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2024 年中考第二次模拟考试（辽宁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
( 1)
1．− − 的相反数是（ ）
2
1 1
A． B．− C．2 D．−2
2 2
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的概念，熟记只有符号不同的两个数称为互为相反数是解题的关键．
利用相反数的定义直接解答即可．
( 1) 1
【详解】− − 的相反数是− ．
2 2
故选：B．
2．如图，将该几何体水平放置，则它的三视图是（ ）
A． B．
C． D．.
【答案】A
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．根据图形确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】解：由几何体可知，该几何体的三视图为：
故选：A．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
4．若an=b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为log b（即log b=n），如25=32，
a a
则5叫做以2为底32的对数，记为1og 32（即1og 32=5），根据以上运算规则，log 81=（ ）
2 2 3
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了运用乘方解决新定义问题的能力．根据对数的定义运用乘方进行求解．
【详解】解：∵34=81，
∴4是以3为底81的对数，
即log 81=4，
3
故选：B．
5．如图，a∥b，c⊥d，∠1=35°，则∠2的度数为（ ）A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】A
【分析】本题考查了垂直的性质和平行线的性质，先利用垂直性质求∠3度数，再利用平行线性质求
∠2度数，熟练掌握平行线的性质是解题关键.
【详解】如图：
∵c⊥d，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1=35°，
∴∠3=55°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=55°，
故选：A．
6．用配方法解一元二次方程x2−8x−1=0时，配方的结果正确的是（ ）
A．(x+8) 2=65 B．(x−8) 2=65 C．(x+4) 2=17 D．(x−4) 2=17
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法求解即可，解题的关键熟练掌握配方法解方程．
【详解】解：x2−8x−1=0
x2−8x+42=1+42，
(x−4) 2=17，
故选：D．
7．一批零件共500个，如果甲先做2天后，乙加入合作，那么再做6天完成；如果乙先做3天后，甲加入
合作，那么再做7天才能完成，求甲、乙两人每天各做多少个？设甲每天做x个，乙每天做y个，则下列方程组错误的是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；
设甲每天做x个，乙每天做y个，根据“甲先做2天后，乙加入合作，那么再做6天完成；乙先做3天
后，甲加入合作，那么再做7天才能完成”，列方程组即可．
【详解】解：设甲每天做x个，乙每天做y个，
由题意可得，¿或¿或¿，
故选项A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
8．在“探索一次函数y=kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：
A(−3,3)，B(3,6)，C(0,2)．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对
应的函数表达式y =k x+b ，y =k x+b ，y =k x+b ．分别计算2k +b ，2k +b ，2k +b 的值，
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3
其中最大的值等于（ ）
9 11
A． B． C．5 D．4
2 2
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法求出k ，
1
b ，k ，b ，k ，b 的值是解题的关键．不妨设直线AB的函数表达式为y =k x+b ，直线AC的函数
1 2 2 3 3 1 1 1
表达式为y =k x+b ，直线BC的函数表达式为y =k x+b ，根据点A，B，C的坐标，利用待定系
2 2 2 3 3 3
数法，可求出k ，b ，k ，b ，k ，b 的值，再将其代入2k +b ，2k +b ，2k +b 中，比较后即可
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
得出结论．
【详解】解：不妨设直线AB的函数表达式为y =k x+b ，直线AC的函数表达式为y =k x+b ，直
1 1 1 2 2 2线BC的函数表达式为y =k x+b ，
3 3 3
将A(−3,3)，B(3,6)代入y =k x+b 得：¿，
1 1 1
解得：¿，
1 9 11
∴2k +b =2× + = ．
1 1 2 2 2
同理，可求出¿，¿，
1 4 4 14
∴2k +b =2×(− )+2= ，2k +b =2× +2= ．
2 2 3 3 3 3 3 3
11 14 4
又∵ > > ，
2 3 3
11
∴其中最大的值等于 ．
2
故选：B
9．如图，△OAB与△OA'B'位似，其中A、B的对应点分别为A'、B'，A'、B'均在图中正方形网格格点
上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为( )
m n
A．( ， ) B．(m，n) C．(2m，2n) D．(2n，2m)
2 2
【答案】C
【分析】
本题考查坐标的位似变换，先根据点A和A'的坐标求出位似比，从而得解，掌握求一个点位似变换后
点的坐标就是用这个点的横纵坐标都乘以位似比或位似比的相反数是解题的关键．
【详解】解：∵△OAB与△OA'B'位似，其中A、B的对应点分别为A'、B'，A'、B'均在图中正方形
网格格点上，
即A点坐标为：(1，2)，A'点坐标为：(2，4)，
∴线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为：(2m，2n)．
故选：C．
10．如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA，BC于F，G，分别以点1
F，G为圆心大于 FG长为半作弧，两弧交于点H，作BH交AD于点E，连接CE，若
2
AB=10，DE=6，CE=8，则BE的长为（ ）
A．2√41 B．40√2 C．4√5 D．8√5
【答案】D
【分析】本题考查基本作图-作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定
理等知识是解题的关键．
如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．证明四边形AJCE是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明
∠AJB=90°，推出∠BCE=90°，利用勾股定理求出BE即可．
【详解】解：如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵AJ∥EC，AE∥JC，
∴四边形AJCE是平行四边形，
∴AJ=EC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=10，AJ=EC=8，AE=JC=10，
∵DE=6，
∴AD=BC=16，
∴BJ=BC−JC=16−10=6，
∴AB2=BJ2+AJ2，∴∠AJB=90°，
∵AJ∥EC，
∴∠BCE=∠BJA=90°，
∴BE=√BC2+EC2=√162+82=8√5，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．今年国内旅游市场复苏按下“加速键”，据文化和旅游部数据中心测算，预计2023年，我国国内旅游
人数将达45.5亿人次，同比增长约80%．数据45.5亿用科学记数法表示为 ．
【答案】4.55×109
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种
记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：45.5亿=4550000000=4.55×109
故答案为：4.55×109
【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
12．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m
2
个白球，使得摸到白球的概率为 ，则m的值为 ．
3
【答案】2
【分析】本题考查了简单的概率计算，解分式方程．熟练掌握简单的概率计算，解分式方程是解题的
关键．
m+10 2
由题意知， = ，计算求出满足要求的解，然后作答即可．
m+10+6 3
m+10 2
【详解】解：由题意知， = ，整理得，3(m+10)=2(m+16)，
m+10+6 3
解得，m=2，
经检验，m=2是原分式方程的解，
故答案为：2．
13．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，BE，则∠1的度数是 ．【答案】108°
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握正五边形的性质以及等腰三角形的性质是正确解答
的关键．根据正五边形的性质求出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠BAC、
∠ABE的度数，进而求出∠1即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
(5−2)×180°
∴∠CBA=∠BAE= =108°，AB=AE=BC，
5
180°−108°
∴∠ABE=∠BAC= =36°，
2
∴∠1=180°−∠BAC−∠ABE=108°．
故答案为：108°
1 k
14．如图，直线y= x+1分别与x轴、y轴交于A,B两点，以AB为边作正方形ABCD，双曲线y= 经过
2 x
点D，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】作DF⊥x轴于点F，先求出A、B两点的坐标，故可得出OB=1，OA=2，再根据AAS定理
得出△OAB≌△FDA可得出OF的长，进而得出D点坐标，把D点坐标代入反比例函数的解析式求出
k的值即可．
【详解】解：作DF⊥x轴于点F．1
在y= x+1，令x=0，则y=1，即B(0,1)，
2
令y=0，则x=−2，即A(−2,0)，则OB=1，OA=2，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAF=90°，
∵Rt△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠DAF=∠OBA，
在△OAB与△FDA中，
¿，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
∴AF=OB=1，DF=OA=2，
∴OF=1，
∴D(−1，−2)，
k
∵点D在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
x
k
∴−2=− ，解得k=2；
1
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到的知识点有全等三角形判定与性质以及一次函数图
像与坐标轴的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=4，E在CD边上，且DE=3，将△ADE沿直线AE折叠，得到
△AFE，连接BF，则△ABF的面积为 ．28
【答案】
5
【分析】本题考查矩形与折叠问题，辅助线构造相似得出对应边等量关系以及解直角三角形是解题关
键．
过点F作FG⊥AB,FH⊥DC，易证△EHF∽△FGA，得出对应边的等量关系，设FG=4x，
EH=3x，AG=3+3x，解直角三角形AFG，计算出FG的长度，从而求算面积．
【详解】解：如图：过点F作FG⊥AB，延长GF交CD与点H，
∵矩形ABCD，
∴∠DAB=90°，AB∥CD，
∴FH⊥CD，
∴四边形AGHD为矩形，
∴GH=AD=4,AG=DH，
根据翻折的性质得出：∠EFA=∠D=90° ，
∵∠EHF=∠AGF=90°，
∴∠FEH=∠AFG=90°−∠EFH，
∴△EHF∽△FGA，
∵AB=10,AD=4,DE=3，
∴EF=3,AF=4，
EH HF EF 3
∴ = = =
FG AG FA 4
设FG=4x ，则EH=3x
∴AG=DH=3+3x在直角三角形AFG中有：AF2=AG2+GF2即：42=(3+3x) 2+(4x) 2
7
解得：x = ,x =−1（舍）
1 25 2
28
∴FG=4x=
25
1 1 28 28
∴S = AB⋅FG= ×10× = ．
△ABF 2 2 25 5
28
故答案为： ．
5
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（9分）（1）计算：(3.14−π) 0−√12−|−3|+4sin60°；
3a−3 a2−2a+1 a
（2）先化简，再求值： ÷ − ，其中a=2．
a a2 a−1
2a
【答案】（1）−2；（2） ；4
a−1
【分析】此题考查了实数的混合运算、绝对值、分式的化简求值及特殊角的三角函数值，解答本题的
关键是熟练各部分的运算，一定要细心运算．
（1）先计算零指数幂，二次根式，绝对值及特殊角的三角函数值，再计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算法则化简，再将a=2代入计算即可．
【详解】解：（1）(3.14−π) 0−√12−|−3|+4sin60°
√3
=1−2√3−3+4×
2
=1−2√3−3+2√3
=−2；
3a−3 a2−2a+1 a
（2） ÷ −
a a2 a−1
3(a−1) a2 a
= ⋅ −
a (a−1) 2 a−1
3a a
= −
a−1 a−12a
= ；
a−1
2×2
当a=2时，原式= =4．
2−1
17．（8分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充
电桩比A型充电桩的单价多0.2万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量
相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买A，B两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购
2
买数量不少于A型充电桩购买数量的 ．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
5
【答案】(1)A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，1.2万元
(2)A，B型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为(x+0.2)万元，根据用20万元购买
A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购买A型号充电桩m个，总费用为W，则购买B型号充电桩(26−m)个，先根据题意列出不
等式组求出m的取值范围，再求出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为(x+0.2)万元，
20 24
由题意得， = ，
x x+0.2
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=1.2，
答：A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，1.2万元；
（2）解：设购买A型号充电桩m个，总费用为W，则购买B型号充电桩(26−m)个，
2
∵购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 ．
5
∴¿，
4
解得16≤m≤18 ，
7
W =m+1.2(26−m)=−0.2m+31.2，∵−0.2<0，
∴W随m增大而减小，
又∵m为正整数，
∴当m=18时，总费用最少，
∴26−m=8，
答：A，B型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少．
18．（8分）某初中学校为了更好地开展“家国情•诵经典”读书活动，需要先制定学生每天阅读时间（m
／分钟）的合格标准．为此从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅
读时间的数据（m／分钟）．将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表（尚
不完整）：
平均每天阅读时间统计表
等级 组中值 人数（频数）
A（10≤m<20） 15 x
B（20≤m<30） 25 65
C（30≤m<40） 35 10
D（40≤m<50） 45 80
E（50≤m≤60） 55 y
请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)则x的值为________，C等级所对应的扇形圆心角的度数为________°；
(2)这组数据的中位数所在的等级是________；
(3)若抽取的200人的每天平均阅读时间约为32分钟，请你从平均数、中位数中选取一个量，为该校
制定一个学生每天阅读时间的合格标准（时间取整数分钟），并用统计量说明其合理性．
【答案】(1)40，18
(2)B(3)见解析
【分析】本题主要考查统计的知识，熟练掌握平均数，中位数等统计的基础知识是解题的关键．
（1）根据总人数200人以及A等级的占比可求得x的值，根据C等级的占比计算即可；
（2）按中位数的概念求出即可；
（3）根据平均数或中位数得出标准，并给出相应的理由即可．
【详解】（1）解：x=200×20%=40（人），
10
C等级所对应的扇形圆心角的度数为360°× =18°，
200
故答案为：40，18；
（2）解：这组数据的中位数是从小到大排列的第100和101个数，
A等级40人，B等级65人，
所以这组数据的中位数在B等级，
故答案为：B；
（3）解：①从平均数看，标准可以定为32分钟．
理由：平均数为32分钟，说明该校学生目前每天阅读时间平均水平为32分钟，把标准定为32分钟，
只有半数以下的学生目前每天阅读时间能达标，这样使多数学生有更高的努力目标；
②从中位数的范围看，标准可以定为25分钟．
理由：该校学生目前每天阅读时间的中位数落在20≤m<30范围内，把标准定为25分钟，至少有半数
的学生目前每天阅读时间能达标，同时至少还有半数的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，
促进未达标学生努力达标，提高该校学生的每天阅读积极性．
19．（8分）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：
A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式．
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在
48
【答案】(1)I=
R20
(2)6≤R≤
3
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
k
（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为I= ，将点代入求解即可；
R
（2）把I=7.2，I=8分别代入解析式求出对应的R，然后结合函数图象即可得出结果．
k
【详解】（1）解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为I= ，
R
由图象知，函数图象过点(3,16)，
k
∴16= ，解得k=48，
3
48
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为I= ；
R
48 20
（2）解：当I=7.2时，7.2= ，解得R= ，
R 3
48
当I=8时，8= ，解得R=6，
R
20
观察图形可知：6≤R≤ ，
3
20
即该小组确定这时电阻值的范围为6≤R≤ ．
3
20．（9分）某实践活动小组利用课余时间测量湖边两处的距离，并形成了如下实践活动记录表：
实践活动记录表
活动
测量湖边A,B两处的距离
内容
成员 组长：×× 组员：××× ××× ××× ×××
工具 测角仪、皮尺等
测量
说明：因为湖边A,B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置
示意
C，可测量C处到A,B两处的距离，利用测角仪可测得∠A,∠B,∠C的度数．
图∠A=30°
角的度数
∠B=45°
测量 ∠C=105°
数据
BC=40.0米
边的长度
AC=56.6米
… …
该小组成员思考后发现不需要上表中的全部数据就可以计算出A,B两处的距离，并写出了以下问题，
请从记录表中再选择一个条件填入下面的横线并解答．
如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°， ．求湖边A,B两处的距离．（结果保留整数；
√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45）
【答案】BC=40.0，湖边A,B两处的距离为77米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含30°的直角三角形．熟练掌握解直角三角形的应用是解
题的关键．
CD CD
选BC=40.0米，如图1，作CD⊥AB于D，则CD=BC⋅sin∠B，BD= ，AD= ，
tan∠B tan∠A
然后根据AB=AD+BD，计算求解即可；
1 CD CD
选AC=56.6米，如图1，则CD= AC，AD= ，BD= ，然后根据AB=AD+BD，
2 tan∠A tan∠B
计算求解即可．
【详解】解：选BC=40.0米，
如图1，作CD⊥AB于D，
图1
∵∠A=30°,∠B=45°，
∴CD=BC⋅sin∠B=20√2，CD CD
∴BD= =20√2≈28.2，AD= =20√6=49.0，
tan∠B tan∠A
∴AB=AD+BD=77.2≈77（米），
∴湖边A,B两处的距离为77米．
选AC=56.6米，
如图1，
1 CD CD
∴CD= AC=28.3，AD= =28.3√3≈49.0，BD= =28.3，
2 tan∠A tan∠B
∴AB=AD+BD=77.3≈77（米），
∴湖边A,B两处的距离为77米．
21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的
1
延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE= ∠ABC．
2
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若∠BCE=∠BEC，AB=8，求BE的长．
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形：
（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出OE∥BC，再由
EF∥CA，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
1
（2）根据圆周角定理，得到∠A=∠CEB=∠BCE= ∠ABC，进而推出∠A=30°，根据含30度
2
角的直角三角形的性质，求出BC的长，再根据等角对等边，即可的出结果。
【详解】（1）证明：连接OE．1 1
∵∠BCE= ∠ABC，∠BCE= ∠BOE，
2 2
∴∠ABC=∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠BCD．
∵EF∥CA，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴FE⊥EO．
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
1
（2）∵∠A=∠CEB=∠BCE= ∠ABC，∠ACB=90°，
2
∴∠A+∠ABC=∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°，
1
∴BC= AB=4，
2
∵∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=4.
22．（12分）【项目式学习】
【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向.
【项目素材】
素材一，如图1是某足球场的一部分，球门宽DE=CF=7m，高CD=EF=2.51m，小梅站在A处向
门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD（即AC⊥CF），AC=24m，足球运动的路线是抛物线的一部
分．
素材二，如图，当足球运动到最高点Q时，高度为4.5m，即QB=4.5m，此时水平距离AB=15m，
以点A为原点，直线BA为x轴，建立平面直角坐标系．
【项目任务】任务一：足球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式，此时足球能否入网？
任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？
上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网；根据以上素材，探索完成任务.
1 9
【答案】任务一：y=− (x+15) 2+ ，不能落网；任务二：能打到远角E处再入网
50 2
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，
二次函数解析式，勾股定理是解题的关键．
( 9)
任务一：由题意知，抛物线的顶点坐标为(−15，4.5)即 −15， ，设抛物线的解析式为
2
9 1
y=a(x+15) 2+ ，将A(0，0)代入，可求a=− ，进而可得抛物线的解析式为
2 50
1 9 1 9
y=− (x+15) 2+ ，当AC=24m时，即x=−24，可求y=− (−24+15) 2+ =2.88>2.51，然
50 2 50 2
后作答即可；
任务二：由运动路线的形状不变，以A为原点，AF所在的直线为x轴，抛物线的表达式为
1 9
y=− (x+15) 2+ ；由勾股定理得，AF=√CF2+AC2=25，当x=−25时，
50 2
1 9
y=− (−25+15) 2+ =2.5<2.51，然后作答即可．
50 2
( 9)
【详解】任务一：解：由题意知，抛物线的顶点坐标为(−15，4.5)即 −15， ，
2
9
设抛物线的解析式为y=a(x+15) 2+ ，
2
9
将A(0，0)代入得，a(0+15) 2+ =0，
2
1
解得，a=− ，
501 9
∴抛物线的解析式为y=− (x+15) 2+ ，
50 2
当AC=24m时，即x=−24，
1 9
∴y=− (−24+15) 2+ =2.88>2.51，
50 2
∴足球不能落网；
任务二：解：∵运动路线的形状不变，
1 9
∴以A为原点，AF所在的直线为x轴，抛物线的表达式为y=− (x+15) 2+ ；
50 2
∵CF=7m，AC=24m，∠FAC=90°，
由勾股定理得，AF=√CF2+AC2=25，
1 9
当x=−25时，y=− (−25+15) 2+ =2.5<2.51，
50 2
∴能打到远角E处再入网．
23．（12分）综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点
E是正方形ABCD内的一点，∠AEB=90°，将△AEB绕点A逆时针旋转90°得到△AFD，点B，E
的对应点分别为点D，F，直线EF经过点O．
特例探究：
（1）如图2，当点O与点E重合时，判断EF和BE的数量关系并证明；
操作探究：
（2）如图1，当点O与点E不重合时，判断BE，OE和OF之间的数量关系，并说明理由；
类比探究：
（3）如图3，将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，将“△AEB绕点A逆时针旋转90°得到
△AFD”改为“△AEB绕点A逆时针旋转60°得到△AFD”，其余条件不变，请直接写出BE，OE
和OF之间的数量关系．【答案】（1）EF=√2BE，证明见解析；（2）OF−OE=√2BE，证明见解析；（3）
OE+OF=√3BE
【分析】（1）由正方形的性质可得AC⊥BD，AO=BO=CO=DO，AB=AD，∠BAD=90°，由
旋转的性质可得AE=BO=BE=DE=DH，可得四边形AEDF是正方形，即可得出结论；
（2）由“SAS”可证△DOF≌△BOH，可得DF=BH，由旋转的性质可得AF=AE，BE=DF，
∠EAF=90°=∠BAD，可求∠HBE=90°，由等腰直角三角形的性质可求HE=√2BE，即可求解；
（3）作辅助线如解析图，由“SAS”可证△CDH≌△ADF，可得∠AHD=∠DEC=90°，由四边
形内角和定理可求∠G=∠FCE=60°，由“ASA”可证△AOH≌△COE，可得OE=OH，可得结
论．
【详解】（1）EF=√2BE．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=BO=CO=DO，AB=AD，∠BAD=90°，
∵将△AEB绕点A逆时针旋转90°得到△AFD，点O与点E重合，
∴AF=AE，BE=DF，
∴AE=AF=BE=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AEDF是正方形，
∴EF=√2DE=√2BE；
（2）OF−OE=√2BE，理由如下：
如图，延长FE至H，使FO=HO，连接BH，∵FO=HO，∠DOF=∠BOH，DO=BC，
∴△DOF≌△BOH(SAS)，
∴DF=BH，
∵将△AEB绕点A逆时针旋转90°得到△AFD，
∴AF=AE，BE=DF，∠EAF=90°=∠BAD，
∴BH=BE，∠AEF=45°，
∴∠BHE=∠BEH，
∵∠AEB=90°，
∴∠BEH=180°−∠AEB−∠AEF=45°=∠BHE，
∴∠HBE=90°，
∴HE=√2BE，
∴.HE=OH−OE=OF−OE=√2BE，
即：OF−OE=√2BE；
（3）OE+OF=√3BE，理由如下，
如图，过点D作∠FDH=120°，交FE的延长线于点H，连接CH，并延长CH交FA的延长线于点
G，DP⊥FH于点P，
∵将△AEB绕点A逆时针旋转60°得到△AFD，
∴AE=AF，DF=BE，∠EAF=∠BAD=60°，∠BEA=∠DFA=90°，
∴△BAD，△AFE都是等边三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∴∠DFH=∠DFA−∠AFE=30°，
∵∠HDF=120°，
∴∠DHF=30°=∠DFH，
∴DF=DH，
又∵DP⊥FH，∠DFP=30°，
∴HP=PF=√3DP，DF=2DP，
∴HE=√3DF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴AD=CD，∠ADC=120°=∠FDH，AO=CO，
∴∠CDH=∠ADE，
∴△CDH≌△ADF(SAS)，
∴∠CHD=∠DFA=90°，
∵∠FDH+∠DHG+∠DFG+∠G=360°，
∴∠G=60°，
∴∠G=∠FAE，
∴AE∥CG，
∴∠ACH=∠EAO，
又∵AO=CO，∠COH=∠AOE，
∴△COH≌△AOE(ASA)，
∴OH=OE，
∴OE+OF=OH+OF=HF=√3DF=√3BE．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添
加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
