文档内容
姓名______ 座位号______
（在此卷上答题无效）
数学
本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知双曲线 的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
3.记 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知空间中不过同一点的三条直线 ， ， .“ ， ， 共面”是“ ， ， 两两相交”的
（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知复数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.在二项式 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.常数项为 B.各项的系数和为64
C.第3项的二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为
7.在平面直角坐标系 中，已知向量 与 关于 轴对称，若向量 满足 ，
记 的轨迹为 ，则（ ）
A. 是一条垂直于 轴的直线 B. 是两条平行直线
C. 是一个半径为1的圆 D. 是椭圆
8.设正数数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 单调递增 D. 单调递增
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设离散型随机变量 的分布列如表，若离散型随机变量 满足 ，则（ ）
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
A. B. ，
C. ， D. ，
10.已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的
面积为 ，则（ ）
A.
B.点 是曲线 的一个对称中心
C.直线 是曲线 的一条对称轴
学科网（北京）股份有限公司D.函数在区间 内单调递减
11.抛物线 的焦点为 ，准线为直线 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 作
抛物线的切线交于点 ， 于点 ， 于点 ，则（ ）
A.点 在直线 上 B.点 在直线 上的投影是定点
C.以 为直径的圆与直线 相切 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 ，则 的最小值为______.
13.已知三棱锥 的外接球为球 ， 为球 的直径，且 ， ， ，
则三棱锥 的体积为______.
14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数
， 为 的所有正因数之和，如 ，则 ______；
______.
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数 的最小正周期为 ，且函数 的图象向左平移 个
单位后得到的函数为偶函数.
（1）求函数 的解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数 在 上的图象；
学科网（北京）股份有限公司（2）在锐角 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ，求 的值域.
16.（15分）
篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》 全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日
正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，
得到 列联表如下：
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
依据小概率值 的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都
等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第 次触
球的概率为 ，则 .
（i）证明：数列 是等比数列；
（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.
附： .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）
如图，在圆台 中， ， 分别为上、下底面的直径，且 ， ， 为异于
， 的一条母线.
（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值.
18.（17分）
已知函数 ，其中 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的最小值；
（2）若 对于任意 均成立，且 的最小值为1，求实数 .
19.（17分）
如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形 内接于椭圆 ，其中点 ， 分
别在第三、四象限，边 ， 与 轴的交点为 ， .
（1）若 ，且 ， 为椭圆 的焦点，求椭圆 的离心率；
（2）若 是椭圆 的另一内接矩形，且点 也在第三象限，若矩形 和矩形 的面
积相等，证明： 是定值，并求出该定值；
（3）若 是边长为1的正方形，边 ， 与 轴的交点为 ， ，设 （ ， ，…，
）是正方形 内部的100个点，记 ，其中 ， ， ， .证明： ， ， ，
中至少有两个小于81.
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一、二、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C B D A C D BD ABC BCD
【解析】
1.依题意 ， ，因此 ，选项A正确
2.因为双曲线 的焦距为4，所以 ，解得 ，所以则该双曲线经过一、三象限
的渐近线的斜率为 ，选项B正确.
3.显然 ， ， ，故选项C正确.
4.依题意，直线 ， ， 不过同一点，因此，若“ ， ， 两两相交”则必有“ ， ， 共面（由
三个交点确定的平面）”，但若“ ， ， 共面”，有可能有两条直线平行，与第三条之间分别相交，
但此时，“ ， ， 两两相交”结论错误，故选项B正确.
5.因为 ，所以 ，从而 ，选项D正确.
6. 的展开式通项为 ，当 时，常数项为
，选项A正确；令 ，得各项的系数和为 ，选项B错误；展开式共7
项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；依题意奇数项二项式系数和为
，选项D错误.
7.不妨设点 的坐标为 ， ， ，由 可得 ，
即 ，故选项C正确.
8.依题意 ，令
学科网（北京）股份有限公司，解得 ，从而 ， ， ，易知选项D正确.
9.因为 ，所以 ，A选项错误；
由 ，而 ，
故 ，
因此选项B正确；
又 ，所以， ， ，故C错D对.
10.由题意， ， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，可得 ，因此 .
显然，函数周期为 ， ，选项A正确；
因为 ，所以选项B正确，
，选项C正确；
若 ，即 ，则 ，函数先减再增，D错误.
11.依题意焦点 的坐标为 ，准线为直线 ，
不妨设 ， ，直线 的方程为 ，
联立 与 ，得 ，从而 ， ，
由题意， ， ，
故抛物线过点 ， 的切线方程分别为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司解得点 的坐标为 ，故A错误；
因为 ，所以 ，
即点 在直线 上的投影是点 （定点），故选项B正确；
可证 ， ，因此 ，
即以 为直径的圆与直线 相切，选项C正确；
对于选项D，因为 ， ，
从而 ，
令 ，由函数 单调性易知， ，函数取最小值 .D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.20 13. 14. ； .（第一空2分，第二空3分）
【解析】
12.依题意 ， ， ，所以 ，等号成立当且仅当 .
13.如图，易知 ， ，
作 于点 ，易知 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
故三棱锥 的体积为 .
14.
.
四、解答题：
15.（13分）
解：（1） 函数 的最小正周期 ， ，
向左平移后 为偶函数，且 ， ，
故 解析式为 .
列表如下：
0
0
1 0 0
在 上的图象如图所示：
学科网（北京）股份有限公司（2） ， ，
即 ，解得 ，即 ，
又因为 是锐角三角形，所以 ，
故 ，即 .
16.（15分）
解：（1）假设 ：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.
根据列联表数据，经计算得 ，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即能认为喜爱篮球运动与性别有关，从此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）（i）由题意，
，
所以
又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（ii）由（i）， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， .
故甲第25次触球者的概率大.
17.（15分）
解：（1）证明：连接 .
因为 ， 分别为上、下底面的直径，且 .
所以 ， ， 为圆台母线且交于一点.因此 ， ， ， 四点共面.
因为圆台 中平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
从而 ，即 为 的中点.
在 中， 为 的中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）以 为坐标原点， ， 分别为 ， 轴，过点 且垂直与平面 的直线为 轴，建立
空间直角坐标系 .
因为 ，所以 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则
即 ，所以平面 的一个法向量为 .
又 ，设平面 的法向量为 ，
所以 即
所以平面 的一个法向量为 .
设二面角 的大小为 ，
则 ，
从而 ，
所以二面角 的正弦值为 .
18.（17分）
解：（1）①由题意，且 的定义域为
，
依题意 即 从而 .
故 ， ，
从而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司（2）依题意， ，其中 ，记 ，则 ，
因为 ， ，即 是 的极小值也是最小值，故 ，
而 ，所以 ，解得 ，
此时 ，
若 ，则 时， ， ， ， ，
即 ，与 矛盾！
若 ， ，
则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
符合题意.故 .
所以 ，其中 .
若 即 时，则函数 在 上最小值为 ，
依题意 ，解得 ，符合题意；
若 即 时，则函数 在 上最小值为 ，
依题意 ，即 ，无解，不符合题意.
所以， .
19.（17分）
学科网（北京）股份有限公司解：（1）依题意， ， ，
所以 .
（2）设 ， ，由题意，矩形 和矩形 的面积相等，
所以 ，
即 ，而 ，（*）
从而上式化为 ，
整理可得 ，
代入（*）式， ，
故 ，
即 为定值，且该定值为 .
（3）如图，以 ， 的中点为焦点构造经过 ， ， ， 的椭圆，对于点 ，连接 并延长，
与该椭圆交于点 ，连接 ，
则 .
学科网（北京）股份有限公司因而 ， 中至少有一个小于81，
同理 ， 中至少有一个小于81，
故 ， ， ， 中至少有两个小于81.
（以上答案仅供参考，其它解法请酌情赋分）
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