃多少天？
A.5 B.6
C.7 D.8
答：出现排比句，有增长有消耗，Y 是草地原有的存量，N 是牛的消耗量，
默认每头牛的消耗为 1，故牛的消耗量=牛的头数，一共有 4 个未知数，草地的
原有草量是定值，每天长草量也是定值，列式：“100头牛吃20天”→Y=（100-
x）*20、“150头牛吃 10天”→Y=（150-x）*10，得到二元一次方程组，可以解
→出X、Y，但不好解，可以直接列式为（100-x）*20=（150-x）*10→200-2x=150-
x→x=50，代入原式，Y=（100-50）*20=1000，1000=（250-50）*t→t=5，对应A
项。
5.牛吃草问题模型：牛吃草只是代名词，表达的语境可能会不同，但表达的
思路相同，默认每头牛每天的吃草量为 1。
11【拓展 1】（2020 浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之
后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，
若开放3个窗口，需耗时 90分钟，若开放 5个窗口，则需耗时45分钟。问如果
开放6个窗口，需耗时多少分钟？
A.36 B.38
C.40 D.42
【解析】拓展 1.属于检票口检人，检票口为牛，相当于检票口“吃”人，每
分钟有增加，窗口在消耗排队的人数，有增加有消耗，且有排比句，为牛吃草问
题，列式：Y=（3-x）*90=（5-x）*40→6-2x=5-x→x=1（每分钟增加的排队人数），
代入原式，Y=（3-1）*90=180（在没有检票之前的人数），“问如果开放 6个窗口，
需耗时多少分钟”，故 180=（6-1）*t，t=180/5=36，对应A项。【选 A】
【注意】牛吃草问题的性价比非常高，题型特征非常好判定，代入公式解题
即可。
【拓展 2】（2023 广东）某牧场的草，匀速生长。如果 20头牛来吃，20天可
将草吃光；如果 10 头牛和 10 只羊来吃，30 天可以恰好吃光。已知一头牛每天
的吃草量是一只羊的 2倍，则30只羊吃该牧场的草，多少天可以吃光？
A.10 B.20
C.30 D.40
【解析】拓展 2.牛羊共同吃草，进行转化，所求为羊，将牛转化为羊，题目
当中明确给出“一头牛每天的吃草量是一只羊的 2倍”，故1头牛=2 只羊，20头
牛相当于 40 只羊，“如果 20 头牛来吃，20 天可将草吃光”→40 只羊 20 天可以
吃完；“如果 10 头牛和 10 只羊来吃，30 天可以恰好吃光”→30 只羊 30 天可以
12吃完，所求为30只羊多少天可以吃光，对应 C项。【选C】
【注意】列方程，y=（40-x）*20=（30-x）*30，解出x=10、y=600，600=（30-
10）*t→t=30。
【注意】工程问题：
1.给完工时间型：至少给出两个完工时间。
2.给效率比例型：给完工时间型和给效率之比型，都考虑赋值法。
3.给具体单位型：一般给工作总量或工作效率的具体单位。
4.牛吃草问题：记住基本公式。
第五节 经济利润问题
常用公式
（1）利润=售价-成本
（2）利润率=利润/成本
（3）售价=成本*（1+利润率）
（4）总价=单价*数量；总利润=单个利润*数量
【注意】经济利润问题：考频比较高，涉及到和钱有关的成本、利润、售价
等。
1.利润=售价-成本（用的最多）：如一件商品成本为100元，售价为 150元，
利润为50元。
2.利润率=利润/成本：利润=成本*利润率。资料分析中利润率=利润/收入。
3.售价=成本*（1+利润率）：如一件商品成本为 100 元，要想获得 30%利润
13率，则售价为100*（1+30%）=130元。
4.总价=单价*数量；总利润=单个利润*数量：如一件商品20元，10件的利
润为20*10=200元。
常考类型
一、基础经济（重要）
二、分段计费（简单）
三、经济函数最值（套路题）
【注意】常考类型：
1.基础经济（重要）：考查最多。
2.分段计费（简单）：非常简单。
3.经济函数最值（套路题）：有点难度。
一、基础经济--解题方法选择
（1）方程法：已知具体价格，求具体价格（利润、成本、售价）
（2）赋值法：已知比例，求比例（利润率，折扣）（定价和成本二选一赋值）
【注意】基础经济——解题方法选择：
1.方程法：已知具体价格，求具体价格（利润、成本、售价）。
2.赋值法：已知比例，求比例（利润率、折扣），没有出现任何和钱相关的
数据，一般定价和成本二选一赋值，具体赋值谁要结合具体题目，赋值一般赋好
算的数（如100、10、1）。
【例 1】（2024 广东）某家政公司承诺以低于市场价 20%的价格为小区业主
提供服务。如果有业主向该公司支付了服务费 4000 元，则与市场价相比优惠了
多少元？
A.400 B.600
C.800 D.1000
【解析】1.设市场价为 x元，“低于市场价 20%的价格”说明按照市场价 80%
支付，x*80%=4000，解得x=5000，所求=5000-4000=1000，对应D项。【选D】
14【例 2】（2024 江苏事业单位）龙年到了，小王以每个 6 元的价格从批发市
场购进若干印章摆地摊，销售完 30 个之后，销售金额达到 300 元，余下每个降
价 2 元，很快售罄，销售金额总计 380 元。小王这次销售活动中获得的利润是：
A.152 元 B.140 元
C.130 元 D.125 元
【解析】2.成本为 6元，售价=300/30=10 元，利润=10-6=4元，降价后售价
为10-2=8 元，利润为 8-6=2元，已经卖了 300元，则降价后卖了80 元，设降价
后卖了 x 个，8*x=80，解得 x=10，所求=4*30+2*10=140 元，对应 B 项。【选 B】
【例 3】（2023 湖北选调）一家超市按 20%的利润率定价出售一批酸奶，还
剩下 10 箱时，因临近保质期按定价的五折卖出，最终实际获利只有预计获利的
88%。问这批酸奶共有多少箱？
A.200 B.240
C.250 D.270
【解析】3.没有给出具体钱数，给比例求比例，考虑赋值，一般在定价和成
本中二选一。利润率和成本有关，考虑赋值成本。赋值每个成本为 100元，则利
润为100*20%=20元，则定价为100+20=120 元，假设共有x箱。
方法一：前期的利润为 20 元，剩下的 10 箱按照 120*50%=60 元售卖，每一
箱亏损 100-60=40 元，“实际获利只有预计获利的 88%”→（x-10）*20-
40*10=20*x*88%→x-10-20=0.88x→0.12x=30，解得x=250，对应C 项。
方法二：“实际获利只有预计获利的 88%”→少挣预计利润的12%，出现在最
后10箱上，原来卖 120元，现在卖60元，每一箱少卖 60元，一共少卖 60*10=600
元，列式：600=20*x*12%。【选C】
【注意】原价卖的利润为 20x，但是有一部分原价 120 元卖，有 10 箱是 60
元买，原价卖的部分对利润减少没有影响，影响利润减少的是剩下的 10 箱，少
挣了预计利润的12%，10箱少卖了60*10=600 元，所以600=20x*12%。
15【例 4】（2023 浙江）某商品上月售价为进价的 1.4 倍，销售 m 件。本月该
商品进价下降20%，售价不变，销售利润为上月的 1.8倍。那么本月的销量为多
少件？
A.1.3m B.1.25m
C.1.2m D.1.15m
【解析】4.没有出现钱数，考虑赋值，定价和成本二选一，售价为进价的 1.4
倍，考虑赋值进价。赋值上月进价为 100 元，则售价为 140 元，利润为 40 元，
设一共 m 件，则总利润为 40m 元；本月进价为 80 元，售价仍然是 140 元，利润
为 60 元，总利润为 40m*1.8=72m 元，销量=总利润/单利=72m/60=1.2m，对应 C
项。【选 C】
二、分段计费问题
题型判定：生活中水电费、出租车计费、税费等，每段计费不同。
问：在不同收费标准下，一共需要的费用？
计算方法：画一条线段，找准分段点
【补例】某地出租车收费标准为：3公里内起步价 8元；超出3公里的部分，
每公里2元。
小李打车坐了 12公里，共花费多少钱？
【注意】分段计费问题：
1.题型判定：生活中水电费、出租车计费、税费（如个人所得税）等，每段
计费不同。
2.计算方法：画一条线段，找准分段点。
3.补例：某地出租车收费标准为：3公里内起步价 8元；超出3公里的部分，
每公里2元。小李打车坐了 12公里，共花费多少钱？
答：分段点是 3 公里，3 公里以内是 8 元，3～12 公里还有 9 公里，每公里
2元，一共花费8+9*2=26 元。
【例 1】（2021 联考）假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费
不超过 800 元不纳税；（2）超过 800 元但不超过 4000 元的部分纳税 10%；（3）
16超过 4000 元的部分纳税 15%。已知张教授出版一部著作，纳税 620 元，则张教
授的这笔稿费是多少元？
A.9000 B.8000
C.7000 D.6000
【解析】1.一共有 2 个分段点，3 个收费标准，800 元以内不纳税，800～
4000元之间税率为 10%，需要缴纳3200*10%=320 元；一共纳税620 元，则 4000
元以上的部分纳税 620-320=300 元，假设 4000 元以上部分有 x 元，300=x*15%，
解得x=2000 元，所求=4000+2000=6000元，对应 D项。【选D】
【例 2】（2023 联考）某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过 15分
钟，不收费；超过 15分钟但不超过60分钟，按 1小时计，收费5元；超过 1小
时后，超过的部分按每 30分钟4元收费（不足 30分钟，按30分钟计）。若李先
生支付停车费17元，则他停车的时长可能为：
A.2 小时 B.2 小时15分钟
C.2 小时45分钟 D.3 小时
【解析】2.停车 13分钟、14分钟可以不交钱，一旦超过 15分钟都要交钱，
60 分钟以内交 5 元，超过 1 小时，每 30 分钟收费 4 元，一共交 17 元，凑出 17
元即可，5+4+4+4=17 元，最后的 4 元在停车 2 小时到 2.5 小时之间都要交，只
有B项满足。【选B】
17三、函数最值
题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
例：单价为3000 元，可卖出19件。若单价每提升 200元，销量会降低 1件。
请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
计算技巧：
①设提价/降价次数为x求谁最高，根据谁列式
②令 y=0，解得 x、x（两个括号分别等于 0）
1 2
③当 x=（x+x ）/2时，y取得最值
1 2
【注意】函数最值：套路题。
1.题型特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高。
2.例：单价为 3000元，可卖出 19件。若单价每提升 200元，销量会降低 1
件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？
答：单价提升，销量降低，求销售总额最高。设提价 x 次，销售总额=单价
*销量=（3000+200x）*（19-1*x），函数图像是开口向下的抛物线，最高点是最
大值，即函数图像的对称轴位置，x在x 和 x 中间，对称轴=（x+x ）/2，x、x
1 2 1 2 1 2
都在x轴，则y=0，所以令 2个括号分别为 0，解得x=-15，x=19，x=（-15+19）
1 2
/2=2，当 x=2时y 有最值，代入方程即可。
183.计算技巧：
（1）设提价/降价次数为x求谁最高，根据谁列式。
（2）令y=0，解得 x、x（两个括号分别等于 0）。
1 2
（3）当x=（x +x）/2时，y取得最值。
1 2
【例 1】（2023 四川事业单位）某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电
脑成本价格为 4499 元，销售价格为 5699 元。某单位计划以销售原价购买 20 台
电脑，在此基础上，若销售价格每降低 100 元，就多购买2台。则该电脑制造厂
商可在该笔交易中获得的最大利润为多少元？
A.24200 B.24000
C.36000 D.31200
【解析】1.典型函数最值题目，设降价 x次，总利润=单利*销量，已知成本
和售价，利润=5699-4499=1200元，列式：总利润=（1200-100x）*（20+2x），令
2个括号分别为0，解得 x=12、x=-10，x=（12-10）/2=1，当x=1时有最值，代
1 2
入方程，所求=（1200-100）*（20+2）=1100*22=24200，对应A项。【选A】
【例 2】（2024 山东）某线上店铺将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出
售，每天可销售100 件。店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价提高 1元，
每天销售量就要减少 10 件，为保证每天至少获利 350 元，问该商品售价应为多
少？
A.不到 13元 B.13～15元之间
C.15～17元之间 D.17 元以上
【解析】2.“保证每天至少获利 350元”→利润≥350元，最大利润一定大
于350元，算出最大利润对应的点，看落在哪个范围即可。设提价 x次，总利润
=（10-8+1x）*（100-10x），令2个括号分别为 0，解得x=-2，x=10，x=（-2+10）
1 2
19/2=4，当 x=4时有最值，所求=10+4*1=14元，对应 B项。【选B】
【注意】给出范围，可以代入选项，如代入 A项，只要代入比13 小的即可，
代入B项可以代入中间好算的 14。代入A项，假设售价为12元，即提了 2次价，
则少卖20件，利润=（12-8）*（100-20）=320 元，没有超过350元，不满足题
干。代入 B 项，假如售价为 14 元，提价 4 次，则少卖 40 件，利润=（14-8）*
（100-40）=360元，满足题干。
【注意】
1.基础经济考查较多，变化形式也比较多，主要围绕利润、售价、进价考查。
折扣=折后价/折前价，如商品定价 100 元，按照八折卖就是 100*0.8=80 元。解
题方法为方程法（给出具体钱数）和赋值法。
2.分段计费和生活息息相关，画线段，找分段点，分段计算，最后汇总。
3.函数最值，单价和数量此消彼长，求最大值。
【练习 1】（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队
工程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200天可完成该项
目；如果由乙队单独施工，则需要 300 天。甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队
被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，问完成该项目共需多少天？
A.120 B.150
C.180 D.210
20【解析】1.给完工时间型。（1）赋总量：赋值总量为 200 和 300 的公倍数
600；（2）算效率：甲=600/200=3，乙=600/300=2；（3）列式求解：设时间为 t，
60*（3+2）*2t=600，解得 t=150，问一共需要多少天，所求=150+60=210，对应
D项。【选 D】
【练习 2】（2020 江苏）某商品的进货单价为 80元，销售单价为 100元，每
天可售出 120 件。已知销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。若要实现该
商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：
A.5 元 B.6 元
C.7 元 D.8 元
【解析】2.单价和销量此消彼长，要求总利润最大，函数最值问题。设降价
x 次，总利润=（20-1x）*（120+20x），令 2 个括号分别为 0，x=20，x=-6，x=
1 2
（20-6）/2=7，所求=7*1=7元，对应C项。【选C】
【答案汇总】
工程问题 1-5：BDCAA；6-7：DA
基础经济 1-4：DBCC
分段计费问题 1-2：DB
函数最值 1-2：AB
21遇见不一样的自己
Be your better self
22
