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石嘴山市第一中学 2025-2026 学年第一学期高三年级
月考 数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 ，由此判断正确选项.
【详解】因 ，又 ，
所以 ， ，A 正确，B 错误，C 错误，D 错误，
故选：A.
2. 复数 ，则 的虚部为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算先计算 ，利用复数的概念即可求解.
【详解】由题意有： ，所以 的虚部为 .
故选：A.
3. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，化简得 ，
即 ，解得 ．
第 1页/共 20页故选：C
4. 存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义分别判断各选项.
【详解】对于 A，令 ，则 ，有 个函数值对应，故 A 错误；
对于 C，取 ，可知 ，再取 ，可知 ，故 C 错误；
对于 D，取 ， ，取 ， ，故 D 错误；
对于 B 选项，令 ，对于每一个 ，都有唯一的 与之对应，也即有唯一的 与之对应，因此符
合函数定义，故 B 正确；
故选：B.
5. 已知函数 ，对任意的 、 ，且 时，满足
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得函数 在区间 上为增函数，结合二次函数，指数函数和复合函数的
单调性，可得答案.
【详解】若对任意的 、 ，且 时，满足 ，
第 2页/共 20页设 ，则 ，则函数 在区间 上为增函数.
内层函数 的对称轴方程为 .
若 ，则函数 在区间 上不单调，不合乎题意；
若 ，则函数 在区间 上为增函数，
则外层函数 为增函数，故 ，解得： ，
故选：A.
【点睛】易错点点睛：本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数的取值范围，在利用复合函
数法判断内层函数和外层函数的单调性之外，同时还应注意内层函数（真数）在所给的区间上恒为正数.
6. 已知 是奇函数，函数 是偶函数，当 时， ，则 （ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 根 据 题 意 有 ， 又 ， 进 而 得 ， 即
，即可得函数 的周期，利用周期即可求解.
【详解】由题意有 ，又函数 是偶函数，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
所以函数 是周期为 4 的周期函数，所以 ，
故选：C.
7. 已知 为无穷数列，若 是递增数列， 是递减数列，则（ ）
第 3页/共 20页A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目所给单调性，分析得出 ，再反证法或者举反例判断选项.
【详解】由题意可得 是递增数列， 是递减数列，
则 ，
两式相乘得 ，
由于 ，则 ，
则 ， ，
所以 ；
若 ， ，则 ，矛盾，所以 ， ，故 A 正确，C 错误；
若 ，则 ， 时， ， ，
符合 是递增数列， ，符合 是递减数列，此时 ；
若 ，同样符合题意，但 ；
所以 B、D 错误；
故选：A.
8. 已知数列 中， ，且 ，若存在正整数 ，使得 成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
第 4页/共 20页【 分 析 】 根 据 ， 结 合 等 比 数 列 求 和 公 式 可 求
得
；分别在 和 时解不等式得到 和
，根据数列的单调性可知 ， ， ，从而得到所求范围.
【详解】由题， ，
即： ， ，
时， ，符合上式，所以 ，
①当 时，
则由 得： ，
此时 ， ，
所以 ；
②当 时， ，
则由 得： ，
此时 ； ，
所以 ；
综上所述： .
故选：B.
【点睛】关键是能够通过递推关系式得到数列的通项公式，结合数列的单调性特点可得到不等式的解集，
第 5页/共 20页从而确定解集上下限的最值，进而得到结果.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先将指数式化为对数式，利用函数的单调性可得 A 正确；再利用函数的运算性质得 B 正确；利用
不等式放缩可得 C 正确，D 正确.
【详解】由 得 ,
对于选项 A：因为函数 在 单调递增，所以 ，即 ，故 A 正确
对于选项 B： ，故 B 错误
对于选项 C:因为 ， ，所以 ，由 B 得 ，即 ，
故 C 正确
对于选项 D：由 B 得 ，所以 ，
即 ，故 D 正确
故选：ACD
10. 已知曲线 ，点 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 关于直线 对称
B. 曲线 上存 点 ，使得
C. 直线 与曲线 只有一个交点
D. 曲线 上第一象限内的点到直线 与 的距离之积为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】数形结合并由双曲线的性质、定义结合直线与双曲线的位置关系和点到直线的距离即可依次求解
第 6页/共 20页判断各选项.
【详解】由题当 ， 时，曲线 ；
当 ， 时，曲线 ；
当 ， 时，曲线 不存在；
当 ， 时，曲线 ，故作出曲线 如图所示：
选项 A：法一：由图可知，曲线 不关于直线 对称，故 A 错误；
法二：将 中的 替换为 替换为 ，得 ，
与 不相同，故曲线 不关于直线 对称，故 A 错误；
选项 B：易知 ， 为双曲线 的上、下焦点，
所以当点 在第三象限时，根据双曲线的定义可知 ，故 B 正确；
选项 C：易知直线 为双曲线 与双曲线 的一条共同渐近线，
直线 的斜率小于直线 的斜率，
故直线 与曲线 在第一、四象限内没有交点，在第三象限内只有一个交点，故 C 正确；
选项 D：设曲线 上第一象限内的点为 ，
则 ，即 ，
第 7页/共 20页所以点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的最大值是
C. 在 上是增函数
D. 直线 是 图象的一条对称轴
【答案】CD
【解析】
【分析】由 ，再逐项判断.
【详解】 ，
，
，
，
所以 的最小正周期是 ，故 A 正确；
第 8页/共 20页当 时， 的最大值是 ，故 B 正确；
由 ，得 ，因为 在 上递增，
在 上递减，故 在 上不单调，故 C 错误 ；
令 ，得 ，
所以直线 不是 图象的一条对称轴，故 D 错误；
故选：CD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若一个等比数列的各项均为正数，且前 4 项的和等于 4，前 8 项的和等于 68，则这个数列的公比等于
_________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前 项和的定
义，得到关于 的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前 项和性质得到关于 的方程，解之即可
得解.
【详解】法一：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
当 时， ，即 ，则 ，显然不成立，舍去；
当 时，则 ，
两式相除得 ，即 ，
则 ，所以 ，
所以该等比数列公比为 2.
故答案为： .
第 9页/共 20页法二：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
所以 ，
，
所以 ，则 ，所以 ，
所以该等比数列公比为 2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
因为 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以该等比数列公比为 .
故答案为： .
13. 已知 为坐标原点， ， 为椭圆 的左、右焦点， ， 是椭圆上异
于顶点的一点，点 是以 为底的等腰三角形 的内切圆圆心，过 作 ，垂足为 ，
，则椭圆的离心率为_____
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出.
【详解】在等腰 中， .
第 10页/共 20页分别延长 与 ，交于点 ，因为点 是三角形 的内切圆圆心，所以 为 的平分线，
如图：
又因 ，故 与 全等，所以 为 的中点且 .
又因为 为 的中点， 为三角形 的中位线，
所以 ，得 .
所以由椭圆的定义可得 ，得 ，所以离心率为 .
故答案为：
14. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在
上存在零点，则 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围.
【详解】由题意，当 时， ，
因为函数 ，若 在 上有且只有两个极值点，
则 ，解得 ．
又对任意实数 ， 在 上存在零点，且 的长度为 ，
第 11页/共 20页而函数 的最小正周期为 ，则 ，解得 ，
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 77 分.
15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如
下列联表:
男学生 女学生 合计
喜欢跳绳 45 25 70
不喜欢跳绳 15 15 30
合计 60 40 100
（1）依据 的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？
（2）现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这 100 名学生中抽取 5 名，再从这 5 名学生中选出 2 名参
加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关；
（2）分布列见解析，数学期望为 .
【解析】
【分析】（1）求出 的观测值，与临界值比对即可得解.
（2）求出 5 人中男女生人数，再求出 的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
第 12页/共 20页小问 1 详解】
零假设 ：学生的性别和是否喜欢跳绳无关，
根据列联表中数据经计算得 ，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
即不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
【小问 2 详解】
依题意，抽取的 5 名学生中有男生 3 名，女生 2 名， 的可能取值为 0，1，2，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
数学期望 .
16. 在 中，角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
（1）求 A 的值；
（2）求 c 的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于 的方程，求解可得 ，进而求得 ；
（3）利用正弦定理先求 ，再由二倍角公式分别求 ，由两角和的正弦可得.
第 13页/共 20页【小问 1 详解】
已知 ，由正弦定理 ，
得 ，显然 ，
得 ，由 ，
故 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，且 ， ，
由余弦定理 ，
则 ，
解得 （ 舍去），
故 ；
【小问 3 详解】
由正弦定理 ，且 ，
得 ，且 ，则 为锐角，
故 ，故 ，
且 ；
故 .
17. 已知数列 的前 n 项和 ．若 ，且数列 满足
．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求证：数列 的前 n 项和 ；
第 14页/共 20页（3）若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由 与 的关系，仿写作差后求出数列 的通项，再代入所给方程求出数列 的通项
即可；
（2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可；
（3）先证明数列 为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；
【小问 1 详解】
由题意知 ，
当 时， ，所以 ．
当 时， ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，可得 ，
所以数列 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列．
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
第 15页/共 20页两式相减，可得
，
所以 ，所以 ．
【小问 3 详解】
若 对一切 恒成立，只需要 的最大值小于或等于 ．
因为 ，
所以 ，所以数列 的最大项为 和 ，且 ．
所以 ，即 ，
解得 或 ，即实数 的取值范围是 ．
18. 已知函数 在 处取得极值 ．
（1）求 ；
（2）函数 图象与函数 图象关于点 对称，若存在 使 成立，
求实数 的取值范围；
（3）过点 作曲线 的一条割线 和一条切线 （T 为切点，与 P 不重合）， 均在曲
线 上，若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
第 16页/共 20页【解析】
【分析】（1）求导，再根据题意得 ，即可得解；
（2）易得函数 图象的对称中心为点 ，即可得出函数 的解析式，再分 和
两种情况讨论，利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值即可；
（3）先根据导数的几何意义求出切线 的方程，再根据 在切线上求出切点 的坐标，设割线
方程为 ，再根据 都在曲线 上，再化简整理即可得出结论.
【小问 1 详解】
，由题意得 ，
所以 ，所以 ，
经检验，符合题意，故 ；
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
所以函数 图象的对称中心为点 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
①当 时， ，不成立，舍去．
②当 时， ，令
所以
令 得 ，令 得 ，
所以 在 递减，在 递增，
所以 ，
因为存在 使 成立，
第 17页/共 20页所以 ，所以 ，
综上所述， ；
【小问 3 详解】
，
则切线 为 ，
因为 ，
所以 ，
因为 在切线上，
所以
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，
由题意得割线 的斜率是存在的，设割线 方程为 ，
则 ，
又此方程的根为 ，
所以
，
所以 ，所以 ，
故 ．
19. 已知函数 ，其中 为自然对数的底， .
（1）求证： ；
（2）是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求 的取值集合，若不存在请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
第 18页/共 20页【解析】
【分析】（1）令 ，其中 ，利用导数法可得出 ，再利用余弦函数的有界性
以及不等式的基本性质可证得结论成立；
（2）令 ，对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调
性，验证 对任意 能否恒成立，综合可得出实数 的取值集合.
【小问 1 详解】
证明：令 ，其中 ，则 ， .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，即 ，
故对任意 ， .
【小问 2 详解】
解：令 ，其中 ，
若存在实数 ，使得 恒成立，则 ，其中 ，
令 ，令 .
令 .
①当 时，由（1）可知， 且 不恒为零，、
此时，函数 在 上为增函数，
因为 ，所以，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，合乎题意；
②当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
第 19页/共 20页所以，函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
则当 时， ，则函数 在 上单调递减，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
故当 时， ，不合乎题意；
③当 时，若 ，则存在 ，使得 ，
且当 时， ；
若 时，可取 ，当 时， .
因此，当 时，函数 在 上为增函数，
当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
故当 时， ，不合乎题意.
综上所述，存在 ，使得 恒成立，
故实数 的取值集合为 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
第 20页/共 20页
