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高三数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考
生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务
必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9题，每小题5分，共45分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为 , ,所以
故选A.
2. 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 且 ， 或 ，即可求解.
【详解】由 可得 且 ，
由 可得 或 ，
由 且 是 或 充分不必要条件，
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学科网（北京）股份有限公司可知 是 的充分不必要条件，
故选：A
3. 若 为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合线面，面面位置关系的判定与性质，逐项分析判断，即可求解.
【
详解】对于A，若 ， ，则 与 平行或异面，故A错误；
对于B，若 ，则 ，故B错误；
对于C，若 ，则 ，故C正确；
对于D，若 ，则 与 平行或相交，故D错误.
故选：C.
4. 过点 的直线 与圆 ： 交于 ， 两点，当弦 取最大值时，直线 的方
程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要使过点 的直线 被圆 所截得的弦 取最大值时，则直线过圆心，然后根据直线的两
点式方程写出答案即可
【详解】圆 ： 化为
所以圆心坐标
要使过点 的直线 被圆 所截得的弦 取最大值时，则直线过圆心
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学科网（北京）股份有限公司由直线方程的两点式得： ，即
故选：A
5. 某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示，
研发费用x (万元) 4 2 3 5
4
利润y (万元) 26 39 m
9
根据上表可得回归方程. 中的 .据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5， 则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 代入 可求 ，再根据回归方程经过样本中心点，可求 .
【详解】由题意： .
所以 .
又由已知数据， ， .
又 经过 ，所以 .
所以 ， .
故选：C
6. 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若
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学科网（北京）股份有限公司则此球的表面积为（ ）
A. 10π B. 12π C. 16π D. 20π
【答案】D
【解析】
【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为 ,球心为 ,在 中,求出球的半径,然
后求出球的表面积.
【详解】
解: 在 中 ,
可得 ，
所以 ,
由正弦定理,可得 外接圆半径 ,
设此圆圆心为 ,球心为 ，球的半径为 ，
由球的性质可知： 平面 ，
在平面 内，
所以 ，
在 中, ，
所以球半径 ,
故此球的表面积为
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与 轴的
交点为 ，点 在抛物线上，且 则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据双曲线 性的质求出抛物线的参数 ，进而得到抛物线方程，再利用抛物线的定义和已知条
件求出点 的坐标，最后计算 的面积.
【详解】双曲线 的右焦点为 ，即为抛物线 的焦点，
所以 ，解得 ，抛物线方程为 ，其准线方程为 ，
因此准线与 轴的交点 的坐标为 ；焦点 的坐标为 ，
设点 ，因为 在抛物线上，所以 ，
则 ，又 ，且 ，
代入得： ，化简得 ，
结合 ，代入展开并整理： ，
将 代入 ，得 ，因此 点坐标为 或 ，
则 ， 点到 轴（ 所在直线）的距离为 ，
则 .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司8. 若双曲线 的离心率为2.抛物线 的焦点为 ，抛物线的准线交双曲
线于 两点.若 为等边三角形，则双曲线 的焦距为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得 代入双曲线 ，即可得解.
【详解】抛物线的准线交双曲线于 两点.设 ，
, 到准线距离为 ,
为等边三角形,
代入双曲线 ,可得 ，
解得 ，
故选:D．
9. 已知函数 若 时， 的最小值为 ，则下列命
题正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 当 函数 的值域为
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学科网（北京）股份有限公司C. 函数 在区间 上的零点个数共有6个
D. 函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数为奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可求得 ，求得函数解析式，进而逐项计算判断即可.
【详解】若 时， 的最小值为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，故A不正确；
当 时，可得 ，所以 ，
所以函数 的值域为 ，故B错误；
令 ，可得 ，所以 ，
解得 ，可得 时， ，
所以函数 在区间 上的零点个数共有6个，故C正确；
函数 的图象向左平移 个单位长度，
得函数 的图像，
所以 为偶函数，故D错误.
故选：C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知 是虚数单位，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】由复数的除法运算及复数模的公式即可求解.
【详解】 ，
故答案为：
11. 的展开式中 的系数为 ____________________
【答案】
【解析】
【分析】由通项公式即可求解.
【详解】 的通项公式为 ，
令 可得含 的项，
此时系数为 ，
故答案为：
12. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共
有_____________种.
【答案】
【解析】
【分析】分2名男生1名女生和1名男生2名女生两类情况计算即可.
【详解】2名男生1名女生： ，
1名男生2名女生： ，
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学科网（北京）股份有限公司故共有 种，
故答案为：
13. 已知圆 的圆心为 ，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线
与 交于 两点， ，则实数 __________．
【答案】 或
【解析】
的
【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线 距离与半径的关系，即可求解.
【详解】圆 的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上， 该圆一定过原点， 半径为
，
又圆心为 ，故圆 的方程为
圆心 到直线 的距离为 即 ，解得
或 ．
故答案为：-1或-11
14. 甲、乙、丙 人练习投篮，投进的概率分别是 若 人各投 次，则 人都没投进的概率为
__________________；若 表示丙投篮 次的进球数，则随机变量 的数学期望为___________________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先综合利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式求 人都没投进的概率，再判断随机变量
服从二项分布，直接利用二项分布的期望公式求解即可.
【详解】记事件“甲投篮 次投进 ”为 ，事件“乙投篮 次投进”为 ，事件“丙投篮 次投进”为 ，
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学科网（北京）股份有限公司事件“ 人都没有投进”为 .
则 ，
，
所以 人都没有投进的概率为 .
随机变量 的可能值有 ，且 ，
所以 ，
故答案为： ；
15. 双曲线 的左､右焦点分别为 ，以右焦点 为焦点的抛物线
与双曲线交于第一象限的点 ，若 ，则双曲线的离心率
__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 ，根据勾股定理从而确定 的坐标，
利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设 ，双曲线的半焦距为 ， ，则 ，
过 作 轴的垂线 ，过 作 的垂线，垂足为 ，显然直线 为抛物线的准线，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
由双曲线的定义及已知条件可知 ，则 ，
由勾股定理可知 ，
易知 ，即 ，
整理得 ，
∴ ，即离心率为 .
故答案为：2
三、解答题：本大题共5个小题，共75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，且
（1）求 ;
（2）若 ,求 ;
（3）若 求 的值.
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可得 求解，
（2）根据余弦定理即可求解，
（3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解.
【小问1详解】
由于 ，所以 ，由 得 ，
所以 ，且三角形 为锐角三角形，所以 ．
【小问2详解】
由余弦定理有 ，
解得 或 （舍），故 ．
【小问3详解】
由 ，三角形 为锐角三角形,可得 ，
．
所以 ．
17. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中， ， ， 平面 ，
.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）求 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由 ， 即可求证；
（2）设 ，连接 ，由（1）可得 是二面角 的平面角．即可求解；
（3）建系，求得平面法向量，由距离公式即可求解.
【小问1详解】
因为 平面 ， 在平面 内．
∴ ,
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∵ ，都在平面 内，
∴ 平面 ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
设 ，连接 ，
∵ 平面 ． 都在平面 内，
∴ ．
∴ 是二面角 的平面角．
在Rt 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
【小问3详解】
如图建系：
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
即 ，
又 ，
所以 到平面 的距离 .
18. 已知椭圆 的右顶点 ，且点 在椭圆 上， ， 分别是椭
圆的左右焦点，过点 作斜率为 的直线交椭圆 于另一点 ，直线 交椭圆 于点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，即得；
（2）设 ，利用韦达定理法可得 ，进而可得直线 ， 的方程，
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学科网（北京）股份有限公司可得点 代入椭圆方程，即得.
【小问1详解】
由题可得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
由题可设 ，
由 ，可得 ，
∴ ，即 ，
所以 ，即 ，
当 轴时，则 ， ， ，
此时 ， ，不合题意，
当 与 不垂直时， ，
∴ ，
由上可得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，又 ，
所以 ，
综上， 的值为 .
19. 已知椭圆 上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设 ,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴
上的定点P.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知可求得 ，进而可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，设点 ，求得直线
的方程，令 ，结合根与系数的关系计算可求得定点.
【小问1详解】
因为椭圆 上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，
所以 ，解得 ，又因为椭圆的离心率为 ，所以 ，解得 ，
故 ，则椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，①
设点 ，则 ，直线 的方程为 ，
令 得 ，
将 代入整理得 ，②
由①得 ，
代入②整理得 ，
所以直线 与 轴相交于定点 ．
20. 已知函数
（1）当 时， 求曲线 处的切线方程;
（2）求 的单调区间;
（3）设函数 ，求证: 当 时， 在 上存在极小值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，确定切线斜率即可求解；
（2）求导，通过讨论 和 ，确定导数符号，即可求解；
（3）由 ，结合（2）确定 在 上的单调性，即可求证.
【
小问1详解】
当 时，
，则 ，又 ，
所以曲线 处的切线方程为 ，
即 .
【小问2详解】
解：由 得：
① 时， ，∴ 在 递增；
② 时，若 时， ，若 ，则 ，故 在 递增，
在 递减；
综上：当 时， 的单调递增区间是 ，误减区间；
当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由 得： ，
因为 ，由（2）得： 在 递增，又因为 ，
取 ，显然 ， ，
∴存 在满足 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
∴ 时， 在 存在极小值.
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学科网（北京）股份有限公司
