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2023—2024 学年海南省高考全真模拟卷（二）
数学
1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．
2．考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数和导数．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，若 ，则 （ ）
A．9 B． C． D．
4．声强级 （单位： ）由公式 给出，其中 为声强（单位： ）．若学校图书
规定：在阅览室内，声强级不能超过 ，则最大声强为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 的图象在区间 上连续不断，则“ 在 上存在零点”是“ ，
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．我们把顶角为 的等腰三角形称为“最简三角形”．已知 ，则“最美三角形”的顶角
学科网（北京）股份有限公司与一个底角之和的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 在 上恰有5个极值点，则当 取得最小值时， 图
象的对称中心的横坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 若函数 有6个零点，则 的值可能为
（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题正确的是（ ）
A． ，
B． ，
C．若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为
D．若 ， ，使得 ，则实数 的最小值为
11．数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边
形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列
说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
12．已知函数 ，则（ ）
A． 是 的一个周期 B． 的图象关于 中心对称
C． 在 上恒成立 D． 在 上的所有零点之和为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值可以是
________．（写出一个满足条件的值即可）
14．若函数 的图象关于 轴对称，则 ________．
15．已知正数 ， 满足 ，若 ，则 ________．
16．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，
则 的最大值为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
学科网（北京）股份有限公司在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积．
18．（12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）求 的单调区间与极值．
19．（12分）
某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知
生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产 万件电
子芯片需要投入的流动成本为 （单位：万元），当年产量不超过14万件时， ；当年
产量超过14万件时， ．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
（Ⅰ）写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定
成本－流动成本）
（Ⅱ）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
20．（12分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
且 ．
（Ⅰ）若 ， ，求 的周长；
（Ⅱ）若 ， ，求 的最大值．
21．（12分）
如图为函数 的部分图象，且 ， ．
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）将 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，得
到函数 的图象，讨论函数 在区间 的零点个数．
22．（12分）
已知函数 ， 的导函数为 ．
（Ⅰ）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 时，记函数 的极大值和极小值分别为 ， ，求证： ．
2023—2024 学年海南省高考全真模拟卷（二）
数学・答案
1．B 因为全称量词命题的否定为存在量词命题，故“ ， ”的否定是“ ，
”，故选B．
2．C 因为 ，故 ，故选C．
3．A 依题意， ，故 ，解得 ，故选A．
4．C 依题意， ，则 ，则 ，故选C．
学科网（北京）股份有限公司5．B ， ．“ 在 上存在零点”时，不一定有“
， ”，但“ ， ”时，一定有“ 在 上存在零点”，故选B．
6 ． A 依 题 意 ， “ 最 美 三 角 形 ” 的 顶 角 与 一 个 底 角 之 和 为 ， 则
， 故 选
A．
7．B 令 ，故 ， 解得 ，
故当 取得最小值时， ，令 ，则 ，所以
，故选B．
8．C 作出函数 的图象如图所示，
令 ，则由题意可得 有2个不同的实数解 ， ，且 ，
则 解得 ，观察可知， 满足题意，故选C．
学科网（北京）股份有限公司9．CD 对于A，令 ， ，可知 ，故A错误；对于B，当 ， 时，
， ，此时 ，故 B 错误；对于 C，因为 ，所以
，故C正确；对于D，因为 ，且 ，所以 ，
故D正确，故选CD．
10．BD 对于A，因为 ， ，当且仅当 时，等号成立，故A错误；对于
B，令 ，则 ，即为 ，而 在 上单调
递减，故 ，故B正确；对于C，显然 ，且 ，解得 ，故C错误；
对于D，当 时， ，当 时， ，故 ，所
以 ，故D正确，故选BD．
11．ACD 易知 ，故 ，而 ，故A
正确；易知 ， ，故B错误； ，
故 C 正 确 ； 而 ， ，
，故
故D正确，故选ACD．
12 ． ABD ， 则
，故 是 的一个周期，故A
学科网（北京）股份有限公司正 确 ； 因 为 ， 故
的图象关于 中心对称，故B正确；易知 ，当 时，令
， 解 得 ， 故 当 时 ， ， 当 时 ， ， 故
，故C错误；当 时， ，结合奇偶性和周期性作出 在
对应区间上的大致图象如图所示，又 ， 的图象均关于 中心对称，故D选项中对
应区间上所有零点之和为 ，故D正确，故选ABD．
13．1（答案不唯一） 根据题意得 ， ．若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，得 ，故横线上填写的 的值满足 或 均可．
14． 依题意， 为偶函数， 为奇函数，则 为
奇函数，故 ，得 ．经检验，当 时， 为奇函数， 为偶函数，
学科网（北京）股份有限公司故 ．
15 ． 6 由 ， 得 ， 即 ， 故 ． 又
，当且仅当 时，等号成立，此时 故 ．
16． 作 的外接圆 ．设 的中点为 ，则由题意知 ，故
， ，由 ，故
点 的轨迹是以 为弦，圆周角为 的优弧上，故当 时， 取最大值，即 取最大值，
此时 为等边三角形， ， ．
17．解：（Ⅰ）依题意， ，
由正弦定理得， ，而 ，故 ．
（Ⅱ）由余弦定理得， ，得 ，
故 ．
18．解：依题意， ， ．
（ Ⅰ ） ， ， 故 所 求 切 线 方 程 为 ， 即
．
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）令 ，解得 ，故当 时， ，当 时， ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
则 的极小值为 ，无极大值．
19．解：（Ⅰ）根据题意得，
当 时， ，
当 时， ，
故
（Ⅱ）当 时， ，且当 时， 单调递增，当 时，
单调递减，
此时 ．
当 时， ，当且仅当 时，等号成立．
因为 ，故当 时， 取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片．
20．解：因为 ，故 ，
由正弦定理得， ．
又 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，而 ，故 ，故 ．
（ Ⅰ ） 由 余 弦 定 理 得 ， ， 即 ， 整 理 得
，
解得 或 （舍去）， ，故 的周长为 ．
（Ⅱ）设 ， ．由正弦定理得， ，
即 ，故 ， ，
所以 ，
其中 ， ，则当 时， 取得最大值 ．
21．解：（Ⅰ）根据题意得， ，故 ， ，故 ．
将 代入，得 ，解得 ，
又 ，故 ．
（Ⅱ）依题意， ．
函数 在区间 的零点个数即为函数 的图象与直线 在 上的交点个数．
当 时， ，结合余弦函数图象可知，
学科网（北京）股份有限公司当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
且 ， ， ，
作出函数 在 上的大致图象如图所示．
观察可知，当 或 时， 有1个零点；
当 时， 有2个零点；
当 或 时， 有0个零点．
22．解：（Ⅰ）依题意， ，根据题意知， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
则 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
学科网（北京）股份有限公司而 ， ， ，故 ， ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
故 ，则 ，
故实数 的取值范围为 ．
（Ⅱ）令 ，则 ，设 ， 分别为函数 在 上的极大值点与极
小值点，
所以 ， ，则 ，且 ．
所 以 ， 由 ， 得 ， 其 中 ，
，
故 ．
设 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，故 ．
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