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2016 年宁夏中考数学试卷（教师版）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）某地一天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这天的温差是（ ）
A．10℃ B．﹣10℃ C．6℃ D．﹣6℃
【微点】有理数的减法．
【思路】根据题意算式，计算即可得到结果．
【解析】解：根据题意得：8﹣（﹣2）＝8+2＝10，
则该地这天的温差是10℃，
故选：A．
【点拨】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．（﹣a2）2＝﹣a4
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D． （a≥0，b＞0）
【微点】幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的混合运算．
【思路】分别利用二次根式混合运算法则以及积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、
完全平方公式计算得出答案．
【解析】解：A、 无法计算，故此选项错误；
B、（﹣a2）2＝a4，故此选项错误；
C、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故此选项错误；
D、 （a≥0，b＞0），正确．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了二次根式混合运算以及积的乘方运算以及幂的乘方运算、完全
平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）已知x，y满足方程组 ，则x+y的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
第 1 页 / 共 23 页【微点】二元一次方程组的解．
【思路】方程组两方程相加求出x+y的值即可．
【解析】解： ，
+ 得：4x+4y＝20，
①则x+②y＝5，
故选：C．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立
的未知数的值．
4．（3分）为响应“书香校响园”建设的号召，在全校形成良好的阅读氛围，随机调查了
部分学生平均每天阅读时间，统计结果如图所示，则本次调查中阅读时间为的众数和中
位数分别是（ ）
A．2和1 B．1.25和1 C．1和1 D．1和1.25
【微点】条形统计图；中位数；众数．
【思路】由统计图可知阅读时间为1小时的有19人，人数最多，所以众数为1小时；总
人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1
（小时），即可确定出中位数为1小时．
【解析】解：由统计图可知众数为1小时；
共有：8+19+10+3＝40人，中位数应为第20与第21个的平均数，
而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．
故选：C．
【点拨】此题考查中位数、众数的求法：
给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如
①果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数
的，但中位数不一定是这组数据里的数．
第 2 页 / 共 23 页给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众
②数，则众数一定是数据集里的数．
5．（3分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，
连接EF．若EF ，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B． C．6 D．8
【微点】三角形中位线定理；菱形的性质．
【思路】根据中位线定理可得对角线AC的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可
得答案．
【解析】解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，EF ，
∴AC＝2EF＝2 ，
又∵BD＝2，
∴菱形ABCD的面积S AC×BD 2 2＝2 ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式
是关键．
6．（3分）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这
个几何体的小正方形个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【微点】由三视图判断几何体．
【思路】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图
形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．
第 3 页 / 共 23 页【解析】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有 3+1＝4个小正方体，
第二有1个小正方体，
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1＝5个．
故选：C．
【点拨】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象
能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的
关键．
7．（3分）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每
名学生的平均成绩 及其方差s2如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参
赛，则应选择的学生是（ ）
甲 乙 丙 丁
8.9 9.5 9.5 8.9
s2 0.92 0.92 1.01 1.03
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【微点】方差．
【思路】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，
综合两个方面可选出乙．
【解析】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙
和丁稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小
的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，
方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越
稳定．
8．（3分）正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y 的图象相交于A，B两点，其
1 1 2
中点B的横坐标为﹣2，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
第 4 页 / 共 23 页A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2
【微点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根
据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．
【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，
∴点A的横坐标为2．
观察函数图象，发现：
当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y ＜y 时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．
1 2
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例
函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、
反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求
出不等式的解集．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：mn2﹣m＝ m （ n + 1 ）（ n ﹣ 1 ） ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】先提取公因式m，再利用平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝
（a+b）（a﹣b）．
【解析】解：mn2﹣m，
＝m（n2﹣1），
＝m（n+1）（n﹣1）．
第 5 页 / 共 23 页【点拨】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用平方差公式进
行二次分解因式，也是难点所在．
10．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是 m ＜
1 ．
【微点】抛物线与x轴的交点．
【思路】根据△＞0 抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
【解析】解：∵二次⇔函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴4﹣4m＞0，
∴m＜1．
故答案为m＜1
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△＝0 抛物线与x轴只有一
个交点，△＞0 抛物线与x轴有两个交点，△＜0 抛物线与x轴⇔没有交点，属于中考
常考题型． ⇔ ⇔
11．（3分）实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣3|＝ 3 ﹣ a ．
【微点】实数与数轴．
【思路】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a与3的关系，根据差的
绝对值是大数减小数，可得答案．
【解析】解：由数轴上点的位置关系，得
a＜3．
|a﹣3|＝3﹣a，
故答案为：3﹣a．
【点拨】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a
与3的关系是解题关键，注意差的绝对值是大数减小数．
12．（3分）用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的
底面圆的半径为 2 ．
【微点】圆锥的计算．
【思路】设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周
长，列出方程即可解决问题
第 6 页 / 共 23 页【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为R，
由题意：2 R ，
π
解得R＝2．
故答案为2．
【点拨】本题考查圆锥的计算、扇形的弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是
理解扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，学会用方程的思想解决问题，属于中考
常考题型．
13．（3分）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平
行四边形ABCD的周长是16，则EC等于 2 ．
【微点】平行四边形的性质．
【思路】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE＝∠BEA，证出AB＝BE＝3；求出
AB+BC＝8，得出BC＝5，即可得出EC的长．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵平行四边形ABCD的周长是16，
∴AB+BC＝8，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3，
∴BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2；
故答案为：2．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性
质，证出AB＝BE是解决问题的关键．
14．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐
第 7 页 / 共 23 页标分别为（ ，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′
的坐标为 （ ， ）． ．
【微点】坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）．
【思路】作O′C⊥y轴于点C，首先根据点A，B的坐标分别为（ ，0），（0，1）
得到∠BAO＝30°，从而得出∠OBA＝60°，然后根据 Rt△AOB 沿着 AB 对折得到
Rt△AO′B，得到∠CBO′＝60°，最后设BC＝x，则OC′ x，利用勾股定理求得
x的值即可求解．
【解析】解：如图，作O′C⊥y轴于点C，
∵点A，B的坐标分别为（ ，0），（0，1），
∴OB＝1，OA ，
∴tan∠BAO ，
∴∠BAO＝30°，
∴∠OBA＝60°，
∵Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，
∴∠CBO′＝60°，
∴设BC＝x，则OC′ x，
∴x2+（ x）2＝1，
解得：x （负值舍去），
∴O′C ，
第 8 页 / 共 23 页∴OC＝OB+BC＝1 ，
∴点O′的坐标为（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【点拨】本题考查了翻折变换及坐标与图形的性质的知识，解题的关键是根据点A和点
B的坐标确定三角形为特殊三角形，难度不大．
15．（3分）已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径
是 2 ．
【微点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
【思路】能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，求出
△ABC外接圆的半径即可解决问题．
【解析】解：如图，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆
的半径，
设 O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，作OE⊥BC于E，
∵⊙△ABC是等边三角形，
第 9 页 / 共 23 页∴∠A＝60°，∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴∠BOE＝60°，BE＝EC＝3，
∴sin60° ，
∴OB＝2 ，
故答案为2 ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、锐角三角函数等知识，解
题的关键是理解题意，学会转化的思想解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，
则点P的坐标为 （ 1 ，﹣ 1 ） ．
【微点】坐标与图形变化﹣旋转．
【思路】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．
【解析】解：连接AA′、CC′，
作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，
直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．
∵直线MN为：x＝1，设直线CC′为y＝kx+b，由题意： ，
∴ ，
∴直线CC′为y x ，
第 10 页 / 共 23 页∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（ ， ），
∴直线EF为y＝﹣3x+2，
由 得 ，
∴P（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）．
【点拨】本题考查旋转的性质，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，
是解题的关键．
三、解答题（本题共6道题，每题6分，共36分）
17．（6分）解不等式组 ．
【微点】解一元一次不等式组．
【思路】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解析】解： ，由 得，x＜3，由 得，x≥2，
① ②
故不等式组的解集为：2≤x＜3．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中
间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
第 11 页 / 共 23 页18．（6分）化简求值：（ ） ，其中a＝2 ．
【微点】实数的运算．
【思路】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分后两项化简得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【 解 析 】 解 ： 原 式 ＝ [ ]•
• ，
当a＝2 时，原式 1．
【点拨】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（3，
﹣3），C（0，﹣4）
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△A B C 关于y轴对称的△A B C ．
1 1 1 2 2 2
【微点】作图﹣轴对称变换；作图﹣旋转变换．
【思路】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A 、B 、C 的位置，然
1 1 1
后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A 、B 、C 关于y轴对称的点A 、B 、C 的位置，然后顺次
1 1 1 2 2 2
连接即可．
【解析】解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
第 12 页 / 共 23 页（2）△A B C 如图所示．
2 2 2
【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确
找出对应点的位置是解题的关键．
20．（6分）为了解学生的体能情况，随机选取了1000名学生进行调查，并记录了他们对
长跑、短跑、跳绳、跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“√”表示喜
欢，“×”表示不喜欢．
长跑 短跑 跳绳 跳远
200 √ × √ √
300 × √ × √
150 √ √ √ ×
200 √ × √ ×
150 √ × × ×
（1）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率；
（2）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率；
（3）如果学生喜欢长跑、则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？
【微点】列表法与树状图法；利用频率估计概率．
【思路】（1）根据求概率的公式即可得到结论；
（2）根据求概率的公式即可得到结论；
（3）根据喜欢长跑同时喜欢短跑、跳绳、跳远人数即可得到结论．
【解析】解：（1）同时喜欢短跑和跳绳的概率 ；
第 13 页 / 共 23 页（2）同时喜欢三个项目的概率 ；
（3）喜欢长跑的有700人中，有150人选择了短跑，550人选择了跳绳，200人选择了
跳远，于是喜欢长跑的学生又同时喜欢跳绳的可能性大．
【点拨】本题考查了利用频率估计概率，求概率，正确的理解题意是解题的关键．
21．（6分）在等边△ABC中，点 D，E分别在边 BC、AC上，若 CD＝2，过点 D作
DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
【微点】等边三角形的性质．
【思路】先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE＝DC＝2，
在RT△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，
∴DF＝2DE＝4，
∴EF 2 ．
【点拨】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的
一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（6分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A
第 14 页 / 共 23 页地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5
元．
（1）求每行驶1千米纯用电的费用；
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39元，则至少用
电行驶多少千米？
【微点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【思路】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76
元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电
费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；
（2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式
即可解答本题．
【解析】解：（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，
解得，x＝0.26
经检验，x＝0.26是原分式方程的解，
即每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；
（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，
0.26y+（ y）×（0.26+0.50）≤39
解得，y≥74，
即至少用电行驶74千米．
【点拨】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，
列出相应的分式方程与不等式，注意分式方程在最后要检验．
四、解答题（本题共4道题，其中23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36
分）
23．（8分）已知△ABC，以AB为直径的 O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED
＝EC． ⊙
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2 ，求CD的长．
第 15 页 / 共 23 页【微点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
【思路】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆内接四边形的性质得到
∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接 AE，由 AB 为直径，可证得 AE⊥BC，由（1）知 AB＝AC，证明
△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．
【解析】（1）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB＝AC，
∴BE＝CE BC ，
∵△CDE∽△CBA，
∴ ，
∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4，
∴ •2 4CD，
∴CD ．
方法二：
解：连接BD，
第 16 页 / 共 23 页∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD＝a，
由（1）知AC＝AB＝4，
则AD＝4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2＝BC2﹣CD2＝（2 ）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2＝（2 ）2﹣a2
整理得：a ，
即：CD ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅
助线是解题的关键．
24．（8分）如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB
＝30°，OB＝2 ，反比例函数y （x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点
D．
第 17 页 / 共 23 页（1）求反比例函数的关系式；
（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．
【微点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式．
【思路】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理
和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析
式；
（2）求得D的坐标，进而求得AD的长，得出△ACD的面积，然后根据S ＝
四边形CDBO
S ﹣S 即可求得．
△AOB △ACD
【解析】解：（1）∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2 ，
∴AB OB＝2，
作CE⊥OB于E，
∵∠ABO＝90°，
∴CE∥AB，
∴OC＝AC，
∴OE＝BE OB ，CE AB＝1，
∴C（ ，1），
∵反比例函数y （x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴1 ，
∴k ，
第 18 页 / 共 23 页∴反比例函数的关系式为y ；
（2）∵OB＝2 ，
∴D的横坐标为2 ，
代入y 得，y ，
∴D（2 ， ），
∴BD ，
∵AB＝2，
∴AD ，
∴S AD•BE ，
△ACD
∴S ＝S ﹣S OB•AB 2 2 ．
四边形CDBO △AOB △ACD
【点拨】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函
数图象上点的坐标特征．
25．（10分）某种水彩笔，在购买时，若同时额外购买笔芯，每个优惠价为3元，使用期
间，若备用笔芯不足时需另外购买，每个5元．现要对在购买水彩笔时应同时购买几个
笔芯作出选择，为此收集了这种水彩笔在使用期内需要更换笔芯个数的30组数据，整
第 19 页 / 共 23 页理绘制出下面的条形统计图：
设x表示水彩笔在使用期内需要更换的笔芯个数，y表示每支水彩笔在购买笔芯上所需
要的费用（单位：元），n表示购买水彩笔的同时购买的笔芯个数．
（1）若n＝9，求y与x的函数关系式；
（2）若要使这30支水彩笔“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小
于0.5，确定n的最小值；
（3）假设这30支笔在购买时，每支笔同时购买9个笔芯，或每支笔同时购买10个笔芯，
分别计算这30支笔在购买笔芯所需费用的平均数，以费用最省作为选择依据，判断购
买一支水彩笔的同时应购买9个还是10个笔芯．
【微点】一次函数的应用；频数与频率；条形统计图．
【思路】（1）根据题意列出函数关系式；
（2）由条形统计图得到需要更换笔芯的个数为7个对应的频数为4，8个对应的频数为
6，9个对应的频数为8，即可．
（3）分两种情况计算
【解析】解：（1）当n＝9时，y ；
（2）根据题意，“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小于 0.5，则
“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频数大于或等于30×0.5＝15，
根据统计图可得，需要更换笔芯的个数为7个对应的频数为4，8个对应的频数为6，9
个对应的频数为8，
因此当n＝9时，“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频数＝4+6+8＝18＞
15．
因此n的最小值为9．
（3）30支笔在购买时每支笔同时购买9个笔芯所需费用的平均数为：
第 20 页 / 共 23 页27 ，
30支笔在购买时每支笔同时购买10个笔芯所需费用的平均数为：
30 ，
而 ，
∴购买一支水彩笔的同时应购买9个笔芯的费用最省．
【点拨】此题是一次函数的应用，主要考查了一次函数的性质，统计图，解本题的关键
是统计图的分析．
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的
速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点
C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列
问题：
（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？
并求出最小值；
（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．
【微点】四边形综合题．
【思路】（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，从而可表示出S 、S 、S
△ADQ △BPQ △PCD
的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最
小值；
（2）用x表示出BQ、BP、PC，当QP⊥DP时，可证明△BPQ∽△CDP，利用相似三
角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值．
【解析】解：
（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3，
第 21 页 / 共 23 页当运动x秒时，则AQ＝x，BP＝x，
∴BQ＝AB﹣AQ＝3﹣x，CP＝BC﹣BP＝4﹣x，
∴S AD•AQ 4x＝2x，S BQ•BP （3﹣x）x x x2，
△ADQ △BPQ
S PC•CD •（4﹣x）•3＝6 x，
△PCD
又S ＝AB•BC＝3×4＝12，
矩形ABCD
∴S＝S ﹣S ﹣S ﹣S ＝12﹣2x﹣（ x x2）﹣（6 x） x2﹣
矩形ABCD △ADQ △BPQ △PCD
2x+6 （x﹣2）2+4，
即S （x﹣2）2+4，
∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x＝2，
∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，
又当x＝0时，S＝6，当x＝3时，S ，但x的范围内取不到x＝0，
∴S不存在最大值，当x＝2时，S有最小值，最小值为4；
（2）存在，理由如下：
由（1）可知BQ＝3﹣x，BP＝x，CP＝4﹣x，
当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC＝∠DPC+∠PDC，
∴∠BPQ＝∠PDC，且∠B＝∠C，
∴△BPQ∽△CDP，
∴ ，即 ，解得x （舍去）或x ，
第 22 页 / 共 23 页∴当x 时QP⊥DP．
【点拨】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似
三角形的判定和性质及方程思想等．在（1）中求得S关于x的关系式后，求S的最值时
需要注意x的范围，在（2）中证明三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，
综合性较强，难度适中．
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